LE REGOLE GENERALI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA : COME SI DIMOSTRANO CON I TRE ASSIOMI DELLA PROBABILITA?

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1 INDICE (lezione LE REGOLE GENERALI DI CALCOLO DELLE PROBABILIA : COME SI DIMOSRANO CON I RE ASSIOMI DELLA PROBABILIA?.1 Raccordo con le regole di calcolo delle probabilità già viste nelle lezioni precedenti pag.. L insieme differenza A-B di due insiemi A e B pag. E.1 Esercizio sull evento differenza pag. 3.3 Dimostrazione della regola della probabilità totale (o regola di Carathéodory e di altre regole di calcolo della probabilità pag. 3 E. Esercizio sulla probabilità dell evento differenza pag. 5 PROBABILIA' DI UN EVENO DAO UN ALRO EVENO O PROBABILIA CONDIZIONAA.4 La probabilità condizionata: il caso dell evento che implica un altro evento, il caso di due eventi incompatibili, probabilità condizionate inverse pag. 5.5 La probabilità condizionata: il caso del Noisy Binary Channel (NBC pag. 7.6 Relazione tra probabilità condizionata e tempo: probabilità di transizione, probabilità inverse pag. 8.7 Relazione tra probabilità condizionata e probabilità non condizionate: la formula per il calcolo della probabilità condizionata. pag. 9 E.3 Esercizio sulla probabilità condizionata: caso NBC pag La probabilità condizionata: sua definizione formale e sue regole di calcolo pag. 1 1

2 LE REGOLE GENERALI DI CALCOLO DELLE PROBABILIA : COME SI DIMOSRANO CON I RE ASSIOMI DELLA PROBABILIA?.1 RACCORDO CON LE REGOLE DI CALCOLO DELLE PROBABILIA GIA VISE NELLE LEZIONI PRECEDENI. Nel paragrafo 1.7 della prima lezione ( sono stati presentati i tre assiomi del calcolo delle probabilità. Alcuni di detti assiomi e loro conseguenze li avevamo però già visti (ed applicati e giustificati in modo sia numerico sia intuitivo, nei paragrafi precedenti il paragrafo 1.7, quali ad esempio: la probabilità dell evento certo, dell evento impossibile, ecc. Inoltre, nei paragrafi successivi il paragrafo 1.7 in relazione alle variabili, o quantità, aleatorie sono emerse in modo del tutto naturale certe altre regole di calcolo delle probabilità valevoli (salvo una cautela circa gli stremi degli intervalli sia per le q.a. continue sia per le q.a. discrete, quali ad esempio: la regola della monotonia non decrescente della probabilità, la regola della probabilità dell evento complementare, la regola di calcolo della probabilità di un evento specificato da un intervallo, ecc. ali regole di calcolo delle probabilità, come tutte le regole del calcolo delle probabilità, si dimostrano formalmente (e senza bisogno di fare riferimento a specifiche variabili o quantità aleatorie sulla base soltanto dei tre assiomi nonché della teoria degli insiemi. ali regole di calcolo delle probabilità sono dunque in realtà dei veri e propri teoremi che si deducono dagli assiomi, ed è proprio la loro deduzione, o dimostrazione formale, che è l oggetto della lezione di oggi. Fare tali dimostrazioni, oltre che un utile esercizio per impadronirsi delle regole stesse del calcolo delle probabilità, e inoltre necessario per arrivare a considerare in modo del tutto generale, cioè per eventi aleatori A, B, C, qualsiasi, l importante argomento delle probabilità condizionate, dette anche in fisica (in particolare in meccanica statistica e quantistica probabilità di transizione, nonché l importante teorema di Bayes. L INSIEME A-B DIFFERENZA DI DUE INSIEMI A E B In quanto segue dovremo fare uso dell insieme A B che è l insieme differenza di A e B. (DEFINIZIONE Dati due insiemi A e B, l insieme A B, ovvero l insieme differenza di A e B, è l insieme i cui elementi x hanno le seguenti due proprietà: x Ae x B (ovvero x B si ha dunque che: A B= A B In altre parole, l insieme differenza di A e B è l insieme i cui elementi sono tutti gli elementi di A che non appartengono a B. (PROPRIEA Dalla definizione seguono le seguenti due evidenti proprietà dell insieme differenza: B = B = B ( A B B= A B

