Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva.

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1 2. Stabilità Uno dei requisiti più importanti richiesti ad un sistema di controllo è la stabilità, ossia la capacita del. sistema di raggiungere un stato di equilibrio dopo la fase di regolazione. Per comprendere il concetto di stabilità si consideri il sistema rappresentato in figura 1, costituito da un condensatore e da un generatore di corrente costante (sollecitazione limitata). Il sistema è instabile perché la tensione ai capi del condensatore (risposta) non è limitata ma tende all'infinito quando t (si ricorda che un condensatore è sottoposto a una scarica distruttiva quando la tensione ai suoi capi supera la tensione di lavoro). II sistema rappresentato in figura 2, invece, è stabile quando è sollecitato da un gradino di tensione di ampiezza minore della tensione di lavoro del condensatore. Al termine della fase transitoria, infatti, la tensione ai capi del condensatore è uguale al valore della sollecitazione applicata. figura 1 figura 2 Dagli esempi fatti si trae la seguente definizione di stabilità: un sistema lineare, invariante nel tempo e con condizioni iniziali nulle, è stabile se la sua risposta è limitata in corrispondenza di una qualsiasi sollecitazione limitata, altrimenti è instabile (stabilità BIBO, bounded input- bounded output, ingresso limitato - uscita limitata). La stabilità di un sistema può essere studiata, come sì vedrà, nel dominio del tempo o in quello della frequenza. Nel primo caso la stabilita del sistema si ricava osservando la risposta nel dominio del tempo o, più semplicemente, la posizione dei poli nel piano complesso s, mentre nel secondo caso è sufficiente tracciare i diagrammi di Bode della funzione di trasferimento ad anello aperto del sistema Posizione dei poli nel piano complesso s e stabilità Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva. Un sistema lineare, invariante nel tempo e con condizioni iniziali nulle, è stabile o asintoticamente stabile se la sua risposta è limitata o tende a zero in corrispondenza di una qualsiasi sollecitazione di durata limitata, altrimenti è instabile. Sebbene sia possibile dimostrare che la risposta di un sistema lineare e invariante nel tempo non dipenda dall'ampiezza dell'impulso ne dall'istante in cui esso viene applicato, di pag. 1 di 5

2 seguito si fa riferimento ad un sistema retroazionato sollecitato da un impulso di Dirac. Si dimostra che la trasformata della risposta di un sistema lineare dipende solo dalla funzione di trasferimento quando esso è sollecitato da un impulso di Dirac la cui trasformata di Laplace è 1: figura 3 Considerato che la funzione di trasferimento ad anello chiuso.w(s) dipende solo dalla natura del sistema in esame e non dalla forma della sollecitazione ad esso applicata, si può affermare che la stabilità è una caratteristica intrinseca della struttura del sistema. Per verificare se un sistema è stabile o meno, dunque, è necessario ricavare le radici dell'equazione ottenuta eguagliando a zero il denominatore della formula di figura 3: 1+G (s ) H(s) = 0 (1) La (1) è detta equazione caratteristica e la sua soluzione fornisce i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso. Si dimostra che un sistema sollecitato da un impulso di Dirac è stabile o instabile a seconda del valore dei poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso. 1) Un sistema e stabile asintoticamente se tutti i poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso W(s) sono reali negativi o complessi coniugati a parte reale negativa. In tal caso la risposta u(t) 0 quando t (figura 4). figura 4 2) Un sistema è marginalmente stabile se la funzione di trasferimento ad anello chiuso ha un solo polo nell'origine e i rimanenti poli sono negativi, se reali, o a parte reale negativa, se complessi coniugati. In tal caso la risposta u(t) tende ad un valore costante quando t figura 5 3)Un sistema è marginalmente stabile se la funzione di trasferimento ad anello chiuso ha una coppia di poli complessi coniugati a parte reale nulla e i rimanenti poli sono pag. 2 di 5

