Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza"

Transcript

1 Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio il caso TC, e partiamo dalla definizione di trasformata di Fourier di un segnale deterministico x(t): X( f )= x(t)e j2π ft dt Per estendere tale trasformata di Fourier al caso di un segnale aleatorio, è possibile in linea di principio ragionare come fatto in precedenza per l energia e la potenza, calcolando la trasformata di Fourier di ciascuna realizzazione x(t,ω) del segnale: X( f,ω)= x(t,ω)e j2π ft dt (5.) Le trasformate X( f, ω) rappresentano evidentemente le realizzazioni di un segnale aleatorio X( f ) nel dominio della frequenza, che può essere caratterizzato statisticamente estendendo ad esso tutti gli strumenti già definiti per i segnali aleatori nel dominio del tempo. Esempio 5. (trasformata di Fourier di un segnale aleatorio gaussiano) Un caso particolarmente semplice è quello della trasformata di Fourier di un segnale aleatorio gaussiano x(t): per la linearità della trasformata di Fourier, segue che anche X( f ) è un segnale aleatorio gaussiano, che può essere caratterizzato statisticamente calcolandone la media e la funzione di autocorrelazione. Per la media di X( f ),siha [ μ x ( f ) = + ] E[X( f )] = E x(t)e j2π ft dt = E[x(t)]e j2π ft dt = μ x (t)e j2π ft dt

2 52 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza dove si è sfruttata la linearità degli operatori in gioco: si vede allora che la media μ x ( f ) è la trasformata di Fourier della media μ x (t). Con passaggi analoghi (lasciati al lettore come esercizio) è possibile anche esprimere la funzione di autocorrelazione r x ( f, f 2 ) = E[X( f )X ( f 2 )] di X( f ) in termini della funzione di autocorrelazione di x(t). La caratterizzazione nel dominio della frequenza basata sulla (5.) può essere estesa facilmente ai segnali aleatori TD. In generale, però, tale approccio comporta delle difficoltà matematiche relative all esistenza della trasformata di Fourier. Infatti le realizzazioni di un segnale aleatorio TC o TD sono tipicamente dei segnali di potenza, per i quali la trasformata di Fourier non esiste in senso ordinario. Inoltre per calcolare la (5.) è necessario conoscere l espressione analitica delle realizzazioni del segnale aleatorio, informazione spesso non disponibile. Per l analisi nel dominio della frequenza di un segnale aleatorio è possibile seguire una strada alternativa, basata sulla caratterizzazione frequenziale della potenza associata al segnale; la funzione centrale in tale caratterizzazione è la densità spettrale di potenza (PSD) del segnale aleatorio. 5.2 Densità spettrale di potenza (PSD) Partiamo dal caso TC, ricordando che la potenza di un segnale aleatorio x(t) è definita come P x = E[ x(t) 2 ] = lim E[ x(t) 2 ]dt Z + 2Z Z Portando l operatore di media statistica fuori dall integrale, si ha [ Z ] [ P x = lim Z + 2Z E x(t) 2 + ] dt = lim Z Z + 2Z E x Z (t) 2 dt dove si è definito il segnale aleatorio { x(t), t Z ( t ) x Z (t)= x Z (t)=x(t)rect 0, altrimenti 2Z Z (5.2) Notiamo che x Z (t) è una versione finestrata del segnale aleatorio x(t): le sue realizzazioni, essendo nulle al di fuori dell intervallo ( Z,Z), sono segnali di durata rigorosamente limitata e quuindi, sotto condizioni non restrittive, sono segnali sommabili e di energia, per cui la loro trasformata di Fourier X Z ( f ) esiste finita. Applicando a ciascuna realizzazione l uguaglianza di Parseval, valida per segnali di energia, si ha x Z (t) 2 dt = X Z ( f ) 2 d f Sostituendo nella (5.2), si ha allora [ + ] P x = lim Z + 2Z E X Z ( f ) 2 d f = lim = lim Z + 2Z E[ X Z( f ) 2 ]d f Z + 2Z E[ X Z ( f ) 2 ]d f Per questo motivo generalmente la convergenza dell integrale o della serie che definisce la trasformata di Fourier si intende in media quadratica (vedi testi specializzati, ad esempio Papoulis).

