ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO

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1 ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO ARGOMENTI TRATTATI: VARIABILI CASUALI DISCRETE VARIABILI CASUALI CONTINUE DISEGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE METODI DI COSTRUZIONE DEGLI STIMATORI

2 ESERCIZIO Ua macchia di precisioe produce pezzi di ricambio per auto co ua percetuale pari all % dei pezzi difettosi. Su ua produzioe gioraliera di 3 pezzi, si chiede qual è la probabilità: a) di avere 4 pezzi difettosi; b) di avere almeo 5 pezzi difettosi; Calcolare la speraza matematica, la variaza e la deviazioe stadard della v.c. percetuale di pezzi difettosi. Bisoga ricorrere alla fuzioe di probabilità della v.c. biomiale, data da: ( X x) f ( x) p x x q x x!! ( x)! p x q x a) ( X 4) 3 4 f (4),, ! 3! ( 3 4 )! 4,,99 3 4,689 b) La probabilità che i u gioro vi siao 5 o più pezzi difettosi sarà: 3 i 3 i ( X 5),,99 3 i 5 3 i 3 ( X ) f (),,99, ( X ) f (),,99, ( X ) f (),,99, ( X 3) f (3),,99, 5 4 i 3 i,,99 i ( X 5 ) ( ),86, 839 (cioè 8,39%) 3 i

3 c) La speraza matematica di questa variabile casuale biomiale sarà: p3, 3 la variaza: pq3,,99,97 la deviazioe stadard: pq,97,73 ESERCIZIO Si suppoga di laciare simultaeamete 3 moete; si vuole sapere qual è la probabilità di avere: a) teste b) o più di ua testa. Applicado la v.c. biomiale, otado che pq/, si avrà: ( X x) f ( x) p x x q x x!! ( x)! p x q x a) ( X ) 3 f (),5,5 3! 3! ( 3 )!,5,5 3, b) ( X ) f () + f ( ),5,5 +,5,5,5 +,375, 5 Seza l utilizzazioe della biomiale: 3

4 a) (TTC, CTT, TCT) su 3 8 prove possibili, per cui: 3 (.. teste),375 8 b) (CCC, TCC, CTC, CCT) su 3 8 prove possibili, per cui: 4 ( o. più. di.. testa),5 8 ESERCIZIO 3 Da u idagie svolta i Sardega su u campioe di giovai di età compresa tra i 8 ed i 5 ai risulta che il % degli itervistati si iteressa di astroomia. Voledo assicurarsi ua probabilità superiore o uguale a,99 che la differeza i valore assoluto tra il risultato campioario e la percetuale di giovai che si iteressa di astroloomia ell itera regioe Sardega sia iferiore all %, qual è il umero di prove che si debboo effettuare per raggiugere questo risultato? I questo caso, bisoga fare riferimeto alla v.c. biomiale relativa, i quato risulta che la proporzioe di successi el campioe è X,. I pratica, si chiede quate rilevazioi campioarie bisoga effettuare affiché la differeza i valore assoluto tra la proporzioe di successi derivate dal campioe e quella relativa all itera popolazioe di riferimeto, che idicheremo co p, sia iferiore all %. I questo caso bisoga applicare la disuguagliaza di Tchebycheff, i base alla quale: k ( X µ < kσ ) che el ostro caso diveta: X X p < kσ p <,,99 k per cui: 4

5 , 99, da cui segue che k k k σ, La variaza della v.c. biomiale relativa è data da: σ p ( p) da cui segue che: (,), kσ,,,8 ed 6., ESERCIZIO 4 U lotto di 5 cilidri è stato ricevuto da u committete che vuole impiegare i cilidri el seguete modo: 5 per il progetto. i cui si richiede ua resisteza miima; per il progetto i cui si richiede ua maggiore resisteza. Si suppoge che 6 dei 5 cilifri abbiao ua forza di rottura iferiore al miimo specificato. a) Selezioado casualmete dai 5 cilidri i 5 da destiare al progetto., qual è la probabilità che 4 dei 5 cilidri selezioati abbiao ua forza di rittura iferiore al miimo? b) Qual è la probabilità che almeo uo dei 5 cilidri selezioati abbia ua forza di rottura iferiore al miimo? c) Si suppoga che dei 6 cilidri aveti ua forza di rottura iferiore al miimo, 4 abbiao ua resisteza accettabile per il committete che può impiegarli i u altro progetto. I restati cilidri soo troppo deboli per qualsiasi uso. Ioltre, selezioado 5 dei 5 cilidri, calcolare la probabilità che esattamete dei 5 cilidri estratti hao ua forza di rottura accettabile e che (dei 5) o è accettabile. a) Idicado co: 5

