Risoluzione di travature reticolari iperstatiche col metodo delle forze. Complemento alla lezione 43/50: Il metodo delle forze II

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1 Risouzione di travature reticoari iperstatiche co metodo dee forze ompemento aa ezione 3/50: I metodo dee forze II sercizio. er a travatura reticoare sotto riportata, determinare gi sforzo nee aste che a compongono e e reazioni esterne. Tutte e aste hanno materiae di moduo di Young e sezione di area. rima di procedere nea risouzione dea presente struttura, occorre una premessa per questa tipoogia di strutture iperstatiche. ezione infatti è stato più vote segnaato come a deformabiità assiae di una trave sia generamente trascurabie rispetto aa sua deformabiità fessionae. Questo è i motivo per i quae, nea scrittura dee equazioni di congruenza tramite i LV, si sono considerati soo i prodotti dei momenti (fittizi) per e curvature (reai). Quaora però siano presenti escusivamente i contributi dea deformabiità assiae, questi devono essere necessariamente considerati. È questo i caso dee travature reticoari iperstatiche, essendo ogni singoa asta soggetta soo a sforzo normae. L iperstaticità può essere esterna, se i numero dei vincoi esterni è più che sufficiente a boccare a travatura ne piano, o interna, se i numero dee aste è sovrabbondante rispetto a numero dei nodi. Ne caso in esame a travatura è isostatica internamente (travatura triangoata, si riveda a ezione 5), mentre i gradi di vincoo esterno sono a causa dea presenza dee cerniere esterne (vincoi doppi) e dunque in eccesso rispetto ai 3 necessari per definire a configurazione di un eemento ne piano. Se ne concude che a travatura reticoare in esame è una vota esternamente iperstatica. ormamente a risouzione dea travatura reticoare iperstatica è uguae a quea dee travature viste finora. L unica differenza consiste ne considerare, ne avoro virtuae interno, i prodotto di sforzi normae e diatazioni anziché momenti e curvature.

2 Si scegie dunque una travatura isostatica principae, degradando ad esempio una dee cerniere: X La travatura isostatica principae è in tutto equivaente aa travatura iperstatica originaria quaora ad X venga sostituito i suo effettivo vaore. È ora necessario ricavare gi sforzi normai nee aste dea travatura isostatica principae causati rispettivamente daa forza (N 0 ) e da incognita iperstatica posta pari a (N ). ato che è necessario i cacoo di tutte e aste, conviene procedere attraverso i metodo de equiibrio dei nodi. Si riportano direttamente i risutati, dato che i singoi passaggi non presentano difficotà particoari e a capacità di risovere travature reticoari isostatiche dovrebbe essere stata già acquisita nea prima parte de corso (Statica ezione 5). In vioa si sono indicati i puntoni, in verde i tiranti ed in nero e aste scariche. I vaori deo sforzo normae, con usuae convenzione di segno, sono riportati nea tabea sottostante per maggior chiarezza. N ( /) + / + / / + ( /) N / + / / + / + / Si è ora in grado di cacoare i seguenti integrai: N0N = + + =

3 N = = I cacoo degi integrai risuta particoarmente sempice in quanto e funzioni integrande sono costanti su ogni singoa asta. Si appica ora i rincipio dei Lavori Virtuai assumendo come sistema di spostamenti/deformazioni queo reae e come sistema di forze / soecitazioni queo generato da incognita iperstatica resa unitaria. In accordo aa simboogia usata nea ezione: η = N ε essendo η o spostamento orizzontae (reae) de nodo ed ε a diatazione assiae dee aste. La diatazione reae ε è data da rapporto tra o sforzo normae reae e e rigidezze. Ma per i principio di sovrapposizione degi effetti o sforzo normae reae è dato da N = N 0 + N X, dunque: η N = N0 + X N Questa equazione impone a congruenza e permette di scegiere, tra e infinite souzioni equiibrate, unica congruente; permette cioè di determinare que particoare vaore di X che annua o spostamento orizzontae in. ome evidenziato a ezione, equazione precedente può scriversi come: η X = η0 + η ove η è a componente orizzontae deo spostamento reae (di ), η 0 è a componente dovuta a carico e η a componente dovuta a incognita iperstatica posta pari ad. Ma η è nua, dunque: η X 0 + η = 0 Sostituendo i vaore degi integrai: ( + + 3) X = 0 da cui, razionaizzando: 3 X = I diagramma degi sforzi normai nea travatura reticoare iperstatica di partenza si ottiene infine sommando i due contributi: N = N 0 + N X. Si può osservare come i contributo dea componente orizzontae dee reazioni esterne abbia un effetto reativamente modesto. In particoare tende ad aumentare eggermente a trazione nee aste inferiori e a diminuire a compressione in quee superiori.

