Finanza matematica - Lezione 01

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1 Finanza matematica - Lezione 01 Contratto d opzione Un opzione è un contratto finanziario stipulato al tempo, che permette di eseguire una certa transazione, d acquisto call o di vendita put, ad un tempo ad un prezzo prefissato. Il prezzo di un opzione call al tempo con scadenza in al prezzo di esercizio è indicato come,. Indicando in genere matematicamente: max,0 max,0 avremo:, Dunque al tempo si eserciterà l opzione solo se è positiva, ovvero se. Problema dell investitore Si consideri una seguente linea temporale, riferita ad un soggetto che dispone di una ricchezza che dipende solo dal ricavo in attività finanziarie, e che questo può investire in ogni periodo in consumo e risparmio: 1 1 Il portafoglio,,, detenuto al tempo può essere venduto ed i proventi ripartiti in consumo e risparmio dove il risparmio è di fatto l investimento in un portafoglio di attività finanziarie: Dove abbiamo posto Si consideri ora un generico tempo, in cui si è detto che si consuma e si risparmia. Si consideri che il prezzo corrente dell attività -esima sia dato. In quel periodo, la ricchezza che viene generata e che quindi può essere investita dipende da uno dei possibili scenari futuri, numero di scenari possibili che supponiamo essere in numero finito. Di fatto dunque il soggetto dovrà massimizzare la sua utilità: max,, max,,,,, Tramite le condizioni del prim ordine otteniamo: CPO / )

2 0 CPO / ) CPO / ) da cui si ottiene: dove: Da questa si può ottenere: 0 0 con 1 dove si può indicare la risk neutral probability come: Ne consegue che la precedente può essere riscritta come: dunque l esistenza di un massimo per l individuo ci porta ad individuare una probabilità che ci permette di esprimere i prezzi normalizzati come valore atteso. Avendo assunto che fosse fissato, abbiamo che la precedente può essere riscritta come: In genere vale la seguente relazione: 1,, È noto in statistica che il valore atteso condizionato è la migliore previsione che può essere fatta di avendo il valore di. Ne consegue che il valore della previsione dipenderà dal valore di e cambierà in base a questo. Si supponga dunque di avere un certo numero di eventi,,, disgiunti e tali che. Se capitasse dunque l evento allora avremo che la previsione è. Dato che la previsione dipende da, di fatto il valore atteso condizionato in generale potrà essere espresso come:,,

3 il che mostra come verrà previsto in base al valore osservato corrente. In questo senso ne consegue che il valore atteso condizionato sia una variabile aleatoria, e non un numero come invece era nel caso in cui si avesse un fissato. Se il valore atteso condizionato fosse esattamente uguale al valore osservato presente, allora avremmo un processo di martingala. Abbiamo supposto all inizio che l insieme dei possibili scenari fosse finito. Tale assunzione di fatto è forte e non è confermata dall evidenza empirica. Equazioni differenziali stocastiche SI consideri un equazione differenziale del tipo: Dividendo da entrambe le parti per : integrando: e dunque: ln L equazione trovata di fatto rappresenta il tasso di capitalizzazione composta:, con, Alla precedente equazione differenziale è possibile aggiungere una componente erratica detta white noise: "noise" In questo modo si ottiene una equazione differenziale stocastica. Valore atteso condizionato Sia dato uno spazio di probabilità,,, dove è uno spazio, è una -algenra, ovvero misura di probabilità, ovvero. Il valore atteso può essere scritto come:, e una Perché questo valore atteso possa essere calcolabile occorre innanzitutto che la funzione sia -misurabile, ovvero: : Proprietà del valore atteso sono: - linearità: da cui consegue che se: allora: ovvero teorema di convergenza monotona: vale che, data una famiglia di funzioni,, misurabili, con q.o., allora esiste un limite:

4 lim Il teorema di Levy permette di affermare che: lim lim - teorema della convergenza dominata: vale che, data una famiglia di funzioni,, misurabili, con lim 1, la famiglia è dominata se con: Il teorema di Lebesgue permette di affermare che: lim lim - lemma di Fatou: si definisca il liminf come: lim inf sup inf vale che, data una famiglia di funzioni,, misurabili, con liminf esistente, allora vale che: I precedenti tre teoremi sono equivalenti. lim inf lim inf Una funzione si dice integrabile ovvero appartenente alla classe,, se vale che: Vale in particolare che: con le seguenti proprietà della norma: - allora - disuguaglianza di Minkowski: - 0 se e solo se 01 - completezza: siano due successioni, tale per cui vale il criterio di Cauchy: limsup, 0 ovvero che hanno che la distanza tra due termini della successione all aumentare di tende a 0, allora esiste: 0 dunque esiste un limite, ovvero ogni successione di Cauchy converge. Ciò che a noi interessa è il caso di, che ci permette di caratterizzare la varianza. se, allora avendo,, allora avremo che vale la disuguaglianza di Cauchy-Shwarz:

5 Indichiamo con:, Vale che: Infine vale che: se, 0,

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