3 5.2 Densità spettrale di potenza (PSD) 53 dove si è portata la media statistica ed il limite all interno dell integrale. Ponendo S x ( f ) = lim Z + 2Z E[ X Z( f ) 2 ] la relazione precedente si scrive P x = S x ( f )d f La funzione non negativa S x ( f ) prende il nome di densità spettrale di potenza (power spectral density, PSD); infatti essa integrata su tutte le frequenze restituisce la potenza del segnale. Si può allora dare la seguente definizione: Definizione 5. (densità spettrale di potenza di un segnale TC) Dato un segnale aleatorio x(t), la sua densità spettrale di potenza (PSD) è S x ( f )= lim Z + 2Z E[ X Z( f ) 2 ] dove x Z (t)=x(t)rect ( t 2Z ) è una versione finestrata di x(n). Notiamo che ΔP x ( f )=S x ( f )Δ f si può interpretare come la potenza associata alle componenti frequenziali del segnale x(t) nell intervallo ( f, f + Δ f ). Con un ragionamento al limite, allora, la PSD si può scrivere anche come ΔP x ( f ) S x ( f )= lim Δ f 0 Δ f (5.3) Le derivazioni precedenti si possono estendere con poche modifiche al caso TD. Partendo dalla definizione di potenza di un segnale aleatorio TD P x = E[ x(n) 2 ] = lim K + 2K + K n= K E[ x(n) 2 ] e portando l operatore di media statistica fuori dalla sommatoria, si ha P x = lim K + 2K + E [ K ] x(n) 2 = lim n= K K + [ ] + 2K + E x K (n) 2 n= (5.4) dove x K (n)= { x(n), n K 0, altrimenti x K (n)=x(n)r 2K+ (n + K) Detta X K (ν) la trasformata di Fourier di x K (n) (supposta esistente dato che x k (n) ha durata rigorosamente limitata), applicando l uguaglianza di Parseval nel caso TD si ha + /2 x K (n) 2 = X K (ν) 2 dν n=

4 54 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza Sostituendo nella (5.4), e portando la media statistica ed il limite all interno dell integrale, si ha: [ /2 ] P x = lim K + 2K + E X K (ν) 2 /2 dν = lim E[ X K (ν) 2 ]dν K + 2K + /2 = lim K + 2K + E[ X K(ν) 2 ]dν per cui ponendo si ha S x (ν) = lim K + 2K + E[ X K(ν) 2 ] /2 P x = S x (ν)dν La funzione non negativa S x (ν) è la PSD nel caso TD. Si può allora dare la seguente definizione: Definizione 5.2 (densità spettrale di potenza di un segnale TD) Dato un segnale aleatorio x(n), la sua densità spettrale di potenza (PSD) è S x (ν)= lim K + 2K + E[ X K(ν) 2 ] dove x K (n)=x(n)r 2K+ (n + K) è una versione finestrata di x(n). Si noti che l interpretazione (5.3) della PSD si estende al caso TD con banali cambiamenti di notazione: ΔP x (ν) S x (ν)= lim Δν 0 Δν (5.5) dove ΔP x (ν) è la potenza delle componenti frequenziali del segnale nell intervallo (ν,ν + Δν) Proprietà della PSD La PSD gode di alcune proprietà di semplice dimostrazione: (a) Non negatività: la PSD è una funzione non negativa: S x ( ) 0 (b) Integrazione: l integrale della PSD restituisce la potenza del segnale: S x ( f )d f (caso TC) P x = /2 S x (ν)dν (caso TC)

