Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile/Architettura
|
|
- Aloisio Carella
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile/Architettura Primo Appello del corso di Geometria 2 Docente F. Flamini, Roma, 22/02/2007 SVOLGIMENTO COMPITO I APPELLO Esercizio 1. [8 punti] Nel piano cartesiano R 2, con riferimento cartesiano ortogonale RC(O, E) e coordinate (x 1, x 2 ), sono dati i tre punti non allineati di coordinate, rispetto ad E,: ( ) ( ) ( ) P 1 = P 2 = P 3 = Si considerino tali punti come vertici di un triangolo Λ. (i) Il punto Q che e intersezione delle tre altezze del triangolo Λ viene detto l ortocentro del triangolo Λ. Calcolare le coordinate dell ortocentro di Λ. [5 punti] (ii) Determinare l area di Λ. [3 punti] Svolgimento: (i) Un vettore direttore della retta per P 1 e P 2 e dato da P 2 P 1 = (4, 2). Analogamente, un vettore direttore della retta per P 2 e P 3 e ( 1, 1) e per P 1 e P 3 e (3, 1). Ora dobbiamo considerare, per ogni 1 i j k 3, la retta per P i e perpendicolare alla retta per P j e P k. Le equazioni di queste tre rette sono x 1 x = 0, 3x 1 x 2 9 = 0, 2x 1 x 2 3 = 0. Risolvendo il sistema fra due di queste tre rette troviamo il punto di coordinate x 1 = 6 e x 2 = 9. Poiche tale punto appartiene pure alla terza retta, allora queste sono proprio le coordinate dell ortocentro. (ii) Il segmento P 1 P 2 misura 2 5. La retta per P 1 e P 2 ha equazioni parametriche x 1 = 1 + 4t, x 2 = 2 2t mentre la retta per P 3 e perpendicolare ad essa ha equazioni parametriche x 1 = 2 + 2s, x 2 = 1 + 4s. Il punto di intersezione di tali due rette e il punto H di coordinate (9/5, 3/5), che corrisponde al punto sulla seconda retta relativo al valore del parametro s = 1/10. L altezza di Λ relativa al cateto P 1 P 2 e quindi il segmento P 3 H che misura 5/5. Percio, l area di Λ e a(λ) = 1. Esercizio 2. [10 punti] Nello spazio cartesiano R 3, con riferimento cartesiano ortogonale RC(O, E) e con coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ), sia π R 3 il piano di equazione cartesiana: π : 2x 1 x 2 + x 3 = 4 1
2 2 e sia l R 3 la retta di equazioni cartesiane l : x 1 + x 2 x 3 = x 1 x 2 1 = 0. (i) Scrivere le formule di riflessione rispetto a π. [6 punti] (ii) Determinare le equazioni cartesiane della retta m R 3, che e la retta ottenuta per riflessione della retta l rispetto al piano π. [4 punti] Svolgimento: (i) Sia p = (a, b, c) il punto generico di R 3. Un vettore normale al piano π e il vettore n = (2, 1, 1). Pertanto la retta r, passante per p e perpendicolare a π, ha equazione parametrica vettoriale e quindi equazioni parametriche scalari x = p + tn, x 1 = a + 2t, x 2 = b t, x 3 = c + t. Se imponiamo l intersezione di r con π, si ottiene il valore t 0 = (4 + b c 2a)/6. Quindi, se S π (p) denota il simmetrico di p rispetto a π, esso si ottiene come punto sulla retta r, corrispondente al valore del parametro 2t 0, cioe S π (p) = (a, b, c) + ((4 + b c 2a)/3) (2, 1, 1). In definitiva, le formule di simmetria rispetto a π sono S π ((a, b, c)) = ( a/3+2b/3 2c/3+8/3, 2a/3+2b/3+c/3 4/3, 2a/3+b/3+2c/3+4/3). (ii) Prendiamo due punti su l, ad esempio R = (1, 0, 1) e Q = (0, 1, 1). Dalle formule di simmetria precedenti, si ha che S π (R) = (5/3, 1/3, 4/3) S π (Q) = (8/3, 7/3, 5/3). Percio, un vettore direttore di m e dato da S π (Q) S π (R) = (1, 2, 1). Allora, l equazione parametrica vettoriale di m e data da x = (5/3, 1/3, 4/3) + t(1, 2, 1) e quindi le equazioni parametriche scalari sono x 1 = 5/3 + t, x 2 = 1/3 2t, x 3 = 4/3 t. Queste determinano le equazioni cartesiane di m che sono, ad esempio m : x 1 + x 3 3 = x 2 2x = 0. Esercizio 3. [12 punti] Nel piano cartesiano R 2, con coordinate cartesiane (x 1, x 2 ), e data la conica euclidea C di equazione cartesiana C : 7x x 1 x 2 3x x 1 12x 2 12 = 0.
3 (i) Ridurre la conica C a forma canonica metrica D. Stabilire la classificazione metrica di C e trovare esplicitamente l equazione di D e l isometria che trasforma C in D. [6 punti] (ii) Scrivere le equazioni cartesiane degli eventuali assi di simmetria, dell eventuale centro di simmetria e degli eventuali asintoti della conica C. [4 punti]. (iii) Disegnare C nel riferimento (x 1, x 2 ) di partenza. [2 punti]. Svolgimento: (i) La matrice simmetrica associata alla parte omogenea di grado due della conica C e la matrice Q := ( Poiche det(q) = 96 < 0, allora sicuramente C apparterra alla famiglia delle iperboli. Il polinomio caratteristico di Q e che ha soluzioni ) det(q ti) = t 2 4t 96 t 1 = 12 t 2 = 8. L autovettore, relativo al primo autovalore t 1 = 12, si determina considerando il sistema { 7α 5 3β = 12α 5 3α 3β = 12β che fornisce l autovettore ( 3, 1). Quindi, per la teoria generale sulle matrici simmetriche, l autovettore relativo all altro autovalore t 2 = 8 e sicuramente ortogonale al precedente autovettore. Quindi, la base ortonormale di R 2 costituita da autovettori di Q e ad esempio la base f 1 = ( 3/2, 1/2), f 2 = (1/2, 3/2), scelta in modo tale che sia orientata positivamente. La matrice che trasforma i vettori della base canonica nei vettori di questa nuova base ortonormale e ( ) 3/2 1/2 M := 1/2. 3/2 che e una matrice ovviamente ortogonale. La trasformazione di coordinate e quindi cioe x = My, x 1 = 3/2y 1 + 1/2y 2, x 2 = 1/2y 1 + 3/2y 2. Sostituendo nell equazione di C, e ricordando che le coordinate (y 1, y 2 ) diagonalizzano Q, si trova rapidamente che l equazione della conica C in tali coordinate diventa 12y 2 1 8y y 1 12 = 0.. 3
4 4 Dividendo tutta l equazione per 4, studiamo quindi la conica C : 3y 2 1 2y y 1 3 = 0. Poiche il coefficiente di y 2 e nullo, consideriamo la traslazione y = z + c dove z = (z 1, z 2 ) e c = (α, 0) con α da determinare opportunamente. Sostituendo nella equazione di C si ottiene 3z 2 1 2z (1 + α)z 1 + 3α 2 + 6α 3 = 0. Scegliendo α = 1 allora l equazione della conica diventa e quindi 3z 2 1 2z 2 2 = 6 c = ( 1, 0). Dividendo tutto per 6, si ottiene che C e un iperbole generale a punti reali e che l equazione della sua forma canonica metrica nel riferimento (z 1, z 2 ) e D : z 2 1/2 z 2 2/3 = 1. Da quanto scritto precedentemente, l isometria che porta C in D e data da x = M(z + c) = Mz + Mc. Visto che Mc = ( 3/2, 1/2), le equazioni della isometria sono x 1 = 3/2z 1 + 1/2z 2 3/2, x 2 = 1/2z 1 + 3/2z 2 + 1/2. (ii) Gli asintoti della forma canonica D sono le rette di equazioni cartesiane 3z1 2z 2 = 0, 3z1 + 2z 2 = 0 il centro di simmetria e il punto (z 1, z 2 ) = (0, 0), l asse di simmetria intersecato da D e z 2 = 0 mentre l asse di simmetria non intersecato da D e z 1 = 0. Dalle formule x = Mz + Mc, troviamo che il centro di simmetria di C e quindi x = Mc = ( 3/2, 1/2) che si ottiene per il valore di z = (0, 0). Sempre dalla relazione precedente e ricordando che M e una matrice ortogonale, si ottiene la relazione inversa cioe z = M t x c z 1 = 3/2x 1 1/2x 2 + 1, z 2 = 1/2x 1 + 3/2x 2. Pertanto, i due asintoti di C sono, rispettivamente, (3 2)x 1 ( 3 + 6)x = 0, (3 + 2)x 1 + ( 6 3)x = 0. Analogamente, l asse di simmetria che non viene intersecato da C e 3x1 x = 0,
5 5 mentre quello che viene intersecato da C e x 1 + 3x 2 = 0. (iii) Per disegnare precisamente C basta vedere quali sono le coordinate (x 1, x 2 ) dei punti che corrispondono ai punti, che nel riferimento (z 1, z 2 ), avevano coordinate ( 2, 0) e ( 2, 0); infatti questi erano i punti in cui la conica D intersecava il suo asse (reale) di simmetria. Tali punti, nel riferimento iniziale (x 1, x 2 ) hanno coordinate, rispettivamente, ( 3/2( 2 1), 1/2(1 2)), ( 3/2( 2 + 1), 1/2(1 + 2)). Esercizio 4. [10 punti] Nel piano affine R 2, con coordinate affini (x, y), e data la conica affine C di equazione cartesiana: C : 3x 2 + 6xy + 9y 2 + 4x = 0. (i) Considerando tale piano affine R 2 come la carta affine A 0 di P 2 R, determinare l equazione della chiusura proiettiva C di C in P 2 R. [1 punto] (ii) Classificare la conica proiettiva C dal punto di vista proiettivo e scrivere, in opportune coordinate, l equazione della sua forma canonica proiettiva. [4 punti] (iii) Determinare il tipo di punti impropri della conica affine C e dedurre la classificazione affine di C, scrivendo inoltre in opportune coordinate la sua forma canonica affine. [5 punti] Svolgimento: (i) L equazione della chiusura proiettiva di C, nelle coordinate omogenee [x 0, x 1, x 2 ] di P 2 R e C : 3x x 1 x 2 + 9x x 0 x 1 = 0. (ii) La matrice simmetrica associata a tale conica e : A = Si ha det(a) = Inoltre, banalmente si osserva che [1, 0, 0] C. Pertanto C e una conica proiettiva generale a punti reali. Quindi, in opportune coordinate omogenee, la sua forma canonica proiettiva e z z 2 1 z 2 2 = 0. (iii) I punti impropri di C si trovano risolvendo il sistema che e equivalente a x 0 = 3x x 1 x 2 + 9x x 0 x 1 = 0, x 0 = 3x x 1 x 2 + 9x 2 2 = 0. L equazione omogenea di secondo grado del sistema ha discriminante = > 0.
6 6 Pertanto, tale sistema ammette due punti impropri reali e distinti. Poiche C era a punti reali, anche C = C A 0 e a punti reali. Quindi, la conica affine e un iperbole generale a punti reali. In opportune cordinate affini (z, w), la sua forma canonica affine e z 2 w 2 = 1.
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura Recupero II Esonero/II Appello del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 7/0/008 NORME SVOLGIMENTO
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura Appello Geometria (VO) a.a. 013/14 Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile-Architettura e dell Edilizia SPAZI EUCLIDEI. TRASFORMAZIONI. ORIENTAZIONI. FORMULE DI GEOMETRIA IN R. Docente:
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura II Appello corso di Geometria a.a. /3 Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere
DettagliGeometria 2, a.a. 2006/2007 Ingegneria Edile-Edile Architettura
Geometria 2, a.a. 2006/2007 Ingegneria Edile-Edile Architettura Tutore: Eleonora Palmieri 14 febbraio 2007 Esercizio 1: Si consideri in R 2 la conica Γ : 2x 2 1 + 4x 2 2 + x 1 + 2x 2 = 0. 1. Ridurre Γ
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura I Appello corso di Geometria a.a. 0/3 Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura IV Appello corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 3/7/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi
DettagliGEOMETRIA /2009 II
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edile ed Edile/Architettura IV Appello del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, /9/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi
Dettagli1 Esercizi di ripasso 4
Esercizi di ripasso 4. Determinare k in modo che il piano kx + 2y 6z + = 0 sia parallelo al piano x + y z + = 0. Soluzione. La condizione di parallelismo richiede che ( ) k 2 6 rg = Ne segue che k = e
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria 2
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria A.A. 9-1 - Docente: Prof. A. Verra Tutori: Dott.ssa Paola Stolfi e Annamaria Iezzi Soluzioni Tutorato numero 6 (1 Dicembre
Dettagli(i) Determinare l equazione cartesiana dell unica circonferenza C passante per i tre punti dati.
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Edile/Architettura Esercizi per il corso di GEOMETRIA - a.a. 7/8 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore: Dott. M. Paganin FOGLIO - Esercizi
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura II Appello corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, // NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi
Dettagli2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.
Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) - a.a. 00/0 I Semestre Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Corsi dei Proff. M. BORDONI, A.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL -- Corsi dei Proff. M. BORDONI, A. FOSCHI Esercizio. E data l applicazione lineare L : R 4 R 3 definita dalla matrice A = 3
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura V Appello corso di Geometria a.a. / Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire
DettagliH precedente. Procedendo come sopra, si costruisce la matrice del cambiamento di base
Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 9/1 Commenti ad alcuni esercizi 17 Diagonalizzazione di matrici simmetriche Coniche Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 17 Diagonalizzazione
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
DettagliL algebra lineare nello studio delle coniche
L algebra lineare nello studio delle coniche È possibile utilizzare le tecniche dell algebra lineare per studiare e classificare le coniche. Data l equazione generale di una conica, si considera la sua
DettagliClassificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. 202-203 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 8-02-3 Compito A Corso del Prof. Manlio BORDONI Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori
Dettagli11 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017
PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017 La prova orale deve essere sostenuta entro il 28 Febbraio 2017 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadriche Q di equazione
DettagliAlgebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009
Algebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009 Esercizio 1. Nello spazio vettoriale reale R 3 [x] si considerino l insieme A k = {1 + x, k + (1 k)x 2, 1 + (k 1)x 2 + x 3 }, il vettore v k = k + kx x 3 e la
DettagliCompito di geometria 2 del 21/06/2005
Compito di geometria 2 del 21/06/2005 1 Nel piano euclideo reale E 2 si consideri il fascio di coniche (k + 1x 2 + (k 1y 2 2kx + 2y k 1 = 0 a Classificare e, delle coniche degeneri del fascio, trovare
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliGEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma
DettagliCLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliX = x + 1. X = x + 1
CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y
DettagliGeometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U1-10, 9:00 11:00) [PROVA PARZIALE]1/8
Geometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U-0, 9:00 :00) [PROVA PARZIALE]/8 Correzione 0 () In A 3 (R) siano dati i tre punti A =, B = 0, C =. 0 (a) A B e C sono allineati? Dipendenti? (b) Dimostrare che
DettagliProva scritta di Geometria 1 Docente: Giovanni Cerulli Irelli 20 Gennaio 2017
Prova scritta di Geometria Docente: Giovanni Cerulli Irelli Gennaio 7 Esercizio. Si considerino i seguenti tre punti dello spazio euclideo: P :=, Q :=, R :=.. Dimostrare che P, Q ed R non sono collineari.
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliEsame di geometria e algebra
Laurea Ing. 9 febbraio 2007 Traccia I 1 In R 3 si consideri il sottoinsieme H = {(a, b, 2a + b) a, b R}. Stabilire se H è un sottospazio vettoriale di R 3 e, in caso affermativo, determinarne la dimensione
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) QUADRICHE DI R 3. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliCorso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni
Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni 12 novembre 2009 1 Geometria dello spazio Esercizio 1 Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 08-09 Prova scritta del --09 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Sia k R tale che k > 0, k 4 e sia b k : R
DettagliATTENZIONE: : giustificate le vostre argomentazioni! Geometria Canale 3. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A.
Geometria Canale. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A. Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio 1 7 2 6 6 4 6+1 5 6+2 Totale 1+ ATTENZIONE:
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 26 gennaio 25 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. In R 3, siano dati il punto P = (, 2, 3) e la retta r : (,, ) + t(, 2), t R.. Determinare
Dettagli0 < x 3. A1 1 [7 punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: x 2 mod 5 2x 1 mod 3. x 21 mod 7
Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 017-018 Corso di Laurea in Informatica L-31 Prova scritta di Matematica Discreta 1 CFU 5 Settembre 018 A1 1 [7 punti] Determinare le eventuali soluzioni
Dettagli15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono
Dettagli21 marzo Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliProf. C.F.U. Immatricolato nell A.A...
Prof. C.F.U. Immatricolato nell A.A....... 4 Febbraio 21 Ingegneria...... MATRICOLA...... In caso di esito sufficiente desidero sostenere la prova orale: [ ] in questo appello [ ] nell appello del 18 Febbraio
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 MATEMATICA, 20/09/2011
PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 MATEMATICA, 20/09/2011 In questo elenco, la presenza di esercizi relativi ai singoli argomenti non è correlata alla loro rilevanza, né alla ricorrenza nella prova scritta.
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed
DettagliEsame di GEOMETRIA (Appello del 30 gennaio 2018)
Esame di GEOMETRIA (Appello del 3 gennaio 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano dati i sottospazi di R 4 : W = L, 4, 5 2 2. Scrivere equazioni cartesiane per W. {, U : x +
DettagliGeometria A. Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 2017/ Maggio 2018 Prova Intermedia
Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Maggio 8 Prova Intermedia Il tempo per la prova è di ore. Durante la prova non è permesso l uso di appunti e libri. Esercizio
Dettagliformano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale.
) Mostrare che i 3 vettori v=, u=, w= 3 formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. ) Sia f : R 4 R 4 la seguente applicazione
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA (C.L. Fisica)
19 Dicembre 2003! k k k$ 1) Data la matrice A= # 0 k 1& " 0 1 1% a) Dire per quali valori del parametro k la matrice è invertibile, discutere il sistema AX = b,! x$! 1$ dove X= # y& mentre b == # 1&. "
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Edile ed Edile/Architettura. Geometria Proiettiva Docente F.
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Edile ed Edile/Architettura Geometria Proiettiva Docente F. Flamini CONICHE PROIETTIVE: Classificazione e forme canoniche proiettive Si
DettagliAlgebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008
Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =
DettagliEsame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano Ingegneria informatica Appello 15 Settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola:
Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano Ingegneria informatica Appello 5 Settembre 5 Cognome: Nome: Matricola: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}) 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
Dettagli(h + 1)y + hz = 1. 1 [5 punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: 2x 5 mod 3 3x 2 mod 5.
Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 07-08 Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova scritta di Matematica Discreta ( CFU) 8 Luglio 08 [5 punti] Determinare le eventuali soluzioni del
DettagliI Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio.
I Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio. A [8] Sono date le matrici A M 34 (IR) e b M 31 (IR) A = 1 0 2 2 0 k 1 k, b = 1
Dettagli18 aprile Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliCorso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI
Corso di Geometria, a.a. 009-010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI 5 novembre 009 Leggere i Capitoli 1-18, 0-4 del libro di testo. Tralasciare il Capitolo 19 (Sottospazi affini). 1 Geometria del
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliGEOMETRIA. 17 FEBBRAIO ore. Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi.
GEOMETRIA 7 FEBBRAIO 2009 2 ore Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi. Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nella tabella in questa pagina.
DettagliEsercitazioni del Marzo di Geometria A
Esercitazioni del -5 Marzo di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica AA 07/08 Matteo Bonini matteobonini@unitnit Esercizio Si consideri la matrice 0 A 0 0 0 0 (i Scrivere
DettagliGeometria 1 Prof. Paolo Piazza Secondo esonero. Soluzione.
Geometria Prof. Paolo Piazza Secondo esonero. 5 Giugno 07 Esercizio.. Consideriamo E e l affinità T A,c, T A,c (x) := Ax + c, con A = e c = Determinare sottogruppi propri di Aff (R), G, G, G ed elementi
DettagliCorso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni
Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni 5 novembre 2009 1 Geometria del piano e prodotto scalare Richiami. Il prodotto scalare di due vettori del piano v,
Dettagli2. Nello spazio vettoriale V delle matrici a coefficienti reali di ordine 2 si consideri il sottospazio vettoriale U delle matrici simmetriche (A = A
Esame di Geometria del 19 luglio 2013 Nome: Cognome: Corso di Laurea: 5cf u Giustificare le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Consegnare esclusivamente questi due fogli. 1. In R 3 si considerino
DettagliEsercitazioni del Aprile di Geometria A
Esercitazioni del 4-6-7-8 Aprile di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 7/8 Matteo Bonini matteo.bonini@unitn.it Esercizio Si considerino in E 3 (R) i piani
DettagliUn fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche:
Dettaglia) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene
Esercizi svolti Esercizio 1. Dati i punti: A(1, 1, 0), B( 1, 1, 4), C(1, 1, 3), D(2, 2, 8) dello spazio R 3 a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene
DettagliConiche - risposte 1.9
Coniche - risposte. CAMBI DI COORDINATE ) ) cosπ/) sinπ/). a. Rotazione di π/, la matrice di rotazione è = sinπ/) cosπ/) ) ) ) X = Y X = Quindi le formule sono: cioè: Y = X e inversamente Y = = Y X = b.
Dettagli11 settembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
Dettagli13 gennaio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliLezione 10 27/11/09. = 0 = x y + 2z = 0. Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo. { x y +2z = 0 x z = 0
Lezione 10 7/11/09 Esercizio 1 Nello spazio vettoriale euclideo V 3 sia W il sottospazio generato dai vettori v 1 = 1, 1, 1), v = 0,, 1) Determinare un vettore di W di modulo 3 ortogonale al vettore v
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 11
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi Esercizio. Scrivere la matrice delle seguenti trasformazioni ortogonali del piano (a Proiezione ortogonale sulla retta x + y = (b Rotazione di π/4 seguita da riflessione
DettagliESERCIZI DI RIPASSO, A.A
ESERCIZI DI RIPASSO, A.A. 14-15 Per ogni risposta, segnare V se è vera, F se è falsa. Ogni test viene valutato 3 punti se vengono date tutte e sole le risposte corrette. Altrimenti, la valutazione è 0.
Dettagli10 aprile Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002
Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere
Dettagli15 luglio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
Dettagli... 3) Trovare la distanza tra le rette r : x + 3y 27 = y 2z = 0 e s : 3x + 5z = x + 2y + 2z = 0.
Nome....... Cognome... 0 Gennaio 016 Ingegneria... Matricola... In caso di esito sufficiente, desidero sostenere la prova orale [ ] OGGI (ore 15:00) [ ] Mercoledì 7/01/016 ore 9:00 (l'aula verrà comunicata
DettagliEsame scritto di Geometria I
Esame scritto di Geometria I Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Fisica A.A. 26/27 Appello di febbraio 27 Esercizio Sia f h : R R l applicazione lineare definita da f h (e ) = 2e + (2 h)e
DettagliCorso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria UNO. Prova scritta del 22 gennaio 2015
Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria UNO Prova scritta del 22 gennaio 2015 Cognome Nome Numero di matricola Corso (A o B) Voto ATTENZIONE. Riportare lo svolgimento completo degli esercizi.
DettagliL iperbole. x 2 = 1. a 2 b 2. Si noti che tale equazione è stata ottenuta rispetto ad un riferimento privilegiato, detto RIFERIMENTO CANONICO.
L iperbole Fisso nel piano due punti distinti, F ed F FUOCHI F ed F l insieme: Si dice IPERBOLE di {P R : dist(p ; F ) dist(p ; F ) = a} Se dist(f ; F ) = c, fisso un sistema di assi cartesiano tale che
DettagliA.A. 2010/2011. Esercizi di Geometria II
A.A. 2010/2011 Esercizi di Geometria II Spazi affini, euclidei e proiettivi Preparazione all esame scritto Esercizio 1. Sia A 3 (R) il 3 spazio affine reale numerico dotato del riferimento affine standard
DettagliCoordiante omogenee e proiezioni
CAPITOLO 15 Coordiante omogenee e proiezioni Esercizio 15.1. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l equazione della retta r passante per i punti A(2,) e B( 1,0) e della retta s passante per
DettagliEsame di Matematica 3 (laurea in Matematica) prova scritta del 3 luglio 2008 Compito A
Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica prova scritta del 3 luglio 28 Compito A ESERCIZIO. Si consideri la proiettività, f : P 3 (R P 3 (R, di matrice 3 3 A = 2 3 3 nel riferimento canonico {e,...,
Dettagli3 settembre Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliCdL in Ingegneria Industriale (F-O)
CdL in Ingegneria Industriale (F-O Prova scritta di Algebra lineare e Geometria- 0 Giugno 07 Durata della prova: tre ore. È vietato uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito.
Dettagli