Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON"

Transcript

1 Enrio Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI KLEIN-GORDON

2 Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo la Quantizzazione del ampo di Klein-Gordon si inontrano rihiami ai seguenti studi: a) Introduzione alla quantizzazione dei ampi b) Quantizzazione del ampo salare hermitiano ) L equazione di Klein-Gordon d) Il teorema di Nöther he fanno parte di fisiarivisitata e he devono essere ben noti a hi si interessa alla quantizzazione del ampo di Klein-Gordon seguendo la presentazione he di questo argomento viene data in questo studio.

3 Per quantizzare il ampo salare omplesso di Klein-Gordon ψr) seguiremo la proedura traiata nello studio a) e faremo talvolta riferimento alla quantizzazione del ampo salare reale ψr) desritta nello studio omonimo presente in fisiarivisitata. La lagrangiana del ampo è espressa dall eq. 4) dello studio ) he qui risriviamo: L ψ,ψ, ψ ) x, ψ = ψ α x α m 0 i h ψ i h m xα 0 ψ ψ x α = ) ψ m 0 i h ψ i hgαβ xα x m 0ψ ψ β Le espressioni delle oordinate lagrangiane ψ e ψ sono ottenibili seguendo una proedura analoga a quella desritta nelle pag. 5,6,7,8 dello studio a) e orrispondono alle 3) e 4) di quello studio osihé, normalizzate in una satola di volume e dotate di alune ostanti di ui più avanti vedremo l utilità, diventano m 0 ψr) = a)e i R + a )e i R} hω ψ R) = m 0 hω a )e i R + a )e i R} ) Ma nello studio a) si onsidera un ampo ψr) reale, ioè ψr) = ψ R), e quindi a ) = a), mentre ora è ψr) ψ R) 3) perhé ψr) è una variabile omplessa e quindi a ) a). Mettiamo in evidenza questa ondizione ponendo a ) = b) osihé a ) = b ) e inseriamo b ) e b) rispettivamente nelle espressioni di ψ e ψ. Si ottiene: m 0 ψr) = a)e i R + b )e i R} hω ψ R) = m 0 hω a )e i R + b)e i R} 4) Le parti a frequenza positiva delle 4) sono ψ +) R) = m 0 hω a)e i R ; ψ +) R) = m 0 hω b)e i R 5) e quelle a frequenza negativa ψ ) m 0 R) = b )e i R ; ψ ) R) = hω m 0 hω a )e i R 6) e si ha ψ +) = ψ ) ) ; ψ ) = ψ +) ) 3

4 La omponente temporale del 4-vettore momento P è espressa dalla 49) dello studio ) he qui risriviamo: } P 0 = h ψ ψ m 0 t t + ψ ) ψ) + m 0 h ψ ψ dr Tenuto onto del fatto he R = ω t R si ottiene m 0 ψ = i a)e i R b )e i R} hω 7) ψ m 0 = i a )e i R b)e i R} hω m 0 ψ t = ψ t = i ω a)e i R b )e i R} hω m 0 i ω hω a )e i R b)e i R} 8) Inserendo nell espressione di P 0 le 7) e 8) ed effettuando operazioni analoghe a quelle he hanno permesso di ottenere la 6) dello studio b) si ottiene: P 0 = hω a )a) + b)b ) } 9) Ora, in aordo on il punto 5. della proedura di quantizzazione traiata nello studio a), oorre onsiderare le oordinate lagrangiane ψ e ψ ome operatori di ampo funzioni degli operatori a) e b) e si ha osì m 0 ψr) = a)e i R + b )e i R} hω ψ R) = Per analogia on le 45) e 46) dello studio a) si ha m 0 hω a )e i R + b)e i R} 0) [a),a )] = [b),b )] = δ ) [a),b )] = [a ),b )] = [a),b )] = [a ),b )] = 0 ) Con ragionamenti simili a quelli sviluppati a pag. 3 dello studio a) si definisono le seguenti relazioni: a )... n +... = n + ) +... n + )+... 3) a)... n +... = n +...n )+... 4) b )... n... = n + )...n + )... 5) b)... n... = n... n )... 6) 4

5 da ui gli operatori numero di oupazione per i quali valgono le N + ) = a )a) ; N ) = b )b) 7) N + ) n + = n+ n+ ; N ) n = n n 8) Notiamo he gli operatori N + e N si devono intendere riferiti a partielle di due diversi tipi, e peraltro dotate della medesima massa m 0. Lo stato del vuoto è definito da o anhe da a) Ψ 0 = b) Ψ 0 = 0 9) ψ ) R) Ψ 0 = Ψ 0 ψ +) R) = 0 ; ψ ) R) Ψ 0 = Ψ 0 ψ +) R) = 0 0) Possiamo osì srivere P 0 = da ui, tenendo onto delle 7): hω a )a) + b )b) + } ) P 0 E = hω N + ) + N ) + } Per far sparire il termine divergente hω oorre appliare alla 7) la proedura di ordinamento normale v. la pag. 9 dello studio b)). Si ottiene osì l espressione dell operatore assoiato all energia del ampo: E = hω N + ) + N ) } ) Notiamo he l energia E, diversamente da quanto è stato evidenziato nello studio L equazione di Klein-Gordon, è definita positiva. Per iò he riguarda il momento, espresso dalla 48) dello studio ), si ottiene P = h N + ) + N ) } 3) * * * In onseguenza di una trasformazione infinitesima di gauge gli operatori di ampo si trasformano in aordo on la 64) dello studio d) nella quale poniamo a = q / h, essendo q una ostante he potrà essere interpretata ome il valore assoluto della aria elettria di un quanto del ampo ψ R) = ψr) ī h q ψr) ; ψ R) = ψ R) + ī h q ψ R) 4) 5

