Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità

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1 Logica 1. Le roosizioni 1.1 Cosa studia la logica? La logica studia le forme del ragionamento. Si occua cioè di stabilire delle regole che ermettano di assare da un'affermazione vera ad un'altra affermazione vera. La logica non si occua dei contenuti del ragionamento, ma della sua correttezza. 1.2 Proosizioni e verità I rinciali oggetti di cui si interessa la logica sono le roosizioni: Una roosizione è una affermazione di cui si ossa stabilire con certezza il valore di verità I valori di verità ossibili sono due: vero e falso. Esemi Sono roosizioni: 2+2=5 la caitale d'italia è Roma il gatto arla bene l'inglese I rincii logici che regolano la verità delle roosizioni sono due: Princiio di non contraddizione. Una roosizione non uò essere vera e falsa allo stesso temo Princiio del terzo escluso. Una roosizione o è vera o è falsa Le roosizioni ossono essere semlici o comoste. Una roosizione semlice è formata da un soggetto ed un redicato (oure da soggetto, redicato ed oggetto). Un esemio di roosizione semlice è Maria va a scuola Sesso erò è necessario utilizzare roosizione comlesse; queste si ottengono comonendo iù roosizioni semlici con le articelle "e", "o", "non", che rendono il nome di connettivi logici 2. I connettivi logici 2.1 La congiunzione ("e") La congiunzione logica (il cui simbolo è ) corrisonde alla articella "e". Una roosizione costruita usando la congiunzione è vera solo se sono vere le due roosizioni elementari di cui si comone. Ad esemio la roosizione è comosta dalle due roosizioni elementari : 5 è un numero rimo (vera) q: 7 è divisibile er 2 (falsa) La roosizione comosta q è quindi falsa (erchè è falsa q). 5 è un numero rimo e 7 è divisibile er 2

2 2 logica.nb è comosta dalle due roosizioni elementari : 5 è un numero rimo (vera) q: 7 è divisibile er 2 (falsa) La roosizione comosta q è quindi falsa (erchè è falsa q). Ecco la tavola di verità della congiunzione:(a e B sono due roosizioni, V e F corrisondono a VERO e FALSO; A B è la roosizione comosta "A e B") V F F F V F F F F In il simbolo er la congiunzione è il doio & (&&). Vediamo come "calcolare" il valore di verità di una congiunzione. Ricordiamo che significa vero e False significa falso. Definiamo due variabili e q, la rima vera e la seconda falsa (come nel nostro esemio) q ; False; quindi valutiamo l'esressione && q: && q False 2.2 La disgiunzione ("o") La disgiunzione (simbolo ) corrisonde alla articella "o". Considerando le due roosizioni dell'esemio recedente, la loro disginzione è la roosizione 5 è un numero rimo o 7 è divisibile er 2 La disgiunzione è vera se almeno una delle due roosizioni di cui si comone è vera. La tavola di verità della disgiunzione è quindi V F V F V V F F F Il simbolo er la disgiunzione è la doia barra verticale q False; ; q

3 logica.nb La negazione ("non") Da una roosizione ossiamo costruirne un'altra usando la negazione (simbolo non). Se A è la roosizione "Oggi è una bella giornata", la roosizione non A è la tavola di verità è molto semlice: Oggi non è una bella giornata A V F non A F V Il simbolo usato da er indicare la negazione è il unto esclamativo (!). E' meglio usare la funzione Not (che ha lo stesso significato) Not False 3. L'imlicazione 3.1 Imlicazione logica ("se... allora...") In matematica si resenta sesso la necessità di legare due roosizioni e q in modo iotetico, cioè con un "se... allora...", Questa è la tiica forma del ragionamento deduttivo: se si verifica allora deve verificarsi anche q. Ad esemio: Qui le roosizioni sono: : 8 è un multilo di 2 q: 8 è un multilo di 4 (l'8 è sottointeso nella roosizione iotetica) se 8 è un multilo di 4 allora è multilo di 2 Le roosizioni e q si dicono risettivamente remessa e conseguenza. Il connettivo logico che ermette di costruire roosizioni di questo tio si chiama imlicazione e si indica con il simbolo. Una roosizione come quella recedente si indicherebbe quindi con 8 è un multilo di 4 8 è un multilo di 2 o iù sinteticamente q (e si legge " imlica q"). Qual è il valore di verità della roosizione comosta q? Proviamo a stabilirlo con un esemio: definiamo tollerante un rofessore se accetta due giustificazioni a quadrimestre, cioè se si realizza la seguente situazione: Si verificano queste situazioni: se un alunno non fa i comiti er la seconda volta allora il rofessore lo giustifica L'alunno A chiede di giustificare er la seconda volta ed il rofessore X lo giustifica L'alunno B chiede di giustificare er la terza volta ed il rofessore Y lo giustifica L'alunno C chiede di giustificare er la rima volta ed il rofessore Z non lo giustifica L'alunno D chiede di giustificare er la terza volta ed il rofessore W non lo giustifica Quale dei rofessori X,Y,Z,W uò essere definito intollerante? In base alla definizione data ossiamo dire che certamente Z è intollerante; al temo stesso sono certamente tolleranti A e B. Sul rofessore D otremmo avere un dubbio ma non abbiamo rove della sua intolleranza. Fino a rova contraria risetta la nostra definizione di rofessore tollerante. Quindi la roosizione iotetica è falsa solo quando la remessa è vera e la conseguenza è falsa. In ratica: da remesse vere non si ossono ricavare conseguenze false, mentre da una remessa falsa ossiamo ricavare conseguenze sia false che vere. Vediamo un altro esemio:

4 L'alunno C chiede di giustificare er la rima volta ed il rofessore Z non lo giustifica 4 L'alunno D chiede di giustificare er la terza volta ed il rofessore W non lo giustifica logica.nb Quale dei rofessori X,Y,Z,W uò essere definito intollerante? In base alla definizione data ossiamo dire che certamente Z è intollerante; al temo stesso sono certamente tolleranti A e B. Sul rofessore D otremmo avere un dubbio ma non abbiamo rove della sua intolleranza. Fino a rova contraria risetta la nostra definizione di rofessore tollerante. Quindi la roosizione iotetica è falsa solo quando la remessa è vera e la conseguenza è falsa. In ratica: da remesse vere non si ossono ricavare conseguenze false, mentre da una remessa falsa ossiamo ricavare conseguenze sia false che vere. Vediamo un altro esemio: è una roosizione vera, infatti: 5= (vera) se 1=2 allora 5= = (erchè la remessa mi ermette di dire che 1=2, quindi scrivo 2 al osto di 1) =8 (vera) quindi 5=8 Come vedete da una remessa falsa si uò ottenere di tutto, quindi la roosizione è vera! In sintesi, la tavola di verità dell'imlicazione è la seguente: se 1=2 allora 5=8 V F F F V V F F V Attenzione: se è vera l'imlicazione A B, non è detto che lo sia B A. Ad esemio la roosizione è vera, ma non lo è la roosizione Se un numero è divisibile er 6 allora è ari Se un numero è ari allora è divisibile er 6 L'imlicazione q si esrime con lo stesso simbolo (si ottiene digitando la sequenza => ) o con la funzione Imlies[,q] In[10]:= False; q ; q Out[11]= 3.2 Condizioni necessarie e condizioni sufficienti Nel linguaggio comune l'imlicazione si uò esrimere in modi diversi: Essere maggiorenni imlica avere il diritto di voto Se sei maggiorenne allora hai il diritto di voto Essere maggiorenni è condizione sufficiente er avere il diritto di voto Per avere il diritto di voto è necessario essere maggiorenni In generale in una imlicazione A B si dice che A è condizione sufficiente er B (cioè è sufficiente che si verifichi A affinchè si verifichi anche B B è condizione necessaria er A (infatti se non si verifica B non uò verificarsi nemmeno A)

5 logica.nb Contronominale ed inversa di una imlicazione Data un'imlicazione A L'imlicazione inversa: B L'imlicazione contronominale: non B B (che chiamiamo diretta), ossiamo costruire due roosizioni ad essa collegate: A non A Abbiamo già visto che l'inversa non ha lo stesso valore di verità della diretta, infatti se A B è vera, B A uò essere falsa. La stessa cosa non accade con la contronominale, che ha semre lo stesso valore di verità dell'imlicazione diretta. Vediamo un esemio: consideriamo l'imlicazione "se la macchina arte allora c'è benzina". L'imlicazione inversa è Se c'è benzina allora la macchina arte questa roosizione non è necessariamente vera, erchè la macchina otrebbe anche restare ferma er altri motivi (motore rotto, batteria scarica o altro). La roosizione contronominale è che è certamente vera, erchè la macchina non uò artire senza benzina. costruiamo la tavola di verità delle due imlicazioni A B e nonb nona: Se non c'è benzina allora la macchina non arte A B non A non B A B nonb nona V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V come si vede i valori di verità delle due imlicazioni (diretta e contronominale) sono semre gli stessi. 3.4 Doia imlicazione ("se e solo se"). Equivalenza logica Abbiamo detto che normalmente dalla verità dell'imlicazione A B non ossiamo dedurre la verità dell'imlicazione inversa (B A). Ci sono erò alcuni casi in cui ciò accade. Consideriamo, er fare un esemio, l'imlicazione e scambiamo remessa e conseguenza er costruire l'imlicazione inversa: Se un numero è divisibile er 3 allora la somma delle sue cifre è un multilo di 3 Se la somma delle cifre di un numero è un multilo di 3 allora il numero è divisibile er 3 In questo caso entrambe le imlicazioni sono vere, valgono cioè le due imlicazioni A B e B A In questo caso si dice che le due roosizioni A e B sono logicamente equivalenti e si usa legarle con l'esressione "se e solo se". Sarebbe quindi corretto scrivere Un numero è divisibile er 3 se e solo se la somma delle sue cifre è un multilo di 3 Dal unto di vista logico le due roosizioni sono legate da una doia imlicazione, il cui simbolo è. L'equivalenza logica tra due roosizioni esrime il fatto che quelle due roosizioni assumono semre lo stesso valore di verità; la relativa tavola di verità è la seguente: V F F F V F F F V Nel aragrafo recedente abbiamo visto che le due roosizioni A B e nonb nona hanno semre lo stesso valore di verità. Per quanto abbiamo aena detto esse sono logicamente equivalenti: affermare A B è la stessa cosa che affermare nonb nona. Ci sono altri esemi di strutture logicamente equivalenti; ad esemio la roosizione A B è equivalente alla roosizione nona B ( significa "o"), come si vede dalla tavola di verità:

6 6 logica.nb A B nona A B nona B V V F V V V F F F F F V F F le due roosizioni A B e nona B assumono semre lo stesso valore di verità. Per questo sono equivalenti. Dire è equivalente ad affermare se iove allora rendo l'ombrello non iove, oure rendo l'ombrello La roosizione A B equivale all'affermazione di due imlicazioni A B e B A. Possiamo quindi dire che A è condizione sufficiente er B (rima imlicazione) ma anche che A è condizione necessaria er B (seconda imlicazione). Per questo la roosizione "A se e solo se B" si esrime anche con la struttura "A è condizione necessaria e sufficiente er B"