Metodi quantitativi per la misurazione della performance dei fondi comuni di investimento

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1 La performance dei fondi comuni 1 Metodi quantitativi per la misurazione della performance dei fondi comuni di investimento Paolo PIANCA Dipartimento di Matematica Applicata Università Ca Foscari di Venezia 1. Considerazioni introduttive Il processo di arricchimento delle strutture finanziarie in corso da alcuni decenni in Italia ha trovato un significativo riscontro legislativo nella legge n.77 del 23 marzo 1973 che ha provveduto a disciplinare, tra l altro, l istituzione e la gestione dei fondi comuni di investimento mobiliare. In pochi anni di attività questo nuovo strumento finanziario ha raggiunto dimensioni insperate, sia dal punto di vista del numero e della tipologia dei fondi presenti e disponibili sul mercato, sia da quello del numero degli investitori e della consistenza dei capitali gestiti. Allo sviluppo delle attività dei fondi comuni ha fatto riscontro un notevole interesse del mondo scientifico con studi di varia natura volti a fornire con l analisi e la valutazione delle loro performance dei preziosi suggerimenti ai risparmiatori. Come è noto lo scopo principale di un fondo comune di investimento consiste nel raccogliere i risparmi di più individui e di investirli in un portafoglio diversificato di titoli finanziari. I fondi comuni offrono una modalità di investimento molto popolare in quanto consentono anche al piccolo risparmiatore di partecipare alle sorti dei mercati mobiliari con un portafoglio diversificato pur disponendo di capitali modesti. Tutte le società che gestiscono un fondo comune cercano di perseguire due obiettivi fondamentali: la massimizzazione del rendimento mediante un analisi professionale dei titoli presenti sui mercati e la minimizzazione del rischio ottenuta scegliendo un insieme di titoli (portafoglio) ben diversificato. 1

2 2 La performance dei fondi comuni La comparsa dei primi fondi comuni sul mercato mobiliare italiano risale al giugno del 1984; da allora si è riscontrata una notevole crescita sia in termini di efficienza e di trasparenza nella gestione sia in termini di prodotti e di patrimoni gestiti. Il numero totale dei fondi comuni disponibili sul mercato era di 183 nel 1990, di 703 nel 1998 e più di 1000 nel Inizialmente ai sottoscrittori venivano offerte solo tre tipologie di fondi comuni: azionari, bilanciati e obbligazionari. La versione rivista e ampliata della classificazione dei fondi comuni mobiliari in vigore dal luglio 2003 prevede ben 42 categorie distinte. Tale sviluppo ha contribuito in modo determinante ad allargare i volumi delle contrattazioni su vari comparti del mercato, facendo inizialmente salire gli indici sopra ogni previsione. Successivamente si è assistito a un notevole calo nel numero di nuove sottoscrizioni, anche in corrispondenza di una netta inversione di tendenza che ha ridimensionato notevolmente le quotazioni degli indici. Si è assistito poi a periodi di grande euforia e a momenti di forti contrazioni nei valori e di numerosi e talvolta ingiustificati riscatti. È certo comunque che i fondi comuni rappresentano un filone basilare di tutti i mercati finanziari. Ogni fondo comune ha un proprio regolamento che definisce le caratteristiche e gli obiettivi del fondo, ne disciplina il funzionamento, indica la società di gestione che lo ha promosso e lo gestisce, segnala il nome della banca depositaria e regola i rapporti fra tali soggetti e i sottoscrittori di quote del fondo. Attualmente la gestione dei fondi comuni spetta a una SGR (Società di gestione del risparmio) che ha personalità giuridica e capitale distinto dal patrimonio del fondo. Le SGR, introdotte e regolamentate dal Testo Unico della Finanza entrato in vigore il giorno 1 luglio 1998, possono ottenere dalla Banca d Italia l autorizzazione a svolgere l attività di gestione collettiva del risparmio solo se rispondono a prefissati requisiti e, nello svolgimento delle loro funzioni, debbono seguire determinate regole comportamentali. Per quanto riguarda le quote di un fondo comune si deve osservare che il loro valore non si forma direttamente sul mercato in base al paradigma economico della legge della domanda e dell offerta, ma dipende dal prezzo di mercato dei titoli in cui il patrimonio del fondo è stato investito. Più precisamente il valore di una quota di partecipazione all epoca t k è dato da Q(t k ) = valore netto del fondo numero delle quote del fondo (1.1) La partecipazione dei risparmiatori a un fondo comune trova attuazione mediante la sottoscrizione o acquisto di quote del fondo che sono di uguale valore e attribuiscono i medesimi diritti. La sottoscrizione di quote da parte dei risparmiatori può avvenire in vari modi che dipendono sia dalla strategia che il singolo risparmiatore vuole perseguire sia dalle sue disponibilità finanziarie. In particolare la sottoscrizione può trovare attuazione o con 2