3 ESERCIZIO.1 (sull evento differenza. <, si considerino i due eventi = ( e A X x DOMANDE: Con x1 x (1 dare la rappresentazione grafica dei due eventi A e B. ( determinare l evento diferenza A B e darne la rappresentazione grafica. (3 determinare l evento B A motivando la risposta. RISPOSA (1: B= X x 1. A= X x ] x B= X x 1 ] x 1 RISPOSA ( : A B = x < X x ( ] 1 RISPOSA (3: poiché nel caso specifico è B A, allora: B A=.3 DIMOSRAZIONE DELLA REGOLA DELLA PROBABILIÀ OALE (O REGOLA DI CARAHÉODORY E DI ALRE REGOLE DI CALCOLO DELLA PROBABILIA (R1 Regola della probabilità totale (o regola di Carathéodory = P( A B + P( A B B E = P( A B + P( A B B E Dimostrazione di (R1 La regola si ottiene dall assioma (A3, cioè dalla proprietà di additività della probabilità. Infatti: (1 i due insiemi A B e A B sono insiemi disgiunti, ed inoltre ( la loro unione è A stesso Ponendo per semplicità C1 = A B C = A B si ha dunque: C1 C = e C1 C = A. Ed allora per l assioma (A3 si ottiene: = PC ( C = PC + PC = PA ( B + PA ( B 1 1 La regola (R.1 è detta regola della probabilità totale perché dà la probabilità P( A come totale (come somma delle due probabilità parziali al secondo membro. La regola (R.1 è detta anche regola di Carathéodory perché fu il matematico Constantin Carathéodory il matematico che mise in evidenza la sua importanza fondamentale nella teoria generale della misura degli insiemi, teoria di cui il calcolo delle probabilità è un caso particolare. In effetti, come si vedrà qui di seguito, tutte le prossime regole discendono, oltre che degli assiomi, anche, direttamente o indirettamente, da (R.1. (R Regola della probabilità dell'evento complementare Dimostrazione di (R La regola si ottiene da (R1 con dove P ( = 1, B = B e A = B = B 1 P B = P B B E 1 P B = P B B E e dall assioma (A. Infatti si ha: ( = ( + ( B P P B P. Dunque si ottiene 1 = P( B + P( B 3

4 (R3 Regola della probabilità dell'evento impossibile P ( = 0 Dimostrazione di (R3 Primo modo. La regola si ottiene da (R1 con B = e, quindi, con B =. Infatti è = P( A + P( A = + P( (continuazione = + P( P( = = 0 Secondo modo. La regola si ottiene da (R1 con A =. Infatti si ha: ( = ( + ( = ( + ( = ( P( = P( P( = 0 P P B P B P P P ciò perché l equazione a = a è verificata solo da a = zero. (R4 Regola della probabilità dell evento differenza A B (R5 B A P( A B = P( B Regola della monotonia non-decrescente della probabilità B A P( B Dimostrazione di (R4 e (R5 Si ottengono da (R1 con B A (e dunque con A B = B e da (A1. Infatti si ha: = P( B + P( A B P( A B = P( B 0 e dunque: P( A B = P( B, ad anche P( B 0 P( B (R6 Regola della probabilità dell'evento A B nel caso generale (o regola di Poincaré, o regola di inclusione-esclusione P( A B = + P( B P( A B A, B E Osservazione. Nel caso particolare in cui A B = allora si ha P( A B = P( = 0, e dunque (R6 coincide con l assioma (A3. Dimostrazione di (R6 Primo modo. (1 il valore della somma + P( B include due volte il valore di P( A B poiché A B è incluso sia in A sia in B, invece ( il valore di P( A B considera una sola volta A B poiché ovviamente A B contiene una sola volta A B. (3 si deve dunque escludere (sottrarre una volta P( A B da + P( B per avere P( A B e dunque: P( A B = + P( B P( A B Secondo modo. Consideriamo (R1 e sommiamo ad ambo i membri P( B, ovvero + P( B = P( A B + P( A B + P( B P A + P B P A B = P A B + P B = P A B B = P A B dove: (1 la penultima eguaglianza è vera perché i due eventi A B e B sono disgiunti e quindi si può applicare A(3 alla loro unione, e ( l ultima eguaglianza è vera perché l unione di A B e B (per la proprietà dell evento differenza è uguale A B. 4

