Facoltà di Anno Accademico 2018/19 Registro lezioni del docente PINTUS NICOLA

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1 Facoltà di Anno Accademico 2018/19 Registro lezioni del docente PINTUS NICOLA Attività didattica GEOMETRIA E ALGEBRA [IN/0079] Partizionamento: Periodo di svolgimento: Docente titolare del corso: PINTUS NICOLA matr Riepilogo registro docente: PINTUS NICOLA matr Docente interno - Collaboratori Stato registro docente: Bozza Ore inserite: 70 ore Ore previste dall'offerta didattica: 70 ore Gruppi di studenti con i quali è stata svolta l'attività - ore per gruppo - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 70 ore Ore inserite per tipologia di attività 70 ore lezione : - prevista per tutti gli studenti (senza gruppi associati) - 70 ore Osservazioni: Firma del docente titolare del corso: Firma del presidente: Data: Pagina 1 di 9

2 Dettaglio delle attività svolte: [] Partizionamento: 27/02/ lezione - Introduzione Introduzione al corso, spiegazione modalità d'esame. Vettori geometrici: somma e moltiplicazione per uno scalare. Proprietà di somma e prodotto per scalare. 01/03/ lezione - Vettori geometrici Operazioni con i vettori geometrici e coordinate di vettori rispetto a una base (nel piano e nello spazio tridimensionale). Lunghezza di vettori nel piano. 04/03/ lezione - Vettori geometrici Angoli tra vettori. Prodotto scalare tra vettori e sue proprietà. Prodotto vettoriale tra vettori e sue proprietà. Lunghezza del vettore "prodotto vettoriale". 05/03/ lezione - Ora inizio: 17:00 Ora fine: 19:00 Vettori geometrici Proprietà algebriche del proddoto vettoriale ed esempi. Definizione di spazio vettoriale. Pagina 2 di 9

3 06/03/ lezione - Spazi vettoriali Richiami sui numeri complessi e relative proprietà. Definizione di campo. Definizione di K-spazio vettoriale. Generatori di uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti. 08/03/ lezione - Spazi vettoriali Insieme di generatori di uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti. Dimostrazione di alcuni risultati sui vettori linearmente indipendenti. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore rispetto a una base di uno spazio vettoriale. 11/03/ lezione - Spazi vettoriali Sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale: esempi di sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da n vettori di uno spazio vettoriale. Sistema di riferimento e coordinate di un punto. Equazioni parametriche di una retta nel piano e nello spazio. Equazioni parametriche di un piano nello spazio. 12/03/ lezione - Ora inizio: 17:00 Ora fine: 19:00 Sistemi di equazioni lineari Equazioni parametriche di una retta passante per 3 punti. Equazioni parametriche di un piano passante per 3 punti non allineati. Esercizi. Sistemi di equazioni lineari e sue soluzioni: definizioni. Pagina 3 di 9

4 13/03/ lezione - Sistemi di equazioni lineari Esempi di sistemi con una sola soluzione, con infinite soluzioni e con nessuna soluzione. Matrice associata a un sistema lineare. Sottospazio generato dalle righe di un sistema lineare. Esempi di riduzione a gradini. 15/03/ lezione - Sistemi di equazioni lineari Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Dimostrazione del fatto che la matrice trasformata mediante operazioni elementari è la matrice completa di un sistema equivalente a quello iniziale. Illustrazione dell'algoritmo di riduzione a gradini. Esercizio sulla riduzione a gradini. 18/03/ lezione - Sistemi lineari Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Dimostrazione del fatto che le operazioni elementari non modificano le soluzioni del sistema. Esercizi sulla riduzione a gradini. Soluzione dipendente da k parametri liberi. Dimostrazione del fatto che le righe non nulle di una matrice ridotta a gradini sono linearmente indipendenti. Rango di una matrice. Calcolo del rango. Enunciato del teorema di Rouché- Capelli. 19/03/ lezione - Ora inizio: 16:00 Ora fine: 18:00 Sistemi lineari Dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli. Dimostrazione che le soluzioni di un sistema omogeneo formano un sottospazio vettoriale. Dimostrazione della struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo. Esempi. Sottospazio affine. Pagina 4 di 9