6 x umero di cilidri difettosi el campioe; N 5, umero di cilidri el lotto; 5, umero di cilidri el campioe k 6, umero di cilidri difettosi el lotto; La probabilità di cui al puto a) si ottiee utilizzado la v.c. ipergeometrica, la cui fuzioe di probabilità è la seguete: ( X x) k N k x x N Nel puto a) del ostro esercizio bisoga calcolare: ! 4!! 9!! 8! 5! 5!! ( X 4 ), 45 b) La probabilità di avere almeo u cilidro difettoso i 5 estrazioi è data da: ( X ) ( ),4, 958 c) I dati possoo essere riformulati el seguete modo: x umero di cilidri difettosi el campioe; N 5, umero di cilidri el lotto; 6

7 5, umero di cilidri el campioe k 6, umero di cilidri difettosi el lotto; S 4, umero di cilidri accettabili ell isieme dei cilidri difettosi (e cioè impiegabili per u altro processo); R, umero di cilidri completamete iutilizzabili ell isieme dei cilidri difettosi; s, umero di cilidri accettabili el campioe di cilidri da selezioare; r, umero di cilidri completamete iutilizzabili el campioe di cilidri da selezioare. La fuzioe di probabilità ipergeometrica diverta: ( X x) Applicado tale formula si ottiee: R k R r x r N N k x ( x 3, r ), 44 ESERCIZIO 5 All arrivo ell aeroporto iterazioale di Cagliari, i passeggeri trasitao per la dogaa alla media di ogi 3 secodi. Assumedo che il umero dei passeggeri che attraversao la dogaa i u dato itervallo di tempo abbia ua distribuzioe di oisso, determiare la probabilità che a) o più di passeggeri abbiao attraversato la dogaa, sempre i u periodo di 3 secodi; b) il umero di passeggeri che attraversao la dogaa i u periodo di 3 secodi sia compreso tra e 4. 7

8 La fuzioe di probabilità della v.c. di oisso è la segete: a) La probabilità richiesta è: poiché λ si avrà: x λ λ ( ) () x ( X x) f e per x,,,., x! () + f () () ( X ) f + f ( X ) f! ( ) () e,3534 ( X ) f! ( ) () e,767 ( X ) f! ( ) () e,767 e quidi: ( X ),354 +,767 +,767, b) La probabilità richiesta è la seguete: () + f ( ) + f () 3 ( 4) ( X 4) f + f per cui: ( X 3) f 3 3! ( ) () 3 e,845 ( X 4) f 4 4! ( ) () 4 e,9 e quidi: ( X 4),767 +,767 +,845 +,9, 8 8

9 ESERCIZIO 6 Ua fabbrica di cioccolato promuove ua campaga pubblicitaria per la vedita di u uovo tipo di uova pasquali, caratterizzate dal coteuto della sorpresa, costituita da bracciali di ottoe. Su ua partita di. uova, 5 di esse cotegoo dei bracciali d oro, del valore di u milioe cadauo. Le uova coteeti bracciali d oro, a loro volta, vegoo iserite i modo casuale i scatole da, e vedute ai egoziati. Qual è la probabilità che u egoziate che acquista ua scatola di uova, vede al pubblico o più uova coteeti bracciali d oro? La risposta può essere otteuta ricorredo alla v.c. biomiale, i cui parametri soo e p 5/.,5; La probabilità richiesta è: ( X ) ( X ) f (),5 (,5),946483, Il umero atteso di bracciali d oro per scatola è dato da p. oiché la v.c. di oisso di parametro λ p può essere ua buoa approssimazioe della biomiale quado p è molto piccolo, come i questo caso, si può usare la distribuzioe di oisso per avere,, uova coteeti bracciali d oro. Ricorredo alla v.c. di oisso la probabilità richiesta diveta: ( X ) ( X ), f ()! e (,), ,95658 Ai fii di effettuare u cofroto tra la probabilità calcolata co la distribuzioe biomiale e la sua approssimazioe attraverso la distribuzioe di oisso si riportao i tabella le probabilità calcolate per x 5. N. di uova coteeti bracciali d'oro rob. rob. Differeze i ua scatola v.c. biomiale v.c. oisso,946483, ,69377,99566,948374,43884,43493, , ,386,586 -,9946 4,7948,377 -,9754 5,444,754 -,3 totale 9

