P 1. Area A. P atm P 2. F = (P P atm ) A. Spostamento l. Il Compressore Alternativo

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1 Il Compressore Alternativo Ipotesi : > > atm ; Spostamenti del pistone molto lenti; Serbatoi molto grandi = ( e costanti) Area A atm Forza F = ( atm ) A ( ) ( l 0) A L0 = atm ( ) L = atm A dl ( ) ( 0 l ) A L 0 = atm F F Spostamento l 0 l l

2 Il lavoro totale sarà dunque: L tot = A l atm A l + Adl atm A l + atm A l A l + atm A l ricordando che A l = V ed A l = V ed anche A dl = dv si ha anche: Ltot = V + dv V Si osservi che, come risulta evidente dalla relazione di sopra, la pressione atmosferica è, ai fini del calcolo del lavoro del compressore, assolutamente ininfluente. ertanto il calcolo del lavoro potrebbe essere svolto utilizzando le pressioni relative ( rel = - atm ) e considerando nulla la pressione esterna. Questa considerazione è alla base del Diagramma di Watt rel rel Lavoro negativo rel Lavoro negativo Lavoro positivo Cilindrata V 0 V V Il diagramma di Watt ha in ordinata le pressioni relative ed in ascissa il volume istantaneo del cilindro. Nella fase di introduzione 0- il cilindro produce lavoro verso l esterno (positivo) mentre nella fase di compressione - e nella fase di scarico -0 il cilindro assorbe lavoro dall esterno. E facile osservare dal diagramma che in complesso è necessario fornire lavoro al cilindro per attuare la compressione del fluido di lavoro dal recipiente al recipiente.

3 Si osservi che: ) nella fase di introduzione 0- il sistema è aperto (la massa del sistema varia), pertanto la linea 0- non è una trasformazione a pressione costante ma semplicemente lo spostamento di una certa quantità di materia dal serbatoio al cilindro di lavoro; la valvola mette in comunicazione il cilindro con un ambiente in cui la pressione non può (per ipotesi) cambiare ed inoltre tutte le caratteristiche termodinamiche del fluido (temperatura, volume specifico, Energia Interna, Entalpia, ) non cambiano perché non cambia lo stato del fluido. ) nella fase di compressione - il sistema è chiuso (la massa del sistema non varia), pertanto la linea - è una trasformazione (il cui andamento resta da definire in base alle modalità con cui la trasformazione stessa viene condotta). Si ricordi che, per il calcolo delle variabili e delle funzioni di stato è sempre necessario utilizzare il valore della pressione assoluta. 3) nella fase di estrazione -0 il sistema è aperto (la massa del sistema varia), pertanto la linea -0 non è una trasformazione a pressione costante ma semplicemente lo spostamento di una certa quantità di materia dal cilindro di lavoro al serbatoio ; la valvola mette in comunicazione il cilindro con un ambiente in cui la pressione non può (per ipotesi) cambiare ed inoltre tutte le caratteristiche termodinamiche del fluido (temperatura, volume specifico, Energia Interna, Entalpia, ) non cambiano perché non cambia lo stato del fluido. Ed essendo: ( pv) = p dv v dp d + integrando si ha: [ pv] = pv pv = p dv + v dp nel nostro caso è possibile scrivere: Vd = V V + dv ertanto il lavoro in un sistema aperto è dato dalla somma del lavoro assorbito dal sistema chiuso, aumentato della somma algebrica dei lavori di introduzione e di estrazione del fluido tra l esterno ed il cilindro di lavoro. 3

4 oiché è evidente che una pompa o un compressore non producono lavoro, la presenza del segno negativo è da considerarsi superflua, pertanto nel seguito diremo, invertendo la convenzione sui segni del lavoro: L' = Vd Lavoro tecnico del compressore: E facile notare che l integrale di sopra rappresenta l area interna al ciclo di Watt. rel rel d rel 0 V Cilindrata V er ciò che riguarda il lavoro di compressione (quello che il sistema riceve dall esterno a valvole chiuse), è ovvio che il suo valore dipende dalla trasformazione adottata durante la compressione eseguita dall esterno per portare il gas dalla pressione del serbatoio a quella del serbatoio. rel rel n< n= n> rel 0 Cilindrata V Si può facilmente dimostrare che la trasformazione ideale, ossia quella che assorbe meno lavoro dall esterno, è la compressione isoterma. 4

