Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni

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1 Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni 5 novembre Geometria del piano e prodotto scalare Richiami. Il prodotto scalare di due vettori del piano v, w applicati in uno stesso punto è il numero reale definito nel modo seguente: v w = v w cos θ, dove θ [0, π] è l angolo convesso tra v e w (se uno dei due vettori è nullo, si pone v w = 0). Nota: il prodotto scalare viene spesso indicato con il simbolo v w. Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero. Inoltre v = v v. Il prodotto scalare si calcola facilmente conoscendo le coordinate dei vettori. Se v ha coordinate (x, y) e w ha coordinate (x, y ) allora In particolare, v = x 2 + y 2. v w = xx + yy. Dati due punti del piano A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ), la distanza di A da B uguaglia il modulo del vettore AB. Dunque: d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Le rette r : ax+by+c = 0 e r : a x+b y+c = 0 sono perpendicolari se e solo se aa +bb = 0. In particolare, data la retta r : ax + by + c = 0, la retta generica perpendicolare a r ha equazione bx ay + k = 0, dove k è un parametro reale. 1

2 Dati due punti A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) il punto medio M del segmento AB ha coordinate M = ( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ). 2 Dati due punti A, B l asse del segmento AB è l insieme dei punti del piano equidistanti da A e B. L asse di AB coincide con la retta perpendicolare al segmento AB e passante per il suo punto medio. Dati due vettori non nulli v, w, l area A del parallelogramma definito dai due vettori è data dalla formula: ( ) v v v w A = det. v w w w 1.1 Esercizi Esercizio 1 Sono dati i punti del piano A = (1, 0), B = (3, 2), C = ( 2, 1). Determinare: a) L equazione cartesiana della retta r passante per A e perpendicolare alla retta per i punti B e C. b) L equazione cartesiana della retta r passante per C e parallela alla retta per i punti A e B. c) L eventuale intersezione delle rette r e r. Soluzione. a) r : 5x + y 5 = 0. b) r : x y + 3 = 0. c) r r = ( 1 3, 10 3 ). Esercizio 2 Dato il punto A = (1, 1) e la retta r : x y 5 = 0, determinare: a) La proiezione ortogonale di A sulla retta r. b) La distanza di A da r. c) Il punto A, simmetrico di A rispetto alla retta r. Soluzione. a) Il punto H, proiezione ortogonale di A su r, è l intersezione della retta r con la retta r passante per A e ortogonale a r. Poiché r : x + y = 0 si ottiene H = ( 5 2, 5 2 ). b) La distanza di A da r uguaglia la distanza di A dalla proiezione ortogonale H. Quindi d(a, r) = 3. 2 c) Se A è il simmetrico di A rispetto a r, allora il punto H della parte a) è il punto medio del segmento AA. Dunque A = (4, 4). 2

3 Esercizio 3 Sono dati i punti del piano A = (1, 0), B = (3, 2), C = ( 2, 1). Determinare: a) L insieme dei punti del piano equidistanti dai punti A e B. b) L insieme dei punti del piano equidistanti dai punti A, B e C. Soluzione. a) Questo è l asse del segmento AB, ed ha equazione x + y 3 = 0. b) L insieme cercato consiste di un solo punto D, che è anche il centro dell unica circonferenza passante per i punti A, B, C. Il punto D si ottiene allora come intersezione dell asse di AB, di equazione x + y 3 = 0, con l asse di AC, di equazione 3x y + 2 = 0. Dunque D = ( 1 4, 11 4 ). Esercizio 4 Si consideri il triangolo T di vertici A = (1, 0), B = (3, 2), C = ( 2, 1). a) Calcolare il perimetro di T. b) Calcolare l area di T. c) Calcolare il coseno di ciascuno degli angoli di T. Soluzione. Consideriamo i vettori AB = (2, 2), AC = ( 3, 1), BC = ( 5, 1). a) Il perimetro è dato da AB + AC + BC = b) L area è la metà dell area del parallelogramma sui vettori AB = (2, 2), AC = ( 3, 1). Dunque: A = = 4. c) Il coseno dell angolo in A è dato dalla formula: cos θ A = AB AC = 1. AB AC 5 Analogamente si trova cos θ B = 3 13, cos θ C = Esercizio 5 Sono dati la retta r : x y 2 = 0 e i punti O = (0, 0) e A = (4, 1). a) Determinare gli eventuali punti P sulla retta r tali che il triangolo di vertici P, O, A sia rettangolo in P. b) Determinare gli eventuali punti P sulla retta r equidistanti da O e A. Soluzione. a) Il punto mobile su r ha coordinate P = (t+2, t). Il triangolo sarà rettangolo in P 3