5 5.2 Densità spettrale di potenza (PSD) 55 (c) Parità per segnali reali: se x( ) è un segnale reale, la PSD è una funzione pari: S x ( ( )) = S x ( ) (d) Periodicità nel caso TD: la PSD di un segnale TD è una funzione periodica di periodo : S x (ν)=s x (ν + ), ν R Le proprietà (a) e (b) discendono direttamente dalla definizione di PSD; per dimostrare la (c), basta osservare che la PSD dipende solo dal modulo della trasformata di Fourier, che è una funzione pari della frequenza per un segnale reale, come conseguenza della simmetria hermitiana; infine, per provare la (d) basta ricordare che la trasformata di Fourier di un segnale TD è una funzione periodica di periodo Teorema di Wiener-Khinchin Il calcolo della PSD basato direttamente sulle definizioni 5. o 5.2 può essere complicato: nella pratica, la PSD di un segnale aleatorio viene calcolata utilizzando il seguente teorema di Wiener-Khinchin, la cui dimostrazione non è complicata ma viene omessa per brevità: Teorema 5. (Wiener-Khinchin) Dato un segnale aleatorio x( ) avente funzione di autocorrelazione media r x ( ), la sua PSD S x ( ) coincide con la trasformata di Fourier di r x ( ). Il teorema di Wiener-Khinchin istituisce una interessante relazione tra la funzione di autocorrelazione media (nel dominio del tempo) e la PSD (nel dominio della frequenza). È importante sottolineare una differenza fondamentale che sorge quando si calcola la PSD di un segnale SSL oppure non SSL: se il segnale aleatorio è SSL, l autocorrelazione media coincide con l autocorrelazione statistica, in quanto quest ultima è funzione solo della variabile ritardo ; in questo caso, la PSD si ottiene trasformando direttamente la funzione di autocorrelazione statistica; se il segnale aleatorio non è SSL, la PSD non si può ottenere trasformando la funzione di autocorrelazione statistica, in quanto quest ultima è funzione di due variabili. In questo caso, è necessario prima determinare la funzione di autocorrelazione media: r x (τ)= r x (t,τ) r x (m)= r x (n,m) (caso TC) (caso TD) e successivamente calcolare la trasformata di Fourier di r x (τ) o r x (m). Gli esempi che seguono illustrano i due differenti procedimenti.

6 56 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza p 2 A 2 /4 S x (ν) S x (f) p q ν f 0 f 0 f Fig. 5.. PSD del processo di Bernoulli. Fig PSD della sinusoide a fase aleatoria. Esempio 5.2 (PSD del processo di Bernoulli) Si tratta di un segnale TD SSS e quindi SSL, con funzione di autocorrelazione media coincidente con la funzione di autocorrelazione statistica (vedi es..3): r x (m)=p 2 + pqδ(m) La trasformata di Fourier di r x (m) si calcola semplicemente ricordando la trasformata della costante e dell impulso ed applicando la proprietà di linearità: S x (ν)=p 2 δ(ν)+pq Tale PSD (Fig. 5.) è la somma di una parte costante (pq) e di un treno di impulsi di area p 2 centrati alle frequenze ν = k Z, dovuti alla presenza di una componente continua (di valore pari a p) nel segnale. Esempio 5.3 (PSD della sinusoide a fase aleatoria) Si tratta di un segnale TC SSL, la cui caratterizzazione sintetica è stata calcolata nell es..2. In particolare la funzione di autocorrelazione statistica dipende solo da τ e coincide pertanto con l autocorrelazione media: r x (τ)= A2 2 cos(2π f 0τ) per cui la PSD vale S x ( f )= A2 4 δ( f f 0)+ A2 4 δ( f + f 0) Si tratta (Fig. 5.2) di una coppia di impulsi aventi area A 2 /4 e centrati alle frequenze ± f 0 ; si noti che sommando le aree dei due impulsi (ovvero integrando la PSD) si ritrova la potenza P x = A 2 /2 della sinusoide. Esempio 5.4 (PSD del segnale NRZ) Il segnale NRZ non è SSL, in quanto la sua funzione di autocorrelazione statistica, ricavata nell es..5, è funzione di due variabili. Per questo motivo, è necessario prima calcolare la funzione di autocorrelazione media, data (vedi es..24) da ( τ ) r x (τ)=a 2 Λ T la cui trasformata di Fourier è la PSD: S x ( f )=A 2 T sinc 2 ( ft) rappresentata graficamente in Fig. 5.3.