5 La regola (R.6 è attribuita al grande matematico francese Henri Poincaré da alcune pubblicazioni scientifiche francesi. Come già ricordato all inizio di queste lezioni, Poincaré verso la fine del 1900 pubblicò il suo libro Calcul des Probabilités che fu ristampato nel 191, anno della sua morte, e anche successivamente. ESERCIZIO. (sulla probabilità dell evento differenza. Si considerino i due eventi A= ( X 1.5 e B ( X 1 DOMANDA: Si determini ( P A RISPOSA: (v. pagina seguente ( X 1.5 ( X 1 =. B con (a X U( 3,3 e con (b X N 0.5,4. A= ]1.5 B= ]-1 A B ( 1 X 1. = < 5 ( ] (a P( A B = P( < X = [ ] 1 = ( P A B = P 1< X 1.5 = P X 1.5 P 1 X = ecc., ecc. (b PROBABILIA' DI UN EVENO DAO UN ALRO EVENO O PROBABILIA CONDIZIONAA.4 PROBABILIÀ CONDIZIONAA: IL CASO DELL EVENO CHE IMPLICA UN ALRO EVENO, IL CASO DI DUE EVENI INCOMPAIBILI, PROBABILIA CONDIZIONAE INVERSE (DEFINIZIONE informale La probabilità di un evento B dato un evento nell ipotesi che si verifichi anche l evento A. A è la probabilità che si verifichi l evento B (SIMBOLOGIA La probabilità di un evento B dato un evento A si indica con P( B A, od anche, PA ( B e si dice anche che è la probabilità di B condizionata dall evento evento condizionante e B evento condizionato. A, con A che si dice anche Prima di trattare formalmente le probabilità condizionate, questo paragrafo ed il successivo danno tre casi che semplificano in modo informale quanto segue: Come può accadere che la probabilità P( B di un evento B possa essere modificata (o non modificata a seconda dei casi dall ipotesi che si verifichi un altro evento A? Inoltre questo ed il successivo paragrafo permettono di familiarizzarsi con la simbologia P( B A sopra introdotta e con il suo significato. 5

6 (DEFINIZIONE Se due eventi A e B sono tali che A B, ovvero A B = A si dice che l evento A implica l evento B in quanto x A x B Ovvero, il verificarsi di A implica certamente il verificarsi di B e quindi: se A è verificato, allora certamente B è verificato. (ESEMPIO: probabilità condizionata, il caso: A implica B, ovvero A B o A B = A Sia X una q.a. ed e i seguenti due eventi (dove x < x B ( X x A B 1 = ] A= X x 1 x x ] x 1 con P ( B < 1 e P ( A > 0. Facciamo l ipotesi che si osservi un valore x A, cioè l ipotesi che A si verifichi. Nel nostro caso A implica B, quindi B è verificato certamente nell ipotesi che A si verifichi. Allora, condizionatamente al verificarsi dell evento A, B è un evento certo e dunque deve avere probabilità condizionata pari a 1, ovvero: P( B A = 1 pur essendo P ( B < 1. Inoltre si noti che, viceversa, se si assume verificato B, sempre con A B, allora A può essere verificato oppure no rispettivamente se x B A o se x B A = B A. Infine, si noti che si è ipotizzato sopra P ( A > 0 perché è ovviamente di scarso interesse l ipotesi che si verifichi un evento A con P ( A = 0 (in effetti vedremo che in tal caso la probabilità condizionata formalmente non è neanche definita. (ESEMPIO: probabilità condizionata, il caso: A e B incompatibili, ovvero A B = Sia X una q.a. ed e i seguenti due eventi (dove x > x B ( X x A B 1 = ] x A= X x 1 1 x [ x... + Con P ( B > 0 e P ( A > 0. Facciamo l ipotesi che si osservi un valore x A, cioè l ipotesi che A si verifichi. Nel nostro caso i due eventi sono incompatibili, ed allora x B. Quindi B non è verificato certamente nell ipotesi che A si verifichi. Allora, condizionatamente all ipotesi che A si verifichi, B è un evento impossibile e dunque deve avere probabilità condizionata pari a 0: P( B A = 0 pur essendo P ( B > 0. Viceversa, sempre con A B =, se x B, allora x A. Quindi A non è verificato certamente nell ipotesi che B si verifichi. Allora, condizionatamente all ipotesi che B si verifichi, A è un evento impossibile, e dunque deve avere probabilità condizionata pari a zero 0: P( A B = 0 pur essendo P ( A > 0. 6