5 20/03/ lezione - Sistemi lineari Sistemi parametrici. Applicazioni geometriche della teoria sui sistemi lineari. 22/03/ lezione - Sistemi lineari Applicazioni geometriche della teoria sui sistemi lineari. 25/03/ lezione - Determinante Posizione reciproca tra due rette, tra due piani e tra un piano e una retta. Definizione di permutazione e trasposizione su n elementi. Permutazioni pari e dispari. Definizione di determinante. Applicazione della definizione a matrici quadrate di ordine 2 e di ordine 3. Dimostrazione del fatto che il determinante di una matrice è nullo se e solo se la matrice ha le righe dipendenti (casi n=2 e n=3). 27/03/ lezione - Determinante Definizione di cofattore degli elementi di una matrice quadrata di ordine n. Calcolo del determinante con la formula di Laplace per righe e per colonne. Proprietà del determinante (con dimostrazione, eccetto quella secondo cui con uno scambio di righe il determinante cambia di segno-questa solo per i più curiosi). Dimostrazione del fatto che una matrice quadrata di ordine n ha rango n se e solo se il suo determinante è pari a n. Pagina 5 di 9

6 29/03/ lezione - Determinante e Applicazioni lineari Equazione cartesiana del piano usando il determinante. matrice orlata e teorema dei minori orlati. Definizione di applicazione lineare. Dimostrazione del fatto che le seguenti funzioni sono applicazioni lineari: rotazione di un angolo fissato di un vettore OP attorno all'origine, riflessione di un vettore rispetto a una retta passante per l'origine, proiezione ortogonale su una retta passante per l'origine. 01/04/ lezione - Applicazioni lineari Matrice associata alla rotazione attorno a O di un angolo fissato, alla proiezione ortogonale su una retta passante per O e alla riflessione rispetto alla bisettrice. Dimostrazione del fatto che data f da V in W, l'insieme Im(f) è un sottospazio vettoriale e che è generato dalle immagini dei vettori generatori di V. Criterio di suriettività di un'applicazione lineare. Dimostrazione del fatto che il nucleo N(f) è un sottospazio vettoriale di V e che tutte le controimmagini non vuote di f sono "copie" o traslati di N(f). Dimostrazione che f è iniettiva se e solo se N(f) è costituito dal solo vettore nullo. 03/04/ lezione - Applicazioni lineari Dimostrazione teorema della dimensione. Dimostrazione conseguenza del teorema. Esempi su base del Ker(f) e di Im(f). Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. 05/04/ lezione - Inversa di una matrice Proprietà algebriche del prodotto di matrici. Definizione di matrice invertibile. Dimostrazione del fatto che una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo il suo rango è pari a n. Calcolo dell'inversa mediante affiancamento con la matrice identità. Dimostrazione della formula della matrice inversa mediante cofattori. Pagina 6 di 9