4 quando il prodotto scalare P O P A = 0. Si ottiene l equazione 2t 2 t 4 = 0 da cui otteniamo i valori t 1 = , t 2 = 1 33, 4 4 in corrispondenza dei quali avremo due punti che verificano le condizioni: P 1 = (t 1 + 2, t 1 ), P 2 = (t 2 + 2, t 2 ). b) I punti su r equidistanti da O e A sono dati dall intersezione della retta r con l asse del segmento OA. Si ottiene l unico punto ( 21 10, 1 10 ). Esercizio 6 a) Data la retta r : x y 2 = 0, disegnare l insieme dei punti del piano P = (x, y) che verificano la disequazione x y 2 0. b) Disegnare l insieme dei punti del piano che verificano tutte le disequazioni: x y 2 < 0 x > 0 x + y 4 < 0. Soluzione. a) È il semipiano chiuso delimitato dalla retta x y 2 = 0 e contenente l origine. b) È l insieme dei punti interni del triangolo di vertici (0, 2), (3, 1), (0, 4). Esercizio 7 Siano A = (1, 2), B = (2, 1) due punti del piano e sia r la retta di equazioni x = t parametriche r :. Determinare i punti P su r tali che: y = t 3 a) I punti A, B, P sono allineati. b) Il triangolo di vertici A, B, P ha area 2. Soluzione. a) Il punto è unico, ed è l intersezione di r con la retta AB. Si ottiene P = (3, 0). b) Il punto mobile su r ha coordinate P = (t, t 3). Si ha AB = (1, 1) mentre AP = (t 1, t 5). Dunque A = t 2 12t + 26 = t 3, e l area vale 2 per t = 1, 5. I punti sono (5, 2), (1, 2). 4

5 2 Geometria dello spazio Esercizio 8 Nello spazio sono dati i punti A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 5), C = (1, 1, 4). a) Scrivere equazioni parametriche della retta r 1 passante per A e B. b) Scrivere equazioni parametriche della retta r 2 passante per C e parallela alla retta r 1. c) Scrivere l equazione cartesiana del piano passante per A, B, C. d) Scrivere l equazione del piano passante per A e parallelo al piano x y + 2z + 4 = 0. x = 1 + t x = 1 + t Soluzione. a) r 1 : y = 2 + 2t. b) r 2 : y = 1 + 2t. c) π : 4x y z + 1 = 0. d) z = 3 + 2t z = 4 + 2t x y + 2z 5 = 0. Esercizio 9 a) Scrivere le equazioni parametriche della retta r parallela all asse z e passante per P 0 = (1, 2, 0). 2x y = 0 b) Scrivere equazioni parametriche della retta s :. z = 2 c) È vero che r è parallela a s? d) È vero che r e s sono incidenti? x = 1 x = t Soluzione. a) Parametri direttori (0, 0, 1) quindi r : y = 2. b) s : y = 2t. c) No. d) r e z = t z = 2 s si incontrano nel punto (1, 2, 2). Esercizio 10 a) Determinare l equazione cartesiana del piano π contenente l origine e la retta x = 1 t r : y = 2 2t. z = 3 t b) Determinare le coordinate di un punto A tale che il vettore OA sia non nullo e parallelo alla retta r. È vero che A deve appartenere al piano π? Soluzione. a) La retta passa per A = (1, 2, 3) e B = (0, 0, 2). Il piano contiene i due punti 5

6 precedenti e l origine. Dunque la sua equazione è: x y z det = 0, cioè π : 2x y = 0. Possiamo anche procedere scrivendo il fascio di piani di asse r e imponendo il passaggio per O. b) A = ( 1, 2, 1), piu in generale A = (k, 2k, k) con k 0. x y + z = 0 Esercizio 11 Calcolare i parametri direttori della retta r : e scrivere l equazione 2x z + 3 = 0 del piano passante per l origine e contenente r. Soluzione. a) Parametri direttori proporzionali alla terna (1, 2, 1) b) Il piano è semplicemente x y + z = 0. Esercizio 12 Determinare l equazione del piano passante per A = (1, 1, 4) e parallelo a entrambe le rette: x 3 = 0 x + y 1 = 0 r : y z = 0, s : x + 2z + 2 = 0. Soluzione. Parametri direttori di r sono (0, 1, 1) e di s sono (2, 2, 1). Equazione: x 1 y 1 z 4 det = 0, cioè π : x + 2y 2z + 5 = 0. Esercizio 13 Si considerino i punti P 1 = (1, 0, 0), P 2 = (0, 1, 0), P 3 = (1, 3, 1), P 4 = (1, 3, 1), la retta r passante per P 1 e P 2, e la retta s passante per P 3 e P 4. a) Stabilire se le rette r ed s sono complanari o sghembe; se complanari, determinare l equazione del piano che le contiene. b) Esiste un piano passante per P 1, P 2 e parallelo al piano π : x + 2y z = 0? Soluzione. a) I quattro punti sono complanari, quindi le rette sono complanari. Il piano comune ha equazione π : x + y + 3z 1 = 0. b) No. Il piano parallelo a π e passante per P 1 ha equazione x + 2y z 1 = 0 e tale piano non contiene P 2. 6