7 (OSSERVAZIONE: probabilità inversa di una probabilità condizionata Nel caso dei due eventi incompatibili si è visto sopra che P( B A = 0 = P( A B In generale la probabilità condizionata P( B A (e viceversa. La probabilità inversa di una data probabilità condizionata ( P A B si dice che è la probabilità inversa della probabilità scambiando l evento condizionante A con l evento condizionato B. IMPORANE: in generale, a differenza del caso dei due eventi incompatibili, si ha: P( AB P BA P A B si ottiene Come vedremo, quanto ottenuto sopra per i due casi di un evento che implica un altro e di due eventi incompatibili, si ottiene dalla definizione formale di probabilità condizionata e dà luogo alla regola (R8 della probabilità dell evento certo e dell evento impossibile per le probabilità condizionate..5 PROBABILIÀ CONDIZIONAA: IL CASO DEL NOISY BINARY CHANNEL (NBC Questo paragrafo dà il terzo ed ultimo caso che esemplifica in modo informale quanto segue: Come può accadere che la probabilità condizionata P B A di un evento B possa essere modificata (o non 1 modificata a seconda dei casi dall ipotesi che si verifichi un altro evento Inoltre permette di familiarizzarsi con la simbologia P( B A e con il suo significato. A? (ESEMPIO: probabilità condizionata, il caso del Noisy Binary Channel o NBC Il Noisy Binary Channel è un canale di trasmissione con rumore (o con noise, cioè che può subire dei disturbi o interferenze e che riceve e trasmette solo due tipi di segnali codificati come zero e uno. Ergo, l evento il canale riceve uno (ovvero 1 R è l evento complementare dell evento il canale riceve zero (ovvero 0 R e viceversa. Lo stesso dicasi per gli eventi il canale trasmette zero (ovvero 0 e il canale trasmette uno (ovvero 1. Il verificarsi dei disturbi o delle interferenze nella trasmissione del segnale causa un errore di trasmissione. Il verificarsi dell errore non è prevedibile con certezza prima che esso stesso si verifichi: si tratta cioè di un fenomeno aleatorio. Allora, affinché il canale sia utilizzabile, dovrà essere comunque molto bassa la probabilità che si verifichino gli errori di trasmissione. Detti errori di trasmissione, così come i casi di trasmissione corretta, risultano dalle coppie di zero e uno delle prime due colonne della seguente tabella. La terza colonna riporta i valori (meramente esemplificativi della probabilità del segnale trasmesso (seconda colonna condizionata dal segnale ricevuto (prima colonna. (abella NBC Il canale riceve. Il canale trasmette. Probabilità condizionata. 0 R 0 P ( 0 0R = R 1 (errore P R P( R 1 R 0 (errore P R P( R 1 R 1 P ( 1 1R = 0.99 (Inoltre sia: P( 0 = 0.6, P( 1 = 1 P( 0 = R R R 1 0 = 0.0 = = = 0.01 = =

8 (continuazione. Nella tabella NBC di cui sopra, per esempio nella prima riga, il simbolo P ( 0 0R ed il suo valore 0.98 hanno il seguente significato: (1 P (0 0 indica la probabilità che il canale trasmetta zero nell ipotesi che riceva R zero ( 0 R, ovvero, come anche si dice, che il canale trasmetta zero quando riceva zero. ( indica che c è da attendersi che su 100 volte che il canale riceva zero 98 volte (continuazione trasmetta zero. Del tutto simile, mutatis mutandis, è l interpretazione delle altre righe della tabella di cui sopra (si veda Esercizio (.3a