Controlli Automatici - Parte A

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio 29 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti (si considerino solo le domande numerate normalmente o che recano il nome del docente con cui si è seguito il corso), segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su ), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.. Il sistema dinamico caratterizzato dal modello ingresso-stato-uscita ẋ = 2tx +4x 2 +2u 2 ẋ 2 = x 2 y = cos(t)x 2 è: lineare, tempo-invariante non lineare, tempo-variante non lineare, tempo-invariante lineare, tempo-variante 2. Quali dei seguenti sistemi sono instabili? s+2 G(s) = (s+3)(s 2 6) s+2 G(s) = (s 2 +6)(s+3) s 2 G(s) = (3s+)(s+4) 2 s+2 G(s) = (s 2 +6) 2 (s+4) 3. Siano date due funzioni di trasferimento del secondo ordine G i (s) = disposti come in figura. Nella risposta al gradino i sistemi G (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso sorpasso percentuale i sistemi G (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso periodo delle oscillazioni il sistema G (s) presenta una minore sovraelongazione rispetto a G 2 (s) il sistema G 2 (s) presentaun tempo di assestamentominore rispetto a G (s) (s σ i ) 2 +ω2, i =,2 con i poli 4. L evoluzione libera del sistema ÿ(t)+9y(t) =, partendo dalle condizioni iniziali y() = e ẏ() = 3, è: y(t) = 3e 9t y(t) = 3te 9t y(t) = sin(3t) y(t) = 3cos(3t) 5. La funzione di risposta armonica di un sistema lineare G(s) può essere determinata sperimentalmente solo se G(s) è a fase minima se G(s) è semplicemente stabile se G(s) è asintoticamente stabile anche se il sistema è instabile σ 2 σ jω jω

2 6. (Giarré) Per l applicazione del criterio di Nyquist a un sistema in retroazione: non occorre alcuna informazione sulla stabilità ad anello aperto occorre sapere se il sistema ad anello aperto è stabile o instabile occorre conoscere il numero dei poli a parte reale positiva occorre conoscere il numero degli zeri a parte reale positiva 7. (Biagiotti) Dato lo schema a blocchi (modello POG) di un pendolo inverso rigidamente collegato a un motore in corrente continua riportato in figura, quale sarà l ordine del sistema considerando l ingresso v a (t) e l uscita θ(t)? v a (t) K L s R K s M d 2 +J b s θ(t) M gd cos(q) 8. Il valore iniziale della risposta all impulso g(t) del sistema G(s) = g() = g() = g() = 3 non può essere calcolato perchè G(s) è instabile 9. Considerando l ingresso ū = e lo stato di equilibrio x =, il sistema ẋ(t) = x 3 (t) x(t)u(t) può essere linearizzato come: y = 2π sin(2πx(t))+u2 (t) 2s 2 +9 (s+3)(2s+)( s+) vale: δẋ(t) = 2δx(t) δu(t) y = δx(t)+2δu(t) δẋ(t) = 2δx(t)+δu(t) y = δx(t) 2δu(t) δẋ(t) = 3δx(t) 2δu(t) y = δx(t)+2δu(t) δẋ(t) = 3δx(t)+2δu(t) y = δx(t) 2δu(t). Se un sistema ha due poli complessi coniugati p = 2±j3 di molteplicità 3, allora la sua risposta temporale (libera o forzata che sia) sarà sicuramente caratterizzata da un termine y(t) e 2t cos(3t) y(t) te 2t cos(3t) y(t) t 2 e 2t cos(3t) y(t) t 3 e 2t cos(3t). Dato il diagramma di Bode delle ampiezze di G(jω), da esso si può dedurre il diagramma delle fasi solo se il diagramma di Bode presenta pendenze negative o nulle solo se il sistema G(s) ha tutti i poli a parte reale negativa solo se il sistema G(s) ha tutti i poli e tutti gli zeri a parte reale negativa solo se il sistema G(s) è a fase minima

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof. Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio 29 - Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti (gli studenti dovranno rispondere ai quesiti contrassegnati solo con lettere o col nome del docente di cui hanno seguito il corso più una lettera). I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali ( su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t) = d dt ( te 3t+3 ), x 2 (t) = e 2t (cos(5t)+sin(5t)), dove d dt indica l operazione di derivazione rispetto al tempo. Giarré - b) Dato il sistema definito nello spazio degli stati come ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) con A = [ 4 4 ] [, B = ], C = [.5 ], D = [ ] b.) Determinare la corrispondente funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) ; b.2) Calcolare analiticamente la risposta all impulso di G(s). Biagiotti - b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G (s) = 3s3 +5s 2 2s 5 s 3 +2s 2, G 2 (s) = 5s 3s 2 +s+5 (s+2) 2 (s+)(s+3) c) Dato il seguente schema a blocchi: B X(s) A C E Y(s) D F G utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). 8(.25s+)(s+2.) d) Sia data la funzione di trasferimento G(s) = (.5s+)(s 2 +56s+9)(s 2 +6s+9) Disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino in ingresso di ampiezza 5, u(t) = 5. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata.