6 ovvero dψ = ī h q ψ ; dψ = ī h q ψ 5) Si noti he nelle 4), trattandosi di una trasformazione di gauge, le oordinate rimangono invariate. Riprendiamo in onsiderazione la 8) dello studio a) he deve ora essere risritta osì: i h [ψα,q] + ψα x β dxβ = dψ α ; α =, dove Q è un operatore hermitiano assoiato alla aria del ampo. Ponendo ψ = ψ e ψ = ψ, tenendo onto delle 5) e del fatto he dx β = 0 si ha ovvero i h [ψ,q] = ī h q ψ ; i h [ψ,q] = ī h q ψ 6) [Q,ψ] = q ψ ; [Q,ψ ] = q ψ 7) Consideriamo l equazione agli autovalori dell operatore aria Q: Q Ψ q = q Ψ q 8) Moltiplihiamo a destra la prima delle ) per Ψ q : [Q,ψ] Ψ q = Qψ Ψ q ψq Ψ q = q ψ Ψ q Tenendo onto della 8) si ha: Qψ Ψ q = q q )ψ Ψ q 9) e analogamente Qψ Ψ q = q + q )ψ Ψ q 30) Si vede osì he se Ψ q è un autovettore di Q appartenente all autovalore q, allora anhe ψ Ψ q è un autovettore di Q appartenente all autovalore q q ; analogamente ψ Ψ q è un autovettore di Q appartenente all autovalore q + q. Si onlude he l operatore ψ inrementa la aria del ampo della quantità q, mentre ψ la diminuise di una uguale quantità. L espressione dell operatore aria del ampo in funzione degli operatori di reazione e distruzione si ottiene integrando la 5) dello studio ) e sostituendo in essa le 0) e le ψ t = ψ t = m 0 i ω a)e i R b )e i R} hω m 0 i ω a )e i R b)e i R} hω 6

7 osihé Q = j 0 dr = i q h ψ ψ m 0 = i q h m 0, t ψ ψ t m 0 h ω ω ) dr i ω a)e i R + b )e i R) a )e i R b )e i R ) + m 0 h i ω ω ω, ) a )e i R + b)e i R) ) a )e i R b )e i R ovvero da ui Q = i q, iω ω ω a)a )e i ) R a)b )e i+ ) R + +b )a )e i+ ) R b )b )e i ) R ) + + iω ω ω a )a )e i ) R a )b )e i+ ) R + +b)a )e i+ ) R b)b )e i ) R )} dr Q = q, ω ω ω ) a)a ) b)b ) e i ) R + ) a)b ) b)a ) e i+ ) R + ) a )b ) b )a ) e i+ ) R + ) } + a )a ) b )b ) e i ) R dr dr Tenendo presente v. la pag. 6 dello studio b)) he e ±i ) R dr = e ±iω ω )t δ ; e ±i+ ) R dr = e ±iω +ω )t δ ) e riordando la proprietà fondamentale della δ e della δ ) si arriva al seguente risultato: Q = q a)a ) b)b ) + a )a) b )b) } Infine riordando la ), he ora diviene [a),a )] = [b),b )] =, si ottiene Q = q a )a) + b )b) + a )a) b )b) } = q = q a )a) b )b) } a )a) b )b) } 3) 7

8 ovvero, per le 0): N + ) N ) } 3) Q = q Questa è l espressione dell operatore aria del ampo he i eravamo proposti di determinare. Consideriamo ora l azione di Q sul vettore di stato Ψ definito nello spazio di Fo assoiato al sistema di partielle: Q Ψ = q N + ) N ) }... n +...n... = q n + n ) Ψ e quindi Q Ψ = q n + Ψ + q )n Ψ 33) Si vede osì he n india il numero di partielle on aria q partielle propriamente dette) e n + il numero delle partielle on aria + q he hiamiamo antipartielle ). Notiamo he partielle e antipartielle ompaiono naturalmente dal proedimento di quantizzazione del ampo di Klein-Gordon senza he oorra introdurre ipotesi ad ho, di ui un esempio sono le laune e il mare di elettroni ideati da Dira v. le pagg. 58 e 59 dello studio L equazione di Dira ). Per iniso, in questo aso non si potrebbe fare riorso all ipotesi di Dira perhé i quanti del ampo di Klein-Gordon non sono fermioni e periò non sono soggetti al Prinipio di eslusione di Pauli su ui si basa l idea del mare di elettroni. * * * Tenendo onto delle 3), 4), 5) e 6) si può dare la seguente interpretazione fisia degli operatori 0): ψ +) m 0 R) = a)e i+) R distrugge in R una partiella on aria q 34) ω ψ ) m 0 R) = b )e i ) R rea in R una partiella on aria + q 35) ω ψ +) m 0 R) = b)e i+) R distrugge in R una partiella on aria + q 36) ω ψ ) m 0 R) = a )e i ) R rea in R una partiella on aria q 37) ω essendo ± R = ±ω t R). 8

Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE HERMITIANO

Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE HERMITIANO Enrio Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO SCALARE HERMITIANO Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo la Quantizzazione del ampo salare hermitiano si inontrano rihiami ai seguenti studi: a Introduzione

Dettagli

Enrico Borghi L EQUAZIONE DI DIRAC NELLA APPROSSIMAZIONE DI PAULI

Enrico Borghi L EQUAZIONE DI DIRAC NELLA APPROSSIMAZIONE DI PAULI Enrio Borghi L EQUAZIONE DI DIRAC NELLA APPROSSIMAZIONE DI PAULI E. Borghi - L equazione di Dira nella approssimazione di Pauli Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo L equazione di Dira

Dettagli

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO SCALARE REALE

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO SCALARE REALE Enrio Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO SCALARE REALE E. Borghi - Variabili dinamihe del ampo salare reale Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo Le variabili dinamihe del ampo salare

Dettagli

Enrico Borghi INTRODUZIONE ALLA QUANTIZZAZIONE DEI CAMPI

Enrico Borghi INTRODUZIONE ALLA QUANTIZZAZIONE DEI CAMPI Enrio Borghi INTRODUZIONE ALLA QUANTIZZAZIONE DEI CAMPI Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo la Introduzione alla quantizzazione dei ampi si inontrano rihiami ai seguenti studi (a) Le variabili

Dettagli

Spin. La hamiltoniana classica di una particella di massa m e carica q in presenza di un potenziale elettromagnetico (Φ, A) si scrive.