e (.3b. (3 si noti inoltre che nella esemplificazione data dalla tabella di cui sopra l evento B = 0 ha probabilità condizionate diverse a seconda che l evento condizionante sia diverso, cioè sia A = 0 R oppure sia. Infatti A = 1 R P ( R P( B A = = P( R P( B A = = 0.01 Ciò perché, se NBC è stato ben progettato e costruito, la prima probabilità (che riguarda un caso di trasmissione corretta deve essere altissima, mentre la seconda probabilità (che riguarda un caso di trasmissione errata deve essere bassissima. Quindi, nel caso specifico, è del tutto naturale che al variare dell evento condizionante vari pure la probabilità condizionata dell evento condizionato B = 0. Ciò esemplifica quanto richiesto dalla domanda all inizio del presente paragrafo e cioè come accada che l ipotesi che un certo evento sia verificato ( A = 0 R piuttosto che un altro ( A = 1 R possa influenzare la probabilità di un altro evento ( B = 0. (4 si noti infine che a patto che l evento condizionante non vari, anche per le probabilità condizionate è naturale che valga la regola della probabilità dell evento complementare ovvero in generale si ha la regola: = 1 P( B A P B A dove con riferimento p. es. alla seconda riga si è posto: A = 0 R, B = 1, B = 0. Come vedremo l ultima formula di cui sopra è la regola (R7 della probabilità dell evento complementare per le probabilità condizionate. Più in generale si ha che, se si mantiene fissato l evento condizionante, per la probabilità condizionata valgono tutte le regole di calcolo della probabilità non condizionata..6 Relazione tra probabilità condizionata e tempo: probabilità di transizione, probabilità condizionate inverse. (Probabilità di transizione La tabella NBC dà, p. es., la probabilità condizionata ( 0 0R P in cui è presente la direzione temporale dall evento A = 0 R condizionante verso l evento B = 0 condizionato (ciò inquanto prima il canale riceve il segnale e dopo lo trasmette. uttavia in generale la probabilità condizionata P B A non presuppone necessariamente una specifica direzione temporale né dall evento ( condizionante A verso l evento condizionato B, né viceversa. Un altro caso in cui è presente in modo esplicito la direzione temporale dall evento condizionante A verso l evento condizionato B è il seguente. Sia X t 1 X X t = X la stessa q.a. (discreta X considerata in due istanti di tempo t 1 e t, e sia ( 1, (, ( t t t t 1 A = X = x B = X = x P B A = P X = x X = x Ciò indica esplicitamente un ordinamento temporale da A verso B. In tale caso si dice che la probabilità condizionata P( Xt = x Xt 1 = x è la probabilità di transizione della q.a. X dallo stato al tempo t 1, allo stato x al tempo t (dove x, x SX, cioè x e x sono due valori possibili della q.a. X. x 8

9 (Probabilità condizionate inverse Proprio il caso NBC ci porterà a considerare anche probabilità condizionate in cui la direzione temporale è invece dall evento condizionato verso l evento condizionante. In particolare data la probabilità condizionata P (0 0R della prima riga e terza colonna della tabella NBC, sarà richiesto di determinare la probabilità inversa, ovvero ( R P( R P 0 0 = =? Per la risposta numerica bisogna attendere il paragrafo.7 e l Esercizio (.3e. Qui interessa P 0 0 di cui sopra, che è il seguente: considerare il significato della probabilità inversa ( R sapendo che, o ipotizzando che NBC abbia trasmesso zero (evento condizionante, quale è la probabilità che abbia effettivamente ricevuto zero (evento condizionato? Con espressioni più sintetiche si può dire in modo equivalente che: (1 P (0R 0 è la probabilità con cui NBC avendo trasmesso zero ha ricevuto zero ( P (0R 0 è la probabilità con cui