cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64

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1 By Luca Torchio Prima di defiire i modo rigoroso ua somma di ifiiti umeri, che tra l altro i matematici chiamao Serie, cerchiamo di covicerci che ha seso sommare ifiiti umeri! La cosa, i effetti, fa u po ribrezzo perché si pesa subito alla somma dei umeri iteri: (ifiite volte) oppure, acor peggio: ; aalogamete o sembra avere seso chiedersi il valore di ua somma del tipo 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + i quato aggiugedo ua quatità sempre positiva, si otterrà qualcosa che diveta comuque sempre più grade: vero, ma è proprio qui il traello: sempre più grade o vuol dire illimitato ; per capirci, almeo sulle parole, defiiamo bee, ache se i forma o rigorosissima: 1. INSIEME INFINITO: isieme i cui elemeti o si possoo elecare tutti. Esempi: i umeri aturali: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 100, 1000, } i umeri razioali (frazioi) compresi tra 0 ed 1: F = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/10, 1/100, } 2. INSIEME ILLIMITATO: isieme per il quale o esiste u cosiddetto maggiorate ossia u elemeto più grade di tutti gli elemeti dell isieme, che può apparteere o o all isieme. Esempi: l isieme N citato sopra è illimitato metre l isieme ifiito F è limitato perché esistoo dei maggiorati: 1 è u maggiorate di F, ma lo soo ache ovviamete 2, 3 Duque, toriamo alla domada iiziale: ha seso sommare ifiiti umeri? Ivece pesare alle solite cose ivocate dai matematici, ossia segmeti, isiemi e balle varie, pesiamo ad ua bella torta che stuzzica di più l immagiazioe ma soprattutto l appetito! Immagiiamo di essere tre matematici da barzelletta che voglioo spartirsi co precisioe assoluta la torta ma che o hao a disposizioe u goiometro: per dividersi la torta allora decidoo di divederla iizialmete i 4 parti, predere 3 e dividere uovamete i 4 parti il quarto restate, per poi ripetere l operazioe fio alle briciole. A C B D B+D=1/4+1/16 Dopo i primi due tagli ciascua persoa avrà avuto prima ¼, poi 1/4 di 1/4 di torta e cioè 1/4 + 1/16 di torta; è chiaro che resta u sedicesimo di torta da suddividere;al terzo taglio i ostri eroi sarao a quota 1/4 + 1/16 + 1/64, e così via. E evidete che: Dopo ogi taglio ogi persoa avrà ua quatità di torta superiore a quella posseduta i precedeza (ovvero la successioe è crescete ) La quatità totale di torta i possesso di oguo, pur aumetado sempre, o potrà mai superare u certo valore, secodo quello che i fisici chiamerebbero pricipio di coservazioe della torta, pardo, della massa (ovvero la successioe è limitata ) Ifatti dopo il primo taglio, avedo preso A, B,C ciascuo ¼, ache pesado di fare il furbo e di imboscarsi il quarto rimasto, essuo dei tre potrà portarsi a casa più di mezza torta! Dopo il secodo taglio la quatità posseduta sarà di certo miore di 1/2 + 2/16 e così via.

2 Quidi oi riusciamo ad accettare che sommado le ifiite quatità: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/ otteiamo ua quatità fiita, o meglio, il ostro cestio coterrà ua quatità limitata (seppur ifiita, formata da due o tre fette ed ifiite briciole!). Possiamo ache capire che al termie delle operazioi, essedo fiita la torta, ciascu persoaggio, avedo ricevuto ad ogi taglio la stessa quatità degli altri sarà veuto i possesso esattamete di u terzo di torta! Quidi: aa1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/ / = 1/3 a Ragioado allo stesso modo, quale sarà il risultato della somma ifiita: 1/10 + 1/ / / = a? a Se hai dato la risposta esatta allora sarai ache i grado di geeralizzare e di completare la formula: 1/ + 1/ 2 +1/ 3 + 1/ 4 + = a? a Per idicare la somma a primo membro viee solitamete usato il seguete simbolo chiamato dai 1 matematici sommatoria (i realtà è la sigma maiuscola greca): =... k k= 1 [Cosa ci si va ad ivetare pur di scrivere di meo ] Quello che abbiamo itrapreso è il vero lavoro del matematico, fatto di tetativi, ituizioi (a volte sbagliate! e quidi sempre da verificare), geeralizzazioi (che se o soo dimostrate predoo il ome di cogetture). Ad esempio le formule che avete scritto sopra soo da dimostrare, sulla base di quella che deve essere ua defiizioe rigorosa di somma di ifiiti umeri o serie. Perché o ci possiamo accotetare? Perché el ostro modo di procedere abbiamo proceduto co metodo iduttivo sperimetale 1. Siamo partiti ifatti da u paio di pricipi sperimetali: La massa della torta deve rimaere costate. Dividedo ua quatità i parti uguali per ifiite volte, termiata l operazioe (e supposto che questa si possa termiare i u tempo fiito), questa quatità resta divisa i parti uguali. ed abbiamo scritto ua formula geerale sulla base u umero fiito (due per la precisioe) di verifiche sperimetali (le somme 1/4 + 1/16 + ed 1/10 + 1/100 + ). Isomma abbiamo lavorato come dei fisici Quado si studia la matematica (si usa dire così ), solitamete si salta di brutto questo tipo di approccio, passado subito alla fase deduttiva: la defiizioe, il pricipio soo dati per buoi (e di solito o si capisce il motivo per cui vegoo date certe defiizioi) e da essi si deducoo tutta ua sfilza di proprietà (teoremi) che servirao a risolvere problemi di questo o di quel tipo. E il metodo di lavoro che viee defiito logico-deduttivo. Diamo duque ua defiizioe rigorosa di somma di ua serie che ci permetterà di calcolare la somma di ua qualuque serie umerica e o soltato quella di termie geerale pari a 1/N k a patto che questa somma esista, come dicoo i matematici, ossia abbia seso parlare. Prediamo i cosiderazioe la ostra somma di ifiiti umeri: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/ s 1 s 2 s 3 s 4 1 (ache se abbastaza mascherato, perché chi scrive o è u matematico vero, ma u isegate che o ha fatto molta ricerca matematica e che d altra parte si sete u po fisico ehm, isomma, uo che o sa eache bee lui che cosa sia di preciso!!! )

3 ed adiamo a costruire u successioe di umeri ella quale: il primo umero è ache il primo della somma ifiita: s 1 = (1/4); il secodo è la somma dei primi due della somma ifiita: s 2 = (1/4 + 1/16); il terzo è la somma dei primi tre della somma ifiita: s 3 = (1/4 + 1/16 + 1/64); ecc; l eesimo è la somma dei primi umeri della somma ifiita: s = (a 1 + a 2 + a 3 + a a ). Come abbiamo già otato prima, la successioe di umeri s risulta crescete (ogi umero s è maggiore di quello che lo precede s -1 ) e di sicuro limitata : ad esempio essu s sarà più grade di ½. Si può allora cocludere, se già si coosce la defiizioe di limite, che il limite della successioe dei umeri s esiste ed è u umero fiito e lo si poe, per defiizioe, pari alla somma degli ifiiti umeri. Quidi, i geerale possiamo dire che: la somma di ifiiti umeri è uguale al limite della successioe delle somme parziali s (i matematici la chiamao successioe della somme ridotte). Già, bravo direte voi, ma che cos è il limite di ua successioe? Lo capiremo sez altro se studiamo ua successioe u po più semplice rispetto a quella delle fette di torta! Prima però vorrei richiamare l attezioe sulla differeza di sigificato tra i due termii, successioe e serie: Ua successioe è u eleco di ifiiti umeri: es. 1; 2; 3; 4; Ua serie è ua somma di ifiiti umeri: es; (sarebbe più corretto dire che è il simbolo che idica la somma stessa, poiché il risultato della somma lo si chiamerà, quado esiste, somma della serie ). Studiamo duque la successioe dei umeri otteuti così: 1-1/, ossia la seguete successioe: 1-1/2; 1-1/3; 1-1/4; 1-1/5; ecc.; ma mao che procedo a scrivere i umeri di questa successioe (che, come quella della torta è crescete e limitata, limitata da 1) vedo che mi avvicio fi che voglio ad 1 ed ioltre o potrò più discostarmee. Ossia a partire da u certo valore i poi tutti i umeri della successioe sarao più vicii ad uo di u umero ε arbitrario, piccolo a piacere, che so u cetesimo, u millesimo, u miliardesimo isomma, quello che voglio. Quado capita questo, allora dico che il limite della successioe è 1. I geerale, il limite di ua successioe di valori a 1, a 2, a 3, a, è il umero L se, a partire da u certo termie a della successioe, la differeza (i valore assoluto) tra L e qualuque termie successivo ad a, sarà miore di u umero ε piccolo a piacere e fissato da oi, ossia: fissato ε, piccolo a piacere, trovo a tale che per tutti gli a successivi ad a risulta: L a < ε Ad esempio, fissato ε = 0,2 si trova a = 0,8 (il quito termie della successioe 1-1/5): per tutti gli a successivi, risulta che 1 a < ε; fissato ε = 0,1 risulta a = a? a 1-1/ 1 0, , , , , , , , , , , ,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 successioe a = 1-1/

4 Quado ε diveta più piccolo dello spessore del pallio la stampate disegerà tutti i pallii allieati, praticamete alla quota del limite (v. figura successiva). Torado alla ostra successioe di somme parziali di fette di torta, osserviamo che ciascu umero s è la somma dei primi umeri di ua progressioe geometrica di ragioe ¼ (ossia ciascu umero è otteuto dal precedete moltiplicadolo per ¼): 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + = 1/4 + 1/4 * 1/4 + 1/16 * 1/4 + 1/64 * 1/4 + Ora grazie al cielo la somma dei primi umeri di ua progressioe geometrica o dobbiamo calcolarla tutte le volte ma ci è forita dalla seguete formula ella quale q è la ragioe ed a 1 il primo umero della somma (che, el ostro caso, valgoo etrambi ¼): s a = a 1 1 q 1 q a q 1 4 Nel ostro caso avremo duque: s = a * 1 = ; è evidete che i questa 1 q successioe di umeri, come i quella studiata poco sopra 1-1/, più aumetiamo l espoete e più il umeratore della formula tede ad uo el seso della defiizioe precedete di limite; quidi secodo la defiizioe di somma di ifiiti umeri quale limite della successioe delle somme parziali, possiamo scrivere che: /4 + 1/16 + 1/64 + 1/ = lim * = * = * = Mi ripeto: la somma della serie, essedo uguale al limite della successioe s, vale 1/3; proprio come avevamo ituito a suo tempo! Se o vi risultasse chiaro quato scritto i questa ultima pagia, poco importa!!! Ci viee i aiuto il foglio elettroico Excel che ci permette di calcolare i modo iterativo i valori della successioe delle ridotte e quidi di vedere sia dalla tabella, sia dal grafico, che tale successioe ha limite (o, come si dice comuemete, coverge a) 1/3 = 0, Ifatti, già dal quito termie i poi, tutti i pallii soo allieati (Domada difficile: quato varrebbe, i questo caso, il famoso ε?). a = (1/4) s N = a 1 +a a Ν 1 0,25 0,25 2 0,0625 0, , , , , , , , , ,10352E-05 0, ,52588E-05 0, ,8147E-06 0, ,53674E-07 0, ,38419E-07 0, ,96046E-08 0, ,49012E-08 0, ,72529E-09 0, ,31323E-10 0, ,32831E-10 0, ,35 0,33 0,31 0,29 0,27 successioe delle somme parziali della serie "torta" a = (1/4) 0,

5 Quidi possiamo stare traquilli: la defiizioe di somma di ifiiti umeri è ua magia che salva il ostro sao e vecchio buo seso (da fisici ). Abbiamo così itrodotto ua defiizioe che ci permetterà di calcolare i ogi caso (ache quelli complicati e per i quali il buo seso o ci basterebbe più) il valore della somma di ifiti umeri. E stato scritto, dalla matematica tedesca Emmy Noëther ( ), che il matematico è u appredista stregoe: dalla sua acora icerta bacchetta magica escoo a volte dei mostri iaspettati che permettoo, adadoli a studiare, di scoprire uovi modi. A proposito di uovi modi! La defiizioe data di somma di ua serie o è l uica; se aalizziamo la serie: (-1) + ; la successioe delle somme ridotte risulterà la seguete: 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, che, cotiuado ad oscillare tra zero ed uo, o può avere u valore limite secodo la defiizioe data i precedeza. E possibile, ed è stato scoperto dal matematico apoletao Eresto Cesàro ( ), itrodurre ua uova defiizioe di somma di ua serie che ovviamete dovrà dare per le serie covergeti gli stessi risultati otteuti co la precedete, ed i più farà si che la serie (-1) + abbia come somma, idoviate u po, il valore zero! E fialmete possiamo aalizzare la situazioe prospettata da Zeoe el più famoso dei suoi paradossi. Iazitutto ricordiamo che Achille parte distaziato dalla tartaruga di d metri ma per comodità pesiamo a d = 1m. Nel tempo impiegato da Achille a percorrere questo metro, poiamo u secodo, la tartaruga percorrerà la metà esatta di questa distaza e cioè ½ metro. A questo puto Achille percorrerà ach egli questo mezzo metro ma impiegherà soltato mezzo secodo. Itato la tartaruga, al termie del secodo e mezzo trascorso dall iizio della gara avrà percorso u altro quarto di metro (la metà di mezzo metro); duque i u secodo e mezzo Achille avrà percorso u metro e mezzo metre la tartaruga avrà percorso complessivamete ½ + ¼ di metro. E così via Lo spazio percorso da etrambi sarà duque pari alla somma delle due serie suddette che soo covergeti e sarà percorso i u tempo fiito perché il moto è uiforme e quidi questo spazio complessivo verrà percorso el tempo (1 + ½ + 1/4 + 1/8 + )secodi che di uovo è u umero fiito. Quidi i questo tempo, per defiizioe di somma di ua serie, le posizioi di Achille e della tartaruga coiciderao. Nella pagia seguete viee riportato per itero u foglio di Excel el quale soo tabulati i valori degli spazi percorsi da Achille e dalla Tartaruga e le rispettive posizioi rispetto ad u sistema di riferimeto R(O; x) el quale le posizioi iiziali soo rispettivamete: Posizioe iiziale di Achille: x A (t=0) = -1 Posizioe iiziale della Tartaruga: x T (t=0) = x Nell ultima riga della tabella soo riportati i limiti delle successioi tabulate ossia le somme delle differeti serie, rispettivamete gli spazi percorsi da Achille e dalla Tartaruga e le posizioi di Achille e della Tartaruga. Dal grafico si ota che già dal 12 passo della iterazioe o meglio dopo che soo trascorsi 1,99976 secodi dall iizio del cammio, le due posizioi coicidoo, ache se i realtà distao acora di circa 1/10000 di metro ossia di 1/10 di millimetro. Immagiado che Achille segua sulla stessa liea la tartaruga e, o essedo ua persoa ed ua tartaruga dei bosoi irrispettosi del pricipio di esclusioe di Pauli ed icapaci di occupare la stesso stato quatico, possiamo dire allo scadere del secodo secodo Achille avrà già raggiuto o meglio urtato (el seso di iterazioe) la perfida tartaruga!!!! Se ivece Achille e la Tartaruga fossero i omi di due bosoi, la loro posizioe comuque ed a maggior ragioe coiciderebbe (o appea la loro distaza fosse miore della costate di Plack divisa per mv, ovviamete!) o forse o!? Che e so: i fi dei coti, persio Eistei disse: per me i fodo, l uomo o è che u povero diavolo!

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