4 N N X N

5 sercizio. er a travatura reticoare sotto riportata, determinare gi sforzo nee aste che a compongono e e reazioni esterne. Tutte e aste hanno materiae di moduo di Young e sezione di area. N..: e due aste e non hanno tra oro acun contatto; coegano sempicemente e rispettive cerniere ae oro estremità. a un punto di vista di reaizzazione pratica, si può pensare che una dee due presenti a centro un foro dove atra attraversa. I gradi di vincoo esterni sono 3 e dunque non vi è iperstaticità esterna. differenza dea struttura precedente, i numero a dee aste più 3 supera i doppio dei numero n dei nodi (si veda a ezione 5). Infatti a = 0 e n = 6: a + 3 > n cioè 3 > In atre termini i numero dei gradi di vincoo supera di un unità i numero dei gradi di ibertà e a travatura reticoare si dice una vota iperstatica internamente. fine di individuare a travatura reticoare isostatica principae e procedere nea risouzione attraverso i metodo dee forze, occorre eiminare i vincoo imposto da una dee aste. L incognita iperstatica sarà dunque o sforzo normae in quea asta. Si noti che a sceta de asta è arbitraria purché a travatura così ottenuta non divenga abie. d esempio non è ecito scegiere come incognita o sforzo ne asta. Si assuma aora come incognita iperstatica, ad esempio, o sforzo ne asta. La travatura isostatica principae è in tutto equivaente aa travatura iperstatica originaria quaora ad X venga sostituito i suo effettivo vaore:

6 X X rigore si sarebbe dovuto inserire un doppio pendoo con bieette trasversai nea sezione in cui si è svincoata asta. Non essendoci però né tagio, né momento, si può sempicemente immaginare di tagiare asta (senza rimuovera, onde evitare di dimenticare un termine ne cacoo degi integrai vedi sotto). È ora necessario ricavare gi sforzi normai nee aste dea travatura isostatica principae causati rispettivamente dae forze (N 0 ) e da incognita iperstatica posta pari a (N ). ato che è necessario i cacoo di tutte e aste, conviene procedere attraverso i metodo de equiibrio dei nodi. Si omettono i passaggi intermedi e si riportano direttamente i risutati. er quanto riguarda asta oggetto di svincoamento (), si noti come i procedimento impone che essa sia scarica ne primo caso e soggetta a sforzo normae unitario ne secondo. N N 0 0 / / / /

7 Si è ora in grado di cacoare i seguenti integrai: N0N = 3 + = ( ) = ( ) N = Si noti che ne secondo integrae occorre tener conto anche de contributo de asta tagiata (in questo caso, asta ) in quanto anch essa deformabie assiamente. Si appica ora i rincipio dei Lavori Virtuai assumendo come sistema di spostamenti/deformazioni queo reae e come sistema di forze / soecitazioni queo generato da incognita iperstatica resa unitaria. In accordo aa simboogia usata nea ezione: N η = N ε η = N0 N + X ovvero: η X = η0 + η ove η è o spostamento assiae reativo dee due sezioni su cui si è appicata X, η 0 è i contributo dovuto a carico e η i contributo de incognita iperstatica posta pari ad. Ma η è nuo, dunque: η X 0 + η = 0 Sostituendo i vaore degi integrai: ( + ) X + = 0 X = da cui, razionaizzando: I diagramma degi sforzi normai nea travatura reticoare iperstatica di partenza si ottiene infine sommando i due contributi: N = N 0 + N X.

8 N 0 N X N

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