Facoltà di Economia Prove d esame di Statistica corso base Corso di laurea in Economia e Commercio anni

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1 Facoltà di Economia Prove d esame di Statistica corso base Corso di laurea in Economia e Commercio anni Esame del 12/1/2009 Esercizio 1 - La tabella successiva riporta la distribuzione degli stipendi annui lordi di 200 dirigenti: X (stipendio in migliaia di euro) oltre 150 N. dirigenti a) Sapendo che la retribuzione più elevata non supera comunque i euro, individuare la classe modale e determinare mediana e media aritmetica della distribuzione; [risposte: classe modale ; Me = 87,5; M = 93,25] b) misurare la variabilità (assoluta e relativa) e l asimmetria della distribuzione; [risposte: σ = 28,208; CV = 0,302; M Me = 5,75 asimmetria positiva] c) disegnare la curva di concentrazione; [risposte: coordinate (P i ;Q i ): (0,05; 0,027) (0,35; 0,252) (0,75; 0,638) (0,95; 0,906) (1; 1)] d) supponendo che quelle retribuzioni siano esenti da imposte per i primi euro e, per la parte eccedente, soggette ad una imposizione proporzionale nella misura del 30%, determinare media aritmetica e varianza della distribuzione degli stipendi netti; [risposte: RN = 5 + 0,70 (RL 5) M RN = 66,775 Var(RN) = 389,887] e) supponendo che si tratti di un campione casuale di dirigenti, costruire, al livello α = 0,05, l intervallo di confidenza per lo stipendio medio. [risposta: estremi dell intervallo di confidenza 89,331 e 97,169] Esercizio 2 - Sia data la seguente serie di numeri indice a base fissa relativi al prezzo di un determinato bene negli anni considerati : Anni Numeri indice (2005=100) a) Interpolare mediante una retta l'andamento dell'indice in funzione del tempo e valutare la bontà di adattamento del modello stimato; [risposte: assunto come origine dei tempi l anno 2005 (t = 0): Y = ,6 t R 2 = 0,945 N.B. Il valore di b 0 cambia assumendo una diversa origine] b) costruire la corrispondente serie di numeri indice a base mobile. [risposte: non calcolabile per il 2003 (manca antecedente), poi: 106,45 101, ,61] Esercizio 3 Il voto medio aritmetico riportato da 25 studenti che hanno superato un esame universitario è risultato pari a 22,84. Individuare quali fra questi valori NON possono rappresentare la mediana della distribuzione, motivando le risposte fornite: a) 19 b) 21 c) 23,12 d) 24,07 e) 26 f) 28 g) 30 [risposte: risp. C e risp. D NO perché 23,12 e 24,07 non sono voti e la mediana come ogni media di posizione deve essere un valore della distribuzione; risp. F e risp. G NO perché se la mediana fosse 28 o 30 i 12 studenti con voto non superiore alla mediana avrebbero preso mediamente meno di 18 e quindi qualcuno di loro non avrebbe superato l esame; con ragionamento analogo si verifica che tutte le altre sono accettabili] Esercizio 4 - Della v.c. X, distribuita normalmente, si conoscono il primo e il settimo decile pari, rispettivamente, a 37 e 42. Dopo aver individuato media e varianza della distribuzione, determinare: a) la probabilità di ottenere una determinazione di X superiore a 44;

2 b) la probabilità di ottenere una determinazione di X compresa fra 38 e 43. [risposte: µ = 40,5473 σ 2 = 7,6564 punto a) prob = 0,1056 punto b) prob = 0,6345] Esercizio 5 Sia T lo stimatore di massima verosimiglianza di θ; quali caratteristiche possiederà certamente T? [risposta: sarà consistente, perciò asintoticamente corretto, ed efficiente, almeno in senso relativo sarebbe stato opportuno dettagliare la risposta -] Esercizio 6 E data una retta di regressione di Y su X e si sa che, al livello α = 0,05, gli estremi dell intervallo di confidenza per E[Y/x=x 1 ] sono 26,4 e 28, mentre quelli per E[Y/x=x 2 ] sono 32 e 35,8. Individuare quale, tra x 1 e x 2, è più prossimo a M[X]. Le informazioni date consentono di concludere che x 1 < M[X] < x 2? Per entrambi i quesiti, motivare la risposta fornita. [risposta: poiché l intervallo ha ampiezza minima per x = M(x), x 1 è più prossimo alla media di x 2. Nulla si può dire circa il fatto che x 1 sia però inferiore alla media, potrebbe anche valere la relazione M[X] < x 1 < x 2 ] 2 - Esame del 27/1/2009 Esercizio 1 Relativamente a 11 studenti che hanno superato un esame universitario si dispone delle seguenti informazioni: Testo utilizzato A A A A A A B B B B B Voto Ore di studio Si considerino i due sottogruppi di studenti ottenuti suddividendoli secondo il testo utilizzato: a) si verifichi la proprietà associativa della media aritmetica b) si verifichi che la devianza totale è data dalla somma delle devianze tra i gruppi ed interna ai gruppi c) ipotizzando che si tratti di due campioni tratti da universi normali, dopo aver effettuato le necessarie verifiche preliminari, si verifichi, al livello α = 0,05, se il voto medio è influenzato significativamente dal diverso testo utilizzato (si conduca tale verifica sia mediante il test sulla significatività della differenza tra due medie sia mediante ANOVA). Sul complesso degli 11 studenti (considerati come un unico campione casuale): d) si individui la mediana e si misuri l'asimmetria della distribuzione dei voti e) si determinino i parametri della retta di regressione del voto riportato in funzione delle ore di studio f) si sottoponga a verifica, al livello α = 0,05, l'ipotesi che il coefficiente angolare della retta così ottenuta non sia significativamente diverso da zero. [soluzioni: a) le medie dei due gruppi sono 23,5 e 24,6; la media generale è 24, che si verifica essere anche pari a (23,5x6 + 24,6x5)/11 b) Dev interna = 71,5 + 91,2 Devianza fra i gruppi = 3,3 Dev. Totale = 166 c) Var corretta A = 14,3 varianza corretta B = 22,8 test di omoschedaticità OK (1,594 < F 4;5 ) var pooled 18,078 test t 9 = 0,427 ANOVA test F = 0,183 NON SIGNIFICATIVO