7 x 2z = 0 x + y 3z + 4 = 0 Esercizio 14 Dimostrare che le rette r : y z = 0, s : y z + 1 = 0 (dunque complanari) e determinare l equazione del piano che le contiene. sono parallele Soluzione. Parametri direttori entrambi proporzionali a (2, 1, 1). Piano comune x 3y + z = 0 (piano per O e (2, 1, 1) punti di r, e (1, 1, 2) punto di s). Esercizio 15 a) Stabilire se le rette r 1 : sghembe. y z = 0 x 1 = 0 e r 2 : x = 0 z 1 = 0 b) Esiste una retta passante per (2, 0, 2) e che incontra sia r 1 che r 2? sono complanari o Soluzione. a) Le rette sono sghembe. b) Si, la retta per l origine (punto di r 1 ) e per il punto (1, 0, 1) r 2. Tale retta giace sul piano per P 0 e r 1 (di equazione x + y z = 0) e sul piano per x z = 0 P 0 e r 2 (di equazione x z = 0). Dunque tale retta è unica, e ha equazioni x + y z = 0. Si verifica poi che essa incontra sia r 1 che r 2. Esercizio 16 Sia π : x + 2y + z + 1 = 0 e P 0 = ( 4, 1, 1). Trovare le equazioni cartesiane della retta contenuta nel piano π, passante per P 0 e incidente l asse z. Soluzione. I metodo: i piani contenenti la retta sono π e il piano π contenente l asse z e il punto P 0. Il fascio di piani contenente l asse z è x + ky = 0; imponendo il passaggio per P 0 otteniamo π : x + 4y = 0. Dunque: x + 2y + z + 1 = 0 r :. x + 4y = 0 II metodo. Notiamo che P 0 π. La retta cercata passa per P 0 e per l intersezione di π con l asse z, che è il punto (0, 0, 1). Dunque i parametri direttori sono (4, 1, 2) e le equazioni parametriche sono: x = 4t r : y = t. z = 1 2t Esercizio 17 Si considerino i punti A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = ( 1, 1, 1). 7

8 a) Stabilire se i punti A, B, C, D sono complanari oppure no. b) Scrivere l equazione del piano π passante per D e parallelo al piano per A, B, C. c) Scrivere l equazione del piano π contenente D e la retta per A e B. d) Trovare le equazioni cartesiane della retta per l origine che incontra sia la retta per A e D che la retta per B e C. Soluzione. a) Non complanari: il piano per A, B e C è x + y + z 3 = 0 e non contiene D. b) Il piano ha equazione x + y + z + 3 = 0. c) Il piano cercato è quello contenente A, B, D e ha equazione x + y 3z 1 = 0. x = 0 d) La retta cercata ha equazioni. Infatti, sia r la retta per A, D e s la retta per y z = 0 B, C. Il piano per O contenente r è y z = 0, mentre il piano per O contenente s è x = 0. Tale retta incontra r nel punto (0, 1 2, 1 2 ) e s nel punto (0, 1 2, 1 2 ). Esercizio 18 Consideriamo il piano di equazione π : ax + by + cz + d = 0 e la retta di equazioni a x + b y + c z + d = 0 cartesiane: r : a x + b y + c z + d. Dimostrare che r è parallela a π se e solo se: = 0 a b c a b c a b d = 0. Soluzione. Osserviamo innanzitutto che, dati una retta r e un piano π, si ha che o r è parallela a π oppure r e π si incontrano in un solo punto. Consideriamo il sistema lineare: ax + by + cz + d = 0 S : a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 Ora r e π sono incidenti in un punto se e solo se S ammette un unica soluzione: questo avviene, per il teorema di Cramer, se e solo se la matrice dei coefficienti ha determinante non nullo, cioè a b c a b c 0. Quindi r è parallela a π se e solo se tale determinante è nullo. a b d 8

9 x y 2 = 0 Esercizio 19 Trovare l equazione del piano passante per la retta r : x + z 3 = 0 e parallelo x = 1 + t alla retta s di equazioni parametriche y = 3t. z = 1 + t Soluzione. Si scrive il fascio di piani di asse r e si impone il parallelismo con s. Il piano cercato è π : 2x y + z 5 = 0. Esercizio 20 Per quali valori di k i quattro punti (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2), (1, k, 3) sono complanari? Soluzione. k = 2. Infatti, il piano per i primi tre punti ha equazione x + y z = 0, e il quarto punto appartiene a tale piano se e solo se k = 2. 9