10 ESERCIZIO 7 Il umero medio di chiamate che arrivao ad u cetralio telefoico i u ora è 3. Sapedo che il umero di chiamate che arrivao allo stesso cetralio i u miuto segue ua distribuzioe di oisso, calcolare la probabilità che i u miuto o arrivio più di chiamate. La media della distribuzioe del umero di chiamate che arrivao al cetralio i u miuto è: 3 λ 6 5 La probabilità richiesta è: x λ x! 5! 5! 5! ( λ ) ( 5) ( 5) ( 5) ( X ) e e + e + e x,67 +,337 +,84,46 ESERCIZIO 8 I u idustria di detersivi vi è ua macchia cofezioatrice la quale forisce scatole il cui peso o è costate, ma varia e più precisamete segue ua distribuzioe ormale co media kg e scarto quadratico medio, kg. Si vuole cooscere la probabilità che il peso di ua scatola presa a caso o abbia più dell % di scarto dal peso medio. Si tratta di calcolare la: a µ X µ b µ ( a < X < b) < < σ σ σ ( z < Z < zb) a ( < Z < zb) ( < Z < za )

11 z a z b Nel caso i esame i parametri µ e σ soo oti, e si vuole cooscere la probabilità che la v.c. X assuma valori compresi all itero dell itervallo (a,b), co a e b fissati e a<b. (9,9 < X 9,9 <,), < X,, <, (,5 < Z <,5) ( < Z <,5) Â La probabilità di avere delle scatole di detersivo co u peso compreso tra i 9,9 kg ed i, kg è pari al 38,3%; poiché questa è la tolleraza cocessa per legge, l impresa i questioe avrà iteresse a sostituire la macchia cofezioatrice, dato che la probabilità di avere cofezioi co u peso che rietra ei termii di legge è troppo bassa, e quidi è elevato il rischio di ifrazioe, co le cosegueze che e possoo derivare. ESERCIZIO 9 Essedo X ua v.c. che si distribuisce ormalmete co media icogita µ e variaza icogita σ, trovare: a) ( µ σ < X < µ + σ ), b) ( µ σ < X < µ + σ ), c) ( µ 3σ < X < µ + 3σ ).

12 a) ( µ σ < X < µ + σ ) ( µ σ ) µ X µ ( µ + σ ) σ < σ < µ σ ( < Z < ) ( < Z < ),343,686 b) ( µ σ < X < µ + σ ) ( µ σ ) µ X µ ( µ + σ ) σ < σ < σ µ ( < Z < ) ( < Z < ),477,9544 ( µ 3σ ) µ X µ ( µ + 3σ ) µ c) ( µ 3σ < X < µ + 3σ ) < < σ σ σ ( 3 < Z < 3) ( < Z < 3),4987,9974 Quidi i ua v.c. ormale la probabilità che u valore x della v.c. cada all itero µ 3 σ ), ( µ + 3σ è prossima ad. dell itervallo [( )] ESERCIZIO La v.c. X si distribuisce secodo ua legge ormale co media pari a e variaza pari a 5; si voglioo determiare gli estremi dell itervallo, cetrato su. all itero del quale viee a trovarsi l 8% dei casi. I questo caso, i parametri µ e σ soo oti, e si voglioo cooscere gli estremi a e b dell itervallo, cetrato su µ, che comprede u livello di probabilità fissato p. Si tratta di trovare sulle tavole u valore z tale che: ( z < Z < z ) p