3 d) mediana = 25 Poiché = 1 c è asimmetria positiva e) b 0 = 21,1037 b 1 = 0,0170 f) b 1 non significativamente diverso da zero] Esercizio 2 Il reddito mensile di un impiegato a maggio 2003 era pari a 1560, a maggio 2005 era pari a Sapendo che i coefficienti ISTAT per trasformare valori monetari di maggio 2003 e di maggio 2005 in valori di dicembre 2007 sono rispettivamente pari a 1,0938 e a 1,0536, misurare se e di quanto è variato il potere d'acquisto di quell'impiegato tra maggio 2003 e maggio [sol.: reddito rivalutato a mag 2005 = 1619,52 potere d acquisto praticamente invariato] Esercizio 3 Gli stimatori ottenuti con il metodo dei minimi quadrati sono stimatori BLUE; che cosa significa l'acronimo? [Best Linear Unbiased Estimators, cioè migliori stimatori lineari non distorti ] Esercizio 4 Determinare primo e ottavo decile di una v.c. X distribuita normalmente con media pari a 75 e varianza pari a 36. [sol.: primo decile = 67,308 ottavo decile = 80,052] Esercizio 5 Da un'urna che contiene 20 palline, 6 delle quali bianche, si effettuano 5 estrazioni (rimettendo ogni volta la pallina estratta). A questo schema è collegata una scommessa per la quale si vincono 50 euro se, nelle 5 estrazioni, si ottengono in prevalenza palline bianche; determinare la probabilità di vincere i 50 euro. [sol.: P(x 3) = (0, , ,00243) = 0,16308] 3 - Esame del 18/2/2009 Esercizio 1 - Sono disponibili i seguenti dati, relativi all incremento ponderale registrato in un determinato intervallo di tempo da un gruppo di vitelli, sottoposti a trattamento con tre differenti composti polivitaminici: Incrementi ponderali Trattamento A + 4,50 + 4,58 + 4,98 + 5,20 + 5,24 Trattamento B + 5,12 + 5,24 + 5,57 + 6,07 Trattamento C + 5,16 + 5,46 + 5,49 + 6,09 A) Con riferimento al complesso delle informazioni, determinare media aritmetica, mediana, varianza e coefficiente di variazione della distribuzione. B) Misurare la dipendenza in media dell incremento ponderale dal tipo di trattamento. C) Ipotizzando la normalità ed omoschedasticità degli universi parentali, sottoporre a verifica, al livello α = 0,05, l ipotesi che l incremento ponderale medio dei vitelli sia stato il medesimo per tutti e tre i composti impiegati. Esercizio 2 - Sia V x la varianza di una distribuzione di redditi lordi, soggetti a un prelievo fiscale proporzionale nella misura del 20%. Indicata con V y la varianza dei redditi netti, individuare quale delle seguenti relazioni è corretta, motivando la risposta fornita: A) V y = 1,44 V x B) V y = 1,2 V x C) V y = V x D) V y = 0,8 V x E) V y = 0,64 V x

4 [La trasformata lineare che lega i redditi netti a quelli lordi in questo caso è: y = 0,8 x e, poiché σ 2 y = b 2 σ 2 x, la risposta corretta è la E] Esercizio 3 Date le seguenti coppie di osservazioni: X 1,8 3,1 3,2 5,4 9,6 9,9 Y 1,2 2,5 2,5 3,6 4,8 3,4 A) Determinare i parametri della retta di regressione di Y su X; B) Costruire l intervallo di confidenza per il valore atteso di Y in corrispondenza di X = 6, al livello α = 0,05. Esercizio 4 Ad un punto di sevizio si registrano mediamente 0,3 arrivi al minuto. Si determini la probabilità che, in un intervallo di mezz ora, arrivino [N.B. E sufficiente l impostazione dei calcoli]: A) almeno 6 clienti B) non più di 2 clienti. [La v.c. di riferimento è la v.c. di Poisson] Esercizio 5 Da un indagine effettuata su un campione casuale di 20 neo-laureati è emerso che il tempo medio di attesa per trovare il primo lavoro è di 6 mesi, con s.q.m. corretto pari a 1,2 mesi. Ipotizzando la normalità dell universo parentale, costruire, al livello α = 0,05, l intervallo di confidenza per la media. Determinare poi quale dovrebbe essere la nuova numerosità campionaria, in caso di ripetizione dell indagine, qualora si fosse disposti a tollerare un errore complessivo non superiore a 0,6 mesi. Esercizio 6 Illustrare brevemente i vantaggi che, per il calcolo dei numeri indici dei prezzi al consumo, presenta la formula di Laspeyres rispetto a quella di Paasche. [Dal punto di vista del calcolo, il fatto di avere un divisore fisso; ma, soprattutto, dal punto di vista della rilevazione, utilizzare un sistema di pesi fisso all anno-base permette di non rilevare sul campo ad ogni occasione le quantità] 4 - Esame del 9/6/2009 1) Per un campione casuale di 7 famiglie romane si dispone delle seguenti informazioni, relative all anno 2008: Reddito mensile ( ) Spesa per il bene A ( ) Con riferimento al reddito, determinare la media aritmetica, la mediana, il coefficiente di variazione, un indice di asimmetria e il rapporto di concentrazione. Disegnare altresì la curva di concentrazione. Sapendo che il coefficiente ISTAT per trasformare valori monetari del 2000 in valori del 2008 risulta pari a 1,1971, determinare il reddito medio di quelle famiglie nel 2000 che manterrebbe invariato il potere di acquisto nei due anni.

5 Si sa inoltre che le 2 famiglie con reddito più elevato hanno un capofamiglia che lavora nel settore dei servizi, mentre le altre hanno un capofamiglia che lavora nel settore dell industria; misurare l eterogeneità della distribuzione delle famiglie secondo il settore di attività del capofamiglia. Misurare la dipendenza in media del reddito dal settore di attività del capofamiglia. Determinare i parametri della retta di regressione della spesa per il bene A in funzione del reddito, misurare la bontà di adattamento del modello stimato e stimare il livello atteso di spesa per il bene A per una famiglia con un reddito mensile di 7500 euro. Senza fare calcoli, individuare quale delle seguenti affermazioni, in questa situazione, è sicuramente vera, motivando la risposta fornita : i) r 2 = η 2 y/x ii) η 2 y/x = 1. Ipotizzando la normalità dell universo parentale, determinare, al livello α = 0,05, gli estremi degli intervalli di confidenza della media e della varianza della distribuzione dei redditi; al medesimo livello di significatività, sottoporre a verifica l ipotesi di indipendenza lineare della spesa per il bene A dal reddito. Su un analogo campione di 11 famiglie fiorentine si sono rilevati un reddito medio di 3200 euro ed uno scostamento quadratico medio corretto di 1400 euro; verificare, al livello α = 0,05, la significatività della differenza tra le medie dei due campioni. 2) Una v.c. normale X ha media 80 e primo decile pari a 74; determinare la probabilità di ottenere: - una determinazione di X maggiore di 78; - una determinazione di X comprese fra 78 e 86. 3) Per ciascuna delle seguenti affermazioni, indicare se è vera o falsa: - il valore massimo del χ 2 è sempre un numero intero VERO - i numeri indice di tipo Laspeyres soddisfano la proprietà di reversibilità delle basi FALSO - uno stimatore consistente è anche corretto FALSO - la distribuzione binomiale è simmetrica FALSO - deviazione standard e errore standard sono due modi diversi per designare lo stesso indice statistico FALSO - la media geometrica di una trasformata lineare Y= bx è pari alla trasformata lineare della media geometrica di X VERO - il valore massimo del coefficiente di variazione è 1 FALSO - se M 2 = M 4 la distribuzione ha variabilità nulla VERO - deviazione standard e scarto quadratico medio sono due modi diversi per designare lo stesso indice statistico VERO - se in una ANOVA a un fattore risulta SSA = SSE si conclude per la non significatività della differenza tra i vari trattamenti FALSO