7 5.3 Estensione spettrale e banda di un segnale aleatorio S x (f)/s x (0) ft Fig PSD del segnale NRZ. Esempio 5.5 (PSD del rumore bianco) Si consideri rumore bianco a TC o TD (cfr. es. 3.3), avente funzione di autocorrelazione statistica impulsiva: r x ( )=aδ( ) con a > 0. Si tratta di un segnale SSL, per cui la PSD si ottiene trasformando direttamente r x ( ). Siha S x ( )=a ovvero la PSD ha un andamento costante in frequenza. In effetti il termine rumore bianco nasce proprio dall analogia ottica con la caratterizzazione spettrale della luce bianca, composta da radiazioni di uguale intensità a tutte le possibili lunghezze d onda. 5.3 Estensione spettrale e banda di un segnale aleatorio I concetti di estensione spettrale e banda, già visti per i segnali deterministici con riferimento allo spettro di ampiezza X( ) 0, si possono estendere ai segnali aleatori ragionando sulla PSD S( ) 0. In particolare, data la natura stessa della PSD, la definizione più naturale di estensione spettrale è l intervallo di frequenze che contiene una frazione α della potenza P x, che porta alla definizione di banda all α % della potenza. Ad esempio, per un segnale aleatorio reale passabasso x(t), l intervallo W x =( W,W) che contiene una frazione α (0,) della potenza totale P x si può ottenere risolvendo rispetto a W la seguente equazione: P W = W W S x ( f )d f = αp x e la banda bilatera risulta pari a B x = 2W. Un altra definizione di banda comunemente adottata è la banda nullo-nullo, che viene utilizzata per i segnali aventi una PSD a lobi, come mostrato nel seguente esempio. Esempio 5.6 (banda del segnale NRZ) La PSD del segnale NRZ è stata calcolata nell es. 5.4: S x ( f )=A 2 T sinc 2 ( ft) ed è raffigurata in Fig Essa ha il classico andamento a lobi, con primo nullo a frequenze positive in f = /T, per cui la banda nullo-nullo di tale segnale è B x = T 2.

8 58 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza La relazione B x = 2/T dell esempio precedente mostra che anche per i segnali aleatori vale il classico principio di indeterminazione della trasformata di Fourier: si osservi però che, in questo caso, la banda è inversamente proporzionale non alla durata del segnale NRZ (che è infinita), ma (in virtù del teorema di Wiener-Khinchin) alla durata della sua funzione di autocorrelazione media, che dipende a sua volta da T (tempo di segnalazione), il quale misura la rapidità di variazione del segnale NRZ nel dominio del tempo. 5.4 Relazioni ingresso-uscita per la PSD Consideriamo il problema di determinare la PSD dell uscita di un sistema LTI in funzione della PSD dell ingresso. Partiamo dalla relazione tra le funzioni di autocorrelazione media dell ingresso e dell uscita di un sistema LTI (cfr. Teorema 4.3): r y ( )=r h ( ) r x ( ) Per il teorema di Wiener-Khinchin, la PSD è la trasformata di Fourier dell autocorrelazione media, quindi trasformando la precedente relazione nel dominio della frequenza, in virtù della proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier, si ha S y ( )=S h ( )S x ( ) dove S y ( ) e S x ( ) sono le PSD di y( ) ed x( ), mentre S h ( ) = F [r h ( )] Ricordando che r h ( )=h( ) h( ( )), ed applicando ancora la proprietà di convoluzione e quella di riflessione della trasformata di Fourier, si ha S h ( )=F [h( ) h( ( ))] = H( )H( ( )) Se il sistema LTI è reale, allora H( ( )) = H ( ) per la simmetria hermitiana, per cui si ha S h ( )=H( )H ( )= H( ) 2 0 La funzione non negativa S h ( ) prende il nome di densità spettrale di energia (ESD) del segnale h( ). Si noti infatti che la risposta impulsiva di un sistema LTI è generalmente un segnale di energia, e per l uguaglianza di Parseval si ha, nel caso TC E h = h(t) 2 dt = H( f ) 2 d f = S h ( f )d f il che giustifica la denominazione di ESD per la funzione S h ( f ). Nel caso TD, analogamente, si ha E h = + n= /2 /2 h(n) 2 = H(ν) 2 dν = S h (ν)dν È possibile riassumere i precedenti risultati nel seguente teorema:

9 5.4 Relazioni ingresso-uscita per la PSD 59 H(f) 2 H(0) 2 -W eq 0 W eq f 2W eq Fig banda equivalente di rumore di un sistema LTI. Teorema 5.2 (PSD dell uscita di un sistema LTI) Si consideri un sistema LTI reale avente risposta in frequenza H( ), con ingresso x( ) ed uscita y( ). La PSD dell uscita è S y ( )= H( ) 2 S x ( ) Esempio 5.7 (rumore colorato) Si consideri rumore bianco a TC x(t) con PSD S x ( f )=a, con a > 0, applicato all ingresso di un sistema LTI con risposta in frequenza H( f ). La PSD dell uscita sarà S y ( f )= H( f ) 2 S x ( f )=a H( f ) 2 per cui se il filtro non ha risposta in ampiezza costante, il rumore in uscita al filtro non avrà più PSD costante e pertanto non sarà più bianco: un rumore con queste caratteristiche si dirà colorato. Derivazioni e commenti simili valgono nel caso TD. Utilizzando il Teorema 5.2 è possibile calcolare la potenza del segnale in uscita ad un sistema LTI. Nel caso TC, ad esempio, si ha P y = S y ( f )d f = mentre nel caso TD si ha P y = /2 S y (ν)dν = /2 H( f ) 2 S x ( f )d f H(ν) 2 S x (ν)dν Notiamo che, salvo casi particolari, non esiste una relazione diretta tra la potenza dell uscita P y e quella dell ingresso P x. Esempio 5.8 (banda equivalente di rumore di un sistema LTI) Con riferimento all es. 5.7 nel caso TC, la potenza del rumore all uscita di un sistema LTI sollecitato in ingresso da rumore bianco TC con PSD S x ( f )=a è data da P y = S y ( f )d f = a H( f ) 2 d f

10 60 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza Supponendo che H( f ) sia un filtro passabasso (non necessariamente ideale), e ponendo H( f ) 2 d f = H(0) 2 2W eq (5.6) dove H(0) è il guadagno in continua del filtro, si ha P y = a H(0) 2 2W eq Questa relazione esprime semplicemente la potenza del rumore in uscita come prodotto di tre quantità: () la PSD S x ( f )=a del rumore di ingresso; (2) il guadagno in potenza H(0) 2 del filtro; (3) la banda 2W eq. La quantità W eq si ricava dalla (5.6): W eq = + 2 H(0) 2 H( f ) 2 d f e prende il nome di banda equivalente di rumore (monolatera) del sistema H( f ). Essa si può interpretare (Fig. 5.4) come la banda monolatera di un filtro ideale passabasso avente la stesso guadagno in potenza H(0) 2 del sistema in esame e tale che, sollecitato in ingresso da rumore bianco, presenta in uscita la stessa potenza di rumore del sistema in esame.

Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso

Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso Appendice C Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso C.1 Segnali deterministici Un segnale deterministico u(t) con trasformata di Fourier U(f) è un segnale passa-banda se f 0, W, con 0 < W < f 0,

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09. Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è

Dettagli

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Corso di Comunicazioni Elettriche docente: Prof. Vito Pascazio 1 a Lezione: 9/04/003 Sommario Caratterizzazione energetica di processi aleatori Processi

Dettagli

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza rgomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006 Prova scritta 16.02.2006 D. 1 Si derivi l espressione dei legami ingresso-uscita, nel dominio del tempo per le funzioni di correlazione nel caso di sistemi LTI e di segnali d ingresso SSL. Si utilizzi

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza Laboratorio di Telecomunicazioni - a.a. 2010/2011 Lezione n. 7 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza docente L.Verdoliva In questa lezione affrontiamo il problema dell analisi dei segnali tempo

Dettagli

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t)

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004 COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si

Dettagli

Introduzione al Campionamento e

Introduzione al Campionamento e Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo

Dettagli

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Corso di rasmissione Numerica docente: Prof. Vito Pascazio 18 a Lezione: 13/1/4 19 a Lezione: 14/1/4 Sommario rasmissione di segnali PM numerici su

Dettagli

Revisione dei concetti fondamentali

Revisione dei concetti fondamentali Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Argomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei

Dettagli

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2 Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO CAPITOLO RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO. - APPROSSIMAZIONE DI UN SEGNALE Si è detto che un segnale deterministico è rappresentabile analiticamente con una funzione

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI 31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE

IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE CAPITOLO 4 IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE 4.1 - SISTEMA LINEARE NON DISTORCENTE E un sistema lineare che restituisce in uscita una replica indistorta del segnale di entrata, intendendo x(t) y(t) = Ax(t-t 0

Dettagli

Introduzione. Consideriamo la classica caratteristica corrente-tensione di un diodo pn reale: I D. V γ

Introduzione. Consideriamo la classica caratteristica corrente-tensione di un diodo pn reale: I D. V γ Appunti di Elettronica Capitolo 3 Parte II Circuiti limitatori di tensione a diodi Introduzione... 1 Caratteristica di trasferimento di un circuito limitatore di tensione... 2 Osservazione... 5 Impiego

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, Adesso sostituiamo nella

di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, Adesso sostituiamo nella Equazione di Ohm nel dominio fasoriale: Legge di Ohm:. Dalla definizione di operatore di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, dove Adesso sostituiamo nella

Dettagli

Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R.

Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R. Serie di Fourier 1 Serie di Fourier In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigonometrica per le funzioni di periodo π, e ne identifichiamo i coefficienti.

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design)

9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design) 9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design) Nel capitolo 8, sono stati studiati i modello dei filtri IIR di Butterworth, che nei casi di passa-basso e passa-alto sono massimamente piatti alla

Dettagli

III IL RUMORE NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE E DEL TEMPO

III IL RUMORE NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE E DEL TEMPO III IL RUMORE NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE E DEL EMPO 1. Le sequenze casuali nel dominio del tempo e nel dominio delle frequenze Storicamente lo studio delle reti lineari e la trattazione dei segnali nascono

Dettagli

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12

1 Massimi e minimi liberi 1. 2 Massimi e minimi vincolati 7. 3 Soluzioni degli esercizi 12 UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica 1 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Proprieta della () LINEARITA : la della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

Applicazioni dell amplificatore operazionale

Applicazioni dell amplificatore operazionale Capitolo 10 Applicazioni dell amplificatore operazionale Molte applicazioni dell amplificatore operazionale si basano su circuiti che sono derivati da quello dell amplificatore non invertente di fig. 9.5

Dettagli

Successioni di funzioni reali

Successioni di funzioni reali E-school di Arrigo Amadori Analisi I Successioni di funzioni reali 01 Introduzione. In questo capitolo applicheremo i concetti di successione e di serie alle funzioni numeriche reali. Una successione di

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

Valutazione delle impedenze equivalenti nei circuiti con retroazione.