7 08/04/ lezione - Autovalori e autovettori Complementi sull'algebra matriciale. Definizione di autovalore e autovettore per un endomorfismo. Calcolo di autovalori e autovettori. Definizione di endomorfismo diagonalizzabile. Dimostrazione del fatto che k autovalori distinti hanno autovettori linearmente indipendenti. Dimostrazione del fatto che una base di uno spazio è formata da autovettori che sono base di autospazi relativi ai rispettivi autovalori. 10/04/ lezione - Diagonalizzabilità Dimostrazione del fatto che la molteplicità geometrica è minore uguale alla molteplicità algebrica per un qualunque autovalore. Criterio necessario e sufficiente di diagonalizzabilità (con dimostrazione). Dimostrazione condizione sufficiente di diagonalizzabilità. Dimostrazione del fatto che una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile B tale B^(-1)AB è diagonale. Definizione di matrici simili. 30/04/ lezione - Ora inizio: 17:00 Ora fine: 20:00 Forme bilineari Cambiamenti di base (con dimostrazione). Il polinomio caratteristico non dipende dalla base scelta per calcolarlo (con dimostrazione). Proprietà algebriche del polinomio caratteristico. Forme bilineari e prodotto scalare. Spazio euclideo. Definizione di lunghezza di un vettore e di angolo tra due vettori non nulli. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (con dimostrazione). Disuaguaglianza triangolare (con dimostrazione). Prodotto scalare in coordinate (con dimostrazione). Una forma bilineare è simmetrica se e solo la matrice che la rappresenta è simmetrica (con dimostrazione). Criteri per capire se una forma bilineare è definita positiva. Sottomatrici principali di NW. Forma bilineare semidefinita positiva, definita negativa, semidefinita negativa e indefinita. Pagina 7 di 9

8 03/05/ lezione - Forme bilineari, proiezioni ortogonali e riflessioni Classificazione forme bilineari. Forme quadratiche e loro classificazione. Prodotto scalare canonico. Esercizi. Proiezioni ortogonali di un vettore di uno spazio euclideo V in un sottospazio vettoriale di V. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt (con dimostrazione). Esempio. 06/05/ lezione - Isometrie lineari Proiezione e riflessione di un vettore su un piano (con dimostrazione). Esempi. Rotazione di angolo x attorno agli assi cartesiani x, y, z (con dimostrazione). Matrice della rotazione attorno a un asse che non è asse cartesiano (idea generale). Esercizio. Matrice ortogonale. Dimostrazione del fatto che la matrice del cambiamento di riferimento tra due basi ortonormali di uno spazio euclideo è ortogonale. Isometrie lineari. Dimostrazione del fatto che la matrice che rappresenta un'isometria lineare è ortogonale. Dimostrazione del fatto che il determinante di una matrice ortogonale è +1 o -1. Classificazione (con dimostrazione) delle isometrie lineari sul piano (rotazioni e riflessioni). 08/05/ lezione - Isometrie lineari nello spazio ordinario Dimostrazione del fatto che se la matrice di un'isometria dello spazio ha determinante uguale a +1 o -1 allora l'isometria ha un autovettore relativo a +1 o -1 (rispettivamente). Classificazione delle isometrie lineari dello spazio ordinario: rotazioni, riflessioni e riflessioni rotatorie. Esercizio chiave su come trovare asse di rotazione e angolo di rotazione data la matrice della rotazione. Pagina 8 di 9

9 10/05/ lezione - Teorema spettrale Teorema spettrale (dimostrazione che la matrice M che diagonalizza A è ortogonale). Costruzione della matrice M ortogonale. Dimostrazione del fatto che gli autospazi relativi a autovalori diversi di una matrice simmetrica reali sono tra loro ortogonali rispetto al prodotto scalare standard. 13/05/ lezione - Coniche Equazione di una conica come forma quadratica. Matrici associate a una conica. Classificazione di una conica. Rotazione della conica per eliminare il termine misto. Conica in forma canonica. Riduzione di una conica in forma canonica. Passaggio dalla forma non canonica a quella canonica. Centro di una conica. Assi di una conica a centro. Asse di una parabola. Retta tangente a una conica. 17/05/ lezione - Coniche e Quadriche Esercizio sulle coniche. Definizione intuitiva di superficie in forma parametrica e in forma cartesiana. Equazione di una quadrica in forma polinomiale e in forma matriciale. Teorema di riduzione di una quadrica in forma canonica. Classificazione delle quadriche mediante rango e autovalori. 20/05/ lezione - Quadriche Equazione e grafico di quadriche. Superfici di rotazione. Assi di simmetria e centro di quadriche a centro. Metodo del completamento di quadrati per determinare il segno di una forma quadratica. Pagina 9 di 9