Matematica e Statistica

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1 Matematica e Statistica Prova d esame (9/09/0) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/

2 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (9/09/0) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/ Cognome-Nome Matr. IN STAMPATELLO VR *** Svolgere prima i punti (a) di tutti gli esercizi; solo in seguito i punti (b). *** Test a quiz sul retro () (a) Nel piano (x, y) determinare sia in forma parametrica che cartesiana la retta r passante per i punti A(, ) e B(, 3). Vedendo poi il piano (x, y) come piano orizzontale dello spazio cartesiano (x, y, z), determinare (sempre sia in forma parametrica che cartesiana) il piano Π parallelo al vettore v = (, 0, ) e la cui intersezione col piano orizzontale è la retta r. (b) Determinare la retta s che passa per il punto B(0, 0, ) ed è parallela a Π e ortogonale a r. ( () Studiare l andamento di f(x) = arctg x + ), e tracciarne il grafico. () x 4 (3) (a) Calcolare x log x dx e 0 x + x + dx. { } (b) Disegnare S = (x, y) : x y e x/ +, x x +, e calcolarne l area. (4) (a) Data g(x, y) = y(x + y x y), determinarne dominio, zeri, segno e limiti interessanti, disegnando i risultati. Trovarne i punti stazionari ed eventuali estremi locali. (b) Disegnare l insieme M = {(x, y) : 0 y 3 x, 0 x }, e calcolare gli estremi assoluti di g su M. (5) È data l equazione differenziale αy y + y = x + e αx, ove α R. (a) Trovare tutte le soluzioni nel caso α = 0, e tutte le soluzioni nel caso α =. (b) Quali di queste soluzioni hanno il grafico tangente per x = 0 alla parabola y = x x? () Non è richiesto lo studio della convessità.

3 Matematica e Statistica Prova di STATISTICA (9/09/0) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/ Cognome-Nome Matr. IN STAMPATELLO VR *** Attenzione: compiti illeggibili non verranno corretti! *** Test a quiz sul retro

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5 Soluzioni MATEMATICA () (a) La retta r del piano (x, y) passante per i punti A(, ) e B(, 3) sarà parallela al vettore w = B A = (3, ), dunque avrà forma parametrica r = {(, ) + t(3, ) : t R} = {( + 3t, + t) : t R}. Da x = + 3t si ricava t = (x + ), che messa in y = + t dà y = x + 5, ovvero x 3y + 5 = 0. Il piano Π parallelo al vettore v = (, 0, ) e la cui intersezione col piano orizzontale è la retta r sarà parallelo anche al vettore w = (3,, 0) (quello parallelo a r, visto come vettore orizzontale) e passerà per il punto A(,, 0) (il punto di r visto come punto del piano z = 0), e pertanto una forma parametrica sarà Π = {(,, 0) + s(, 0, ) + t(3,, 0) : s, t R} = {( + s + 3t, + t, s) : s, t R}; sostituendo poi s = z e t = (y ) in x = + s + 3t si ottiene x = + z + 3 (y ), ovvero la forma cartesiana x 3y 4z + 5 = 0. (b) Occupiamoci ora della retta s che passa per il punto B(0, 0, ) ed è parallela a Π e ortogonale a r. Un vettore ad essa parallelo dovrà essere dunque ortogonale sia al vettore w = (3,, 0) (quello parallelo a r) che al vettore u = (, 3, 4) (quello ortogonale a Π), e dunque sarà (a meno di multipli scalari) il loro prodotto vettoriale w u = ( 8,, 3). Una forma parametrica per la retta s sarà allora s = {(0, 0, ) + t( 8,, 3) : t R} = {( 8t, t, 3t) : t R}; sostituendo poi t = 8 x in (y, z) = (t, 3t) si ottiene (y, z) = ( 4 3 x, x), dunque una forma cartesiana per s è il sistema delle due equazioni 4x + 3y = 0 e 3x 8z + 8 = 0. () (Figura ) La funzione f(x) = arctg (x + ) è definita per x 0, ed è derivabile infinite volte nel suo dominio; x non ha parità ne periodicità. Si tratta di una funzione composta in cui l ultima componente ad agire è l arcotangente: ne segue che f(x) è limitata tra π e π (in altre parole, il suo grafico è contenuto nella striscia orizzontale compresa tra tali ordinate). Si ha f(x) = 0 quando x + = x3 + = 0, cioè x = ; il numeratore è x x positivo per x >, il denominatore per x > 0, dunque f è positiva per x < e per x > 0. I limiti interessanti sono determinati, e valgono lim x f(x) = π e lim x 0 f(x) = π, in particolare la retta y = π è asintoto orizzontale bilatero. Si ha poi f (x) = x x = x3, dunque vale f (x) 0 quando x 3,6: (x + x ) + (x 3 +) +x ne ricaviamo che x = 3 è un punto di minimo locale, con f( 3 ) = arctg 3 3,. È anche interessante notare la pendenza del grafico in 0, ovvero sia in arrivo (in 0 ) che in partenza (in 0 + ): essa è lim x 0 f (x) =. (3) (a) Sostituendo x = t (dunque dx = t dt) si ha 4 x log x dx = t log(t ) t dt = 4 t log t dt = 4( ( 3 t3 log t] 0 3 t3 dt ) = 4( 8 log ( t 3 9 t3 ] ) = 4( 8 log 7 ) 4,3. Ponendo prima x = 3 9 t e poi t = τ si ha x+ dx = t dt = t dt = τ dτ = (log(τ + ) arctg τ] x+ 0 t +t+ 0 (t+) + τ + = (log 5 arctg ) (log π ) = π + log 5 arctg 0,3. (b) (Figura ) La condizione x x + equivale a x, e notiamo che in tale tratto la parabola x sta sempre sotto l esponenziale traslato e x/ + : l area di S è pertanto (ex/ + ) dx + (x ) dx = ( e x/ + x] + ( 3 x3 x] = (e + ) ( e ) + ( ) ( ) = e e 7,. (4) (a) (Figura 3) Il dominio di g(x, y) = y(x + y x y) è tutto il piano (x, y); si tratta di una funzione continua; le derivate parziali g = (x )y e g = x y x + 3y x y sono continue, dunque g è differenziabile ovunque. La funzione si annulla quando y = 0 (ovvero sull asse x) e quando x + y x y = 0 (la circonferenza di centro (, ) e passante per l origine); il fattore y è positivo sopra l asse x, il fattore x + y x y lo è all esterno della circonferenza, e il segno di g ne segue per prodotto. L unico limite interessante è quello in, che non esiste: infatti la funzione è nulla su tutto l asse x, mentre sulla retta y = vale x x, che tende a + quando x. Dal sistema g = g = 0 si ricavano i quattro punti stazionari O(0, 0), A(, 0), B(, ) e C(, ); la x y 3 matrice hessiana di g risulta H g(x, y) = ( ) y (x ) (x ) 6y ; essendo Hg(O) = ( ) 0, Hg(A) = ( ) 0, H g(b) = ( ) e Hg(C) = ( 3 ) 0 0 4, il criterio dell hessiano dice subito che B è punto di minimo relativo stretto, C è punto di massimo relativo stretto, mentre O e A sono punti di sella. (b) (Figura 3) L insieme M = {(x, y) : 0 y 3 x, 0 x } è il trapezio rettangolo di estremi O, A, D(, ) e E(0, 3) rappresentato in Figura 3. Per la ricerca degli estremi assoluti di g su M (che esistono in base a Weierstrass, essendo M un sottoinsieme compatto ovvero chiuso e limitato interamente contenuto nel dominio di g, che è continua) dividiamo M nelle zone M 0 dei suoi punti interni; M del lato verticale lungo privato dei vertici; M del lato verticale corto privato dei vertici; M 3 del bordo obliquo superiore privato dei vertici; M 4 del

6 bordo orizzontale inferiore privato dei vertici; e M 5 = {O, A, D, E} dei vertici. Se massimo o minimo assoluti fossero assunti in un punto di M 0, tale punto dovrebbe essere in particolare stazionario per g: come visto prima ce ne sono quattro, e l unico dentro M 0 è B(, ) (che, essendo un punto di minimo locale stretto, è un candidato ad essere punto di minimo assoluto per g su M). Sul lato M la funzione vale ϕ (y) := g(0, y) = y(y y) con 0 < y < 3. Se massimo o minimo assoluti fossero assunti in un punto di M, in tale punto dovrebbe annullarsi la derivata ϕ (y) = 3y y, il che avviene per y = 0 (non accettabile) e per y = (accettabile). 3 Abbiamo dunque il punto F (0, ). Sul lato 3 M la funzione vale ϕ(y) := g(, y) = y(y y), come prima ma stavolta con 0 < y <. Con i conti di prima individuiamo il punto G(, ). Sul lato M3 la funzione vale 3 ϕ 3(x) := g(x, 3 x) = (3 x)(x 7x + 6) con 0 < x < ; la derivata ϕ 3(x) = (6x 6x + 7) si annulla per x = 3± 7, e questo dà un altro punto H( 3 7, 5+ 7 ). Sul lato M la funzione è identicamente nulla, e lo teniamo presente. Infine, i quattro punti O, A, D, E di M 5 vanno tenuti tutti presenti. Gli estremi assoluti di g su M potranno dunque assunti solo nell ambito dei punti B, F, G, H, O, A, D, E più tutti i punti di M 4: poiché g(b) =, g(f ) = g(g) = 4, g(h) = ,6, g(o) = g(a) = g(d) = 0 (come su tutti i punti 7 54 di M 4) e g(e) = 8, il massimo assoluto di g su M è 8 (assunto in F ) e il minimo assoluto è (assunto in B). (5) (a) Abbiamo l equazione differenziale αy y + y = x + e αx, ove α R. Quando α = 0 l equazione diventa y + y = x +, lineare del primo ordine: essa infatti può essere posta nella forma y + p(x) y = q(x) con p(x) = e q(x) = (x + ). Si ha P (x) = p(x) dx = x, e e P (x) q(x) dx = (x + ) e x/ dx; posto x = t (da cui dx = dt) si ottiene ( t) e t dt = ( t)e t = (x + 4)e x/. La soluzione generale è perciò y(x) = e x/ ((x+4)e x/ +k) = x+4+k e x/ con k R. Quando α = l equazione diventa y y +y = x+ e x, lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L equazione caratteristica t t + = 0 ha soluzione doppia t =, dunque lo spazio di soluzioni dell equazione omogenea associata è y(x) = (A+Bx)e x al variare di A, B R. Una particolare per la completa con b (x) = x è del tipo ỹ (x) = a + bx, e i calcoli danno (a, b) = (, ); una soluzione particolare per la completa con b (x) = e x è del tipo ỹ (x) = a x e x, e i calcoli danno a = ; dunque lo spazio di soluzioni dell equazione completa è y(x) = (A + Bx + x )e x + x + al variare di A, B R. (b) La condizione che una soluzione y(x) abbia il grafico tangente alla parabola y = h(x) = x x quando x = 0 equivale a richiedere che y(0) = h(0) = 0 e che y (0) = h (0) =. Imponendo a y(x) = x k e x/ che valga y(0) = 0 si ottiene 4 + k = 0, ovvero y(x) = x e x/ ; si ha allora y (x) = e x/, che (fortunosamente!) soddisfa anche y (0) = =. Questa soluzione è dunque tra quelle cercate. Imponendo a y(x) = (A + Bx + x )e x + x + che valga y(0) = 0 si ottiene A + = 0, ovvero y(x) = (x + Bx )e x + x + ; derivando si ha y (x) = (x + (B + )x + B )e x +, e imponendo che y (0) = si ottiene (B ) + =, ovvero B = 0. La soluzione cercata è dunque y(x) = (x )e x + x +.. Il grafico della funzione dell ex... L insieme dell ex. (3.b). 3. Ex. (4.b): zeri (rosso), segno positivo (giallo) e negativo (grigio) della funzione g; l insieme M (azzurro).

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