LA PARABOLA. Prof. Walter Pugliese

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Leonora Cara
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1 LA PARABOLA Prof. Walter Pugliese

2 Che cos è la parabola Scegliamo sul piano un punto! e una retta ". Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da! e da ". DEFINIZIONE Si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da # e da $. Il punto! e la retta " sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola. Il punto % in cui la parabola interseca il suo asse è il vertice della parabola.

3 Parabola con asse coincidente con l asse y e vertice nell origine Fissiamo il fuoco nel punto!(0; %) e la direttrice nella retta ' di equazione ( = %. Un punto generico,(-; () è equidistante da! e da ' se,! =,. cioè: - / + ( % / = ( + % - / + ( % / = ( + % / - / + ( / 2%( + % / = ( / + 2%( + % / - / 4%( = 0 ( = / Ponendo a = 3 si ha: 45 Equazione della parabola con vertice nell origine e asse verticale: 7 = 89 : ;<= > 0 Da a = 3 ricaviamo f = 3 D pertanto Coordinate del fuoco: B C; 45 4A E8 Equazione della direttrice: 7 = D E8

4 Esempio 1

5 Esempio 2

6 Segno e concavità della parabola Nell equazione della parabola! = #$ %, se & > ( abbiamo! 0, quindi i punti della parabola diversi dal vertice si troveranno nel primo e secondo quadrante (semipiano positivo). Inoltre, se # > 0, anche + > 0, cioè il fuoco è sul semiasse positivo dell asse delle!, diremo allora che la parabola volge la concavità verso l alto. S, & < (, si ha! 0 e i punti della parabola diversi dal vertice si troveranno nel terzo e quarto quadrante (semipiano negativo). Inoltre, se # < 0, anche + < 0, cioè il fuoco è sul semiasse negativo dell asse delle!, diremo allora che la parabola volge la concavità verso il basso.

7 Il valore a e l apertura della parabola Per! > 0, all aumentare di! diminuisce l apertura della parabola. Se invece il coefficiente! è negativo, l apertura della parabola diminuisce all aumentare del valore assoluto di!.

8 Equazione della parabola con asse parallelo all asse y e vertice noto Data una qualsiasi parabola con asse parallelo all asse! e di vertice noto, determiniamo la sua equazione. La parabola " # della figura si può ottenere mediante la traslazione dei punti della parabola " con vertice nell origine e ad essa congruente. Le equazioni della traslazione sono: $ %# = % + % (! # =! +! ( Nelle equazioni della traslazione ricaviamo % e!: $ % = %# % (! =! #! ( Sostituiamo nell equazione! = *% + della parabola ", otteniamo:! #! ( = a(% # % ( ) + /01 * 0 ossia l equazione che deve essere soddisfatta dalle coordinate dei punti di " #. Gli apici delle variabili % # e! # servono solo a distinguere i punti di " # da quelli di ". Una volta determinata l equazione possiamo eliminarli e scrivere : = 6(7 7 5 ) 8

9 Equazione della parabola con asse parallelo all asse y Abbiamo visto che una qualsiasi parabola con asse parallelo all asse y e di vertice noto!(# $ ; & $ ) ha equazione: ( ( * =, - - *. Cioè: & = / # 0 2# $ # + # $ 0 +& $ & = /# 0 2/# $ # + /# $ 0 +& $ Ponendo: 3 = 2/# $ e 4 = /# $ 0 +& $ L equazione diventa: ( =, (equazione con asse parallelo all asse delle y) Dalle posizioni effettuate ricaviamo: - * = 5., (ascissa del vertice) & $ = 4 /# 0 $ = 4 / 78 9: = 78 ;9:< 8 9: ( * = (ordinata del vertice) >, ponendo = 3 0-4ac si ha: continua

10 L asse della parabola è la retta passante per il vertice e parallela all asse!, quindi : " = % (equazione dell asse) &' L ascissa del fuoco è uguale a quella del vertice, quindi: " ( = % (ascissa del fuoco) &' Per determinare l ordinata del fuoco, sfruttiamo il fatto che ), nella traslazione è il corrispondente del fuoco della parabola! = *+, che ha ordinata -, quindi:./! 0 = -./ +! 2 = -./ +./ 5 ( = 67 (ordinata del fuoco) 8' Analogamente, per l equazione della direttrice, tenendo conto che l equazione della direttrice della parabola di equazione! = *+, è! = -./, otteniamo:! = - +!./ 2 = = 69 (equazione della direttrice)././ 8' continua

11 SINTESI (Equazione della parabola con asse parallelo all asse y) continua

12 Casi particolari (Equazione della parabola con asse parallelo all asse y)

13 Esempio 1

14 Esempio 2

15 Parabole e funzioni L equazione! = #$ % + '$ + ( fa corrispondere a ogni ) uno e un solo valore di *, quindi è una funzione, che chiameremo funzione quadratica. Ogni parabola con equazione di questo tipo

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