Spin. La hamiltoniana classica di una particella di massa m e carica q in presenza di un potenziale elettromagnetico (Φ, A) si scrive. Spin La hamiltoniana lassia di una partiella di massa m e aria q in presenza di un potenziale elettromagnetio Φ, A si srive Sviluppando il quadrato si ha H = H = p q A 2 + qφ p 2 + A 2 2q A p + qφ 2 Se

Dettagli

Gli integrali indefiniti

Gli integrali indefiniti Gli integrali indefiniti PREMESSA Il problema del alolo dell area del sotto-grafio di f() Un problema importante, anhe per le appliazioni in fisia, è quello del alolo dell area sotto a al grafio di una

Dettagli

Enrico Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UN CORPO CONTINUO

Enrico Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UN CORPO CONTINUO Enrio Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UN CORPO CONTINUO Ci proponiamo di relativizzare l equazione fondamentale della Meania newtoniana per un orpo ontinuo

Dettagli

Gli approcci alla programmazione dinamica: alcuni esempi

Gli approcci alla programmazione dinamica: alcuni esempi Gli approi alla programmazione dinamia: aluni esempi Franeso Menonin February, 2002 Ottimizzazione dinamia Il problema he qui si onsidera è quello di un soggetto he intende massimizzare (o minimizzare)

Dettagli

Enrico Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UNA PARTICELLA

Enrico Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UNA PARTICELLA Enrio Borghi RELATIVIZZAZIONE DELL EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA MECCANICA NEWTONIANA PER UNA PARTICELLA Consideriamo l equazione fondamentale della Meania newtoniana per una partiella di massa m 0 nelle

Dettagli

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI MAXWELL

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI MAXWELL Enrio Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI MAXWELL E. Borghi - Le variabili dinamihe del ampo di Maxwell Rihiami a studi presenti in fisiarivisitata Leggendo Le variabili dinamihe del ampo di Maxwell

Dettagli

G. Parmeggiani 15/5/2017. Algebra e matematica discreta, a.a. 2016/2017, Scuola di Scienze - Corso di laurea: Svolgimento degli Esercizi per casa 5

G. Parmeggiani 15/5/2017. Algebra e matematica discreta, a.a. 2016/2017, Scuola di Scienze - Corso di laurea: Svolgimento degli Esercizi per casa 5 G. Parmeggiani 5/5/7 Algera e matematia disreta, a.a. 6/7, Suola di Sienze - Corso di laurea: parte di Algera Informatia Svolgimento degli Eserizi per asa 5 Si dia quale delle due seguenti posizioni definise

Dettagli

Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione.

Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione. Integrale Indefinito e l Antiderivata Il proesso inverso della derivazione si hiama integrazione. Nota la variazione istantanea di una grandezza p.es. la veloità) è neessario sapere ome si omporta tale

Dettagli

Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica in campo elettromagnetico

Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica in campo elettromagnetico Lagrangiana e Hamiltoniana i una partiella aria in ampo elettromagnetio L equazione el moto i una partiella i massa m e aria q in un ampo elettrio E e magnetio B é t m v = q E + q ) v B 1) NOTA -Nel sistema

Dettagli

Lagrangiana del campo elettromagnetico. Il campo elettromagnetico nel vuoto è descritto dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA)

Lagrangiana del campo elettromagnetico. Il campo elettromagnetico nel vuoto è descritto dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA) Lagrangiana del ampo elettromagnetio Il ampo elettromagnetio nel vuoto è desritto dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA) B = 0 () E = B (2) E = ϱ (3) ɛ 0 B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E L equazione di ontinuità

Dettagli

NOTE SULLE EQUAZIONI DI MAXWELL E IL CORPO NERO

NOTE SULLE EQUAZIONI DI MAXWELL E IL CORPO NERO NOTE SULLE EQUAZIONI DI MAXWELL E IL CORPO NERO G. Martinelli Abstrat Questi appunti ostituisono un sommario delle prinipali formule relative alla trattazione del orpo nero. 1 Le Equazioni di Maxwell Le

Dettagli

Lezioni Combustione 2 7 aprile Abbiamo definito la funzione densità di probabilità (pdf) della componente u x di velocità come:

Lezioni Combustione 2 7 aprile Abbiamo definito la funzione densità di probabilità (pdf) della componente u x di velocità come: Abbiamo definito la funzione densità di probabilità (pdf) della omponente u di veloità ome: pdf (u) d u he per il prinipio di equidistribuzione dell energia di Boltzmann risulta: mu pdf (u ) A ep (- )

Dettagli

CHIMICA FISICA I. Le leggi dei gas

CHIMICA FISICA I. Le leggi dei gas A.A. 2014-2015 Corso di Laurea in CHIMICA INDUSTRIALE CHIMICA FISICA I Le leggi dei gas Lezioni di Chimia Fisia I A.A. 2014-2015 Leggi dei gas - Pagina 1 Un sistema ostituito da un gas puro si omporta

Dettagli

1 La Lagrangiana di una particella in una campo di forze potenziale

1 La Lagrangiana di una particella in una campo di forze potenziale Introduzione alle equazioni di Eulero-Lagrange e ai potenziali generalizzati G.Falqui, Dipartimento di Matematia e Appliazioni, Università di Milano Bioa. Corso di Sistemi Dinamii e Meania Classia, a.a.

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 16 gennaio 2018 Fila 1.

Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 16 gennaio 2018 Fila 1. Corso di Laurea in Ingegneria delle Teleomuniazioni ANALISI MATEMATICA Prova sritta del 6 gennaio 8 Fila. Esporre il proedimento di risoluzione degli eserizi in maniera ompleta e leggibile.. (Punti 5)

Dettagli

Università degli Studi di Teramo Facoltà di Scienze Politiche

Università degli Studi di Teramo Facoltà di Scienze Politiche Università degli Studi di Teramo Faoltà di Sienze Politihe Corso di Laurea in Statistia Lezioni del Corso di Matematia a ura di D. Tondini a.a. 3/4 CAPITOLO II LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI. GENERALITÀ È

Dettagli

Esercizio 1 Scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema bidimensionale di Lagrangiana. = q 2 2q 2. L = q 1 d L. = q 2. = q 1 2q 1.

Esercizio 1 Scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema bidimensionale di Lagrangiana. = q 2 2q 2. L = q 1 d L. = q 2. = q 1 2q 1. 1 4 o tutorato - FM210/MA - 17/4/2017 Eserizio 1 Srivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema bidimensionale di Lagrangiana L(q, q) = q 2 q 1 q 1 q 2 2q 1 q 2 e trovarne espliitamente la soluzione.

Dettagli

Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2)

Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2) Esercizio (tratto dal problema 7.36 del Mazzoldi 2) Un disco di massa m D = 2.4 Kg e raggio R = 6 cm ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω = 0 s. ll istante

Dettagli

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI DIRAC

Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI DIRAC Enrico Borghi LE VARIABILI DINAMICHE DEL CAMPO DI DIRAC Richiami a studi presenti in fisicarivisitata Leggendo Le variabili dinamiche del campo di Dirac si incontrano richiami ai seguenti studi (a) L equazione

Dettagli

Le trasformazioni NON isometriche

Le trasformazioni NON isometriche Le trasformazioni NON isometrihe Sono trasformazioni non isometrihe quelle trasformazioni he non onservano le distanze fra i punti Fra queste rientrano le affinità L insieme delle affinità si può osì rappresentare

Dettagli

Analisi 1 e 2 - Quarto compitino Soluzioni proposte

Analisi 1 e 2 - Quarto compitino Soluzioni proposte Analisi 1 e 2 - Quarto ompitino Soluzioni proposte 23 maggio 2017 Eserizio 1. Risolvere il problema di Cauhy y = x(4 y2 ) y y(0) = α al variare di α R, α 0 Soluzione proposta. Se α = 2 oppure α = 2 abbiamo

Dettagli

Enrico Borghi PARADOSSO DEI GEMELLI

Enrico Borghi PARADOSSO DEI GEMELLI Enrio Borghi PARADOSSO DEI GEMELLI Premessa. In questo studio le definizioni di: - punto-evento; - linea di universo; - tempo proprio; - metria pseudoeulidea oltre he la legge relativistia di omposizione

Dettagli

APPUNTI SULLA RELATIVITA RISTRETTA (2/2) a) Quantità di moto e massa relativistica. b) Seconda legge di Newton ed energia

APPUNTI SULLA RELATIVITA RISTRETTA (2/2) a) Quantità di moto e massa relativistica. b) Seconda legge di Newton ed energia APPUNTI SULLA RELATIVITA RISTRETTA (2/2) 1. Dinamia relativistia a) Quantità di moto e massa relativistia b) Seonda legge di Newton ed energia ) L equivalenza fra massa ed energia d) Unità di misura per

Dettagli

Principi di Fisica - Relatività Speciale; grafici spazio-temporali Carlo Cosmelli 2013

Principi di Fisica - Relatività Speciale; grafici spazio-temporali Carlo Cosmelli 2013 Prinipi di Fisia - Relatività Speiale; grafii spazio-temporali Carlo Cosmelli 0 Definizione dei simboli utilizzati - S(,): Sistema di riferimento inerziale on origine in, e assi (, ); = veloità della lue

Dettagli

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 7

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 7 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 7 24.10.2017 Tensore energia impulso Invarianza di gauge globale Quantizzazione del campo di Dirac Invarianza di gauge locale

Dettagli

Equazione di Boltzmann

Equazione di Boltzmann Capitolo 2 Equazione di Boltzmann 2.1 Fluidineutriollisionaliedintegralediollisione Il omportamento ontinuo di un fluido neutro e quindi la sua dinamia sono determinati dall interazione a livello mirosopio

Dettagli

Fisica dei mezzi trasmissivi Prof. C. Capsoni Prova del 5 luglio 2012

Fisica dei mezzi trasmissivi Prof. C. Capsoni Prova del 5 luglio 2012 Fisia dei mezzi trasmissivi Prof. C. Capsoni Prova del luglio 0 3 4 non srivere nella zona soprastante COGNOME E NOME MTRICOL FIRM Eserizio Un generatore, la ui tensione varia nel tempo ome indiato in

Dettagli

Stati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d.

Stati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d. 1 Stati Coerenti Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana H = 1 m p + 1 m ω x (1) Per semplicitá introduciamo gli operatori autoaggiunti adimensionali

Dettagli

Università di Pisa - Corso di Laurea in Fisica Meccanica Classica a.a. 2013/ Prova Scritta del 18/09/2014

Università di Pisa - Corso di Laurea in Fisica Meccanica Classica a.a. 2013/ Prova Scritta del 18/09/2014 Università di Pisa - Corso di Laurea in Fisia Meania Classia a.a. 013/014 - Prova Sritta del 18/09/014 ISTRUZIONI: LEGGERE ATTENTAMENTE Gli studenti he hanno seguito il orso di Meania Classia dell a.a.

Dettagli

Scrivi l equazione di un iperbole conoscendone i fuochi e la costante ( = differenza costante) 2k.

Scrivi l equazione di un iperbole conoscendone i fuochi e la costante ( = differenza costante) 2k. . ESERCIZI SULL IPERBOLE A partire dall equazione di un iperbole stabilisi quanto valgono I. le oordinate dei vertii e dei fuohi II. la ostante (differenza ostante delle distanze di un punto dai fuohi)

Dettagli

Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio

Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio Descrizione del metodo Il metodo detto variazionale è un metodo approssimato che si usa per ottenere una stima dell energia dello stato fondamentale

Dettagli

Le omotetie. Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi, le equazioni dell'omotetia sono. le equazioni sono ωch

Le omotetie. Nel caso in cui il centro di omotetia O corrisponda con l'origine degli assi, le equazioni dell'omotetia sono. le equazioni sono ωch O Le omotetie Dato un numero reale non nullo h e un punto P del piano l omotetia di rapporto h e entro O è quella trasformazione he assoia a P il punto P' tale he P P OP' = h OP. Se è P(xy) allora P'(hx

Dettagli

L equazione di Schrödinger

L equazione di Schrödinger 1 Forma dell equazione L equazione di Schrödinger Postulato - ψ r, t 0 ) definisce completamente lo stato dinamico del sistema al tempo t 0. L equazione che regola l evoluzione di ψ r, t) deve essere:

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometrihe Definizione Una trasformazione geometria dei punti del piano è una orrispondenza biunivoa tra i punti del piano: ad ogni punto P del piano orrisponde uno e un solo punto P

Dettagli

Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2)

Problema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2) Problema (tratto dal 7.4 del azzoldi Un disco di massa m D e raggio R ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω. ll istante t 0 viene delicatamente appoggiata

Dettagli

Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI DIRAC

Enrico Borghi QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI DIRAC Enrio Borghi QUATIZZAZIOE DEL CAMO DI DIRAC Rihimi studi presenti in fisirivisitt Leggendo l Quntizzzione del mpo di Dir si inontrno rihimi i seguenti studi () L equzione di Dir (b) Le vribili dinmihe

Dettagli

Prova scritta di metà corso venerdì 20 aprile 2007

Prova scritta di metà corso venerdì 20 aprile 2007 Prova sritta di metà orso venerdì 0 aprile 007 Laurea in Sienza e Ingegneria dei Materiali anno aademio 006-007 Istituzioni di Fisia della Materia - Prof. Lorenzo Marrui Tempo a disposizione: ore e 30

Dettagli

L invarianza della velocità della luce. Dai postulati della teoria della relatività alle equazioni di Lorentz. (2) R

L invarianza della velocità della luce. Dai postulati della teoria della relatività alle equazioni di Lorentz. (2) R L inarianza della eloità della lue. Dai postulati della teoria della relatiità alle equazioni di Lorentz. Conferma sperimentale dell inarianza della eloità della lue. Relazioni tra spostamenti e eloità

Dettagli

MOTORI PER AEROMOBILI

MOTORI PER AEROMOBILI MOORI PER AEROMOBILI Cap.2 CICLI DI URBINA A GAS PER LA PRODUZIONE DI POENZA (Shaft power yles) E opportuno suddividere i numerosi tipi di ili di turbina a gas in due ategorie: - ili di turbina a gas per

Dettagli

TEORIE RELATIVISTICHE. Dispensa N. 2 CINEMATICA E DINAMICA RELATIVISTICHE

TEORIE RELATIVISTICHE. Dispensa N. 2 CINEMATICA E DINAMICA RELATIVISTICHE TEORIE RELATIVISTICHE Dispensa N. CINEMATICA E DINAMICA RELATIVISTICHE . CINEMATICA RELATIVISTICA. Trasformazione delle veloità In questo paragrafo useremo le trasformazioni di Lorentz per mettere in relazione

Dettagli

CMP-II Equazioni di Hartree-Fock

CMP-II Equazioni di Hartree-Fock CMP-II Equazioni di Hartree-Fock Dipartimento di Fisica, UniTS 9 marzo 019 1 Equazioni di Hartree-Fock 1.1 Funzioni d onda a singolo determinante di Slater (Fermioni) Consideriamo un Hamiltoniana di Fermioni

Dettagli

LA RELATIVITÀ GENERALE

LA RELATIVITÀ GENERALE CAPITOLO 43 LA RELATIVITÀ GENERALE 1 IL PROBLEMA DELLA GRAVITAZIONE 1 Su piole distanze i vettori aelerazione di gravità in due punti differenti sono pressohé paralleli, mentre su grandi distanze no, e

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIA Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Soluzione del Problema 1 In regime stazionario il ondensatore si omporta ome un iruito aperto, e l induttore ome un ortoiruito. Pertanto, il iruito da analizzare risulta quello mostrato in figura: i 1

Dettagli

Teoria perturbativa semiclassica dell interazione radiazione-materia (parte I : regole di selezione)

Teoria perturbativa semiclassica dell interazione radiazione-materia (parte I : regole di selezione) Teoria perturbativa semilassia dell interazione radiazione-materia (parte I : regole di selezione) (vedi Cohen-Tannoudji II, Capitolo XIII e Complemento AXIII) Abstrat L approio uantistio all interazione

Dettagli

Effetto Zeeman. p q c A) 2. i h ψ t. = Hψ (2)

Effetto Zeeman. p q c A) 2. i h ψ t. = Hψ (2) Effetto Zeeman Effetto Zeeman normale La hamiltoniana di una particella in presenza di un campo elettromagnetico, descritto dal potenziale vettore A e dal potenziale scalare Φ é H = 2M e l euazione di

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 2018/19 - Prova scritta

Corso di Laurea in Ingegneria Robotica e dell Automazione Probabilità e Processi Stocastici (455AA) A.A. 2018/19 - Prova scritta Corso di Laurea in Ingegneria Robotia e dell Automazione Probabilità e Proessi Stoastii (455AA) AA 208/9 - Prova sritta 209-02-5 La durata della prova è di due ore e mezzo Le risposte devono essere giustifiate

Dettagli

Algoritmo di best-fit (o fitting) sinusoidale a 3 parametri ( ) ( )

Algoritmo di best-fit (o fitting) sinusoidale a 3 parametri ( ) ( ) Algoritmo di best-it (o itting) sinusoidale a 3 parametri Supponiamo di disporre della versione digitalizzata di un segnale sinusoidale di ampiezza di pio A, requenza nota, ase assoluta ϕ e on omponente

Dettagli

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 6. Operatore Numero Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano Quantizzazione canonica. Teorema di Noether

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 6. Operatore Numero Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano Quantizzazione canonica. Teorema di Noether Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 6 23.10.2017 Operatore Numero Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano Quantizzazione canonica. Teorema di Noether anno accademico

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE. funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si dice continua in un punto c D se risulta.

FUNZIONI CONTINUE. funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si dice continua in un punto c D se risulta. FUNZIONI CONTINUE funzioni di una variabile: def : Una funzione f(x) definita in un insieme D R si die ontinua in un punto D se risulta Analizza bene la definizione: lim x f ( x) = f ( ) Il punto deve

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017

ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 Eserizi svolti a lezione (diembre 2016) Valutazioni di operazioni finanziarie Eserizio 1. Un titolo on vita

Dettagli

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 7

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 7 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 7 23.10.2018 Quantizzazione canonica. Teorema di Noether Tensore energia impulso Invarianza di gauge globale Quantizzazione

Dettagli

In queste circostanze, si riducono subito a: !!!! B. ˆ z (1) (2)

In queste circostanze, si riducono subito a: !!!! B. ˆ z (1) (2) Onde elettromagntihe Le soluzioni alle equazioni di Mawell sono molte: ne abbiamo viste diverse, es.: il ampo elettrostatio, i ampi (elettrii e magnetii) stazionari nei pressi di un filo on orrente ostante,

Dettagli

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 17 Luglio Traccia di soluzione., e α una fase globale inosservabile. Per il secondo sistema

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 17 Luglio Traccia di soluzione., e α una fase globale inosservabile. Per il secondo sistema ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA 7 Luglio 04 Traccia di soluzione ) Per il primo sistema la funzione d onda è x φ = x k = φ(x) = Ce iα e ik x () dove con k si è indicato l-autostato dell impulso, C è una

Dettagli

Fisica dei mezzi trasmissivi Prof. G. Macchiarella Prova del 28 Febbraio 2013

Fisica dei mezzi trasmissivi Prof. G. Macchiarella Prova del 28 Febbraio 2013 Fisia dei mezzi trasmissivi Prof. G. Mahiarella Prova del 8 Febbraio 013 1 3 4 non srivere nella zona soprastante COGNOME E NOME MTRICO FIRM Eserizio 1 Un generatore, la ui tensione varia nel tempo ome

Dettagli

Note sulla correttezza di RSA e sulla complessità degli attacchi

Note sulla correttezza di RSA e sulla complessità degli attacchi Note sulla orrettezza di RSA e sulla omplessità degli attahi P. Bonatti 21 novembre 2016 1 Rihiami elementari di algebra Elevamento a potenza di binomi Riordiamo la definizione di oeffiiente binomiale:

Dettagli

Linee di Trasmissione: Propagazione per onde

Linee di Trasmissione: Propagazione per onde Linee di Trasmissione: Propagazione per onde v + (z) Rappresentazione shematia di una linea di trasmissione z Definizione matematia dell onda di tensione he si propaga verso la z resente: ω 0 v ( z) =

Dettagli

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/01/2013 FACOLTÀ DI INGEGNERIA ESAME DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meania PROF A PRÁSTARO /0/03 Fig Diso D, ruotante, on rihiamo elastio radiale in un piano vertiale π, e portatore di aria

Dettagli

Appello di Meccanica Quantistica I

Appello di Meccanica Quantistica I Appello di Meccanica Quantistica I Facoltà di Scienze M.F.N. Università degli Studi di Pisa gennaio 007 (A.A. 06/07) Tempo a disposizione: 3 ore. Problemi e per il recupero Compitino I; problemi e 3 per

Dettagli

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO 1 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO nota per il orso di Teleomuniazioni a ura di F. Benedetto G. Giunta 1. Introduzione Il proesso di ampionamento è di enorme importanza ai fini della realizzazione dei dispositivi

Dettagli

E = ŷ E 0 e i(kx ωt)

E = ŷ E 0 e i(kx ωt) Equilibrio osillatore ario radiazione nera Consideriamo dapprima un onda piana, monoromatia e polarizzata linearmente, he attraversi un sottile strato (dx) di dielettrio omogeneo ed isotropo a bassa densità

Dettagli

1 Integrale multiplo di una funzione limitata su di un rettangolo

1 Integrale multiplo di una funzione limitata su di un rettangolo INTEGLE DELLE FUNZIONI DI PIÙ VIBILI INTEGLE MULTIPLO DI UN FUNZIONE LIMITT SU DI UN ETTNGOLO Integrale delle funzioni di più variabili Indie Integrale multiplo di una funzione limitata su di un rettangolo

Dettagli

OSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONALE. Consideriamo una particella sottoposta a una forza armonica di costante mω 2.

OSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONALE. Consideriamo una particella sottoposta a una forza armonica di costante mω 2. 4/7 OSCILLATORE ARMONICO 09/10 1 OSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONALE Lo spazio di Hilbert e l operatore hamiltoniano Consideriamo una particella sottoposta a una forza armonica di costante mω 2. Nello

Dettagli

Esercizi su Autovalori e Autovettori

Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizio n.1 5 A = 5, 5 5 5 Esercizio n.6 A =, Esercizio n.2 4 2 9 A = 2 1 8, 4 2 9 Esercizio n.7 6 3 3 A = 6 3 6, 3 3 6 Esercizio n.3 A = 4 6 6 2 2, 6 6 2 Esercizio

Dettagli

7. Simmetrie 7.1. GRUPPI CONTINUI DI SIMMETRIA

7. Simmetrie 7.1. GRUPPI CONTINUI DI SIMMETRIA 7. Simmetrie Le simmetrie di un sistema meccanico sono la chiave per determinarne il moto. Ad ogni gruppo continuo di trasformazioni ad un parametro, che lascia invariata la lagrangiana, corrisponde infatti

Dettagli

Prova scritta di metà corso mercoledì 12 maggio 2010

Prova scritta di metà corso mercoledì 12 maggio 2010 Prova sritta di metà orso meroledì maggio 00 aurea in Sienza e Ingegneria dei Materiali anno aademio 009-00 Istituzioni di Fisia della Materia - Prof. orenzo Marrui Tempo a disposizione: ora e 55 minuti

Dettagli

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 22 giugno Traccia di soluzione

ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA. 22 giugno Traccia di soluzione ESAME SCRITTO DI FISICA MODERNA giugno 08 Traccia di soluzione ) Ponendo α = /σ ), il valore medio della posizione è + ψ ˆx ψ = dx ψ ˆx x x ψ = dx ψ x)xψx) = α + dx x e αx x 0), ) e con un semplice cambio

Dettagli

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. V ESERCITAZIONE DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/12/2012

FACOLTÀ DI INGEGNERIA. V ESERCITAZIONE DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica PROF. A. PRÁSTARO 21/12/2012 FACOLTÀ DI INGEGNERIA V ESERCITAZIONE DI MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Meania PROF. A. PRÁSTARO 1/1/01 Fig. 1. Diso D, ruotante, on rihiamo elastio radiale in un piano vertiale π, e

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE GEOMETRIA ANALITICA 8 LE CONICHE Tra tutte le urve, ne esistono quattro partiolari he vengono hiamate onihe perhé sono ottenute tramite l intersezione di una superfiie i-onia on un piano. A seonda della

Dettagli

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 7

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 7 Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 7 24.10.2017 Tensore energia impulso Invarianza di gauge globale Quantizzazione del campo di Dirac Invarianza di gauge locale

Dettagli

= M di 1 dt = MI 0ω cos( ωt)

= M di 1 dt = MI 0ω cos( ωt) del ompito di isia 17 febbraio 1 (Pordenone) Elettrodinamia Due bobine sono disposte una di fronte all altra. La loro induttanza mutua è M. 1 - H. L intensità di orrente nella bobina 1 osilla sinusoidalmente

Dettagli

COGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA. METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE (Comunicazioni Elettronica a.a.

COGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA. METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE (Comunicazioni Elettronica a.a. ..................................................................................................................... COGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE

Dettagli

Moto vario elastico: fenomeno del colpo d ariete

Moto vario elastico: fenomeno del colpo d ariete Moto vario elastio: fenomeno del olpo d ariete 1. Desrizione del fenomeno Si onsideri un semplie impianto ostituito da un serbatoio di grande ampiezza in modo tale he in esso il livello di ario rimanga

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Il alolo letterale Monomi Si die ESPRESSIONE ALGEBRICA LETTERALE (o sempliemente espressione algebria) un espressione in ui ompaiono lettere he rappresentano numeri. Esempio: 5 b 4 + 5 1 OSS: QUANDO non

Dettagli

Prova scritta di metà corso mercoledì 23 aprile 2008

Prova scritta di metà corso mercoledì 23 aprile 2008 Prova sritta di metà orso meroledì 3 aprile 008 Laurea in Sienza e Ingegneria dei Materiali anno aademio 007-008 Istituzioni di Fisia della Materia - Prof. Lorenzo Marrui Tempo a disposizione: 1 ora e

Dettagli

Applicazione del principio di conservazione dell energia a sistemi aventi un gran numero di particelle.

Applicazione del principio di conservazione dell energia a sistemi aventi un gran numero di particelle. PRIMO PRINCIPIO DLLA RMODINAMICA In una trasformazione adiabatia: In una trasformazione isoora: L In una trasformazione generia: L (7) (Primo riniio della termodinamia) Aliazione del riniio di onservazione

Dettagli

Università degli studi di Cagliari. Corso di aggiornamento. Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ. - Analisi Limite: Metodo delle Linee di rottura

Università degli studi di Cagliari. Corso di aggiornamento. Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ. - Analisi Limite: Metodo delle Linee di rottura Università degli studi di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Strutturale Corso di aggiornamento Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ RELATORE: Ing. Igino MURA imura@unia.it -6 Giugno 00 - Analisi Limite:

Dettagli

La forma normale di Schur

La forma normale di Schur La forma normale di Schur Dario A Bini, Università di Pisa 30 ottobre 2013 Sommario Questo modulo didattico contiene risultati relativi alla forma normale di Schur, alle sue proprietà e alle sue applicazioni

Dettagli

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 8. Quantizzazione del campo di Dirac Invarianza di gauge locale Quantizzazione del campo elettromagnetico

Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 8. Quantizzazione del campo di Dirac Invarianza di gauge locale Quantizzazione del campo elettromagnetico Interazioni Elettrodeboli prof. Francesco Ragusa Università di Milano Lezione n. 8 25.10.2018 Quantizzazione del campo di Dirac Invarianza di gauge locale Quantizzazione del campo elettromagnetico anno

Dettagli

RICERCA OPERATIVA (a.a. 2018/19) Nome: Cognome: Matricola:

RICERCA OPERATIVA (a.a. 2018/19) Nome: Cognome: Matricola: Sesto appello //9 RICERCA OPERATIVA (a.a. 8/9) Nome: Cognome: Matriola: ) Si onsideri il seguente problema di PL: max x + x x + x x + x x x Si verifihi se la soluzione x = [, ] sia ottima per il problema.

Dettagli

5 febbraio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

5 febbraio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 5 febbraio 015 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 014-15 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/2019. Esercizi 6

ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/2019. Esercizi 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/2019 Eserizi 6 Durata Media Finanziaria (Duration) Eserizio 1. Un titolo in sadenza tra 2 anni paga una edola di

Dettagli

ANGOLI ORIENTA ORIENT TI A

ANGOLI ORIENTA ORIENT TI A ANGOLI OIENTATI DEFINIZIONE CLASSICA DI ANGOLO L angolo è la porzione di piano ontenuta tra due semirette on la stessa origine. A - L origine omune O è detta vertie. a - Le due semirette OA a e OB b sono

Dettagli

EH. Equazioni di Hamilton

EH. Equazioni di Hamilton EH. Equazioni di Hamilton Iniziamo questo capitolo con un osservazione di carattere preliminare. Consideriamo, per esempio, un sistema differenziale costituito da N equazioni ciascuna del secondo ordine,

Dettagli

Analisi dei dati relativi alla diffusione del personal computer nelle imprese

Analisi dei dati relativi alla diffusione del personal computer nelle imprese Anno 005/006 Laurea speialistia in Comuniazione istituzionale e d impresa Insegnamento: valutazione di ampagne di omuniazione Analisi dei dati relativi alla diffusione del personal nelle imprese Introduzione

Dettagli

LA GEOMETRIA CON L EQ.PARAM.DI VAG Le Cicloidi Cap. VIII Pag. 1 CICLOIDE. nel caso si voglia un incremento o decremento di CrC di un valore avremo:

LA GEOMETRIA CON L EQ.PARAM.DI VAG Le Cicloidi Cap. VIII Pag. 1 CICLOIDE. nel caso si voglia un incremento o decremento di CrC di un valore avremo: VIII. LE CICLOIDI LA GEOMETIA CON L EQ.PAAM.DI VAG Le Ciloidi Cap. VIII Pag. CICLOIDE Si onsideri un punto Cr ollegato ad un erhio he rotola senza strisiare sopra una retta, on raggio CrC= e on la ondizione:

Dettagli

Teoria della Dualità: I Introduzione

Teoria della Dualità: I Introduzione Teoria della Dualità: I Introduzione Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 1.2 Maggio 2004 Dualità Per ogni problema PL, detto primale, ne esiste un altro, detto duale, costruito

Dettagli

LA GEOMETRIA CON L EQ PARAMETRICA DI VAG Sp-retta Cap. IV Pag. 1 LA RETTA E IL PIANO

LA GEOMETRIA CON L EQ PARAMETRICA DI VAG Sp-retta Cap. IV Pag. 1 LA RETTA E IL PIANO IV. L A R E T T A NELLO SPAZIO Sp-retta Cap. IV Pag. LA RETTA E IL PIANO Nella formulazione del piano generio si aveva he dato un punto X la distanza CX ( os.dir. = α, β, γ veniva ad essere il segmento

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE E IL TERRITORIO ABSTRACT DELL ELABORATO DI LAUREA. Valutazione del trasporto solido

FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE E IL TERRITORIO ABSTRACT DELL ELABORATO DI LAUREA. Valutazione del trasporto solido UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE E IL TERRITORIO ABSTRACT DELL ELABORATO DI LAUREA Valutazione del trasporto solido in sospensione

Dettagli

Metodi Matematici per la Fisica

Metodi Matematici per la Fisica Metodi Matematici per la Fisica Prova scritta - giugno 0 Esercizio 8 punti) Si consideri la funzione fz) = z sinz) sin[sinz)], si studino e classifichino le singolarità e, di conseguenza, si stabilisca

Dettagli

α µ + m δ α ψ β (x) = 0. (2) Equazione di Dirac La relazione relativistica tra energia ed impulso di una particella libera

α µ + m δ α ψ β (x) = 0. (2) Equazione di Dirac La relazione relativistica tra energia ed impulso di una particella libera 1 Spin 1 2 : l equazione di Dirac Storicamente Dirac trovò la corretta equazione per descrivere particelle di spin 1 2 cercando un equazione relativistica che potesse avere un interpretazione probabilistica

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 2011-2012 Prova scritta del 28-1-2013 TESTO E SOLUZIONI 1. Per k R considerare il sistema lineare X 1 X 2 + kx 3 =

Dettagli

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico

PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. FISICA MODERNA anno accademico PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA FISICA MODERNA anno accademico 007-008 () Sia dato un sistema che può trovarsi in tre stati esclusivi,, 3, e si supponga che esso si trovi nello stato

Dettagli

Invarianza di gauge. Nicola Cabibbo. 15 Gennaio 2000

Invarianza di gauge. Nicola Cabibbo. 15 Gennaio 2000 Invarianza di gauge Nicola Cabibbo 15 Gennaio 2000 Questi fogli integrano la trattazione della invarianza di gauge non abeliana riportata in Mandl e Shaw al paragrafi da 12.3 a 12.6. Procediamo in modo

Dettagli

Relatività e Meccanica Quantistica: concetti e idee. Relativity and Quantum Mechanics: concepts and ideas. Carlo Cosmelli

Relatività e Meccanica Quantistica: concetti e idee. Relativity and Quantum Mechanics: concepts and ideas. Carlo Cosmelli Relatività e Meania Quantistia: onetti e idee Relativity and Quantum Mehanis: onepts and ideas Approfondimenti #3 Relatività Speiale Carlo Cosmelli 1 Relatività Speiale: qualhe alolo e osservazione - Come

Dettagli

Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità

Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità Trasformazioni geometrihe nel piano: dalle isometrie alle affinità Le trasformazioni geometrihe In generale una trasformazione geometria è una orrispondenza biunivoa del piano in sé, ossia assoia ad un

Dettagli

Campi e Particelle. Prima Parte: Campi. Esercizi e Soluzioni

Campi e Particelle. Prima Parte: Campi. Esercizi e Soluzioni Campi e Particelle. Prima Parte: Campi. Esercizi e Soluzioni Alexandre Kamenchtchik Problema No 1 Trovare una soluzione statica (cioè indipendente dal tempo) dell equazione di Klein-Gordon per un campo

Dettagli