13 X µ z < < z σ p ( z < X µ < z σ ) p σ ( z σ < X < µ + z σ ) p µ ( a < X < b) p a µ b Nel caso i esame, dalle tavole della v.c. ormale stadardizzata risulta: (,85 < Z <,85), 8 X,85 < <,85,8 5 (,85 5 < X <,85 5), 8 (,85 5 < X < +,85 5), 8 ( 8,75 < X < 9,75), 8 ESERCIZIO Sapedo che la v.c. X si distribuisce ormalmete, ed ioltre l itervallo [,] è il più piccolo coteete il 95% di probabilità, si voglioo determiare la media e lo scarto quadratico medio di tale v.c.. 3

14 I questo caso soo oti sia il livello di probabilità p che gli estremi a e b dell itervallo, ma si voglioo cooscere i parametri µ e σ della distribuzioe affiché l itervallo [a,b] all itero del quale cade la probabilità p sia il più piccolo possibile: tra tutti gli itervalli [a,b], il più piccolo al quale associare ua stessa probabilità p sarà quello cetrato su µ i quato i ua v.c. ormale il maggior addesameto di probabilità lo si ha proprio itoro a µ. Quidi, sapedo che ( a < X < b) p, poiché l itervallo è cetrato su µ, e segue che: a + b µ Ioltre, poiché a z σ, sostituedo il valore di µ si avrà: µ a + b b a a z σ da cui: z σ e quidi: σ b a z Dai dati a disposizioe risulta: + µ ( z < Z < z ), 95 da cui: (,96,96), 95 < Z < Quidi lo scarto quadratico medio e la variaza soo dati da: b a σ 5, σ 6, 3 z,96 ESERCIZIO Sapedo che il primo quartile di ua v.c. ormale X è pari a ed il terzo quartile è pari a 4, si voglioo determiare i parametri della distribuzioe della v.c. X. 4

15 oiché i quartili dividoo ua distribuzioe i quattro parti uguali, sarà: ( Q < X < Q ),5, cioè: 3 ( < X < 4), 5 Ioltre, il secodo quartile coicide co la mediaa, ed essedo la mediaa coicidete co la media per ua distribuzioe simmetrica, si ha: µ Q Q + Q Q Q 3 Q µ Dalle tavole della v.c. ormale stadard risulta: (,675 < X <,675), 5 Q3 Q 4 e quidi: σ 4, 85 e σ 9, 48 z,675,35 ESERCIZIO 3 Delle viti hao il diametro che si distribuisce secodo la v.c. ormale, co media pari ad cm e deviazioe stadard pari,3 cm. A queste viti si accoppiao dei dadi aveti u diametro itero distribuito ormalmete co media uguale a,5 cm e deviazioe stadard di,4 cm. 5

16 Vegoo formate delle coppie casuali di dadi e viti e ci si chiede qual è la percetuale delle viti che soo troppo piccole per essere avvitate sui rispettivi dadi. Idichiamo co X la v.c. relativa al diametro itero dei dadi, co Y il diametro estero delle viti e co SX Y la differeza tra questi diametri. Se S > la vite si ifilerà el dado, diversamete o. I parametri che caratterizzao la v.c. S soo: E(S) E(X-Y) E(X) - E(Y),5 -,,5 cm Var(S) Var(X) - Var(Y) (,4) - (,3),7 cm DS(S) (, 7) /,3 cm La probabilità richiesta è: S E( S) DS( S),5,3 ( S < ) < ( Z <,89) ( Z >,89),5-( < Z <,89),5,476,9. Quidi, el,9% dei casi i dadi o etrerao elle viti, metre el restate 97,% dei casi vi etrerao. ESERCIZIO 4 Si vuole sapere quati laci di ua moeta regolare debboo essere fatti affiché la proporzioe del umero di teste uscite abbia ua probabilità almeo pari allo,95 di essere compresa tra i valori,48 e,5. Si defiiscoo le variabili casuali, Y, Y dove: Y, se ell'i - mo lacio esce croce Y i,,.., se ell'i - mo lacio esce testa 6