6 5 - Esame del 23/6/ Nella seguente tabella sono state classificate 250 famiglie secondo l'area geografica di residenza e il reddito annuo disponibile (in migliaia di euro): X \ Y Totale Nord Centro Sud e Isole Totale A - Rappresentare graficamente la distribuzione delle famiglie secondo il reddito. B - Verificare la proprietà associativa della media aritmetica. C - Calcolare il χ 2 e misurare la dipendenza in media del reddito dall area geografica di residenza. D - Relativamente alle sole famiglie residenti al Nord, calcolare il reddito mediano e misurare la concentrazione. E - Ipotizzando che i dati riportati in tabella siano riferiti ad un campione casuale di famiglie: - costruire l intervallo di confidenza per il reddito medio, al livello α = 0,01 per il complesso delle famiglie; - verificare, sempre al livello α = 0,01, l ipotesi che il reddito medio sia lo stesso nelle tre aree geografiche. 2 - Si consideri una famiglia, costituita da padre, madre e 2 figli. Ipotizzando che sia equiprobabile avere un figlio dell'uno o dell'altro sesso, determinare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria Y = numero di maschi all'interno della famiglia. Si calcolino la media e la varianza della v.a. Y. Si determini quindi la probabilità che, in quella famiglia, vi sia almeno una figlia femmina. 3 - Sapendo che la distribuzione delle stature di un collettivo di individui è normale, che il 15 % degli individui ha un altezza inferiore a cm 164 e che il 4,2 % ha un altezza superiore a cm 183, calcolare la percentuale di individui con statura compresa tra cm 172 e cm Il prezzo medio di un litro di benzina in Italia nel 1990 era pari a 0,728 euro, nel 2006 era pari a 1,286 euro; sapendo che il coefficiente ISTAT per trasformare valori monetari del 1990 in valori del 2006 è pari a 1,6356 misurare di quanto è variato, in termini reali, il prezzo di un litro di benzina nel periodo considerato. 5 Negli anni furono registrati i seguenti rendimenti percentuali dei BOT a 6 mesi (fonte Banca d Italia): Anno Rendimento 19,84 19,37 17,77 15,29 13,73 11,46 10,74 Interpolare linearmente i rendimenti in funzione del tempo e valutare la bontà di adattamento del modello proposto ai dati osservati. Argomentare brevemente sulla validità di tale modello a fini previsivi a lungo termine e, se ritenuto opportuno, utilizzare il modello per prevedere i rendimenti dei BOT al 1995 e al 2000.

7 6 - Esame del 9/7/2009 Esercizio 1 - Sono disponibili i seguenti dati, relativi al numero di pasti fuori casa consumati da 20 individui nel corso di un mese: N. pasti Frequenza D) Determinare media aritmetica, media geometrica, mediana, varianza e coefficiente di variazione della distribuzione. E) Ipotizzando che si tratti di un campione casuale di 20 individui tratto da un universo normale, costruire, al livello α = 0,05, gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza. F) Determinare quale dovrebbe essere la nuova numerosità campionaria, in caso di ripetizione dell indagine, qualora, allo stesso livello di significatività, si volesse ottenere un intervallo di confidenza per la media di ampiezza complessiva pari a 1. Esercizio 2 Secondo dati di fonte ISTAT, dal 1999 al 2004 il numero di biglietti venduti in Italia per rappresentazioni teatrali e musicali (valori per abitanti) è risultato: Anni Biglietti venduti C) Interpolare linearmente la situazione descritta in tabella e valutare la bontà di adattamento del modello. D) Argomentare brevemente sulla validità del modello a fini di previsioni di lungo periodo e, se ritenuto opportuno, utilizzare il modello per prevedere le vendite di biglietti per questo tipo di spettacoli nel E) Costruire la serie dei numeri indice a base mobile. Esercizio 3 Di una v.c. X distribuita normalmente si conoscono il primo e l ottavo decile, pari rispettivamente a 30 e 38 Determinare la probabilità di ottenere una determinazione di X superiore a 36. Esercizio 4 I 20 individui dell esercizio 1 sono stati classificati per città di residenza, ottenendo la seguente distribuzione: N. pasti Residenza RM, VE MI, MI, VE MI, MI, VE, RM, MI, MI, MI, RM, RM, VE RM, RM, RM RM, RM Sulla base di una Analisi della varianza, al livello α = 0,05 è accettabile l ipotesi che il numero medio di pasti consumati fuori casa sia lo stesso nelle tre città? Esercizio 5 Un urna contiene 4 palline bianche e 6 rosse. Determinare la probabilità che estraendo con ripetizione 3 palline a caso: A) siano tutte dello stesso colore B) la seconda sia bianca Esercizio 6 Data la seguente distribuzione di 100 impiegati secondo il reddito lordo mensile: Reddito lordo Frequenza A) Rappresentare graficamente la distribuzione mediante istogramma B) Disegnare la curva di concentrazione

8 C) Calcolare il rapporto di concentrazione. 7 - Esame del 15/9/2009 Esercizio 1 E data la seguente distribuzione degli occupati di un azienda classificati secondo l età (in anni compiuti), l anzianità di servizio e il sesso: Anz. serv. < 10 anni Tra 10 e 20 anni > 20 anni Età / Sesso M F M F M F A) Relativamente alla distribuzione semplice secondo l età: - calcolare media aritmetica, mediana, coefficiente di variazione e misurare l asimmetria della distribuzione. B) Relativamente alla distribuzione doppia secondo il sesso e l anzianità di servizio: - misurare la connessione fra i due caratteri (è sufficiente l impostazione dei calcoli) e la dipendenza in media dell anzianità di servizio dal sesso. Esercizio 2 I valori 7, 7,5 e 8 (elencati alla rinfusa) rappresentano un generico valore della variabile oggetto di studio, lo scostamento semplice medio dalla mediana e lo scostamento quadratico medio della distribuzione. Indicare, MOTIVANDO LE RISPOSTE, quale dei tre certamente non è lo scostamento semplice medio dalla mediana e quale dei tre certamente non è lo scostamento quadratico medio. [Poiché vale la relazione: S Me S M σ (e, nel caso specifico, vale la disuguaglianza forte) il più piccolo dei valori elencati (7) non può essere σ - ce ne deve essere almeno uno più piccolo e il più grande dei valori elencati (8) non può essere S Me - ce ne deve essere almeno uno più grande] Esercizio 3 - Le esportazioni di un certo bene (in milioni di euro) dall Italia verso gli altri Paesi europei hanno fatto registrare tra il 1999 e il 2003 il seguente andamento: ) Interpolare mediante una opportuna funzione, le esportazioni in funzione del tempo 2) Misurare la bontà di adattamento del modello utilizzato. Esercizio 4 - Si consideri il lancio di una moneta, truccata in modo che la probabilità che si presenti testa in un lancio sia pari a 0,3. Effettuando tre lanci di quella moneta, calcolare la probabilità che: 1) esca testa in tutti e tre i lanci 2) esca almeno una volta croce Esercizio 5 - Sapendo che le misure ripetute di una data grandezza fisica si distribuiscono normalmente e che la differenza tra il settimo e il terzo decile della distribuzione è pari a 0,45 mm, calcolare la varianza della distribuzione stessa. Esercizio 6 - Dall analisi sul contenuto di 8 lattine di una bevanda analcolica per due determinate marche (A e B) sono risultati, per ciascun elemento campionario, i seguenti valori (espressi in mg/l) di un certo conservante: :