4 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G(s) (s 2 +8s+64) s 2 (s+2) d(t) y(t) e.) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. e.2) Posto K =, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 6t e il disturbo d(t) = 2+3sin(5t) e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Biagiotti - e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato sia per valori positivi che per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Giarré - e.4) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica G(jω) per valori positivi della pulsazione. Calcolare esattamente la posizione σ di un eventuale asintoto, le eventuali intersezioni con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni. f) Si faccia riferimento al diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) mostrati in figura. 4 2 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.) Si richiede di ricavare l espressione analitica della funzione G(s). f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 4+3 sin(.7t).

5 Cognome: Nome: N. Matr.: 4 Diagrammi di Bode 2 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

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7 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio 29 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti (si considerino solo le domande numerate normalmente o che recano il nome del docente con cui si è seguito il corso), segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su ), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova.. Il sistema dinamico caratterizzato dal modello ingresso-stato-uscita ẋ = 2tx +4x 2 +2u 2 ẋ 2 = x 2 y = cos(t)x 2 è: lineare, tempo-invariante non lineare, tempo-variante non lineare, tempo-invariante lineare, tempo-variante 2. Quali dei seguenti sistemi sono instabili? s+2 G(s) = (s+3)(s 2 6) s+2 G(s) = (s 2 +6)(s+3) s 2 G(s) = (3s+)(s+4) 2 s+2 G(s) = (s 2 +6) 2 (s+4) 3. Siano date due funzioni di trasferimento del secondo ordine G i (s) = disposti come in figura. Nella risposta al gradino i sistemi G (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso sorpasso percentuale i sistemi G (s) e G 2 (s) sono caratterizzati dallo stesso periodo delle (s σ i ) 2 +ω2, i =,2 con i poli jω oscillazioni il sistema G (s) presenta una minore sovraelongazione rispetto a G 2 (s) il sistema G2 (s) presentaun tempo di assestamentominore rispetto σ 2 σ jω a G (s) 4. L evoluzione libera del sistema ÿ(t)+9y(t) =, partendo dalle condizioni iniziali y() = e ẏ() = 3, è: y(t) = 3e 9t y(t) = 3te 9t y(t) = sin(3t) y(t) = 3cos(3t) 5. La funzione di risposta armonica di un sistema lineare G(s) può essere determinata sperimentalmente solo se G(s) è a fase minima se G(s) è semplicemente stabile se G(s) è asintoticamente stabile anche se il sistema è instabile

8 6. (Giarré) Per l applicazione del criterio di Nyquist a un sistema in retroazione: non occorre alcuna informazione sulla stabilità ad anello aperto occorre sapere se il sistema ad anello aperto è stabile o instabile occorre conoscere il numero dei poli a parte reale positiva occorre conoscere il numero degli zeri a parte reale positiva 7. (Biagiotti) Dato lo schema a blocchi (modello POG) di un pendolo inverso rigidamente collegato a un motore in corrente continua riportato in figura, quale sarà l ordine del sistema considerando l ingresso v a (t) e l uscita θ(t)? v a (t) K L s R K s M d 2 +J b s θ(t) M gd cos(q) 8. Il valore iniziale della risposta all impulso g(t) del sistema G(s) = g() = g() = g() = 3 non può essere calcolato perchè G(s) è instabile 9. Considerando l ingresso ū = e lo stato di equilibrio x =, il sistema ẋ(t) = x 3 (t) x(t)u(t) può essere linearizzato come: y = 2π sin(2πx(t))+u2 (t) 2s 2 +9 (s+3)(2s+)( s+) vale: δẋ(t) = 2δx(t) δu(t) y = δx(t)+2δu(t) δẋ(t) = 2δx(t)+δu(t) y = δx(t) 2δu(t) δẋ(t) = 3δx(t) 2δu(t) y = δx(t)+2δu(t) δẋ(t) = 3δx(t)+2δu(t) y = δx(t) 2δu(t). Se un sistema ha due poli complessi coniugati p = 2±j3 di molteplicità 3, allora la sua risposta temporale (libera o forzata che sia) sarà sicuramente caratterizzata da un termine y(t) e 2t cos(3t) y(t) te 2t cos(3t) y(t) t 2 e 2t cos(3t) y(t) t 3 e 2t cos(3t). Dato il diagramma di Bode delle ampiezze di G(jω), da esso si può dedurre il diagramma delle fasi solo se il diagramma di Bode presenta pendenze negative o nulle solo se il sistema G(s) ha tutti i poli a parte reale negativa solo se il sistema G(s) ha tutti i poli e tutti gli zeri a parte reale negativa solo se il sistema G(s) è a fase minima