17 La proporzioe di successi i laci è data da: X Y + Y + + Y dove X è il umero di teste uscite i laci. Le v.c. Y, Y,, Y soo idipedeti e ideticamete distribuite, co distribuzioe di probabilità: ( ), ( ), Y i Ioltre: Y i i,,.., E( Y i ) p, ( Y ) p( p), erla v.c. proporzioe campioaria X/ si avrà quidi: Var i 4 E X E p ( Y ),5, i i Var X Var ( Y ) 4 4 i i,5 Il problema può essere risolto i due modi:. Si può applicare il teorema di Tchebycheff per il quale si richiede di cooscere solamete la media e la variaza della v.c. X/. Ifatti, si vuole determiare u valore X/ i prove tale che: X,5 <, >,95 o, equivaletemete: X,5,,5 Applicado il teorema di Tchebycheff, si ha: 7

18 k,95 da cui, 5 k e k. Dalla relazioe sopra scritta si ricava che k σ, che, el caso della v.c. X/ diveta: e risolvedo per : ( k,5), k,5 (,),5,4.5 Quidi, i base al teorema di Tchebycheff, si può cocludere che il umero di prove ecessarie per assicurare la precisioe desiderata, co ua probabilità almeo pari allo,95 è molto elevato e o deve essere iferiore a.5.. Si può impiegare il teorema del limite cetrale, i base al quale è possibile derivare la distribuzioe della v.c. X/ che risulterà ormale co media pari a,5 e variaza pari a,5/. Dopo laci la v.c. Z sarà: X /,5 Z, 5 che si distribuisce secodo la variabile casuale ormale stadardizzata e soddisfa le codizioi del teorema del limite cetrale. Dalle tavole della v.c. ormale stadardizzata risulta che la v.c. Z è compresa ell itervallo ±, 96, co ua probabilità pari allo,95, cioè: ( <,96),95, Z che si scrive, teedo coto della relazioe di cui sopra: X /,5,5 <,96 X,5,96 <,5,95, 8

19 Dai dati del problema, deve essere scelto u tale che:,96,5, cioè.4 Questo risultato è di circa /5 iferiore a quello otteuto attraverso il teorema di Tchebycheff. ESERCIZIO 5 Su. ascite, qual è la probabilità che la percetuale di ati maschi si trovi tra il 48% ed il 5%? Si idichi co X la v.c. ato maschio e si suppoga che ogi ascita sia idipedete, el seso che il sesso dei ati precedetemete o ifluezi quello dei ati a veire, e per semplicità, che p,5. Si chiede di calcolare (48 < X < 5). La media di X sarà p 5 e la deviazioe stadard p( p) 5( 5) σ 5,8. Si defiisce: z z 48 / 5 5,8 5 + / 5 5,8 +,97,97 Quidi la probabilità relativa ad ua v.c. biomiale relativa può essere calcolata mediate l approssimazioe alla distribuzioe ormale: ( 48 < X < 5) (,97 < Z <,97) ( < Z <,97),43, 864 La probabilità che i ati maschi si trovio tra il 48-mo ed il 5-mo percetile è pari all 8,64% circa. 9

20 ESERCIZIO 6 I u processo di produzioe i serie il % della popolazioe viee abitualmete scartato perché difettoso. Avedo scelto a caso u campioe di pezzi della produzioe, si è costatato che be 4 erao da scartare. No essedo soddisfatti di questo primo risultato, si prede u ulteriore campioe casuale di 4 pezzi e i questo caso vi soo 56 pezzi difettosi. Cosa è possibile cocludere riguardo alla produzioe esamiado il primo campioe estratto? Tali risultati soo cofermati dal secodo campioe di 4 pezzi? I base al teorema del limite cetrale la proporzioe di successi X/, per sufficietemete elevato, può essere approssimata da ua distribuzioe ormale co parametri p e pq/. Nel caso del processo di produzioe a cui si fa riferimeto, p, ed, e quidi si avrà: (X/) N(p,; pâ-p)/,9) da cui segue che: ( X / ) pq p N (,). Nel caso del primo campioe di dimesioe, la proporzioe X/ di pezzi difettosi che si possoo trovare i u campioe el 95% varia tra i valori ±, 96, e cioè: ( X / ) p,96 < <,96 95 pq da cui: pq X pq,96,96 p < < p +,95