3 La performance dei fondi comuni 3 un unico versamento o con un versamento iniziale seguito da un insieme di versamenti di ammontare prestabilito in epoche di norma equi-intervallate (P.A.C.). Il calcolo e l analisi delle performance di un fondo comune di investimento risultano significativi solo se si riferiscono a un periodo di tempo non breve. L investimento in fondi comuni non presenta carattere speculativo e i risultati della gestione debbono essere analizzati solo dopo un periodo di tempo sufficientemente esteso. Dal 1998 le società di gestione debbono indicare per ciascun fondo comune gestito un indice o un insieme di indici di riferimento (benchmark). Nell effettuare il confronto tra le performance di un fondo comune e un benchmark il risparmiatore deve ricordare che: i) l andamento del benchmark è calcolato al lordo delle imposte, mentre il valore delle singole quote di un fondo comune è disponibile al netto dell imposta sostitutiva del % che viene imputata con cadenza giornaliera, ii) l andamento del benchmark non risente di alcuna commissione, il valore delle quote è penalizzato da commissioni di gestione e di tipo straordinario (ad esempio da elevate performance). In ogni caso la presenza di un benchmark e il suo periodico confronto con le performance del fondo in esame è molto importante in quanto il potenziale sottoscrittore non solo può trarre interessanti conclusioni sulle capacità operative del gestore ma può anche crearsi una prima indicazione sul profilo rischio/investimento che il fondo intende perseguire. È il caso di osservare come per ciascun investitore l ammontare del capitale investito sia direttamente determinato dal valore dei titoli posseduti dal fondo. Ogni giorno sulle pagine finanziarie dei quotidiani compaiono i valori delle singole quote comunicate dai gestori. Quando il fondo inizia la propria attività, per un certo numero di giorni le singole quote valgono 5, 000 (cinque) euro ma con il trascorrere del tempo il valore delle quote e quindi la ricchezza complessiva del fondo varia in funzione delle tendenze dei mercati e della capacità del gestore. Disponendo di un certo insieme di valori delle quote è immediato calcolare un indicatore di performance, relativo all intervallo [t k 1, t k ], considerando il rapporto fra le variazioni delle quote registrate in t k e in t k 1 e il valore della quota osservato all inizio del periodo R tk = Q(t k) Q(t k 1 ) Q(t k 1 ) (1.2) Si osservi che alcuni fondi distribuiscono periodicamente, con cadenza annuale o semestrale, dei dividendi di cui è facile tenere conto nel calcolo della performance. Un modo semplice per calcolare la redditività di un fondo che nel periodo di tempo [t k 1, t k ] distribuisce almeno un dividendo è R tk = Q(t k) Q(t k 1 ) + c Q(t k 1 ) dove con c si è indicato il valore dei dividendi distribuiti capitalizzato all epoca t k base a un opportuno tasso di rendimento 3 (1.3) in

4 4 La performance dei fondi comuni Ovviamente a valori positivi di R tk corrispondono dei guadagni e a valori negativi delle perdite nel periodo considerato. Lo scopo principale di queste pagine è di presentare e analizzare alcune tecniche quantitative per l analisi della redditività dei fondi comuni e di fornire alcuni criteri che consentono di operare delle scelte razionali fra i numerosi fondi presenti sul mercato. 2. Il criterio del valore medio Si considerino n fondi comuni in cui è possibile investire un certo capitale. La redditività di ciascun fondo in un determinato periodo di tempo è descritta dalle determinazioni delle variabili aleatorie X 1, X 2,..., X n, che si suppongono note assieme alle loro probabilità di realizzazione. Il confronto fra una coppia di investimenti in tali fondi comuni, ovvero tra le v.a. che ne caratterizzano i rendimenti, presenta nei casi non banali numerose difficoltà. Un metodo semplice e intuitivo per sintetizzare i possibili rendimenti di ciascun ciascun fondo con un unico indicatore è quello di calcolare il valore medio di ciascuna variabile aleatoria; il criterio del valore medio suggerisce di classificare un insieme di fondi (o più in generale di investimenti possibili) in relazione ai loro valori attesi e di assegnare naturalmente la preferenza all alternativa di investimento che presenta il valore atteso più elevato. Tale criterio consente di ottenere un ordinamento totale nel senso che, dato un insieme di fondi comuni (investimenti) a redditività aleatoria X 1, X 2,..., X n con le relative probabilità di realizzazione, è sempre possibile ottenere un ordinamento totale di preferenza in base al loro valore medio. Esempio 2.1 Un risparmiatore può investire una certa somma di denaro scegliendo fra 4 fondi comuni (o più in generale fra 4 investimenti di natura aleatoria) X 1, X 2, X 3, X 4 i cui rendimenti in termini percentuali, relativamente a un prefissato periodo di tempo, sono riportati nella tabella 2.1 e dipendono da 5 eventi (stati) incompatibili fra di loro ed esaustivi. Tabella 2.1 Rendimenti espressi in termini percentuali di 4 investimenti aleatori in funzione di 5 stati di natura. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 X X X X

5 La performance dei fondi comuni 5 Nell ipotesi che le probabilità di verificarsi degli eventi siano: IP(S 1 ) = 0.2, IP(S 2 ) = IP(S 3 ) = 0.1, IP(S 4 ) = IP(S 5 ) = 0.3, si desidera determinare l investimento ottimo in base al criterio del valore medio. Con semplici calcoli si trova: IE(X 1 ) = 10 IE(X 2 ) = 13.6 IE(X 3 ) = 6.7 IE(X 4 ) = 14.5, dove IE(X) indica la media aritmetica della v.a. X ; la scelta ottima in base al criterio del valore medio è rappresentata dall investimento X 4. Si osservi che, mantenendo inalterate le realizzazioni dei fondi, se cambiano le probabilità degli eventi cambiano i valori medi e quindi la scelta del risparmiatore. Naturalmente invece di considerare i rendimenti assoluti di un insieme di fondi si possono considerare i rendimenti relativi rapportando il rendimento al valore iniziale, cioè si possono considerare i rapporti V f V i V i = r t 1,t (2.1) dove V f e V i rappresentano rispettivamente la quotazione del fondo in esame, registrata rispettivamente all epoca finale t e iniziale t 1. Si può anche suddividere il periodo di riferimento [t 1, t] in n sottoperiodi di ampiezza uguale o anche di ampiezza diversa e calcolare la media aritmetica (semplice o pesata) dei tassi di rendimento. Ad esempio se il periodo di riferimento è di 3 anni e se si dispone di 19 quotazioni distanziate fra loro di 2 mesi si possono calcolare 18 tassi di rendimento bimensili e assumere come indicatore della redditività la media aritmetica dei tassi bimensili. In ogni caso il criterio del valore medio presenta dei limiti operativi evidenti; basti pensare, ad esempio, che in base a tale criterio l investimento Y 1, che prevede con uguale probabilità i guadagni percentuali 50 e 150 ( IP(S 1 ) = IP(S 2 ) = 0.5 ), si deve ritenere allo stesso livello di un investimento Y 2 che prevede con uguale probabiltà una perdita percentuale -20 e un guadagno 220. Il criterio del valore medio non tiene in considerazione il fatto che un operatore finanziario razionale di solito è interessato sia alla massimizzazione della redditività di un investimento, sia alla minimizzazione dei rischi che l operazione di investimento può procurargli. 3. Il criterio media-varianza È opinione diffusa che una scelta razionale fra variabili aleatorie che rappresentano dei guadagni o delle perdite monetarie debba tenere conto di due elementi: il valore medio e un indicatore di rischio. Ci si può chiedere che cosa sia il rischio e come sia possibile misurarlo. L idea di rischio è piuttosto vaga e presenta aspetti variegati. 5