9 Marca A Marca B: Sotto l ipotesi di normalità degli universi parentali, verificare se la differenza nel contenuto medio di conservanti per le due marche è statisticamente significativa a livello α = 0,05. Costruire inoltre, allo stesso livello di significatività, gli intervalli di confidenza per la media e la varianza relativamente alla marca A. 8 - Esame del 25/9/2009 N.B. Questo compito è volutamente molto simile a quello dell appello immediatamente precedente. Esercizio 1 E data la seguente distribuzione di 100 studenti classificati secondo l esito di due esami universitari (X e Y) e il sesso: Esame Y Esame X / Sesso M F M F M F A) Relativamente alla distribuzione semplice secondo il voto riportato nell esame X: - calcolare media aritmetica, mediana, coefficiente di variazione e misurare l asimmetria della distribuzione. B) Relativamente alla distribuzione doppia secondo il sesso e l esito nell esame Y: - misurare la connessione fra i due caratteri e la dipendenza in media del voto riportato dal sesso; C) Relativamente alla distribuzione doppia secondo l esito dei due esami: - misurare la correlazione lineare (è sufficiente l impostazione dei calcoli). Esercizio 2 Su una distribuzione di 300 lettori secondo il genere letterario preferito (poesia, narrativa, saggistica) si è calcolato l indice relativo di eterogeneità di Gini. Indicare quale/i tra 0,52, 0,64 e 0,78 è/sono valori accettabili per l indice, MOTIVANDO LA RISPOSTA. [Il massimo dell indice è, in generale, 1 1/k (k = numero di modalità) e quindi, con 3 modalità, 0,667. Pertanto i primi due valori sono accettabili, il più grande no] Esercizio 3 - Su un campione di 6 consumatori di un prodotto si sono rilevati il reddito mensile disponibile e la spesa per il bene A: Reddito Spesa ) Determinare i parametri della retta di regressione della spesa in funzione del reddito 2) Sottoporre a verifica l ipotesi che, a livello di universo, il coefficiente angolare della retta sia nullo, al livello α = 0,05. Esercizio 4 Sapendo che le misure ripetute di una data grandezza fisica si distribuiscono normalmente e che la differenza tra il decimo e il novantesimo percentile della distribuzione è pari a 0,60 mm, calcolare la varianza della distribuzione stessa.

10 Esercizio 5 I livelli ematici di una sostanza, in 12 prelievi effettuati su altrettanti pazienti, sono risultati: : Maschi 12,4 11,5 11,8 13,0 12,7 12,1 12,5 Femmine 12,2 11,8 11,9 11,5 11,7 Sotto l ipotesi di normalità degli universi parentali, verificare se la differenza nel livello medio tra i due sessi è statisticamente significativa a livello α = 0,05. Esercizio 6 Dati i seguenti 5 valori: Calcolarne la media geometrica e la media armonica. Ipotizzando che si tratti dei valori del reddito annuo lordo (in migliaia di euro) di 5 individui, disegnare la curva di concentrazione e calcolare il rapporto di concentrazione. Supponendo che quei redditi siano sottoposti ad un prelievo fiscale del 20% per la parte eccedente i 5000 euro, determinare media aritmetica e varianza della distribuzione dei redditi netti. 9 Appello straordinario del 27/10/2009 (riservato a laureandi e studenti fuori corso) Esercizio 1) E data la distribuzione cumulata di 81 addetti di un azienda secondo lo stipendio mensile lordo X (migliaia di ): X fino a 0,7 fino a 1 fino a 2 fino a 3,5 fino a 5 Frequenze a) rappresentare opportunamente la distribuzione; b) determinare il reddito modale, il reddito mediano e il reddito medio aritmetico; c) calcolare il coefficiente di variazione; d) disegnare la curva di concentrazione; e) valutare l asimmetria della distribuzione f) considerato che sul reddito lordo viene applicata una ritenuta fiscale del 20%, quali sono i valori della media aritmetica, della mediana e della varianza della distribuzione degli stipendi netti? Soluzione: Tabella ricostruita X n densità x centr. x n (x-m) (x-m)^2 * n Pj Qj 0, ,85 12,75-1,088 17, ,185 0, ,5 55,5-0,438 7, ,642 0, , ,33 2,75 63,25 0,812 15, ,926 0,838 3, ,25 25,5 2,312 32,

11 Totale ,09136 Le densità di frequenza rappresentano le altezze dei rettangoli nell'istogramma Pj e Qj servono per la costruzione della curva di concentrazione classe modale 0,7-1 (moda = 0,85) posto mediano 41 classe mediana 1-2 mediana = 1+(41-15)/37*1 = 1,703 media aritmetica = 157/81 1,938 varianza 0, sqm 0, CV 0,4867 Distribuzione asimmetrica positiva (m > Me) Y = 0,8X My 1,551 Med y 1,362 Var y 0, Esercizio 2) La v.c. X si distribuisce normalmente e presenta una differenza interquartile pari a 3. Determinare la varianza e calcolare quindi la probabilità di ottenere una determinazione di X che disti dalla media di non più di 2 Soluzione: X normale Q3 - Q1 = 3 Q3 - µ = 0,6745 σ Q1 - µ = - 0,6745 σ per differenza 3 = 1,3490 σ σ = 2, σ2 = 4, stand. -0,90 Pr(-0,90 < z < 0,90) = 0, stand. 0,90 Esercizio 3) Ipotizzando che i dati dell esercizio 1 rappresentino un campione casuale di addetti del settore manifatturiero, determinare gli estremi degli intervalli di confidenza per la media e per la varianza, al livello α = 0,05. Su un analogo campione di 60 addetti del settore dei servizi, la distribuzione degli stipendi lordi (in migliaia di ) presenta media pari a 2,2 e varianza corretta pari a 1. Sempre al livello α = 0,05, sottoporre a verifica l ipotesi che gli stipendi medi siano i medesimi nel settore manifatturiero e in quello dei servizi. Soluzione: Media 1,938 normale 1,938-1,96 * sqrt(0,901142/81) 1, , ,96 * sqrt(0,901142/81) 2, Var corr 0, Chi 2 72,09136/106,6285 0, sqm 0, ,09136/57,1532 1,26137 numerosità elevata, NO verifica di omoschedasticità (comunque, era verificata) test =(2,2-1,938)/sqrt(0,901142/81+1/60) 1, normale 1,96 NS - accetto H0 Esercizio 4) La tabella riporta il numero medio giornaliero di visitatori di un museo registrati in alcuni anni: Anni N. visitatori a) interpolare i dati mediante una opportuna funzione; b) misurare la bontà dell adattamento del modello prescelto; c) ipotizzando che il modello mantenga inalterata la sua validità nel tempo, determinare il numero di visitatori previsti nell anno Soluzione: X conv Y