21 ,,9 X,,9,,96,,96 < < +,95 cioè: X,4 < <,588 Si dirà quidi che ua proporzioe di pezzi difettosi ella popolazioe pari a,, ci si può aspettare delle proporzioi campioarie X/ che, per campioi di dimesioe, el 95% dei casi si troverao comprese tra i valori,4 e,588. oiché i questo caso X/,4 è compreso all itero di questo itervallo si ritiee che il processo di produzioe o abbia subito alterazioi e quidi cotiui a produrre pezzi difettosi co ua percetuale del %.. er il secodo campioe risulta:,,9 X,,9,,96,,96 < < +, X,76 < <,95,95 I questo caso la proporzioe di scarto varia tra u miimo di,7 ed u massimo di,3 circa. Avedo riscotrato ua proporzioe campioaria pari a,4 si dirà che tale proporzioe deve riteersi scarsamete probabile che essa provega da u processo produttivo co caratteristiche p,.iù precisamete, tale evetualità è relegata al 95% dei casi. Questo risultato, ioltre, mostra come all aumetare della umerosità del campioe la precisioe delle stime aumeta. Questa affermazioe può essere dimostrata calcolado le variaze delle proporzioi campioarie per i campioi, e cioè: X,,9 per si ha: Var,9, X,,9 per 4 si ha: Var,5, 4

22 ESERCIZIO 7 I u agglomerato di 5 abitazioi deve essere posizioata ua uova fermata dell autobus e al fie di collocarla el puto più cetrale si compie ua rilevazioe delle distaze tra le resideze delle famiglie ed il luogo dove dovrebbe essere posizioata la fermata. Idicado co X la v.c. distaza, la società dei trasporti ha riscotrato che la distaza media delle abitazioi è di metri e la deviazioe stadard delle distaze è di 45 metri. I base a queste idicazioi si trova il puto più cetrale. I cittadii o ritegoo giusta la collocazioe della fermata e propogoo uo spostameto di ua decia di metri. er cercare di dimostrare che ivece il luogo proposto è il più cetrale, si sceglie u campioe di famiglie seza reitroduzioe. Qual è la probabilità che la distaza media dalla fermata delle abitazioi icluse el campioe sia compresa ell itervallo ( ± ) metri? I pratica, si chiede di determiare la probabilità che la media campioaria X trovata o si discosti più di metri, i più o i meo, dal puto i cui è stata collocata la fermata dell autobus. er il campioe di dimesioe si avrà: E ( X ) metre per il calcolo della variaza si dovrà teere coto del fattore di correzioe, trattadosi di campioameto seza ripetizioe, cioè: Var σ N.5 4 ( X ) 6, 35 quidi: N ,9 4,9 ( 9 X ) Z (,48 Z,48) (,48),494, 9868 Z Nel 98,68% dei casi la distaza media del campioe sarà compresa tra ( ± ) metri

23 ESERCIZIO 8 Data la v.c. X Bi(, p,5), che rappreseta il umero di successi i prove, si determii la probabilità esatta di avere u umero di successi miore o uguale a 4 e la si cofroti co quella aaloga otteuta attraverso l approssimazioe alla ormale. La probabilità richiesta è: 4 x x x ( X 4),5,5 x ,5,5 +,5,5 +,5,5 +,5,5 +,5,5, Utilizzado l approssimazioe alla ormale, bisoga cosiderare la v.c. X N µ p, σ p( p), per cui: ( ) 4 µ σ 4 5,5 ( X 4) Z Z ( Z, 63),73565,6435 Si osserva come per valori piccoli di (i questo caso ) l approssimazioe risulti isoddisfacete. ESERCIZIO 9 Supposto che l altezza di ua popolazioe di idividui sia ua v.c. X N( µ 7, σ ) : a) calcolare la probabilità di trovare u idividuo co altezza compresa tra 5 e 6 cm. b) Determiare quell altezza al di sopra della quale si trova il 5% degli idividui. 3

