Cognome Nome A. Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti.

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1 Cognome Nome A Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti. 1) 2) 4) 5)

2 Geometria e algebra lineare 7/2/2019 A 1) Si considerino i punti A = (1, 0, 2), B = (0, 1, 0), C = ( 1, 1, 1) e D = (2, 2, 1). 1. Si mostri che i quattro punti A, B, C, D sono complanari. 2. Si trovi un equazione cartesiana del piano π contenente A, B, C, D. 3. Si calcoli l area del triangolo ABC. 2) Si consideri la matrice A = [ ] Si trovino tutte le matrici B M 2 (R) tali che AB = BA. 2. Si determinino tutte le matrici invertibili C M 2 (R) tali che A = CAC 1. 3) Ricordare l enunciato del Teorema di Rouchè-Capelli e illustrarlo mediante esempi numerici con sistemi 3 3 e ) Sia T : R 5 R 3 la funzione lineare con matrice associata A = rispetto alle basi canoniche. 1. Si trovino basi del nucleo e dell immagine di T. 2. Si trovino tutte le controimmagini di w = (1, 1, 1). 3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito). Si trovi una funzione lineare f : R 2 R 5, non nulla, tale che T f sia la funzione nulla. 5) Sia R 2 [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più due. Sia T : R 2 [x] R 2 [x] la funzione lineare definita da T (ax 2 + bx + c) = (2a c)x 2 + 3bx + 2c a. 1. Si trovino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile. 2. Si trovi, se esiste, una base di R 2 [x] formata da autovettori di T. 6) Dare la definizione di autovalore di una matrice e di autovalore di una funzione lineare T : V V. Dare un esempio con una matrice 3 3 e un esempio con T : R 2 R 2. Ogni matrice reale ha almeno un autovalore (reale)? Motivare la risposta.

3 Cognome Nome B Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti. 1) 2) 4) 5)

4 Geometria e algebra lineare 7/2/2019 B 1) Si considerino i punti A = (1, 1, 2), B = (1, 0, 4), C = ( 2, 1, 1) e D = (0, 1, 1). 1. Si mostri che i quattro punti A, B, C, D sono complanari. 2. Si trovi un equazione cartesiana del piano π contenente A, B, C, D. 3. Si calcoli l area del triangolo ABC. 2) Si consideri la matrice A = [ ] Si trovino tutte le matrici B M 2 (R) tali che AB = BA. 2. Si determinino tutte le matrici invertibili C M 2 (R) tali che A = CAC 1. 3) Dare la definizione di matrice a scalini e di matrice a scalini ridotta per righe, illustrandole con esempi di matrici 3x4. Dare la definizione di rango di una matrice. 4) Sia T : R 5 R 3 la funzione lineare con matrice associata A = rispetto alle basi canoniche. 1. Si trovino basi del nucleo e dell immagine di T. 2. Si trovino tutte le controimmagini di w = (1, 1, 1). 3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito). Si trovi una funzione lineare f : R 2 R 5, non nulla, tale che T f sia la funzione nulla. 5) Sia R 2 [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al piùdue. Sia T : R 2 [x] R 2 [x] la funzione lineare definita da T (ax 2 + bx + c) = ax 2 + (c 2b)x + b 2c. 1. Si trovino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile. 2. Si trovi, se esiste, una base di R 2 [x] formata da autovettori di T. 6) Quando una matrice si dice diagonalizzabile? Ogni matrice quadrata reale è diagonalizzabile? Motivare la risposta anche mediante degli esempi. Dare almeno una condizione sufficiente per la diagonalizzabilità di una matrice n n.

5 Cognome Nome C Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti. 1) 2) 4) 5)

6 Geometria e algebra lineare 7/2/2019 C 1) Si considerino i punti A = (1, 1, 1), B = ( 1, 0, 4), C = (1, 2, 2) e D = (0, 1, 3). 1. Si mostri che i quattro punti A, B, C, D sono complanari. 2. Si trovi un equazione cartesiana del piano π contenente A, B, C, D. 3. Si calcoli l area del triangolo ABC. 2) Si consideri la matrice A = [ ] Si trovino tutte le matrici B M 2 (R) tali che AB = BA. 2. Si determinino tutte le matrici invertibili C M 2 (R) tali che A = CAC 1. 3) Si dia la definizione di sottospazio di un spazio vettoriale. Si facciano esempi di due sottoinsiemi di M 2 (R), tali che uno sia un sottospazio e l altro no. 4) Sia T : R 5 R 3 la funzione lineare con matrice associata A = rispetto alle basi canoniche. 1. Si trovino basi del nucleo e dell immagine di T. 2. Si trovino tutte le controimmagini di w = (1, 1, 1). 3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito). Si trovi una funzione lineare f : R 2 R 5, non nulla, tale che T f sia la funzione nulla. 5) Sia R 2 [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più due. Sia T : R 2 [x] R 2 [x] la funzione lineare definita da T (ax 2 + bx + c) = (b 2a)x 2 + (a 2b)x 3c. 1. Si trovino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile. 2. Si trovi, se esiste, una base di R 2 [x] formata da autovettori di T. 6) Cos è il polinomio caratteristico di una matrice o di una funzione lineare T : V V? Quale grado ha? Dare un esempio per matrici 3 3 e descrivere proprietà del polinomio caratteristico.