12 Mx 0 Var x 8, My 228 Var y 886,3333 Cov xy 75,83333 B0 228 B1 8,75 Y = ,75 X r2 0,7486 anno 2009 X = 8 val atteso Appello del 20/01/2010 Esercizio 1 - E data la seguente tabella a doppia entrata, relativa al voto medio curricolare con il quale 110 studenti si sono presentati alla discussione di laurea: Sesso M F a) Relativamente al complesso degli studenti, determinare media aritmetica, mediana, coefficiente di variazione e un indice di asimmetria. [sol.: M1 = 94,75; Me = 95,23; CV = 6,818/94,75 = 0,072; M1 Me = -0,475 asimm. negativa] b) Verificare la proprietà associativa della media aritmetica. [sol.: M M = 93,98; M F = 95,40; (93,98* ,40*60)/110 = 94,75 c.v.d.] c) Misurare la dipendenza assoluta e la dipendenza in media del voto curricolare dal sesso. [sol.: Per il χ 2 si costruisce la tabella delle frequenze teoriche di indipendenza: Sesso M 3,64 12,73 21,36 9,09 3,18 F 4,36 15,27 25,64 10,91 3,82 e si ottiene: χ 2 = 3,154, che segnala una debole dipendenza in termini inferenziali risulterebbe non significativa -. Per la dipendenza in media, essendo DT = 5113,373; DB = 54,993; DW = 5058,38, si ha η 2 = 0,0108] d) Misurare l eterogeneità della distribuzione degli studenti secondo il sesso. [sol.: S = 1 ((50/110) 2 + (60/110) 2 ) = 0,496 S rel = 0,992] e) Determinare la probabilità che, estraendo a caso uno studente, questi sia: e1) maschio con una votazione curricolare fino a 92 [sol.: 18/110 = 0,164] e2) maschio con una votazione curricolare almeno pari a 100 [sol.: 11/110 = 0,10] e3) femmina, sapendo che il suo voto curricolare è almeno pari a 100 [sol.: 16/27 = 0,593]. f) Ipotizzando che i dati riportati in tabella rappresentino un campione casuale di laureandi, con riferimento ai soli laureandi maschi costruire gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza, al livello α = 0,05. [sol.: per la media, usando la t 49, 92,034 e 95,926; usando la normale 91,955 e 96,005; per la varianza, usando i valori di χ 2 49, 37,239 e 82,082; usando i valori di χ 2 50 (la tavola del testo non riporta i valori per 50 gdl), 36,614 e 80,817] g) Allo stesso livello di significatività, sottoporre a verifica l ipotesi che il voto medio curricolare sia lo stesso per i maschi e per le femmine. [sol.: vista la numerosità, si poteva omettere la verifica di omoschedasticità peraltro accettata e usare il test asintotico: ( ,98) / sqrt (53,367/ ,414/60) = 1,071 N.S. Si accetta H0]

13 h) Verificare quindi l ipotesi che, nell universo, coloro che si presentano alla discussione della tesi con un voto almeno pari a 100 siano il 30% (α = 0,05). [sol.: (0,245 0,30) / sqrt (0,3 * 0,7 /110) = - 1,259 N.S. Si accetta H0] Esercizio 2 - Un individuo ha bisogno di conoscere la serie storica dei numeri indici dei prezzi per il capitolo abbigliamento relativamente al Comune di Frascati; si tratta di una informazione correntemente disponibile presso l ISTAT? (se SI, indicare dove può essere reperita, se NO indicare quale è il dato più prossimo al quale si può fare riferimento). La risposta fornita cambierebbe se ci si accontentasse dell indice generale dei prezzi? E se quella stessa informazione occorresse per Frosinone? [sol.: Il dato non è disponibile, in quanto la rilevazione viene effettuata solo nei capoluoghi di provincia e Frascati non è capoluogo; il dato più prossimo al quale si può fare riferimento è quello della provincia di appartenenza, cioè Roma. La risposta non cambia se si fa riferimento all indice generale dei prezzi. La risposta può invece cambiare se si fa riferimento a Frosinone, che è capoluogo di provincia; poiché però attualmente nel Lazio partecipano alla rilevazione solo 2 delle 5 provincie, occorre verificare presso l ISTAT se Frosinone è una delle due] Esercizio 3 - E data la seguente serie storica, che fornisce, per l Italia, l incidenza percentuale della spesa sanitaria sul PIL: Anno % spesa 4,4 5,6 6,3 5,2 5,9 6,6 a) Interpolare linearmente l andamento della spesa in funzione del tempo e misurare la bontà di adattamento del modello proposto. [sol.: assumendo la seguente scala di tempi: 1970 = 1; 1980 = 2; 1990 = 3; 1995 = 3,5; 2000 = 4; 2004 = 4,4, si ottiene: B1 = 0,476 B0 = 4,247 [i valori cambiano utilizzando una diversa scala di tempi] r = 0,768] b) Assumendo come anno base il 1980, costruire la serie dei numeri indici a base fissa. [sol.: 78, ,5 92,9 105,4 117,9 ] Esercizio 4 - Su una v.s. discreta si sono calcolati la media aritmetica, pari a 3,2, e il coefficiente di variazione, pari a 0,56. Volendo interpolare la distribuzione con un modello teorico, è preferibile usare la binomiale, la Poisson o nessuna delle due? (MOTIVARE la risposta fornita) [sol.: dalla relazione CV = σ / M, sostituendo a CV e M i valori forniti, si ha σ = 1,792, da cui si ottiene σ 2 = 3,211. Quindi M1 e σ 2 sono pressoché uguali, e la relazione M1 = σ 2 è tipica della v.c. di Poisson] 11 Appello del 19/02/2010 Esercizio 1 Nel Paese che non c è il reddito medio pro capite annuo è pari a euro. Ciascuno dei 1000 abitanti del Paese che non c è ha garantito dallo Stato un reddito annuo non inferiore a euro e il sistema fiscale prevede una aliquota marginale del 100% per i redditi superiori a euro. Qualora nel Paese che non c è la distribuzione dei redditi fosse la più squilibrata possibile (nel senso che i suoi abitanti, in proporzione da individuare, possedessero o o euro di reddito annuo ciascuno), quale sarebbe la varianza di tale distribuzione?

14 [Sol.: per semplicità, i dati sono stati espressi in migliaia di euro. Il reddito totale (44x1000=44000) va ripartito tra n 1 redditieri con reddito 5 e (1000 n 1 ) redditieri con reddito 200; dall equazione = 5 n (1000 n 1 ) si ricava n 1 =800. La distribuzione che è la c.d. distribuzione massimante della variabilità - è perciò data da 800 redditieri con reddito 5 e 200 con reddito 200; la varianza di tale distribuzione è pari a 6084]. Esercizio 2 Nel sistema attuale di calcolo dei numeri indice dei prezzi al consumo, l ISTAT effettua ogni anno il cosiddetto ribasamento ; elencare i principali elementi della procedura di costruzione degli indici che vengono modificati con tale operazione. [Sol.: con il ribasamento, ogni anno l ISTAT rivede l elenco dei beni che formano il paniere ed eventualmente le posizioni rappresentative di taluni beni e il peso da attribuire a ciascun bene. Imoltre, poiché ad oggi nei fatti non tutti i capoluoghi di provincia partecipano all indagine, si possono verificare modifiche nelle copertura territoriale]. Esercizio 3 Data la seguente distribuzione di 81 immatricolati all Università secondo il numero di esami superati durante il primo anno: N. esami Frequenza a) Determinare media aritmetica, mediana, moda, scostamento quadratico medio e un indice di asimmetria. [Sol.: M 1 = 2,444 Me = 2 Moda = 2 sqm = 1,53156 (sqm corretto necessario per i punti d ed e pari a 1,541104) asimmetria positiva (M1 Me = 0,444)]. b) Avrebbe senso misurare su questa distribuzione la concentrazione? (se SI, misurarla, se NO spiegare perché) [Sol.: non ha senso misurare la concentrazione, in quanto il carattere n. esami superati da uno studente non è trasferibile]. c) Sapendo che nel collettivo considerato le studentesse sono 45, misurare l eterogeneità della distribuzione degli studenti secondo il sesso. [Sol.: le femmine sono i 5/9, i maschi i 4/9; l indice S vale 0,4938 (indice relativo peraltro non richiesto pari a 0,9877)]. d) Ipotizzando che i dati riportati in tabella rappresentino un campione casuale di studenti, costruire gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza, al livello α = 0,01. [Sol.: per la media, usando la t 80 : 1,993 e 2,896 (usando la normale si otterrebbe 2,003 e 2,886); per la varianza, 1,6334 e 3,7130]. e) Sapendo che le 45 studentesse hanno superato, mediamente, 2,8 esami (s.q.m. corretto = 1,4), al livello α = 0,05 sottoporre a verifica l ipotesi che, nell universo, il numero medio di esami superati sia lo stesso per i maschi e per le femmine (N.B. Per poter rispondere, occorrono alcuni calcoli preliminari, tipici della statistica descrittiva). [Sol.: Occorre preliminarmente ricavare il voto medio dei maschi, applicando la proprietà associativa della media aritmetica; si ottiene un voto medio pari a 2. Quindi, mediante la regola di scomposizione della devianza, si ottiene la devianza interna del gruppo dei 36 maschi, pari a 90,96 (ottenuta sottraendo alla devianza totale 190 la devianza fra le medie, pari a 12,8, e la devianza interna del gruppo delle femmine, pari a 86,24). Da questo risultato si perviene a uno s.q.m. corretto, per il gruppo dei maschi, pari a 1,6121. La numerosità campionaria (45 e 36) consente l uso del test asintotico in chiave di v.c. normale, che fornisce un valore test pari a 2,321, che porta a respingere l ipotesi; se si fosse utilizzato il test t, andava prima verificata l omoschedasticità (ipotesi accolta), poi calcolata la varianza pooled (pari a 2,2430) e poi calcolata la statistica test (t 79 ), pari a 2,3584, che portava comunque a respingere l ipotesi nulla].

15 Esercizio 4 All inizio degli anni 90, l estensione della rete ferroviaria elettrificata delle Ferrovie dello Stato (in migliaia di km) era la seguente: Anno Rete (.000 km) 9,5 9,8 10,0 10,0 10,1 10,2 10,3 a) Interpolare linearmente l andamento del fenomeno in funzione del tempo e misurare la bontà di adattamento del modello proposto. [Sol.: assumendo come origine dei tempi l anno 1993 (t = 0) si ottiene: Y = 9, ,06122 t; il coefficiente di determinazione R 2 vale 0,9075]. b) Sapendo che la rete ferroviaria italiana si estende per complessivi km (circa), qualora il modello mantenesse la sua validità a lungo termine, da quale anno risulterebbe elettrificato almeno il 75% della rete? [Sol.: il modello fornisce per la prima volta un valore teorico superiore a 12 per t = 18, cioè per l anno 2011]. Esercizio 5 - Per una v.c. normale il primo decile vale 12 e il terzo quartile 16; determinare media aritmetica e varianza della distribuzione. [Sol.: Risolvendo il sistema:-1,282 = (12 µ) / σ 0,675 = (16 µ) / σ si ottiene: µ = 14,620 σ 2 = 4,1777]. Esercizio 6 Dopo aver definito che cosa si intende per campione probabilistico, illustrare caratteristiche e vantaggi del campionamento stratificato. [Sol.: Un campione si dice probabilistico allorché è nota a priori la probabilità di inclusione di ciascuna unità statistica che compone l universo. Il campionamento stratificato si realizza suddividendo l universo in un certo numero di sottogruppi (strati), sulla base di una o più variabili di stratificazione che si ritengono influenti sul fenomeno oggetto di studio; si otterranno così degli strati più omogenei al loro interno ed eterogenei tra loro rispetto alle variabili di stratificazione (ad es. maschi vs. femmine; giovani vs. anziani, ecc.). Rispetto al campionamento casuale semplice, ha il vantaggio di garantire la medesima accuratezza delle stime con campioni di numerosità notevolmente ridotta, in ragione del fatto che tutti gli strati risultano presenti nel campione (in genere in proporzione alla numerosità di ciascuno strato)] Appello straordinario del 23/4/2010 (riservato agli studenti fuori corso) Esercizio 1 E data la seguente tabella a doppia entrata relativa alla spesa media mensile di 20 famiglie per i beni X e Y: X Y TOT TOT

16 Relativamente alla spesa per il bene Y, determinarne media aritmetica e mediana e rappresentare graficamente la distribuzione mediante istogramma. Relativamente alla spesa per il bene X, verificare la proprietà associativa della media aritmetica e calcolare la varianza e il rapporto di concentrazione; calcolare inoltre la varianza della distribuzione parziale di X condizionata alla classe di spesa più elevata per Y. Esercizio 2 - Sia data una moneta non bilanciata, tale che la probabilità di ottenere la faccia croce in un lancio sia pari a 0,42. Determinare la probabilità che lanciando 10 volte la moneta si ottenga come risultato: 1) due volte la faccia croce 2) non più di due volte la faccia croce 3) almeno otto volte la faccia testa. Esercizio 3 Con gli stessi dati dell esercizio 2, determinare la probabilità che lanciando 1000 volte la moneta si ottenga la faccia croce non più di 400 volte (N.B. Per questo esercizio la sola impostazione del calcolo non è sufficiente). Esercizio 4 Su una variabile statistica doppia (X;Y) sono state stimate le seguenti due rette di regressione: Y= 4X + 2 X= 0,125 Y +4 Calcolare il coefficiente di correlazione lineare e determinare la media aritmetica di X. Sapendo inoltre che Cov 2 (xy) = σ (y) = 4 determinare la varianza di X. Esercizio 5 Supponendo che i dati dell esercizio 1 si riferiscano ad un campione casuale di 20 famiglie e ipotizzando la normalità delle distribuzioni parentali, relativamente alla spesa per il bene X costruire gli intervalli di confidenza per la media e la varianza, al livello α = 0,05. Ipotizzando di voler ripetere l indagine sulla spesa per il bene X, quale dovrà essere la numerosità del nuovo campione (sempre al livello α = 0,05) se si vuole che l intervallo di confidenza per la media abbia ampiezza totale pari a 2? Esercizio 6 - Per due campioni casuali indipendenti si dispone delle seguenti informazioni: A n = 20 n = 15 m = 4 m = 5 s c = 4,6 s c = 2,2 B Assumendo la normalità delle distribuzioni parentali, verificare la significatività della differenza tra le medie, al livello α = 0, Appello dell 8/06/2010 1) Data la seguente distribuzione cumulata di coppie classificate secondo il numero di figli: N. figli N. famiglie

17 Determinare: media aritmetica, mediana, moda, varianza, coefficiente di variazione e un indice di asimmetria della distribuzione delle coppie secondo il numero di figli. Coloro che sostenevano solo l esame di Introduzione alla statistica dovevano svolgere anche il seguente esercizio (1 bis): ipotizzando che ciascun nucleo familiare sia formato dai due genitori e dai figli, determinare media aritmetica, mediana e varianza della distribuzione delle famiglie secondo il numero di componenti. 2) Sono date le seguenti informazioni, relative a tre ipotetiche squadre di calcio: Squadra A B C Organico giocatori di cui: italiani Si estrae a caso una squadra, attribuendo a ciascuna una probabilità di estrazione proporzionale all organico e, dall organico della squadra estratta, si estrae il nome di un calciatore. Sapendo che il calciatore estratto è di nazionalità italiana, determinare la probabilità che si tratti di un calciatore della squadra B. 3) Con i dati dell esercizio 2, costruire, se possibile, un rapporto di composizione, un rapporto di coesistenza, un numero indice a base fissa ed un numero indice a base mobile. N.B. Se si ritiene che uno o più di tali rapporti non possano essere calcolati, spiegare perché. 4) Su un campione casuale di 1930 individui (di cui 1000 maschi), il 38% dei maschi e il 40% delle femmine si dichiara pienamente favorevole a un provvedimento legislativo varato dal Governo. Al livello di significatività α = 0,05, la percentuale di favorevoli può essere considerata significativamente diversa fra maschi e femmine? Poiché la verifica può essere condotta in due modi diversi, coloro che sostenevano solo l esame di Relazioni statistiche e laboratorio dovevano svolgere l esercizio in entrambi i modi possibili e verificare che si perveniva alla medesima conclusione (es. 4 bis). 5) Ipotizzando che i dati dell esercizio 1 rappresentino un campione casuale di famiglie, determinare l intervallo di confidenza per la media e per la varianza della distribuzione (α = 0,05). 6) Secondo i dati ufficiali della Banca d Italia, al 31 dicembre degli anni indicati il circolante in Italia aveva il seguente valore (in miliardi di lire): Anno Circolante Interpolare linearmente il valore del circolante in funzione del tempo (si raccomanda di semplificare preliminarmente i dati!) e valutare la bontà di adattamento del modello stimato. Se circolassero ancora le lire ed il modello avesse mantenuto la sua validità nel tempo, quale sarebbe il circolante al 31/12/2009? 14 Appello del 7/07/2010 Esercizio 1 - Per 9 famiglie, si dispone delle seguenti informazioni circa il reddito percepito nel 2009 (migliaia di euro), la spesa annua per libri e giornali (migliaia di euro) e il titolo di studio posseduto dal capofamiglia (L = laurea; D = diploma; M = licenza media):

18 Reddito Spesa per libri e giornali 0,5 0,2 0,3 0,5 0,2 0,1 0,4 0,2 0,3 Titolo di studio del CF D D L L M D M M D Relativamente al reddito, calcolare mediana, media aritmetica, scostamento quadratico medio e un indice di asimmetria. Relativamente al titolo di studio, individuare la moda e misurare l'eterogeneità della distribuzione. Dopo aver suddiviso le famiglie nei tre sottogruppi corrispondenti ai diversi titoli di studio del capofamiglia, con riferimento al reddito verificare la proprietà associativa della media aritmetica. Nell anno 2006 la famiglia che presenta nel 2009 il reddito più elevato aveva avuto un reddito di euro; sapendo che il coefficiente ISTAT per trasformare valori dell anno 2006 in valori dell anno 2009 è pari a 1,0579, calcolare la variazione che il reddito reale di quella famiglia ha subito tra il 2006 e il Esercizio 2 Una v.c. normale X ha primo decile pari a 80 e terzo quartile pari a 85. Calcolare la probabilità di ottenere una determinazione di X compresa tra 82 e 84. Esercizio 3 - Per ciascuna delle seguenti affermazioni, indicare se è vera o falsa (punti 0,5 per ciascuna risposta esatta, - 0,5 per ciascuna risposta errata): - il carattere "n. di reti segnate da una squadra" è quantitativo discreto Vero - la mediana gode della proprietà associativa Falso - la media aritmetica ha la proprietà di rendere minima la somma dei quadrati degli scostamenti Vero - la variabile Y = X + 3,5 ha la stessa varianza della variabile X Vero - il coefficiente di variazione è sempre compreso tra 0 e 1 Falso Esercizio 4- Con riferimento ai dati dell esercizio 1: - interpolare linearmente la spesa per libri e giornali in funzione del reddito e misurare la bontà di adattamento del modello stimato; - misurare la dipendenza in media del reddito dal titolo di studio del capofamiglia; - ipotizzando che le 9 famiglie rappresentino un campione casuale semplice di famiglie estratto da un universo normale, costruire gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza (α = 0,05) della distribuzione dei redditi; - volendo ripetere l indagine e mirando ad ottenere (sempre al livello α = 0,05) un intervallo di confidenza per il reddito medio pari a mille euro, quale dovrà essere la numerosità del nuovo campione? - con riferimento al reddito, sempre al livello α = 0,05, si consideri il sistema di ipotesi H 0 : µ = 42, contro l alternativa H 1 : µ = 44 e si determini il valore della funzione di potenza del test in tale situazione. Esercizio 5- Per ciascuna delle seguenti affermazioni, indicare se è vera o falsa (punti 0,5 per ciascuna risposta esatta, - 0,5 per ciascuna risposta errata): - nella tabella proposta nell'esercizio 1 vi è indipendenza tra reddito e titolo di studio del capofamiglia Falso - se il coefficiente angolare della retta di regressione di y su x vale 2, allora il coefficiente angolare della retta di regressione di x su y non può essere uguale a 2 Vero - se il coefficiente angolare della retta di regressione di y su x vale -0, 4, allora il coefficiente angolare della retta di regressione di x su y non può essere uguale a 0,4 Falso

19 - la mediana campionaria è uno stimatore corretto della media dell universo Vero - il risultato di una verifica di ipotesi sulla significatività della differenza tra due medie campionarie ha fornito un p-value pari a 0,1423. Al livello α = 0,05 si conclude che le medie degli universi parentali sono uguali Vero 15 Appello del 14/09/2010 Esercizio 1 - Per 9 pazienti, si dispone delle seguenti informazioni circa i livelli ematici di W e Z: Paziente A B C D E F G H I W 10,5 11,2 10,3 9,5 10,2 14,1 10,4 12,1 9,8 Z Relativamente a W, calcolare mediana, media aritmetica, scostamento quadratico medio e un indice di asimmetria. E possibile misurare il rapporto di concentrazione per W? In caso affermativo, calcolarlo; in caso negativo spiegare perché non è possibile. [Sol.: Me = 10,4; M = 10,9; s = 1,342; asimmetria positiva, in quanto M Me = 0,5 > 0. Non si può misurare la concentrazione per W in quanto il carattere non è trasferibile] Esercizio 2 E data la seguente serie relativa al prezzo in euro di un bene nel corso del 2009: mese gen feb mar apr mag giu lug ago set ott nov dic prezzo 3,50 3,52 3,60 3,60 3,65 3,62 3,61 3,64 3,64 3,61 3,58 3,63 Costruire le corrispondenti serie dei numeri indice a base mobile e a base fissa, in quest ultimo caso assumendo come base (pari a 100) il prezzo medio dell anno. [ Sol. : prezzo medio annuo (da utilizzare come base per i N.I. a base fissa) 3,6 mese gen feb mar apr mag giu lug ago set ott nov dic b.mob === 100,6 102, ,4 99,2 99,7 100, ,2 99,2 101,4 b.fissa 97,2 97, ,4 100,6 100,3 101,1 101,1 100,3 99,4 100,8 Esercizio 3 Formulare un giudizio sintetico sull asimmetria di una v.c. binomiale X di parametro p = 0,3 (MOTIVARE la risposta fornita) [Essendo p < 0,5 la distribuzione è asimmetrica positiva] Esercizio 4 - Per una v.c. X distribuita normalmente si sa che: Pr ( X >18) = 0,10 e Pr (X < 10) = 0,05. Determinare media e varianza di X. [Sol.: Risolvendo il sistema:1,282 = (18 µ) / σ -1,645 = (10 µ) / σ, in cui 1,282 è il valore di z che lascia alla sua destra un area pari a 0,10 e -1,645 il valore di z che lascia alla sua sinistra un area pari a 0,05, si ottiene: µ = 14,496 σ 2 = 7,470]. Esercizio 5 - Con riferimento ai dati dell esercizio 1:

20 - interpolare linearmente Z in funzione di W e misurare la correlazione lineare tra i due caratteri; [Sol.; Z = 28, ,481 W r = 0,942] - sapendo che i pazienti A, B, C e D seguono una terapia con un farmaco ipotensivo che potrebbe ridurre i livelli ematici di Z, misurare la dipendenza in media dei livelli ematici di Z dall assunzione o meno del farmaco; [Sol.: per il complesso, M = 88 Devianza = 548; pazienti che assumono il farmaco M = 86 Devianza interna = 130; pazienti che non assumono il farmaco: M = 89,6 Devianza interna 389,2; perciò η 2 = 1- ( ,2)/548 = 0,053] - ipotizzando che i 9 pazienti rappresentino un campione casuale di individui estratto da un universo normale, costruire gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza di W (α = 0,05); [Sol.: per la media 10,9 ± 2,306 (1,423/3), usando la t 8 e correggendo la varianza trovata nell es. 1; per la varianza 16,2/17,5 = 0,926 e 16,2/2,18 = 7,431] - volendo ripetere l indagine e mirando ad ottenere (sempre al livello α = 0,05) un intervallo di confidenza per la media di W di ampiezza complessiva 0,5, quale dovrà essere la numerosità del nuovo campione? [Sol.: n = 125] - sulla base dei dati disponibili, si può affermare (sempre al livello di significatività α = 0,05) che il livello ematico di Z è significativamente più basso nei pazienti che assumono il farmaco ipotensivo? [Sol.: prima di verificare l ipotesi H 0 : µ 1 = µ 2 contro l alternativa H 1 : µ 1 < µ 2, poiché i campioni sono molto piccoli, occorre preliminarmente verificare l omoschedasticità: 97,3/43,3 = 2,245 < F 4;3 = 9,12 omoschedasticità accolta. Varianza pooled ( ,2) / 7 = 74,171 da cui s = 8,612 Test 86 89,6 /8,612 sqrt (1/4 + 1/5) = 0,623 < 1,895 = t 7 accetto Ho, non c è differenza significativa] Esercizio 6 - In un esperienza di laboratorio, un ricercatore intende analizzare la relazione tra X e Y interpolando i risultati empirici con una funzione del tipo: Y = a + b logx + c X 3 (con X > 0). Scrivere il sistema di equazioni normali che, risolto, fornisce le stime dei parametri a, b e c. [Sol.: dalla condizione di minimo Σ(y i a b log x i c x i3 ) 2 = min, derivando parzialmente rispetto ad a, b, c, uguagliando a zero le derivate parziali e ponendo a sistema, si ottiene il sistema delle equazioni normali: Σ y i = n a + b Σ log x i + c Σ x i 3 Σ y i log x i = a Σ log x i + b Σ (log x i) 2 + c Σ x i 3 log x i Σ y i x i 3 = a Σ x i 3 + b Σ x i 3 log x i + c Σ x i 6 N.B. L esercizio mirava a verificare la capacità di applicare il metodo dei minimi quadrati ad interpolanti lineari nei parametri ma diverse dalla retta] 16 Appello straordinario dell 8/11/2010 (riservato a laureandi e fuori corso) 1 - Nella seguente tabella sono state classificate 100 famiglie secondo l'area geografica di residenza e il reddito annuo lordo (in migliaia di euro): X \ Y Totale Nord Centro