3 negativi, se reali, o a parte reale negativa, se complessi coniugati. In tal caso la risposta è una oscillazione di ampiezza costante quando t (frgura 6). figura 6 4) Un sistema è instabile Se la funzione di trasferimento ad anello chiuso ha almeno un polo reale positiva o complesso coniugato a parte reale positiva. In tal caso la risposta u(t) quando t (figura 7). Un sistema è instabile anche quando la funzione di trasferimento ad anello chiuso ha poli nulli di molteplicità maggiore di uno, q = 2, 3, 4..., e/o poli complessi coniugati a parte reale nulla di molteplicità maggiore di uno 2.2. Criterio di stabilità di Bode figura 7 Molto spesso è necessario studiare il comportamento di sistemi definiti da una funzione di trasferimento ad anello aperto che non ha poli e zeri a parte reale positiva. Lo studio della stabilità di questi sistemi, detti a sfasamento minimo, può essere eseguita applicando il criterio di stabilità di Bode. A tal fine si consideri la figura 8 e la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma del modulo in db della F.d.T ad anello aperto interseca l'asse delle ascisse. In corrispondenza di tale pulsazione, detta pulsazione di attraversamento ω T, il modulo in db della F.d.T. ad anello aperto è: G(jω T ) H(jω T ) Db = 20 log 1 = 0 db Il criterio di stabilità di Bode afferma quanto segue: un sistema, stabile ad anello aperto e a sfasamento minimo, è stabile anche ad anello chiuso se in corrispondenza di ω T il valore assoluto della fase della F.d.T. ad anello aperto è minore di 180. pag. 3 di 5

4 figura 8 In particolare il sistema è stabile se è Φω T <180, instabile se è Φω T >180 e marginalmente stabile se è Φω T = 180. Secondo il criterio di Bode, dunque, è possibile valutare la stabilità di un sistema stabile ad anello aperto e a sfasamento minimo, osservando i diagrammi di Bode del modulo e della fase della F.d.T. ad anello aperto. 2.3 Margine di fase e margine di guadagno Nelle applicazioni pratiche è necessario valutare sia la stabilità teorica di un sistema, sia definire i margini di sicurezza affinché un sistema rimanga stabile anche quando compaiono disturbi non desiderati e/o variazioni di uno o più parametri che provocano, ad esempio, un aumento del guadagno. I parametri che consentono di valutare il grado di stabilità dì un sistema sono il margine di fase ed il margine dì guadagno. Margine dì fase Il margine di fase m f è l'angolo ottenuto sottraendo a 180 il valore assoluto Φω T della fase della F.d.T. ad anello aperto m f = Φω T Un sistema è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30, mentre è instabile se il margine di fase è negativo. Margine di guadagno Il margine di guadagno in Db è la differenza tra il modulo in Db della F.d.T. ad anello aperto calcolato in corrispondenza dell'intersezione con l'asse delle ascisse e il modulo della F.d.T. ad anello aperto calcolato quando la sua fase è -180 Un sistema è tanto più stabile quanto minore è il modulo della funzione di trasferimento ad anello aperto calcolato quando la fase è Un sistema è sufficientemente stabile se il margine di guadagno è almeno Db pag. 4 di 5

5 figura Criterio di Bode semplificato È possibile, semplicemente con il diagramma dell'ampiezza del guadagno ad anello aperto, avere indicazioni sulla stabilità di un sistema ad anello chiuso. È infatti possibile dimostrare quanto segue: Un sistema ad anello chiuso è stabile se il diagramma del modulo del guadagno ad anello aperto G(S) H(S) taglia l'asse delle ascisse con una pendenza massima di 20 db/dec. Se la pendenza è maggiore o uguale a 60 db/dec il sistema è sicuramente instabile; con una pendenza di 40 db/dec il sistema potrebbe essere instabile e si deve ricorrere al criterio generale di stabilità per avere la sicurezza. Per questi motivi nello studio dei nostri sistemi di controllo faremo in modo che l'attraversamento dell'asse orizzontale da parte del diagramma del modulo di G (S) H (S) avvenga con una pendenza di 20 db/dec. pag. 5 di 5

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