NBC ha ricevuto zero quando abbia trasmesso zero ecc. similmente (si veda Esercizio.3e..7 Relazione tra probabilità condizionata e probabilità non condizionate: la formula per il calcolo della probabilità condizionata. Da cosa dipende, ovvero, di cosa è funzione la probabilità condizionata P( B A? Intuitivamente, P( B A deve dipendere, almeno, da due probabilità: (I dalla probabilità congiunta P( A B B dei due eventi A e. Infatti la probabilità condizionata riguarda proprio il verificarsi di entrambi gli eventi (che non vuol dire necessariamente in modo simultaneo. (continuazione alla pagina seguente (II dalla probabilità P( A dell evento A condizionante. Infatti essa indica proprio la probabilità dell ipotesi condizionante, cioè la probabilità che A si verifichi. In conclusione possiamo dire che P( B A è una funzione g (. di almeno due variabili = ( (,,?,?,... P B A g P A B P A In effetti, il prossimo paragrafo ci dirà che P( B A è una ben specificata funzione soltanto delle due probabilità sopra indicate e precisamente è P( B A P( A B P( B A = = ( 0 (* (dove si è tenuto conto della commutatività dell intersezione che è la formula per il calcolo della probabilità condizionata in funzione delle probabilità non condizionate P( A B e P( A. Si noti che a denominatore c è sempre la probabilità dell evento condizionante. Allora per la probabilità P( A B inversa di P( B A sia ha P( A B P( B A P( A B = = ( P( B 0 (* P( B P( B Con le formule (* il calcolo delle probabilità condizionate è così ricondotto al calcolo delle probabilità non condizionate per cui valgono i tre assiomi e le regole di calcolo già viste a suo tempo. 9

10 In realtà, sulla base delle formule (* risulta anche che la probabilità non condizionata P( B non è altro che un caso particolare di quella condizionata P( B A con evento condizionante A =. Infatti, ponendo A = nella prima formula (*, si ha ( P B Analogo risultato si ottiene ponendo ( P( B P( B B E P ( 1 nella seconda formula (* (farlo per sesercizio. P B = = = B = Si noti infine che la probabilità condizionata (* non è altro che la probabilità congiunta dei due eventi rapportata alla probabilità dell evento condizionante per tenere conto del fatto che quest ultimo sia più o meno probabile. Per rispondere alle domande degli esercizi che seguono si utilizzeranno senz altro le formule (* (rimandando le più generali spiegazioni formali al paragrafo.8 successivo e se ne otterranno le conseguenze utili man mano che sarà necessario per rispondere alle domande degli esercizi stessi. ali conseguenze non sono altro che le regole di calcolo delle probabilità condizionate che verranno dedotte in modo formale e generale nel paragrafo.8 successivo. ESERCIZIO.3 (su probabilità condizionata: caso NBC. Le Domande (.3a e (.3b seguenti hanno per oggetto il significato delle probabilità riportate nella tabella NBC. DOMANDA (.3a Esplicitare il significato di ( R P 1 0 = 0.0 (seconda riga e terza colonna della tabella NBC. RISPOSA: il significato è che c è da attendersi che su 100 volte che il canale riceve zero, volte trasmette uno. DOMANDA (.3b Esplicitare il significato di P ( 0R = 0. 