24 5 µ σ 6 µ σ a) ( 5 X 6) Z ( Z ) ( Z ) ( Z ) ( Z ) ( Z ),9775,8434,359 c) ( X x ) ( Z z ) Z, 5 x µ σ Occorre trovare sulle tavole il valore z per il quale risulta ( Z z ), 95. Tale valore è: z x µ σ,65 da cui: x µ +,65σ 7 + (,65 ) 86,5 ESERCIZIO I ua ditta di prodotti alimetari vegoo riempite e chiuse automaticamete cofezioi di riso dal coteuto di kg. I realtà il coteuto varia e si sa che l 8% delle cofezioi cotiee meo di kg metre il 3% cotiee o meo di,5 kg. Assumedo che la quatità di riso coteuta elle cofezioi sia ua ua v.c. X distribuita ormalmete, calcolare la media e la variaza. Dai dati a disposizioe è possibile dedurre che: µ,5 µ Z z',8 e Z z' ', 7 σ σ Dalle tavole della v.c. ormale stadard risulta che z -,4 e z,53. 4

25 Devoo quidi essere verificate simultaeamete le relazioi: da cui: µ,4 σ,5 µ,53 σ µ,4σ,5 µ +,53σ Risolvedo il sistema si ha µ, 36 e σ, 5 ESERCIZIO La popolazioe degli studeti del corso di Statistica si distribuisce, rispetto alla statura, co media 75 cm e variaza pari a 6 cm. Si determii la probabilità che u campioe di studeti abbia ua statura media compresa tra 73 e 76 cm. er determiare la probabilità richiesta bisoga ricordare che la v.c. media campioaria X ha ua distribuzioe ormale co media µ pari alla media della popolazioe e variaza pari alla variaza della popolazioe divisa per. Si avrà quidi: ( 73 X 76) 4 / X µ σ / X µ,58,79,7854 (,9495),789 σ / 4 / ESERCIZIO Alle elezioi ammiistrative del comue di Cagliari del giugo 3, i voti otteuti dal partito XXX soo stati pari al 4%. Si determii la probabilità che, estraedo co ripetizioe u campioe di elettori, almeo il 38% di questi abbia votato XXX. 5

26 La probabilità richiesta può essere calcolata come: x ( X /,38),4 (,4) x 38 x x Il calcolo è evidetemete lugo e laborioso. Tuttavia, per che tede ad ifiito, la v.c. X/ tede ad ua distribuzioe ormale X N( µ p, σ p( p) ).Quado si ha u campioe sufficietemete grade, come i questo caso, si può approssimare la distribuzioe biomiale co la distribuzioe ormale. La probabilità richiesta risulta: Z,38,4,4,6 ( Z,9), 947 ESERCIZIO 3 Sia X il coteuto di icotia per sigaretta di ua certa partita. Suppoedo che X N( µ,9, σ,9) si determii la probabilità che il coteuto medio di icotia i u campioe di 5 sigarette sia superiore a,. La probabilità richiesta può essere calcolata come:,,9,3/ 5 ( X,) Z >,96638, 3365 x µ σ / ESERCIZIO 4 U certo carattere X è distribuito ormalmete. Ioltre, per tale carattere, (X > ),743 e (X<93),363. Trovare media e variaza della distribuzioe. 6

27 Nell esercizio si richiede di determiare i parametri di ua distribuzioe ormale per cui si defiiscoo due aree di probabilità. er il carattere cosiderato risulta: (X > ),743 Quidi: ( E( X ) < X < ),5,743, 57 µ da cui: µ σ ( µ E( X ) < X < ) < Z < z, 57 Dalle tavole della v.c. ormale stadardizzata risulta che z µ,6. σ Quest uica codizioe o è sufficiete per determiare etrambe le icogite. Bisoga ache cosiderare l altra codizioe: (X<93),363 ( 93 < E( X )),5,363, 368 µ Il valore di Z tale che 93 µ < Z σ <,368 è z 93 µ,35 σ Si deve quidi risolvere il sistema: µ σ,6 93 µ σ (,35) da cui si ricava µ e σ 7