5 Osserviamo infatti che, rispetto alla politropica isoterma (n=), tutte la politropiche di compressione con indice > (p.es. adiabatica nell aria: n=,4) portano alla pressione in punti come e cioè a temperatura più alta di quella del punto, con evidente aumento dell area del ciclo del compressore. Ciò è dovuto al fatto che il lavoro fornito dall esterno deve servire non solo a portare il gas dalla pressione alla pressione, ma anche a riscaldarlo. E pur vero che l uso di politropiche con indice n < porta a condizioni finali come quelle rappresentate da punti come per i quali vi è una riduzione dell area del ciclo, tuttavia il risparmio è solo apparente perché il punto si trova ad una temperatura più bassa di quella di partenza, per ottenere la quale è necessario ricorre a macchine frigorifere con ulteriore impegno di lavoro meccanico. Si ricordi infatti che il nostro obiettivo è quello di portare un gas da un serbatoio in pressione ad un altro, senza variarne la temperatura; un riscaldamento del gas va considerato come indesiderato perché aumenta la quantità di lavoro da spendere e comporta l uso di costosi sistemi di raffreddamento. Casi particolari: Compressore adiabatico: quando la compressione avviene molto rapidamente (p.es. pompe e compressori centrifughi) l esponente della politropica di compressione può essere assunto pari a k = c p /c v esponente dell adiabatica. In questo caso si ha: dj = TdS + v dp J J = vdp = L' adiab Lavoro del compressore adiabatico, la relazione è valida per qualsiasi gas (anche non perfetto). rimo stadio del compressore: quando il gas da comprimere viene prelevato da un serbatoio che ha la stessa pressione dell ambiente esterno, o direttamente dall ambiente esterno (p.es. compressori per aria), il lavoro (positivo) di introduzione è nullo. Il diagramma di Watt si modifica come in figura. rel rel rel 0 Cilindrata V 5

6 Compressore per liquidi: Nel caso di un compressore alternativo per liquidi, si può facilmente calcolare il lavoro da fornire: poiché infatti il volume specifico v l di un liquido può essere considerato indipendente dalla temperatura e dalla pressione, si ha: rel rel rel 0 pdv 0 L' c = V l = cost ( p p ) v l Cilindrata V Che suggerisce, in un compressore qualsiasi, la presenza di due termini: L' L' c c = Lavoro interno+ Lavoro esterno = pdv + ( p v p v ) 6

7 Il rimo rincipio per i sistemi aperti Consideriamo un sistema aperto, ossia un sistema i cui contorni, che individuano il suo volume di controllo, consentono il trasferimento tra il sistema e l esterno non solo di Energia, sotto forma di Calore e di Lavoro, ma anche di materia Volume di controllo Q Q G u u Essendo: - i e u pressioni esterne costanti sulle sezioni di ingresso e di uscita (possono esserci più sezioni attraverso cui il sistema scambia materia) - d = δq e /δτ ; W = δl e /δτ ; G = dg/dτ Valgono le seguenti convenzioni: G i i W - il lavoro L e è definito come lavoro tecnico positivo se è fatto sul sistema. - il flusso di massa G è considerato negativo se è entrante, positivo se uscente. d, W, G i, G u, i, u sono tutte grandezze variabili nel tempo. Non è possibile applicare il primo principio per i sistemi chiusi, visto che la massa contenuta all interno del volume di controllo può variare nel tempo. i D A A D dξ i Q Q τ W B B u i Q Q τ + dτ W B E u E B dξ u Osserviamo il sistema in un tempuscolo infinitesimo, tra τ e τ+dτ: Il sistema scambia con l esterno : Calore = d dτ Lavoro = W dτ Massa =( G u G i ) dτ Se però, all istante τ si prende in considerazione la massa del sistema contenuto nel volume di controllo insieme alla massa contenuta nel volume AA DD ed all istante τ + dτ la massa del 7

8 sistema contenuto nel volume di controllo insieme alla massa contenuta nel volume BB EE, è facile rendersi conto che la massa complessiva (sistema + materia entrante) all istante τ è eguale a quella complessiva (sistema + materia uscente) all istante τ + dτ. ertanto, tra τ e τ + dτ, il sistema è a massa costante ed è possibile applicare (alla massa totale) il primo principio per un sistema chiuso qualsiasi, che si scrive: e e e ' e δ Q = de + δl ; δq + δl = de con E = U + E + E + E Il termine δl e comprende tutto il lavoro scambiato dal sistema con l esterno, sia quello che entra direttamente W dτ, sia quello che viene fatto dalle pressioni che agiscono sulle superfici di scambio S i = AA e S u = BB, forze che compiono rispettivamente agli spostamenti dξ i e dξ u Cin ot * δl e = W dτ +δl i + δl u Essendo: δl i = i S i dξ i Lavoro entrante cambiato di segno (> 0) δl u = u S u dξ u Lavoro uscente cambiato di segno (< 0) Con riferimento ad un tempuscolo dτ, il primo principio per un sistema aperto può scriversi: d dτ + W dτ + i S i dξ i u S u dξ u = de Detta E E la differenza (infinitesima) tra: - E energia interna totale, somma dell Energia interna E a posseduta dal sistema all istante τ + dτ e dell energia interna E u posseduta dalla massa dg u che tra τ e τ + dτ esce dal sistema. E = E a + dg u E u = E a + E u Gu dτ - E energia interna totale, somma dell Energia interna E a posseduta dal sistema all istante τ e dell energia interna E i posseduta dalla massa dg i che tra τ e τ + dτ entra nel sistema. E = E a + dg i E i = E a + E i Gi dτ ed essendo può scriversi : i S i dξ i = i dv i = i v i dg i = i v i Gi dτ u S u dξ u = u dv u = u v u dg u = u v u Gu dτ d dτ + W dτ = (E a + E u Gu dτ + u v u Gu dτ) (E a + E i Gi dτ + i v i Gi dτ) In un tempuscolo infinitesimo, in un sistema aperto, vale il seguente bilancio tra i flussi di Energia e di materia : d + W = E a E dτ a + Gu (E u + u v u ) Gi (E i + i v i ) 8

9 Ricordando che la differenza (E a E a ), che si riferisce al tempuscolo dτ, è infinitesima e definendo Energia Fluente E f il termine (E +v); E f = (U + v + E cin + E pot + E*) = u * J + z + + E [kg] g si perviene all Equazione generale dei sistema aperti: d + W = E a τ + G u E f u Gi E f i Nel caso particolare di un sistema aperto in regime stazionario si ha : E a = τ G u = G i ed anche 0 Se poi il sistema non possiede le forme di Energia E*, l equazione dei sistemi aperti in regime stazionario, relativa a grandezze specifiche (Massa del sistema = kg) diviene: Q e + L' e = J + z + u g 9

10 Esperienza di Joule-Thomson Volume di controllo T T Abbiamo già esposto le critiche che possono essere mosse all esperienza condotta da Joule per trovare la relazione tra l Energia interna di un gas ed i parametri di stato. Una delle ragioni per ritenere poco attendibili i risultati dell esperienza è basata sulla grande differenza tra la massa del gas assoggettato all espansione libera e la massa dell apparecchiatura che dovrebbe consentire di apprezzare l eventuale variazione di temperatura subita dal gas stesso. Dopo il 843 Joule, su suggerimento di Thomson (Lord Kelvin), costruì l apparecchiatura sperimentale schematizzata in figura. L apparecchiatura consiste di un tubo, termicamente isolato, in cui si fa fluire il gas, costringendolo ad attraversare un setto poroso (porous plug experiment) e quindi assoggettandolo ad un salto di pressione localizzato ai capi del setto. Eventuali variazioni di temperatura subite dal gas nell espandersi dall alta pressione a monte del setto poroso, verso la pressione più bassa a valle del setto poroso possono ora essere rilevate con facilità quando il sistema abbia raggiunto lo stato stazionario, indicato dal fatto che i valori delle pressioni e delle temperature a monte e a valle del setto non variano più nel tempo. La differenza tra questa esperienza e la precedente è che, mentre la prima avveniva facendo cambiare in maniera brusca (con una trasformazione irreversibile) il volume (e quindi la pressione), di una quantità di gas leggero che, per motivi pratici, doveva essere molto piccola, la seconda esperienza può essere condotta facendo fluire una massa di gas grande a piacere, praticamente infinita. Il fenomeno può essere studiato considerando che si tratta di un sistema aperto in regime stazionario; vale pertanto l equazione: u Q e + L' e = J + z + g Con le seguenti condizioni: Q e = 0 il sistema è termicamente isolato verso l esterno; L e = 0 il sistema non riceve lavoro dall esterno attraverso il suo volume di controllo; z = 0 il tubo è orizzontale; (u /g) 0 perché dopo l espansione il volume specifico è aumentato e, per mantenere la stessa portata massica di gas (siamo in regime stazionario), è necessario che la velocità del fluido aumenti dopo aver attraversato il setto. E facile intuire però che la presenza del setto poroso costituisce un notevole ostacolo al moto del gas che fluirà attraverso il setto molto lentamente, soprattutto se la pressione viene mantenuta 0

11 sufficientemente bassa da poter considerare il gas rarefatto. ertanto anche il termine (u /g) può essere considerato nullo. Si faccia attenzione al fatto che, in genere, i valori numerici dei termini meccanici di quota e di Energia cinetica sono molto piccoli a paragone di quelli termici; utilizzando le unità MKS, essi dovranno essere divisi per 47 [kgm/cal] L equazione caratteristica dell Effetto Joule-Thomson (Effetto isoentalpico) è allora: J = 0 Operando con un gas che approssimava le condizioni di un gas perfetto, Joule ritrovò il risultato sperimentale T = T, da cui, essendo : J = U U + V V = U U + R (T T ) = 0 se dall esperienza si ricava T = T si ha anche U = U ed ancora una volta si può affermare che l Energia interna di un gas perfetto è funzione della sola temperatura. Joule utilizzò questo apparato sperimentale per condurre esperienze su molte sostanze e poté constatare che alcuni fluidi si riscaldano nell attraversare il filtro serrato, altri si raffreddano, ma anche che uno stesso fluido, partendo da condizioni iniziali diverse, può aumentare o diminuire la sua temperatura. er chiarire i risultati che l effetto Joule-Thomson ha su un determinato fluido è opportuno cercare di correlare le grandezze termodinamiche interessate (in questo caso l Entalpia) con i parametri termofisici della sostanza che vogliamo sottoporre allo strozzamento isoentalpico. dj = TdS + Vd in questa espressione compare l Entropia che vogliamo esprimere in funzione dei parametri coinvolti nell esperienza, e cioè la Temperatura e la ressione: S = S (T,) S ds = T S dt + T d ; ds = δq T dt S dt + T d ; c S ds = dt + T T d con la IV eq. di Maxwell: V T S = T si ha : c V ds = dt T T d e quindi : c V dj = T dt T T d + Vd ovvero: V dj = cdt + V T T d Nell esperienza di Joule-Thomson si ha che l Entalpia del fluido è la stessa prima e dopo il setto. ertanto, pur non potendosi dire che la trasformazione è isoentalpica, perché non si tratta evidentemente di una trasformazione reversibile, si ha: dt V = T V d c T questa relazione non è un semplice rapporto tra due infinitesimi tra loro indipendenti, ma esprime il legame che c è tra la diminuzione di pressione (l esperienza si conduce infatti facendo espandere

12 il gas) e la variazione infinitesima di Temperatura (positiva, nulla o negativa) che consegue a questa espansione. Visto che l Entalpia del fluido non varia ai capi del filtro serrato, questo rapporto è a tutti gli effetti una derivata parziale della temperatura rispetto alla pressione fatta con il vincolo della costanza dell Entalpia. T J V T T = c V = µ i Il termine µ i prende il nome di Coefficiente di Joule-Thomson Il segno del coefficiente µ i, e quindi l effetto di riscaldamento o di raffreddamento provocato su un fluido dall attraversamento del filtro serrato dipenderà ovviamente dal segno del numeratore, in cui T e V sono certamente positivi, come pure il c che compare a denominatore. Osserviamo che, poiché d è sempre negativo, - µ i > 0 dt < 0 = raffreddamento Se µ i risulta positivo, dt e d hanno lo stesso segno, pertanto dt è negativo ed il fluido si raffredda nell attraversare il filtro serrato - µ i < 0 dt > 0 = riscaldamento Se µ i risulta negativo, dt e d hanno segno opposto, pertanto dt è positivo ed il fluido si riscalda nell attraversare il filtro serrato V Introducendo l espressione del coefficiente di dilatazione isobaro α = V T TαV V V µ i = = ( αt ) c c Nell attraversamento del filtro serrato (strozzamento) il comportamento di un fluido dipende quindi dal segno del termine (αt-), essendo α è il suo coefficiente di dilatazione isobaro. Caso dei Gas erfetti: V = R'T ; V T T = V ; µ i = 0 Caso dei liquidi: I liquidi esibiscono valori di α molto piccoli per cui si ha : αt <<, µ i risulta negativo e quindi: Tutti i liquidi si riscaldano nell attraversare il filtro serrato. Si potrebbe osservare che, pur essendo α molto piccolo, esisterà una temperatura assoluta T inv (Temperatura di inversione) alla quale si ha αt inv = e di conseguenza si avrà µ i = 0. Superato questo valore di temperatura, si avrà αt >, µ i risulterà positivo e l effetto Joule- Thomson si invertirà provocando un raffreddamento del liquido.

13 E facile dimostrare che ciò non può avvenire, perché la temperatura di inversione dell effetto Joule-Thomson di tutti i liquidi è sempre superiore alla loro temperatura critica, ossia a quella temperatura oltre la quale la fase liquida non esiste più. Sostanza α [K - ] T Inv [K] T K [K] Alcool Etilico, Acqua 0, Mercurio 0, Benzene, Eptano, Caso dei Gas reali: I gas reali hanno coefficienti α che dipendono sia da T che da e quindi è possibile che, a partire da condizioni iniziali diverse, lo stesso gas possa presentare comportamenti diversi. Supponiamo allora di fare attraversare ad un gas reale alcuni filtri serrati posti in serie e supponiamo che i salti di pressione ai capi di ciascun filtro siano molto piccoli, come piccola sarà la variazione di Temperatura T (positiva o negativa) che possiamo attenderci come effetto di ogni strozzamento T T 3 T 3 4 T 4 5 T 5 6 T 6 T Raffreddamento T Curva di inversione J Riscaldamento > 0 3 T lim J 0 < 0 T J = µ J 5 J 4 J=cost J i J = 0 Si potrà definire un valore medio del coefficiente di Joule- Thomson ai capi di ciascun filtro serrato: µ i T = Osserviamo che i valori i V i assunti dal gas nei vari punti di equilibrio tra un filtro ed il successivo, devono appartenere alla stessa isoentalpica perché l Entalpia del gas non cambia attraversando i filtri serrati. Le curve sperimentali hanno un andamento simile a quello indicato in figura, esse presentano un massimo dove si ha: J 3

14 Nella zona intorno al massimo il comportamento del gas può essere pertanto ritenuto quello di un gas perfetto. E facile notare infatti che nei punti di massimo, dove la tangente è orizzontale, la curva isoentalpica è anche una isoterma. Storicamente il processo di strozzamento o laminazione, ha offerto il metodo più semplice ed efficace per ottenere il raffreddamento dei gas fino alle temperature alle quali avviene il passaggio di stato da aeriforme a liquido. In figura è rappresentato, in maniera schematica, il funzionamento dell apparecchiatura di Linde per la liquefazione dei gas. In questa macchina il gas compie dei cicli durante i quali viene compresso e fatto passare attraverso una valvola di laminazione e, posto che si sia provveduto ad estrarre il calore della compressione, ad ogni passaggio la sua temperatura diminuisce di una piccola quantità, fino a raggiungere la temperatura di liquefazione. E evidente allora che già la prima laminazione, che avviene alla temperatura dell ambiente (circa 300 K), deve produrre un raffreddamento del gas, quindi le condizioni di ingresso del gas devono trovarsi all interno della zona di raffreddamento. Ciò non avviene per tutti i gas, l idrogeno, per esempio, ha una temperatura massima di inversione, cioè quella temperatura oltre la quale si esce dalla zona di raffreddamento, intorno a 00 K. E quindi necessario portare l'idrogeno al di sotto di questa temperatura (con un altro tipo di frigorifero) prima di poter sfruttare l'effetto Joule-Thomson per raffreddarlo ulteriormente nella macchina di Linde. artendo dalla Temperatura ambiente Si raffreddano Si riscaldano 4

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