6 6 La performance dei fondi comuni Indubbiamente parlando di rischio ci si riferisce alle possibili perdite o ai mancati guadagni che un investimento può comportare. La decisione di misurare il rischio di un operazione con un unico e ben preciso indicatore è quantomeno ambiziosa e quasi sempre riduttiva in quanto con un solo indice numerico difficilmente si riescono a cogliere tutte le sfumature insite nell idea di rischio. Nella letteratura sia teorica sia pratica il rischio associato a un particolare investimento viene di norma misurato con la varianza ( V ar( ) ) o con lo scarto quadratico medio della v.a. che misura la redditività dell investimento. Questa tecnica per misurare il rischio porta alla definizione del criterio media-varianza che afferma che se una v.a. (un investimento) X ha valore medio maggiore (o uguale) e varianza minore (o uguale) rispetto alla v.a. (investimento) Y, allora la prima v.a. è da preferirsi alla seconda. In termini formali si ha la seguente definizione. Definizione 3.1. Un investimento X domina in base al criterio media-varianza l investimento Y e in tal caso si scrive X > MV Y, se valgono le disuguaglianze IE(X) IE(Y ) V ar(x) V ar(y ) (3.1) e almeno una delle due è verificata in senso stretto. Esempio 3.1 Un risparmiatore dispone di una somma di denaro che intende investire mediante l acquisto di quote di un fondo comune di investimento. Si supponga che sul mercato siano presenti tre fondi che indicheremo rispettivamente con F A, F B e F C. La scelta del fondo su cui investire viene effettuata in base alle seguenti quotazioni dei fondi, registrate in corrispondenza di epoche temporali intervallate di un anno e antecedenti la data d acquisto: F A (0) = , F A (1) = , F A (2) = , F A (3) = F B (0) = , F B (1) = 9 000, F B (2) = , F B (3) = F C (0) = , F C (1) = , F C (2) = , F C (3) = Il risparmiatore costruisce le realizzazioni di tre v.a. calcolando per ciascun fondo la performance annua, intesa come il tasso di rendimento (perdita) in ciascun anno performance anno k = F (k) F (k 1) F (k 1) k = 1, 2, 3 e attribuisce a ciascuna performance la probabilità 1/3. Le realizzazioni della v.a. X A (quella associata al fondo F A ) sono: 0.2, 0.2, 0.2. Le realizzazioni della v.a. X B sono: -0.1, 0.3, 0.4. Le realizzazioni della terza v.a. sono: 0.4, 0.0, Le medie aritmetiche delle performance annue sono rispettivamente: IE(X A ) = 0.2 IE(X B ) = 0.2 IE(X C ) =

7 La performance dei fondi comuni 7 e le varianze sono: V ar(x A ) = 0 V ar(x B ) = = V ar(x C) = In base al criterio media-varianza si può concludere che X A > MV X B e X C > MV X B ; le v.a. X A e X C non sono confrontabili in base al criterio media-varianza. L applicazione del criterio media-varianza dà in questo caso delle risposte ragionevoli; la preferenza del fondo F A rispetto al fondo F B è giustificata dal fatto che i due fondi hanno lo stesso valore medio, ma il primo si è dimostrato più stabile. Analogamente il fondo F C viene preferito al fondo F B in quanto ha dimostrato sia un valore medio maggiore sia una minore variabilità. Il fatto che fra i fondi F A ed F C non si possa esprimere una preferenza appare una conclusione non completamente accettabile; infatti, se da un lato è vero che il fondo F C ha manifestato una performance media più elevata, dall altro lato si deve riconoscere che il fondo F A si è dimostrato più regolare ed ha prodotto la ricchezza finale più elevata. Con lo scopo di mettere in luce le carenze del criterio media-varianza si consideri un quarto fondo F D con le seguenti quotazioni: F D (0) = , F D (1) = , F D (2) = , F D (3) = A tali quotazioni si possono associare le performance annue: 0.45, 0.3, 1.0. Se indichiamo con X D la v.a. tasso di rendimento del fondo F D si ha: IE(X D ) = e V ar(x D ) = Anche una persona che non conosce le regole più elementari della teoria degli investimenti si accorge che il fondo F D ha evidenziato delle performance sempre migliori rispetto agli altri fondi. Il criterio media-varianza non riesce a distinguere nulla in una situazione così evidente; nemmeno il fondo F B (dominato sia da F A, sia da F C ) viene classificato come inferiore rispetto a F D, in quanto ha varianza minore. L esempio precedente evidenzia che il criterio media-varianza, comunque lo si giudichi, consente di ottenere un ordinamento solo parziale fra v.a. e quindi fra progetti alternativi. Per giungere a un ordinamento totale 1 sono state proposte alcune semplici varianti del criterio media-varianza. Fra queste la più nota è il criterio media λ varianza che consiste nel calcolare per ciascuna v.a. X l indice θ(x) = IE(X) λ V ar(x), (3.3) 1 Se si introduce l ipotesi che il decisore possa investire o chiedere a prestito denaro al tasso di interesse i 0, si può dimostrare che il criterio media-varianza dà luogo a un ordinamento totale in quanto in tal caso un attività rischiosa X domina un altra attività rischiosa Y se e solo se IE (X) i 0 σ X > IE (Y ) i 0 σ Y ; (3.2) ovviamente i confronti richiedono che le varianze delle v.a. in esame siano strettamente positive. 7

8 8 La performance dei fondi comuni con λ numero positivo prefissato, e nell ordinare le v.a. considerando come migliore quella che presenta il valore dell indice più elevato. Esempio 3.2 Si desidera ordinare i fondi comuni F A, F B, F C, F D descritti nell esempio 3.1 rispetto al criterio θ(x) = IE(X) 2 V ar(x), utilizzando le performance definite precedentemente. Con qualche conto si trova: θ(x A ) = 0.2, θ(x B ) = 0.106, θ(x C ) = , θ(x D ) = e quindi l ordine di preferibilità decrescente in base al criterio media 2 varianza è: F D, F A, F C, F B. Per questo esempio il criterio media - λ varianza dà dei risultati del tutto sensati. L esempio che segue evidenzia che in certe situazioni il criterio media - λ varianza porta a conclusioni difficilmente accettabili da un decisore razionale. Esempio 3.3 I guadagni possibili del progetto di investimento aleatorio X 1 sono di e euro, tutti e due con probabilità 1 2 ; i guadagni di X 2 sono 0 e 10 euro, sempre con probabilità 1 2. È ovvio che ogni essere razionale preferisce X 1 a X 2. Con semplici calcoli si trova θ(x 1 ) = λ θ(x 2 ) = 5 λ 25. Per ogni λ > , secondo il criterio media λ varianza, X 2 è preferibile a X 1. Nonostante la semplicità di utilizzo abbia favorito un ampia diffusione della regola media-varianza (o media λ varianza), tale criterio presenta limiti notevoli e può talvolta condurre a delle scelte errate. In particolare, il criterio media-varianza si basa sulle ipotesi che valga il principio di non sazietà e che gli operatori non siano propensi ad assumersi dei rischi se questi non sono adeguatamente ricompensati. Oltre a queste due condizioni ampiamente accettate, si può dimostrare che il principio in questione dà luogo a scelte razionali se è verificata almeno una delle due ipotesi seguenti. 1) I tassi di rendimento dei progetti finanziari aleatori in esame seguono una distribuzione di probabilità di tipo normale. In tal caso i parametri media e varianza caratterizzano completamente le distribuzioni di probabilità dei tassi di rendimento, e si dimostra che le decisioni d investimento prese in base al principio media-varianza sono in accordo con il criterio della massimizzazione dell utilità attesa. 2) La funzione che descrive il grado di soddisfacimento derivante dal possesso di una ricchezza di entità x (funzione di utilità u(x) degli investitori) è quadratica e più precisamente del tipo u(x) = x a 2 x2 (a > 0). (3.4) 8

9 La performance dei fondi comuni 9 Si è visto che il principio media-varianza utilizza come misura del rischio di un progetto finanziario la varianza del suo tasso di rendimento aleatorio. L utilizzo della varianza (o dello scarto quadratico medio) come indice per la misurazione del rischio connesso con un investimento a redditività aleatoria è molto consolidato e in certi contesti indiscusso. La varianza è comoda, semplice da calcolare e presenta interessanti proprietà sia dal punto di vista analitico sia da quello concettuale, ma non è il solo indice di rischio utilizzato. Si è osservato che stimare il rischio di un portafoglio di titoli con la varianza del suo rendimento comporta assegnare lo stesso peso a variazioni sopra e sotto al suo rendimento medio; operando in tal modo, un portafoglio caratterizzato da marcati scostamenti rispetto a un valore medio elevato viene considerato a torto altamente rischioso. In effetti, se le variabili aleatorie che descrivono i tassi di rendimento dei portafogli sono simmetriche, come accade se si ipotizza che tali rendimenti si distribuiscano in modo normale, la varianza può essere giudicata un adeguato indicatore del rischio. Tuttavia, se con rischio si intende la possibilità di andare incontro a rendimenti negativi o comunque troppo al di sotto delle aspettative, l utilizzo delle varianza come misura del rischio può dar luogo a risultati paradossali, che non sono coerenti con il principio di non sazietà. Poiché Esempio 3.4 Siano X e Y le variabili casuali con i seguenti esiti equiprobabili: X: Y: IE[X] = 1, V ar[x] = 2/3 IE[Y ] = 2, V ar[y ] = 8/3 nessuna delle due variabili aleatorie domina l altra secondo il criterio media-varianza. Eppure la variabile casuale Y è evidentemente da preferirsi alla variabile aleatoria X in quanto ha sempre una probabilità più alta di avere rendimenti più elevati. Un indicatore di rischio che tiene conto solo delle variazioni indesiderate del rendimento è la semi-varianza definita da SemiV ar = 1 n n (min [0, R k h]) 2 (3.5) k=1 dove: h è un valore fissato che esprime il minimo livello accettabile per il tasso di rendimento, n è il numero di periodi di tempo considerati, R k, k = 1, 2,..., n rappresenta il tasso di rendimento del portafoglio relativo al periodo [k 1, k]. 9

10 10 La performance dei fondi comuni Talvolta si assume come livello h il valore medio R = n k=1 R k/n ; l indice in tal caso viene chiamato half-variance. È immediato constatare che se la distribuzione dei tassi di rendimento è simmetrica rispetto alla media si ha HalfV ariance = V ar/2 ; in tal caso i due indicatori di rischio danno luogo alle stesse relazioni di dominanza. 4. Gli indici di Sharpe e di Treynor Nel paragrafo precedente si è evidenziato che per misurare la redditività di un fondo comune come di ogni portafoglio rischioso è necessario tenere conto non solo del rendimento ma anche del rischio che tale investimento comporta. Mentre vi è completo accordo riguardo alle modalità da utilizzare per la misurazione del rendimento, l indice di rischio è misurato seguendo criteri diversi. La varianza, lo scarto quadratico medio, la semi-varianza e l half-variance sono alcuni degli strumenti utilizzati per la misurazione del rischio di un portafoglio; un altro indicatore molto utilizzato è il beta di un portafoglio, definito da β = n k=1 (R k R)(R mk R m ) n k=1 (R m k R m ) 2 (4.1) dove R k e R rappresentano rispettivamente il tasso di rendimento del portafoglio nel periodo k e la sua media aritmetica calcolata su tutti i periodi e R mk ed R m sono rispettivamente il tasso di rendimento del portafoglio di mercato nel k -simo periodo e la media aritmetica di tale tasso. Tornando al problema di ricercare una classificazione razionale per un insieme di fondi comuni è possibile affermare che tale classificazione richiede di disporre di un indicatore della performance che tenga conto sia del rendimento atteso sia del rischio e che permetta sempre di confrontare fra loro due generici portafogli. In tale direzione abbiamo già esaminato come opera il criterio media - λ varianza. In letteratura sono stati proposti numerosi altri criteri che riassumo in un unico valore numerico considerazioni sia sul rendimento sia sul rischio; fra questi i due più famosi sono gli indici proposti da Sharpe e da Treynor. L indice introdotto da Sharpe, noto in letteratura come reward to variability ratio, misura l eccesso tasso di rendimento per unità di rischio ed è espresso da I S = IE(R i) r σ i (4.2) dove con IE(R i ) si è indicato il tasso di rendimento atteso del fondo i -simo, con r il tasso di rendimento esente da rischio e con σ i lo scarto quadratico medio del tasso di rendimento del fondo i. Ovviamente tanto più elevato è l indice I S tanto migliore viene giudicato il fondo. 10

11 La performance dei fondi comuni 11 Si noti che l indice I S presuppone che il rischio venga misurato con lo scarto quadratico medio del rendimento del portafoglio. Tale ipotesi è particolarmente appropriata nel caso in cui si supponga che il portafoglio contenga un unico titolo rischioso. Naturalmente al posto di σ i si può usare la semi-varianza o la half-variance ottenendo rispettivamente gli indici di performance noti come reward to semi-variance ratio e reward to half-variance ratio. L indice proposto da Treynor, reward to volatility ratio è analogo a quello di Sharpe in quanto valuta la performance di un portafoglio mediante il premio ( E(R i ) r ) per unità di rischio. I due indici differiscono invece per quanto riguarda la valutazione del rischio. Infatti l indice di Treynor è definito da dove β i = Cov(R i, R m )/σ 2 m è il beta del portafoglio i. I T = IE(R i) r β i (4.3) Si osservi che qualora si abbia β i < 0, l indice di Treynor perde di significatività, dato che se E(R i ) r > 0 il valore dell indice risulta negativo anche se un investimento nel fondo i si presenta come molto conveniente, mentre se E(R i ) r < 0 l indice risulta positivo anche se il rendimento medio è inferiore al tasso dei titoli non rischiosi. Pertanto, bisogna prestare particolare attenzione nell uso della misura di performance di Treynor nel caso di fondi (portafogli) con β negativo. E immediato osservare che se si utilizza come misura di rischio la haft-variance si pu o definire un altro indicatore di performance spesso utilizzato dagli operatori finanziari e noto come reward to haft-variance Si noti che gli indici prima descritti se da lato consentono di ottenere un ordinamento totale di un insieme di fondi dall altro lato si basano solo sui primi due momenti della distribuzione di probabilità. I criteri di dominanza stocastica che ci accingiamo descrivere si basano su tutta la distribuzione di probabilità e in quanto tali permettono di arrivare ad un approccio più completo dell analisi della performance. La descrizione dei criteri di dominanza stocastica richiede alcune informazioni sulla teoria dell utilità che verranno presentate nei prossimi paragrafi. 5. Utilità ordinale La teoria dell utilità offre un contributo rilevante ai tentativi di superare le difficoltà e le anomalie riscontrate nei criteri esaminati in precedenza. Dare una definizione di utilità non è certamente facile. Di norma alla parola utilità si attribuisce il significato di livello di soddisfazione che un soggetto riceve dalla disponibilità di uno o più beni materiali o immateriali. Spesso si parla di utilità di un 11

12 12 La performance dei fondi comuni risultato intendendo con tale parola una generica situazione che arreca al decisore un certo livello di gradimento. Una prima distinzione riguarda il fatto che l utilità si debba considerare come una entità misurabile (in tal caso si ha a che fare con delle quantità fisiche e si parla di utilità cardinale) o come una entità non misurabile (utilità ordinale), che ha come unico scopo quello di tradurre numericamente l ordinamento di preferenza del decisore. Sia IF un insieme di risultati, che per il momento supporremo certi, e si supponga che per ogni coppia di elementi x, y IF il decisore sia in grado di esprimere uno e solo uno dei seguenti giudizi: - preferenza di x rispetto a y : y x - preferenza di y rispetto a x : x y - indifferenza tra x e y : x y. Supponiamo inoltre che x, y, z IF siano verificate le seguenti condizioni di coerenza: se x y e y z x z se x y e y z x z se x y e y z x z se x y e y z x z. Si noti che il termine indifferenza si deve interpretare come uguale gradimento fra i risultati x e y e non come incapacità da parte del decisore di stabilire una preferenza fra x e y. Definizione 5.1. Una funzione u : IF IR è detta di utilità ordinale se x, y IF si ha: x y u(x) > u(y) x y u(x) = u(y). (5.1) Si osservi che una funzione di utilità ordinale ha il solo scopo di tradurre numericamente l ordinamento di preferenza del decisore e che non è unica, ma è determinata a meno di una trasformazione monotona crescente. Esempio 5.1 Si considerino tre risultati x, y, z e si supponga che il decisore associ a tali risultati le utilità: u(x) = 10, u(y) = 20 e u(z) = 50. Si può concludere che tale decisore preferisce y a x e z a y. Alla stessa conclusione si arriva anche se u(x) = 12, u(y) = 7 e u(z) = 135. Quello che interessa è la graduatoria ottenuta, non i valori numerici prodotti dalla funzione di utilità. Una funzione di utilità ordinale non consente affermazioni del tipo l utilità di x è doppia dell utilità di y e non permette di sommare, sottrarre ed effettuare altri calcoli su due o più valori di utilità. La giustificazione è abbastanza ovvia: essendo 12

13 La performance dei fondi comuni 13 determinata a meno di una trasformazione monotona crescente gli usi leciti non sono certamente molti: il confronto fra più valori, la scelta del massimo o del minimo fra più quantità e pochi altri. Si osservi che una funzione di utilità ordinale è strettamente riferita a un ben determinato decisore, a un preciso insieme di risultati e a un prefissato intervallo temporale. Decisori diversi possono, naturalmente, esprimere ordinamenti di preferenza diversi; il giudizio può inoltre variare se cambia l insieme dei risultati e i giudizi possono mutare nel tempo. Quando i risultati rappresentano importi monetari, la funzione di utilità ordinale più naturale è u(x) = x (5.2) che corrisponde al criterio di preferenza tra due somme di denaro scelgo la più elevata. Per esprimere tale giudizio si può comunque scegliere, come funzione di utilità degli importi monetari, qualsiasi funzione crescente. 6. Utilità cardinale Se si accetta l ipotesi che l utilità sia un entità di tipo fisico e quindi misurabile, il decisore non solo riesce a confrontare risultati diversi, ma è in grado di valutare di quanto un alternativa sia preferibile rispetto a un altra. Definizione 6.1. Una funzione regolare u : IF IR è detta di utilità cardinale se x, y IF si ha: x y u(x) > u(y) x y u(x) = u(y) (6.1) e se è determinata a meno di una trasformazione lineare crescente. Quest ultima condizione sta a significare che se u è una funzione di utilità cardinale, anche tutte le funzioni v = au + b con a > 0 sono funzioni di utilità che danno luogo allo stesso ordinamento di preferenze. Se si accetta il concetto di utilità cardinale, le utilità dei singoli risultati possono essere trattate come se avessero la natura di importi monetari e in quanto tali si possono sommare, sottrarre, se ne possono calcolare le medie e si può eseguire tutto un insieme di operazioni che abbiamo visto essere inammissibili nel caso dell utilità ordinale. 13

14 14 La performance dei fondi comuni Indicato con x i, i = 1, 2, un generico importo monetario certo che supponiamo variare in un insieme IF IR, la funzione di utilità cardinale di ogni operatore razionale verifica la condizione x 1 < x 2 u(x 1 ) u(x 2 ) x 1, x 2 IF (6.2) che sintetizza il principio di non sazietà. L insieme di tutte le funzioni di utilità cardinale regolari e non decrescenti si indica di norma con U 1, cioè si pone U 1 = {u : u 0}. (6.3) L esperienza insegna che l utilità di una somma di denaro cresce all aumentare della somma, ma molto spesso meno che proporzionalmente. Con U 2 di norma si indica l insieme delle funzioni di utilità regolari non decrescenti e con utilità marginale non crescente U 2 = {u U 1 : u 0}. (6.4) Continuando in tal modo si può definire l insieme U n = {u U n 1 : ( 1) n u (n) 0}. (6.5) Esaminiamo ora brevemente alcune famiglie di funzioni di utilità cardinale che risultano atte a rappresentare l utilità di importi monetari (si ricordi che, assegnata una funzione di utilità cardinale, una qualunque trasformazione lineare crescente non ne altera le caratteristiche essenziali). La più semplice funzione di utilità cardinale è u(x) = x, (6.6) che risulta crescente, con pendenza costante e non limitata superiormente. Una semplice modifica consente di ottenere la limitatezza superiore u(x) = { x per x û û per x > û. (6.7) Storicamente la prima funzione di utilità, proposta da D. Bernoulli nel 1738, è u(x) = log x. (6.8) Tale funzione si basa sull ipotesi che nel passare dalla ricchezza posseduta x alla ricchezza finale x + h l utilità vari in modo inversamente proporzionale a x e direttamente proporzionale ad h (incremento di ricchezza) u(x + h) u(x) = k h x k > 0. (6.9) 14

15 La performance dei fondi comuni 15 Dividendo per h e supponendo u differenziabile si ha questa equazione differenziale ha come soluzione generale u (x) = k x ; (6.10) u(x) = k log x + l l IR; (6.11) la funzione coincide di Bernoulli si ottiene immediatamente osservando che le funzioni di utilità cardinale sono determinate a meno di una trasformazione lineare crescente. Bernoulli sintetizzò i calcoli precedenti con la frase la felicità morale (utilità) è il logaritmo della felicità materiale (denaro). Una classe di funzioni di utilità che trova largo impiego nelle applicazioni è u(x) = x ax 2 a > 0. (6.12) I diagrammi di tale classe sono parabole con vertice in ( 1 4a ) e con concavità rivolta verso il basso. Se si vuole che tali funzioni di utilità risultino non decrescenti si debbono considerare definite solo per x 1 2a. Si può completare la definizione imponendo che l utilità sia costante per x > 1 2a. Una famiglia molto interessante di funzioni di utilità è 2a, 1 u(x) = 1 e x/a a > 0; (6.13) tali funzioni sono crescenti, definite per ogni x, e superiormente limitate. Numerose e interessanti proprietà analitiche trovano riscontro anche nell insieme di funzioni di utilità potenza u(x) = (x + b) 1 a con x + b 0, 0 < a < 1. (6.14) Una famiglia di funzioni di utilità che presenta molte proprietà tali da renderle molto flessibili è quella delle funzioni expo potenza con γ > 1, α, β 0 e α β > 0. u(x) = γ e βxα (6.15) 7. Utilità di risultati aleatori e criterio dell utilità attesa Finora si sono considerate funzioni di utilità definite su risultati certi. Nella maggior parte delle applicazioni ad ogni azione del decisore corrisponde un insieme 15