9 Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof. Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio 29 - Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti (gli studenti dovranno rispondere ai quesiti contrassegnati solo con lettere o col nome del docente di cui hanno seguito il corso più una lettera). I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali ( su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t) = d dt ( te 3t+3 ), x 2 (t) = e 2t (cos(5t)+sin(5t)), dove d dt indica l operazione di derivazione rispetto al tempo. X (s) = s ( ) s e3 (s+3) 2 = e 3 s (s+3) 2, X 2(s) = s+2 (s+2) (s+2) Giarré - b) Dato il sistema definito nello spazio degli stati come ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) con A = [ 4 4 ] [, B = ], C = [.5 ], D = [ ] b.) Determinare la corrispondente funzione di trasferimento G(s) = Y(s) U(s) ; Calcolando G(s) = B(sI 2 A) C +D si ottiene G(s) = s2 3.5s+4 s 2 4s+4 b.2) Calcolare analiticamente la risposta all impulso di G(s). La risposta all impulso di G(s) ovvero la sua antitrasformata di Laplace puó essere ottenuta scomponendo G(s) come G(s) = +.5s (s 2) 2 dove la costante dipende dal fatto che la funzione di trasferimento G(s) ha grado relativo nullo. Pertanto, antitrasformando, risulta y(t) = δ(t)+.5e 2t +te 2t. Biagiotti - b) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G (s) = 3s3 +5s 2 2s 5 s 3 +2s 2, G 2 (s) = 5s 3s 2 +s+5 (s+2) 2 (s+)(s+3)

10 La funzione G (s) può essere riscritta come G (s) = 3+ s + 2 s 3 4 s+5 di conseguenza la risposta impulsiva (ovvero l anti-trasformata di Laplace) risulta La funzione G 2 (s) può essere riscritta come di conseguenza la sua risposta impulsiva risulta g (t) = 3δ(t)++2e 3t 4e 5t. G 2 (s) = 2 s (s+2) 2 s+ s+3 g (t) = 2e 2t +3te 2t e t e 3t c) Dato il seguente schema a blocchi: B X(s) A C E Y(s) D F G utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). G(s) = Y(s) X(s) = ACE +AB(+CD) +ABG+CD+EF +ACEG+ABGCD +CDEF 8(.25s+)(s+2.) d) Sia data la funzione di trasferimento G(s) = (.5s+)(s 2 +56s+9)(s 2 +6s+9) Disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino in ingresso di ampiezza 5, u(t) = 5. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata. Il sistema ha due poli complessi coniugati domainanti p = σ ±jω = 3±j pertanto la risposta al gradino sarà di tipo oscillatorio smorzato, come mostrato in figura.

11 .2..8 y.6 y(t).4.2 T a t [s] Il valore a regime dell uscita per un gradino in ingresso di ampiezza A = 5 risulta y = AG() = 5 (.7) =.856. Il tempo di assestamento T a è e il periodo dell oscillazioni è T a = 3 σ = 3 3 = s, T ω = 2π ω =.6283 s.

12 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K G(s) (s 2 +8s+64) s 2 (s+2) d(t) y(t) e.) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è + K(s2 +8s+64) s 2 (s+2) La corrispondente t abella di Routh è la seguente = s 3 +(K +2)s 2 +8Ks+64K = 3 8K 2 K +2 64K K > 2 6K(5K +6) K < 6 5 =.2 K > 64K K > Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: K > = K Per K = il sistema retroazionato presenta due poli nell origine per cui non esiste alcuna ω (si potrebbe anche dire ω = ). e.2) Posto K =, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 6t e il disturbo d(t) = 2+3sin(5t) Dato che il sistema è lineare e soggetto quindi alla sovrapposizione degli effetti, l errore E(s), espresso mediante la trasformata di Laplace, risulterà: E(s) = E r (s)+e d (s) dove E r (s) è l errore dovuto al riferimento mentre E d (s) è l errore dovuto al disturbo. L errore e r ( ) dovuto al riferimento a rampa è nullo, dal momento che l impianto G(s) presenta un doppio polo nell origine. Per quanto riguarda il calcolo dell errore dovuto al disturbo d(t): E d (s) = F d (s)d(s) dove D(s) è la trasformata di Laplace di d(t) e F d (s) è la funzione di trasferimento tra D(s) e E d (s) che vale F d (s) = F r (s) = +KG(s) = s 3 2s 2 s 3 +2s 2 +8s+64 essendo F r (s) la funzione di trasferimento tra l ingresso di riferimento R(s) e E r (s). La componente costante del disturbo d(t) = 2, dà luogo a un errore a regime nullo, sempre per la presenza del polo doppio nell origine in G(s). L errore dovuto alla componente sinusoidale di d(t) può essre calcolato sfruttando il concetto di risposta armonica, da cui e d (t) = 3 F d (j5) sin(5t+argf d (j5)}) con F d (j5) =. e argf d (j5)} = o =.656 rad. In conclusione, e = e d =.3sin(5t.656). e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Vedi figura in fondo.

13 Biagiotti - e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato sia per valori positivi che per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Il guadagno della G(s) nella forma poli-zeri è positivo, pertanto il luogo delle radici verrà tracciato con le usuali regole per K > e K < rispettivamente. C è un unico asintoto, essendo il grado relativo, pertanto il calcolo del centro degli asintoti è di scarsa importanza. Il luogo delle radici finale per K > è riportato nella seguente figura. 8 Root Locus 6 - Imaginary Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) Il luogo delle radici finale per K < è riportato nella seguente figura. 8 Root Locus 6 - Imaginary Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) Dall analisi svolta mediante il criterio di Routh, risulta che il luogo delle radici (per K > ) attraversa l asse immaginario, passando dal semipiano sinistro a quello destro passando dall asse reale. Giarré - e.4) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica G(jω) per valori positivi della pulsazione. Calcolare esattamente la posizione σ di un eventuale asintoto, le eventuali intersezioni con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni.

14 Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) è riportato in figura. 3 Diagramma di Nyquist La funzione approssimante per ω è G (s) = 32 pertanto il diagramma parte all infinito con fase s2 iniziale ϕ = π. La funzione approssimante per ω è G (s) = e quindi il diagramma giunge nell origine con fase finale ϕ = π 2. Il parametro τ vale τ = =.75 > pertanto il diagramma parte in anticipo rispetto alla fase iniziale ϕ. Il parametro p vale p = 8+2 = 2 > pertanto il diagramma arriva in anticipo rispetto alla fase finale ϕ. Lo sfasamento complessivo è ϕ = π π 2 = π 2. Essendo il sistema di tipo 2, non è presente alcun asintoto. f) Si faccia riferimento al diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) mostrati in figura. s

15 4 2 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.) Si richiede di ricavare l espressione analitica della funzione G(s). G(s) = 32( s2 4 s+) (s 2 +.6s+)( s+) = 8(s2 4s+4) (s 2 +.6s+)(s+) In corrispondenza di ω = rad/s è presente una coppia di poli complessi coniugati stabili (essendo lo sfasamento 8 o ) con ω n = e δ =.3. Infatti δ = 2M ωn 2.7 =.3. La distanza M ωn 5 db.7 si legge dal diagramma di Bode dei moduli. In corrispondenza di ω = 2 rad/s è presente una coppia di zeri complessi coniugati instabili (sfasamento 8 o ) caratterizzati da α n = 2 e δ =.. Infatti δ = M α n =.. La distanza M ωn 4 db.2 si legge dal diagramma di Bode dei moduli. In corrispondenza di ω = rad/s è presente un polo reale stabile (sfasamento 9 o ). Infine, il valore del guadagno µ si determina dalla funzione approssimante per basse frequenze G (s) = µ = G(), il cui modulo vale G() 3 db 32 da cui µ = 32. Il segno di µ sarà positivo poichè il sistema ha fase iniziale nulla.

16 f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 4+3 sin(.7t). Il valore a regime dell uscita vale y (t) = 4 G() +3 G(j.7) sin(.7t+argg(j.7)}) sin(.7t 4.27 o ) sin(.7t.729). dove i valori di modulo e argomento di G(jω) sono desunti direttamente dai diagrammi di Bode forniti.

17 Cognome: Nome: N. Matr.: 4 Diagrammi di Bode 2 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]