Valutazione delle impedenze equivalenti nei circuiti con retroazione. UNIVERSITÀ DI PADOVA Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione Tesina di Laurea Triennale Valutazione delle impedenze equivalenti nei circuiti con retroazione. -La formula di

Dettagli

METODI MATEMATICI PER LA FISICA

METODI MATEMATICI PER LA FISICA Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Successioni e serie di funzioni

Successioni e serie di funzioni Successioni e serie di funzioni A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara In questa dispensa generalizzeremo la trattazione delle successioni e delle serie al caso in cui i termini delle stesse siano non numeri

Dettagli

Teoria dei Segnali Covarianza, correlazione e densità spettrale di potenza; processi stocastici stazionari

Teoria dei Segnali Covarianza, correlazione e densità spettrale di potenza; processi stocastici stazionari Teoria dei Segnali Covarianza, correlazione e densità spettrale di potenza; processi stocastici stazionari Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it

Dettagli

Laboratorio di Elettrotecnica

Laboratorio di Elettrotecnica 1 Laboratorio di Elettrotecnica Rappresentazione armonica dei Segnali Prof. Pietro Burrascano - Università degli Studi di Perugia Polo Scientifico Didattico di Terni 2 SEGNALI: ANDAMENTI ( NEL TEMPO, NELLO

Dettagli

La dispersione cromatica, Caratterizzazione e cause

La dispersione cromatica, Caratterizzazione e cause La dispersione cromatica, Caratterizzazione e cause Velocità e ritardo di ruppo La velocità di propaazione in fibra deli impulsi che portano i bit è detta velocità di ruppo. Il tempo di propaazione deli

Dettagli

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 13.06.2005. Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 13.06.2005. Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 3.06.005. Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) g(x) z(t) H(f) H(f) y (t) + + y (t) y(t) H(f) = 4 ( e

Dettagli

Prova scritta intercorso 2 31/5/2002

Prova scritta intercorso 2 31/5/2002 Prova scritta intercorso 3/5/ Diploma in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione ora e 45 minuti ) Un elettrone

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Sistema dinamico a tempo continuo

Sistema dinamico a tempo continuo Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili.

16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. 16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. L argomento centrale di questa ultima parte del corso è lo studio in generale della convergenza delle successioni negli spazi

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto

Dettagli

Modellazione e Analisi di Reti Elettriche

Modellazione e Analisi di Reti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Davide Giglio Introduzione alle eti Elettriche e reti elettriche costituite da resistori, condensatori e induttori (bipoli),

Dettagli

7. Trasformata di Laplace

7. Trasformata di Laplace 7. Trasformata di Laplace Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Trasformata di Fourier e segnali causali In questa lezione ci occuperemo principalmente di segnali causali: Definizione 7.1 (Segnali causali)

Dettagli

Complementi sui filtri

Complementi sui filtri Elaborazione numerica dei segnali Appendice ai capitoli 4 e 5 Complementi sui filtri Introduzione... Caratteristiche dei filtri ideali... Filtri passa-basso...4 Esempio...7 Filtri passa-alto...8 Filtri

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Mattia Zanella mattia.zanella@unife.it www.mattiazanella.eu

Mattia Zanella mattia.zanella@unife.it www.mattiazanella.eu mattia.zanella@unife.it www.mattiazanella.eu Department of Mathematics and Computer Science, University of Ferrara, Italy Ferrara, 1 Maggio 216 Programma della lezione Seminario II Equazioni differenziali

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli

SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Definizione di sistema Sistema: Da un punto di vista fisico e un dispositivo che modifica un segnale x(, detto ingresso,

Dettagli

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609

5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609 5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers 100609 sostituscono le pagg. 50-58 (fino alle eq. 5.28) Come già visto è stato scelto l'ellissoide come riferimento planimetrico sul quale proiettare tutti i punti

Dettagli

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Esercizi Teoria dei segnali Prof. Giovanni Schembra Sommario CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI.... ESERCIZIO.... ESERCIZIO... 5.3 ESERCIZIO 3 CONVOLUZIONE...