16 16 La performance dei fondi comuni di conseguenze sulle quali si ripartisce la probabilità. I risultati di una scelta sono identificabili con le realizzazioni di una v.a. che nel caso di importi monetari assume il nome di lotteria o di gioco di sorte. Per il momento supponiamo per semplicità che in un gioco L vi siano due soli possibili risultati: vincere la somma x con probabilità α o vincere la somma y con probabilità (1 α). Formalmente si scrive L = [x, α; y, (1 α)]. (7.1) Si è in tal modo definita un operazione sull insieme Ξ dei possibili risultati aleatori che ad ogni coppia di risultati x, y associa un terzo risultato [x, α; y, (1 α)]. Supporremo che Ξ sia chiuso rispetto a tale operazione, cioè che [x, α; y, (1 α)] Ξ per ogni coppia x, y Ξ e α [0, 1]. Si desidera disporre di un criterio che consenta di valutare un insieme di lotterie in modo da poterle confrontare e ordinare, con lo scopo di effettuare delle scelte. A tale proposito, una delle tecniche più famose e utilizzate è il criterio dell utilità lineare o dell utilità secondo von Neumann e Morgenstern. Tale criterio è basato su un insieme di assiomi che assicurano l esistenza di una funzione u : Ξ IR detta funzione di utilità attesa (o lineare, o secondo von Neumann e Morgenstern), determinata a meno di una trasformazione lineare crescente e tale che: x y u(x) > u(y) (7.2) x y u(x) = u(y) (7.3) IE[u(L)] = u([x, α; y, (1 α)]) = α u(x) + (1 α) u(y). (7.4) Per quanto riguarda l interpretazione delle relazioni (7.2) e (7.3) questa dovrebbe essere ormai cosa del tutto ovvia. La relazione (7.4) afferma che l utilità attesa di una lotteria che permette di vincere la somma x con probabilità α e la somma y con probabilità (1 α) è uguale alla media delle utilità di x e di y con pesi rispettivamente α e (1 α). Manifestamente un decisore razionale fra due alternative sceglierà quella che gli procura l utilità maggiore. Il criterio dell utilità attesa (o lineare) prevede che si scelgano le alternative in modo da massimizzare non il valore atteso dei risultati (in questo modo opera il criterio del valore medio), ma il valore atteso delle corrispondenti utilità. Esempio 7.1 Si considerino le lotterie: L 1 = [100, 2/5; 325, 3/5] L 2 = [180, 3/5; 205, 2/5] L 3 = [136, 4/5; 261, 1/5] L 4 = [157, 1/5; 232, 4/5] 16

17 La performance dei fondi comuni 17 Se si utilizza il criterio del valore medio si ha: IE(L 1 ) = 235 IE(L 2 ) = 190 IE(L 3 ) = 161 IE(L 4 ) = 217 e quindi l ordine di preferibilità decrescente è: L 1, L 4, L 2, L 3. Se si utilizza la funzione di utilità u(x) = x 36 si ha: IE[u(L 1 )] = 2 5 u(100) u(325) = = IE[u(L 2 )] = 3 5 u(180) u(205) = = IE[u(L 3 )] = 4 5 u(136) u(261) = = 11 5 IE[u(L 4 )] = 1 5 u(157) u(232) = = e quindi l ordine di preferibilità decrescente è: L 4 L 1, L 2, L 3. Naturalmente variando la funzione di utilità si possono ottenere ordinamenti diversi delle preferenze. Se la lotteria L prevede i risultati l 1, l 2,..., l n con probabilità rispettivamente p 1, p 2,..., p n ( p i 0, p i = 1 ), allora l utilità attesa della lotteria è definita da IE[u(L)] = p 1 u(l 1 ) + p 2 u(l 2 ) p n u(l n ) (7.5) Esempio 7.2 (Paradosso di San Pietroburgo) Questo esempio ha un interesse storico in quanto segna la nascita della teoria dell utilità. L esempio è tratto da un famoso contributo che sintetizza una conferenza tenuta da D. Bernoulli presso l Accademia di S. Pietroburgo nel Si consideri un gioco L consistente nel lanciare una moneta non truccata, cioè con uguale probabilità di uscita di testa e croce. Il gioco termina quando esce testa per la prima volta e il partecipante vince 1, 2, 4,..., 2 n 1 unità monetarie rispettivamente se esce testa al primo, al secondo, al terzo,..., all n -simo lancio. Si osservi che la probabilità di vincere 1 unità monetaria è 1/2, cioè è uguale alla probabilità che esca testa al primo lancio; la probabilità di vincere 2 unità monetarie è 1/4, cioè è uguale alla probabilità dell evento croce al primo lancio e testa al secondo lancio ; la probabilità di vincere 4 unità monetarie è 1/8 e coincide con la probabilità dell evento croce al primo e al secondo lancio e testa al terzo lancio. La probabilità di vincere 2 n 1 unità monetarie è 1/2 n ed è uguale alla probabilità di ottenere sempre croce nei primi (n 1) lanci e testa all n -simo lancio. 17

18 18 La performance dei fondi comuni Il valore medio della vincita e quindi il prezzo che può essere considerato equo pagare per partecipare al gioco è IE(L) = n 1 1 = 2 =. n=1 1 2 n +... = Il criterio del valore medio suggerisce che uno scommettitore per poter partecipare al gioco deve pagare una somma infinita. È comunque ben difficile trovare una persona disposta a versare per una sola partita più di 10 unità monetarie. La conclusione è che il valore medio del gioco non è un indicatore attendibile per rappresentare la somma che uno scommettitore è disposto a pagare per una sola giocata. La proposta di Bernoulli è di considerare come somma equa per partecipare al gioco l utilità attesa dei risultati e cioè 1 IE[u(L)] = 2 n u(2n 1 ). n=1 Si supponga di scegliere la funzione di utilità proposta da Bernoulli, cioè u(x) = log x ; utilizzando le proprietà delle serie numeriche si trova IE[u(L)] = n=1 1 (n 1) log 2 = log 2 = u(2). 2n 8. Utilità e rischio Si consideri un decisore con funzione di utilità cardinale della moneta u(x). Assegnata una lotteria L consistente in un insieme x 1, x 2,..., x n di importi monetari disponibili rispettivamente con probabilità p 1, p 2,..., p n ( n i=1 p i = 1 ), per tale decisore esiste un importo monetario c tale che u(c) = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) p n u(x n ) = IE[u(L)]; (8.1) l importo c è detto certo equivalente rispetto alla lotteria L. Le motivazioni per la scelta della dizione certo equivalente sono evidenti: il possedere con certezza l importo monetario c assicura un livello di soddisfazione che coincide con quello della lotteria L. Si osservi che se la funzione u è invertibile si ha c = u 1 {IE[u(L)]}. (8.2) 18

19 La performance dei fondi comuni 19 Esempio 8.1 Si consideri la funzione di utilità u(x) = x 36 (con x 36 ) e si calcoli il certo equivalente della somma aleatoria (lotteria) che ha come possibili determinazioni 100 euro con probabilità 1/2, 180 euro con probabilità 1/5 e 205 euro con probabilità 3/10. Utilizzando la relazione (7.5) si ha 1 2 u(100) u(180) u(205) = = Il certo equivalente si ottiene risolvendo l equazione c 36 = 10.3 e si ottiene c = = euro. Esempio 8.2 Il certo equivalente del gioco di S. Pietroburgo, calcolato in base alla funzione di utilità proposta da Bernoulli u(x) = log x, si ottiene facilmente sfruttando il fatto che la funzione logaritmo è invertibile e ha come inversa la funzione esponenziale c = e IE[u(L)] = e log 2 = 2. Data una somma aleatoria L, la differenza fra il valore medio IE(L) e il certo equivalente c(l) associato alla lotteria L, si chiama premio per il rischio per il decisore e si indica con π(l), cioè π(l) = IE(L) c(l). (8.3) Si può dimostrare che il premio di rischio è nullo per ogni lotteria se e solo se la funzione di utilità u(x) è lineare. Il segno del premio di rischio dipende dall atteggiamento del decisore nei confronti del rischio. Se il decisore è avverso al rischio (la sua funzione di utilità è concava), le somme incerte offrono un utilità che è inferiore rispetto a quella del loro valore medio e il premio di rischio risulta positivo. Viceversa, se il decisore è propenso al rischio (la sua funzione di utilità è convessa), le somme incerte sono apprezzate più del loro valore medio e il decisore è disposto a ricevere un importo minore rispetto al valore medio della lotteria pur di partecipare alla lotteria stessa. In ipotesi di regolarità della funzione di utilità u(x), la propensione al rischio richiede che per ogni valore di x si abbia u (x) 0, l avversione al rischio che u (x) 0, l indifferenza al rischio che u (x) = 0. Si osservi che tutte le funzioni di utilità esaminate nel paragrafo precedente, a parte quella lineare, indicano avversione al rischio per ogni valore di x ; questa è in effetti l ipotesi più avvalorata e traduce come abbiamo già avuto modo di vedere l ipotesi di decrescenza dell utilità marginale. 19

20 20 La performance dei fondi comuni Un interessante indicatore per la misurazione dell avversione al rischio del decisore è dato dalla funzione ρ(x) = u (x) u (8.4) (x) detta misura assoluta di avversione al rischio. Naturalmente la funzione ρ(x) è definita solo se u (x) 0 ed è nulla per ogni valore di x se e solo se la funzione di utilità è lineare, mentre è positiva in caso di avversione al rischio e negativa in caso di propensione. La funzione ρ(x) è direttamente collegata con la concavità standardizzata della funzione di utilità u(x) e presenta carattere locale nel senso che misura la concavità di u(x) solamente in un intorno di x. A differenza di u (x), la misura ρ è invariante rispetto a trasformazioni lineari della funzione di utilità. Molto spesso si accetta l ipotesi che la misura assoluta di avversione al rischio sia decrescente. Tale ipotesi, detta anche ipotesi DARA (acronimo dell espressione decreasing absolute risk aversion), in condizioni di regolarità richiede ρ (x) 0. Poichè ρ (x) = u (x)u (x) + [u (x)] 2 [u (x)] 2 (8.5) si ha ρ (x) < 0 solo se u (x)u (x) > [u (x)] 2. Pertanto se u U 2, cioè se u (x) 0 e u (x) 0, allora la condizione u (x) 0 è necessaria per avere ρ (x) 0, cioè l insieme U DARA = {u U 2 : ρ (x) 0} (8.6) è un sottoinsieme di U 3. Esempio 8.3 Si consideri la funzione di utilità u(x) = 4x 3 4x 2 + x definita per x [0, 1/6). Calcolando le derivate u (x) = 12x 2 8x + 1, u (x) = 24x 8 e u (x) = 24 si verifica facilmente che u U 3 x [0, 1/6), ma u / U DARA. Esempio 8.4 Per le funzioni di utilità quadratica u(x) = x ax 2 ( a > 0 ) la funzione di avversione assoluta al rischio è ρ(x) = 2a 1 2ax e quindi ρ (x) = 4a 2 (1 2ax) 2 > 0. Per le funzioni di utilità esponenziali u(x) = 1 e x/a ( a > 0 ) si ha ρ(x) = 1 a ρ (x) = 0. è Il coefficiente di misura assoluta di avversione al rischio per le funzioni expo-potenza ρ(x) = 1 α + αβxα x 20

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