28 ESERCIZIO 5 Ad uo sportello di u ufficio postale i 4 fasce orarie disgiute ed idipedeti tra loro, si è osservato il umero X di uteti i fila, le cui determiazioi soo: 5, 9, 3, 7. Suppoedo che la variabile casuale i oggetto segua ua distribuzioe di oisso di parametro λ stimare il umero di uteti i fila attraverso: a) il metodo dei miimi quadrati; b) il metodo della massima verosimigliaza. a) er la stima dei miimi quadrati di u parametro θ deve essere: G () θ () ei ( xi gi() θ ) i i mi ertato, per idividuare il umero medio di uteti i fila deve risultare: G ( λ ) ( e i ) ( x λ) i i i mi cioè: λ ( x i λ) i ( x i ) λ i ( x i λ ) i i x i λ da cui: 8

29 ˆ i λ x i L b) er la stima di massima verosimigliaza di λ deve essere: ( λ) f ( x ; λ) λ xi e λ x! e λ i λ x! i i i i i da cui, passado ai logaritmi: log L ( λ ) λ + log λ log i x i x! i i xi Calcolado la derivata rispetto a λ ed uguagliado a zero si ottiee: log L λ + ( λ) i da cui: x i λ ˆ i λ x i ESERCIZIO 6 U riveditore autorizzato ha ordiato lo scorso semestre presso la società Alfa 3 codizioatori, 5 dei quali presetao ua rumorosità eccessiva rispetto agli stadard previsti. Stimare, co il metodo della massima verosimigliaza, la probabilità che u codizioatore di quel tipo preseti ua rumorosità eccessiva rispetto agli stadard. Avedo risolto u equazioe rispetto ad u parametro icogito si è posto il sego ^ sopra di esso per idicare il particolare valore che soddisfa l equazioe. 9

30 Suppoedo che il umero N di codizioatori prodotti dalla società Alfa sia elevato rispetto ai 3 codizioatori cosegati al riveditore autorizzato, il umero icogito di codizioatori eccessivamete rumorosi può essere cosiderato ua v.c. X che si approssima ad ua v.c. biomiale. ertato, la probabilità che 5 codizioatori su 3 siao eccessivamete rumorosi è: 3 5 ( ) X 5 f (5) p ( p) I base al metodo della massima verosimigliaza la fuzioe di verosimigliaza è espressa da: ( θ ; x, x ) p 5 ( p) 5 L da cui, passado ai logaritmi: log L ( θ ; x, x ) 5log p + 5log( p) e derivado rispetto a p ed uguagliado a zero: log L p ( θ; x, x ) 5 5 p p 5 5p 5p p ( p) 5 3 p da cui: 5 p ˆ,67 3 che è la stima più verosimile della proporzioe di codizioatori co eccessiva rumorosità ella popolazioe. er verificare che p ˆ, 67 corrispode ad u puto di massimo si cotrolla il sego della derivata secoda i quel puto: p pˆ pˆ pˆ 5 ˆ 5 5 ( pˆ ) (,67) (,67) 5,3 3

31 Essedo il sego della derivata secoda egativo, p ˆ, 67 esprime il valore di p che massimizza la probabilità di otteere 5 codizioatori eccessivamete rumorosi i u campioe di dimesioe. ESERCIZIO 7 Data ua popolazioe X di tipo uiforme e di parametri a e b si suppoe di estrarre, i modo casuale, u campioe per il quale la media risulta pari a e la variaza pari a 6. Stimare i parametri a e b della popolazioe co il metodo dei mometi. Ricordado che per ua distribuzioe uiforme: si poe: E b + a ( X ) e Var( X ) ( b a), b + a e ( b a) 6 Risolvedo il sistema per a e b si trova: b ˆ 4,4 e a ˆ 5, 76. ESERCIZIO 8 Data ua popolazioe ormale di media pari a µ e variaza icogita è stato estratto u campioe casuale ( X,, X ). Trovare la stima di massima verosimigliaza della variaza. Il logaritmo della fuzioe di verosimigliaza di σ è: ( ) ( ) ( ) x,, x ; σ log πσ x i log L µ σ i 3

32 per cui bisoga risolvere l equazioe: log L ( x,, x ; σ ) σ σ + σ 4 i ( x µ ) i la cui soluzioe è forita dal valore di σ ˆ : σ ˆ i ( ) µ x i che è la stima di massima verosimigliaza di σ quado la madia della popolazioe è ota. 3