Dettagli

Esercizi svolti su serie di Fourier

Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizio. (Onda quadra. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione x [, f(x = x [, prolungata a una funzione -periodica su R (d ora in poi denoteremo con

Dettagli

RISONANZA. Introduzione. Risonanza Serie.

RISONANZA. Introduzione. Risonanza Serie. RISONANZA Introduzione. Sia data una rete elettrica passiva, con elementi resistivi e reattivi, alimentata con un generatore di tensione sinusoidale a frequenza variabile. La tensione di alimentazione

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Elementi di sismologia

Elementi di sismologia Elementi di sismologia Sismologia e Rischio Sismico Anno Accademico 2009-2010 Giovanna Cultrera, cultrera@ingv.it Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia Trasformata di Fourier Premessa: l equazione

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

Esercitazione 5 Soluzioni

Esercitazione 5 Soluzioni Esercitazione 5 Soluzioni. (Esercizio 5. del Ross) Sia X una variabile aleatoria la cui densità è c( 2 ) < < 0 altrimenti. (a) Qual è il valore di c? (b) Scrivere la funzione di ripartizione di X. 2. (Esercizio

Dettagli

x u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi

x u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi 0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di

Dettagli

Elaborazione numerica. Teoria dei segnali

Elaborazione numerica. Teoria dei segnali Elaborazione numerica e Teoria dei segnali Raccolta di Esercizi Fiandrino Claudio agosto 00 II Indice I Teoria dei segnali 5 Esercizi di base 7. Esercizio............................. 7. Esercizio.............................

Dettagli

A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali

A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali Appendice A Rappresentazione dei segnali A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali Scomporre una generica forma d onda s(t) in somma di opportune funzioni base è operazione assai comune, particolarmente

Dettagli

INTERFEROMETRO (Michelson)

INTERFEROMETRO (Michelson) S I beam splitter Semispecchio divide il raggio sorgente in due raggi, inviandoli a due specchi distinti: uno fisso e l altro mobile δ (OM - OF) INTERFEROMETRO (Michelson) specchio fisso OF OM + D m specchio

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

Versione 1 Luglio 08 http://www.df.unipi.it/~fuso/dida. Laser a.a. 2007/08 Parte 5 Versione 1

Versione 1 Luglio 08 http://www.df.unipi.it/~fuso/dida. Laser a.a. 2007/08 Parte 5 Versione 1 Scuola di Dottorato t Leonardo da Vinci i a.a. 2007/08 LASER: CARATTERISTICHE, PRINCIPI FISICI, APPLICAZIONI Versione 1 Luglio 08 http://www.df.unipi.it/~fuso/dida Parte 5 Cavità, perdite, gudagno ed oscillazione

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BATOLO PACHINO (S) APPUNTI DI SISTEMI AUTOMATICI 3 ANNO MODELLIZZAZIONE A cura del Prof S. Giannitto MODELLI MATEMATICI di SISTEMI ELEMENTAI LINEAI, L, C ivediamo

Dettagli

IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)

IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO) IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali:

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Funzioni di trasferimento

Dettagli

SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013

SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013 SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco 6--203 Indice Motivazioni........... 3 Definizione........... 3 Errore tipico........... 3 Un osservazione utile...... 3 Condizione necessaria...... 4 Serie armonica.........

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Esercizi svolti di Elettrotecnica

Esercizi svolti di Elettrotecnica Marco Gilli Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino Esercizi svolti di Elettrotecnica Politecnico di Torino TOINO Maggio 2003 Indice Leggi di Kirchhoff 5 2 Legge di Ohm e partitori 5 3 esistenze

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli