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1 Rappresenazione del segnale elerico rifase Gli analizzaori di poenza e di energia Qualisar+ consenono di visualizzare isananeamene le caraerisiche di una ree elerica rifase. Rappresenazione emporale I Qualisar+ visualizzano simulaneamene i segnali di ui gli ingressi. Le misure sono presenae come valori, forme d'onda, rappresenazione sperale oppure come rappresenazione veoriale (dea anche di Fresnel). Rappresenazione sperale Rappresenazione veoriale

2 Rappresenazioni del segnale elerico rifase 1. ensioni rifase Il rasporo dell'energia elerica dal puno di produzione (sorgene) a quello di disribuzione (carico) avviene mediane re conduori. La correne alernaa rifase è uilizzaa soprauo per alimenare gli impiani indusriali. Un circuio rifase riceve re ensioni sinusoidali della medesima frequenza. La disribuzione di ensioni rifase (fig. 1) è composa di 3 conduori di linea e (a vole) di un conduore deo "di neuro". Le misurazioni delle ensioni si effeuano quindi come segue: L1 v 1 () v 2 () v 3 () u 12 () u 23 () u 31 () L2 L3 Neure Neuro Fig. 1: disribuzione rifase delle ensioni A. Equazioni e proprieà associae Il sisema rifase di ensioni rappresenao da v1(), v2() e v3() è definio dalle equazioni segueni: v 1 () = V 1 2 sin(ω.) v 2 () = V 2 2 sin(ω. 2π 3 ) v 3 () = V 3 2 sin(ω. 4π 3 ) In eoria: -- l'ampiezza delle 3 ensioni è uguale, -- i rispeivi sfasameni sono uguali (12 ) -- le ensioni sono perfeamene sinusoidali. Nel caso praico però la eoria non viene mai risconraa. L'enià degli scosameni può essere quanificaa araverso misure del coefficiene di squilibrio e del coefficiene di disorsione armonica. Le ensioni v1(), v2() e v3() sono dee "ensioni di fase" o "ensioni fase-neuro". Le ensioni rilevae ra fasi si dicono "ensioni concaenae". Nel caso in cui i sisemi rifase di ensioni concaenae siano perfei, le equazioni di quese ensioni compose sono definie nel modo seguene: u 12 () = v 1 () v 2 () = V 2 3 sin(ω. + π 6 ) u 23 () = v 2 () v 3 () = V 2 3sin(ω. π 2 ) u 31 () = v 3 () v 1 () = V 2 3sin(ω. + 5π 6 ) L'ampiezza (e il valore efficace) delle ensioni compose è 3 vole maggiore di quella delle ensioni semplici. La somma delle 3 componeni di un sisema rifase simmerico di ensioni è pari a.

3 Rappresenazioni del segnale elerico rifase B. Rappresenazione emporale Un sisema rifase di ensioni di fase isofrequenziali a 5 Hz (fig. 2) si compone di 3 sinusoidi di ensione che si succedono con uno sfasameno di 6,67 ms. Infai, v 1 (), v 2 (), v 3 () 6.67 ms v 1 () v 2 () v 3 () ω. = 2π 3 = 2π 3.ω = 2π = 6, 67ms Fig. 2: sisema rifase di ensioni C. Rappresenazione veoriale V3 3 ω Il sisema rifase di ensioni di fase descrio in precedenza può essere rappresenao su un piano veoriale (fig. 3). La lunghezza dei veori corrisponde all'ampiezza delle sinusoidi che compongono il sisema. In eleroecnica, ciò che più ineressa l'uene sono i valori efficaci, e la rappresenazione veoriale del sisema molo spesso è realizzaa a parire dai valori efficaci delle funzioni sinusoidali. V2 V1 Fig. 3: rappresenazione veoriale di un sisema rifase di ensioni semplici 2. Rappresenazione emporale dei segnali Per la rappresenazione dei segnali elerici si uilizza un oscillogramma. Un segnale è la variazione di una grandezza elerica analogica (ensione o correne) in funzione del empo. Quesi segnali variano in modo coninuo nel empo secondo una legge maemaica. x() Un segnale di ensione o di correne (fig. 4) che varia in funzione del empo può essere caraerizzao da una relazione maemaica del ipo: x() dove x() rappresena il valore del segnale per ogni valore del empo che passa. Per consueudine queso faore è chiamao valore isananeo. Fig. 4: 1 : segnale signal de di ensione o ou di de correne couran Proprieà paricolari x() Segnale periodico Un segnale x() è periodico quando si verifica la relazione seguene: x( +) = x() Il segnale si riproduce idenico a se sesso nel corso del empo. L'inervallo di empo che separa due isani in cui il segnale riprende esaamene le sesse caraerisiche si chiama periodo (fig. 5). 3 Fig. Fig 5: 2 segnale : signal periodico périodique

4 Rappresenazioni del segnale elerico rifase Serie di FOURIER Quando il segnale è periodico ma non sinusoidale e se si verificano alcune condizioni (in genere verificae per i segnali raai abiualmene in eleroecnica), è possibile oenere, con una rasformazione in serie di FOURIER, una rappresenazione emporale composa esclusivamene dalla somma di un segnale coninuo e di segnali sinusoidali la cui frequenza è un muliplo della frequenza del segnale di base. Quesa proprieà è paricolarmene ineressane per ragioni di calcolo (calcolo con numeri complessi) e di rappresenazione (rappresenazione sperale). ale rasformazione si esegue nel modo seguene: Si dia x(), un segnale periodico con periodo. La scomposizione in serie di FOURIER di x() è daa dalla formula seguene: X = 1 X + x() = A 1 cosω + A 2 cos2ω +K+ A n cosnω + con: A n = 2 B 1 sinω + B 2 sin2ω +K+ sinnω = 2 X è chiamao componene coninua del segnale x(); A n e sono coefficieni che rappresenano l'ampiezza delle armoniche di grado n del segnale x() x() d x().cos(n.ω..) d x().sin(n.ω..) d Esempi u() ensione coninua u() = E La ensione u() (fig. 6) non varia nel corso del empo. Non è periodica, quindi non è scomponibile secondo la serie di FOURIER. Correne alernaa sinusoidale (fig. 7) i() = I max sinω Queso segnale è periodico con periodo perché: i() = I max sinω i( +) = I max sin ω( +) [ ] = I max sin(ω + 2π ) = I max sinω i(+) = i() queso segnale è quindi periodico con periodo. Il calcolo della serie di FOURIER di queso segnale non è uile poiché i() è sinusoidale puro. E i() I max Fig. 6: ensione coninua Fig 3 : ension coninue Fig Fig. 4 : 7: Couran correne alernaa alernaif sinusoidale sinusoïdal Correne a segnali reangolari (fig. 8) i() = I sur un une emiperiodo demi période i() = I surun une emiperiodo demi période i() + I /2 - I Fig. 8: segnale reangolare

5 Rappresenazioni del segnale elerico rifase Calcolo della serie di FOURIER Calcolo di I I = 1 2 I d + 2 ( I) d = I /2 /2 I = I = Il risulao di queso calcolo era prevedibile, enuo cono della simmeria in relazione all'asse del empo del segnale i(). Calcolo degli A n A n = 2 /2 I. cos(n. 2π.)d I. cos(n. 2π /2.)d A n = I. 2π.n sin(n. 2π.) /2 sin(n. 2π.) /2 A n = I [ sin(n.π ) sin() sin(n.2π )+ sin(n.π )] 2π.n A n = Calcolo dei = 2 /2 I. sin(n. 2π.)d I. sin(n. 2π /2.)d = 2.I. 2π.n cos(n. 2π.) /2 + cos(n. 2π.) /2 = I [ cos(n.π )+ cos()+ cos(n.2π ) cos(n.π )] π.n = I π.n ( 1)n +1+1 ( 1) n = 2.I 1 ( 1)n π.n Per n pari, è uguale a. Per n dispari, si scrive: = nπ La scomposizione del segnale i() in serie di FOURIER si scrive quindi: i() = sinω + sin3ω + sin5ω +L+ π 3π 5π nπ sinnω (n impaire) dispari) Noa imporane:: Per eseguire il calcolo degli A n e dei, può essere uile scegliere l'origine dei empi in modo da creare una simmeria nella descrizione maemaica del segnale. Quesa operazione può consenire una noevole semplificazione dei calcoli. Rappresenazione emporale Con la serie calcolaa in precedenza, è possibile ricosruire il segnale originale con maggiore o minore precisione. I i() Solo con il primo ermine (fig. 9): i() = π sinω Queso primo ermine è anche deo "fondamenale". Con i primi due ermini: i() = sinω + π 3π sin3ω Fig. 9: i() rappresenao dal suo fondamenale Con i primi re ermini: i() = π sinω + sin3ω + 3π 5π sin5ω Più ermini della serie si aggiungono, più il segnale ricomposo si avvicinerà al segnale originale.

6 Rappresenazioni del segnale elerico rifase 3. Rappresenazione veoriale dei segnali Con la rappresenazione di Fresnel uilizzao è possibile sfruare le operazioni veoriali, più agevoli delle operazioni sulle funzioni seno e coseno. La rappresenazione veoriale di correne-ensione in regime sinusoidale è un modo per conservare solo uno sfasameno e un'ampiezza del segnale. È anche possibile oenere queso risulao araverso l'uso dei numeri complessi. A. Corrispondenza emporale-veoriale La rappresenazione veoriale è possibile esclusivamene per i segnali sinusoidali. Si consideri il segnale sinusoidale x() dao dalla relazione seguene: x() = X sin(ω +ϕ) X è l'ampiezza del segnale sinusoidale x() ω è la pulsazione del segnale sinusoidale x() φ è la fase rispeo all'origine del segnale sinusoidale x() Quesa rappresenazione si basa sulla corrispondenza, ra un veore di ampiezza X in roazione alla velocià ω inorno a un puno di origine O, di queso sesso segnale su un asse dei empi (fig. 1). φ è la fase all'origine (per = ).!" L'angolo percorso dal veore X relaivamene all'asse di origine Ox è uguale a (ω+φ). Il periodo è dao dalla relazione seguene: = 2π ω x() ) O x X Fig. 1: corrispondenza ra il veore X e il segnale x() B. Rappresenazione di FRESNEL i() R Quando ci si accinge a sudiare dei segnali sinusoidali (correne e ensione) relaivi a uno sesso circuio, è consueudine uilizzare una rappresenazione veoriale dea rappresenazione di FRESNEL. Le grandezze sinusoidali presenano la sessa pulsazione, solo le ampiezze e le fasi iniziali sono diverse. Una rappresenazione dei veori per un isane dao è quindi sufficiene per raare i problemi (fig. 11). Si prende, in generale, come riferimeno l'origine dei empi ( = ). u() L Fig. 11: circuio (R, L) Esempio 1: circuio con reaanza u() =U max sinω. in regime permanene la correne i() è uguale a: U i() = U MAX R 2 + (Lω) 2 sin(ω ϕ) con gϕ = Lω R I ϕ In una rappresenazione di FRESNEL (fig. 12), la ensione e la correne sono rappresenae dai veori! U e! I : Si noi che l'angolo φ è sempre, per convenzione, orienao dalla correne verso la ensione. Fig. 12: Rappresenazione veoriale

7 Rappresenazioni del segnale elerico rifase Esempio 2: sisema rifase di ensioni Dao il sisema rifase di ensioni rappresenao dalle equazioni segueni: v 1 () = V max sinω. v 2 () = V max sin(ω. 2.π 3 ) v 3 () = V max sin(ω. 4.π 3 ) In fig. 3, la rappresenazione veoriale (di FRESNEL) di queso sesso sisema rifase. V 3 12 V V 1 Fig. 13: rappresenazione veoriale di un sisema rifase di ensioni 4. Rappresenazione sperale dei segnali Un segnale periodico non sinusoidale è più complesso; può conenere una moliudine di frequenze. Il suo spero fornisce quindi informazioni sulle diverse componeni frequenziali che coniene. Lo spero di un segnale è la rappresenazione in funzione delle frequenze delle diverse componeni preseni nel segnale. Quando un segnale x() è periodico ma non sinusoidale e caraerizzao da deerminae proprieà maemaiche (in genere verificae per i segnali raai abiualmene in eleroecnica), è possibile oenere, araverso una rasformazione in serie di FOURIER, una rappresenazione emporale composa esclusivamene da un segnale coninuo e da segnali sinusoidali le cui frequenze sono mulipli della frequenza del segnale di base. Quesa proprieà è molo ineressane per rappresenare il segnale facendo emergere la frequenza e l'ampiezza delle diverse componeni sinusoidali dae dal calcolo della scomposizione in serie di FOURIER. Nel caso di un segnale sinusoidale puro (fig. 14) descrio dall'espressione seguene: x() = X sinω. vediamo apparire un'ampiezza X per un segnale sinusoidale di pulsazione ω (o di frequenza f). Quese due informazioni, molo imporani sul piano dell'analisi della ree, possono essere riporae su un grafico nel quale figurano sulle ordinae l'ampiezza della sinusoide, menre la frequenza è indicaa sull'asse delle ascisse. Quesa è la rappresenazione sperale del segnale x() (fig. 15). x() X X Ampiezza Ampliude Fig. 14: segnale sinusoidale 1 fréquence Frequenza f = Fig. 15: spero del segnale x()

8 Rappresenazioni del segnale elerico rifase Esempio: segnale reangolare i() Una correne i() è descria dalla funzione maemaica seguene: + I i() = II sur un une emiperiodo demi période i() = I I sur une emiperiodo demi période /2 La figura 16 fornisce una rappresenazione emporale di i(). Il calcolo della serie di FOURIER di queso segnale i() fornisce la seguene: i() = sinω + sin3ω + sin5ω +!+ π 3π 5π nπ sinnω (n (ndispari) impaire) Queso segnale non presena componeni coninue, ma è composo da: - un segnale sinusoidale di frequenza f (quella del segnale di base) di ampiezza - un segnale sinusoidale di frequenza 3f di ampiezza 3.π - un segnale sinusoidale di frequenza 5f di ampiezza 5.π - Quesa descrizione consene di sabilire la rappresenazione sperale (o armonica) seguene (fig. 17): π - I Ampliude Ampiezza des delle composanes componeni harmoniques armoniche! Fig. 16: segnale reangolare f=1/ 3f 5f 7f Fig. 17: rappresenazione sperale Frequenza fréquence Gli analizzaori di poenza e della qualià dell'energia della linea Qualisar+ consenono la visualizzazione di ue le rappresenazioni descrie Ed. 1-7/215 - Documeno non conrauale. IALIA AMRA SpA Via San Ambrogio, MACHERIO (MB) el: Fax: SVIZZERA Chauvin Arnoux AG Moosachersrasse AU / ZH el: Fax:

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