6 (in basso a sinistra nella tabella NBC. RISPOSA: il significato è che c è da attendersi che su 100 segnali che il canale riceve 60 sono zero. Per rispondere alla Domanda.3c seguente deduciamo ed applichiamo una formula che nel caso generale del paragrafo.8 vedremo essere la Regola del prodotto (R.9. DOMANDA (.3c Utilizzare le formule (* ed i dati della tabella NBC per determinare: (1 la probabilità con cui NBC trasmette zero e riceve zero, e ( la probabilità con cui NBC trasmette zero e riceve 1. RISPOSA: sono richieste le due probabilità congiunte: (1 P( 0 0R e ( P(0 1R. Dalle due formule (* isolando la probabilità congiunta P( B A che è a numeratore di entrambe, si ottiene rispettivamente: P( B A P( B A = (* P( B P( A B Come, si vedrà nel paragrafo successivo la (* è la regola del prodotto (R.9. Dunque per rispondere alla parte (1 della domanda abbiamo P( 0 0R = P( 0R P( 0 0R = = Si noti che, tenuto conto di (*, è corretta anche l altra espressione di ( 0 0 condizionato ed evento condizionante scambiati, ovvero ( R ( ( R P 0 0 = P 0 P 0 0 =?? =? P con evento Come si vede quest ultima espressione non è utile perché richiede di conoscere delle R 10

11 (continuazione probabilità che non sono fra i dati della tabella NBC (però tali probabilità si possono determinare come si vedrà alle domande (.3d e (.3e. Infine per la parte ( della domanda, da (* abbiamo analogamente P( R P( R P( R Anche in questo caso l altra espressione di ( = = = P con evento condizionato ed evento condizionante scambiati non è utile in quanto anch essa richiede di conoscere delle probabilità che non sono fra i dati della tabella NBC (ma che si possono determinare, come si vedrà alle domande.3d e.3e ( R ( ( R P 0 1 = P 0 P 1 0 =?? =? Come si vedrà al paragrafo.8 le formule di cui sopra che danno la probabilità congiunta in termini di prodotto sono la Regola del prodotto (R.9. Per rispondere alla Domanda.3d seguente deduciamo ed applichiamo una formula che nel caso generale del paragrafo.8 vedremo essere la regola (R.10 cioè la Regola della probabilità totale (R1 scritta con le probabilità condizionate. DOMANDA (.3d Utilizzare i dati della tabella NBC per determinare la probabilità con cui NBC trasmette zero. RISPOSA: è richiesta la probabilità P ( 0. 0 può verificarsi soltanto in uno di due casi incompatibili: o congiuntamente a 0 R, o congiuntamente al suo complementare 1 R. Allora per (R1 abbiamo che P( 0 = P( 0 0R + P( 0 1 R Inoltre esprimendo le due probabilità congiunte con la (* come abbiamo già fatto nella risposta alle parti (1 e ( della domanda (.3c, si ha P( 0 = P( 0R P( 0 0R + P( 1R P( 0 1R E dunque P ( 0 = = = 0.59 Come si vedrà al paragrafo.8 la formula di cui sopra è la regola (R.10 cioè la Regola della probabilità totale scritta con le probabilità condizionate. Per rispondere alla Domanda.3e seguente deduciamo ed applichiamo una formula che nel caso generale del paragrafo.8 vedremo essere la regola (R.11 cioè il teorema di Bayes o Regola delle probabilità inverse. DOMANDA (.3e Utilizzare i dati della tabella NBC per determinare: (1 la probabilità con cui NBC avendo trasmesso zero ha ricevuto zero, ( la probabilità con cui NBC ha ricevuto zero nell ipotesi che abbia trasmesso uno. RISPOSA: sono richieste le due probabilità condizionate seguenti: (1 P ( 0R 0 e ( ( 0R 1 R P. Si tratta di due probabilità inverse rispetto a quelle della prima e seconda riga della tabella NBC. Per la parte (1 della domanda si scriva la sua espressione data dalla (* ovvero P ( 0R 0 P ( 0R 0 = P ( 0 dove sia in termini di formule sia numerici il numeratore risulta dall Esercizio.3c sopra ed il denominatore dall Esercizio.3d sopra, ovvero rispettivamente: ( 0 0R = ( 0R ( 0 0R = = ( 0 = ( 0 0R + ( 0 1R P( 0R P( 0 0R P( 1R P( 0 1R P P P P P P e dunque (vedi continuazione alla pag.seguente P ( R P ( R P = + = = = = = =

12 (continuazione Per rispondere alla parte ( della domanda si scriva la sua espressione data dalla (* ovvero P ( 0R 1 P ( 0R 1 = P ( 1 dove per la (* si ha a numeratore: P( R P( R P( R 0 1 = = = 0.01 e dove il denominatore è la probabilità dell evento 1 complementare di 0 la cui probabilità P ( 0 è stata determinata alla domanda (.3d sopra, ovvero: P( 1 = 1 P( 0 = = (vedi pag. seguente P ( 0R Dunque si ha P ( 0R 1 = = = P ( Come si vedrà al paragrafo.8 la formule di cui sopra che danno le probabilità inverse di quelle date nella tabella NBC sono la formula del teorema di Bayes, ovvero dalla regola (R.11 delle probabilità inverse. DOMANDA (.3f Utilizzare dati della tabella NBC per determinare la probabilità che NBC commetta un errore di trasmissione. RISPOSA: gli eventi aleatori che sono errori di trasmissione sono indicati nella tabella NBC, diciamoli E 1 = ( 0R 1 e E = ( 1R 0. In una trasmissione non si possono verificare entrambi E 1 e E, sono cioè eventi incompatibili o disgiunti. Ergo si può applicare l assioma di additività (A.3 ottenendo P( un errore di trasm. ne = P( E1 E = P( E1 + P( E = P( 0 R 1 + P( 1R 0 Inoltre sappiamo come esprimere le probabilità congiunte in termini di prodotti che coinvolgono le probabilità condizionate che ci sono date dalla tabella NBC (vedasi Domanda.3c, ovvero P( un errore di trasm. ne = P ( P ( 1 0 = R R ( R ( R ( R ( R = P 0 P P 1 P 0 1 = ecc. in cui si sostituiscono i valori numerici data dalla tabella NBC..8 LA PROBABILIÀ CONDIZIONAA: SUA DEFINIZIONE FORMALE E SUE REGOLE DI CALCOLO Si riprenda la regola (R1 e si dividano ambo i membri per 0 P( A B P A B = P( A B + P( A B 1 = + (3* Si dimostra che i due rapporti ottenuti sopra sono numeri compresi fra zero ed uno e che: (1 verificano tutte le regole del calcolo delle probabilità, e ( il loro comportamento matematico è coerente con la definizione informale di probabilità condizionata introdotto all inizio del paragrafo.4 ed esemplificata nei paragrafi ed esercizi successivi al paragrafo.4 stesso. Si ha dunque la seguente: (DEFINIZIONE formale La probabilità P( B A di un evento B dato un evento P( B A P( B A A è data dal rapporto ( 0 = Allora in base a tale definizione, per il secondo rapporto nella formula (3* ottenuta sopra da (R1 si ha 1

13 ( B P A P B A = ( 0 Dunque sostituendo nella formula (3*, si ottiene: = + (4* 1 P( B A P( B A che, a sua volta, ci dà proprio la regola della probabilità dell evento complementare (a parità dell evento A che condiziona, ovvero. (R7 Regola della probabilità dell evento complementare (a parità dell evento = 1, = 1 P BA P BA P BA P BA (si ottiene dalla formula (4*. Le altre regole di calcolo della probabilità condizionata sono le seguenti: A che condiziona: (R8 Regola dell evento certo condizionato e dell evento impossibile condizionato: A B P( B A = 1 A B = P( B A = 0 (si ottiene dalla definizione di P( B A. (R9 Regola del prodotto delle probabilità: P ( B A = P( A B = P( A B P( B (si ottiene dalla definizione di P( B A P( B A = P( B A P( A B P( B = P( B A (si ottiene dalla definizione di P( B A con A (o B al posto di A (o B rispettivamente. (R10 Regola della probabilità totale riscritta con le probabilità condizionate: = P( A B P( B + P( A B P( B (si ottiene da R1 e R9. (R11 EOREMA di BAYES (o regola delle probabilità inverse: P A B P B P A B P B P( B A = = P A P B P A P A B P B P A B P B + (, 0 (si ottiene dalla definizione di P( B A, e da (R9 e (R10 Si noti che per mettere in evidenza in modo riassuntivo come si ottiene il teorema di Bayes si può scrivere regola del prodotto R.9 P A B P B P( B A = = regola della prob. tot. R.10 PABPB PABPB + Riscriviamo i primi due termini della formula del teorema di Bayes nel riquadro come segue P( A B P( B P( A B = = P( B ciò evidenzia che la probabiltà non condizionata P ( B P B A (o probabilità a priori è trasformata nella probabilità condizionata P( B A (o probabilità a posteriori mediante la moltiplicazione del fattore P( A B P( A. 13

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