L analisi di studi con variabili di risposta multiple

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1 X1 X X 3 Quando un confronto venga effettuato per tre lvell d un fattore, sembrerebbe ntutvo effettuare l confronto con l test t d Student a pù lvell: X X X 1 1 vs vs vs X X X 3 3 Metodologa per l anals de dat spermental L anals d stud con varabl d rsposta multple Quando lvell del fattore allo studo sano pù d due (qual ad esempo trattament dvers, protocoll d ntervento dvers ) sembrerebbe ntutvo effettuare a due a due confront utlzzando l test t d Student. Pagna 1

2 Se la probabltà d commettere un errore d I tpo per 1 confronto è α, la probabltà per C confront dvene: ( 1 α) ( 1 α) ( 1 α) ( 1 α)... ( 1 α) 1 ( 1 α) C C α Se s effettuano pù confront, tuttava, la probabltà d errore d prmo tpo aumenta proporzonalmente al numero d confront (C) e, anche se nomnalmente è par a 0.05, per tre confront essa è par a 0.14, per cnque confront a 0.5. Pagna

3 L'anals della varanza (ANOVA) L'potes nulla dvene: H0 : µ 1 µ µ 3... µ p e sagga l'potes che tutte le mede non dfferscano tra loro La tecnca corretta per confronto d pù lvell della varable d rsposta è l anals della varanza. Il modello pù semplce d anals della varanza (ANOVA) è l anals della varanza ad un crtero d classfcazone (detta anche ad una va con brutta traduzone dell one-way nglese). Pagna 3

4 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Devanza Grad d lbertà Varanze Tra grupp SS(a) p-1 MS(a) Entro grupp SS(e) n T -p MS(e) TOTALE SS(y) n T -1 La varanza totale vene scomposta n due quote. Pagna 4

5 Indcator d tabelle bdmensonal Quando la varable Y sa nserta n una matrce, coé n una tabella a due dmenson, occorrono due deponent per dentfcare una specfca Y: Y j sta ad ndcare l'elemento della rga -esma e della colonna j-esma. L'ordne degl element è mportante, perché: Y 1 # Y 1 I dat sono rappresentan con una colonna per cascun lvello del fattore analzzato, e valor ne sngol soggett come rghe: Pagna 5

6 Doppa sommatora p n j 1 1 X j Y j j 1 Y j ( ) + ( ) + ( ) Pagna 6

7 Sommatora d prodott p n X Y j j j j 1 1 j 1 1 p X n Y j Pagna 7

8 La scomposzone della varanza ( ) ( ) ( j ) ( ) + ( ) (j ) j + - j Consderamo l termne che vene elevato al quadrato e po sommato per calcolare la devanza: se aggungamo e toglamo la meda del gruppo -esmo, compamo un operazone algebrcamente neutra. Inserendo le parentes, ndvduamo due termn: uno decrve lo scostamento della sngola osservazone dalla meda del suo gruppo -esmo, l altro lo scostamento della meda del gruppo -esmo dalla grande meda (meda d tutt valor). Pagna 8

9 Pagna 9 La scomposzone della varanza ( ) ( ) j + ( ) ( ) [ ] + j j ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j j j j j j j n n Elevamo al quadrato e sommamo l bnomo così ottenuto. Il prodotto de due termn contene la somma dello scostamento d un valore dalla sua meda.

10 Pagna 10 0 n n n ) ( S dmostra che la somma dello scostamento d un valore dalla sua meda è nullo per defnzone.

11 Pagna 11 La scomposzone della varanza ( ) ( ) ( ) + j j j n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + j j j j j j n Il termne qund scompare, e la devanza rsulta scomposta n due quote.

12 La scomposzone della varanza ( j ) n ( ) + ( j ) j devanza TRA grupp SS(a) Pagna 1

13 La scomposzone della varanza ( j ) n ( ) + ( j ) j devanza ENTRO grupp devanza resdua SS(e) Pagna 13

14 Pagna 14 La scomposzone della varanza: formule semplfcate T j j j j n n SS(a) j j j j n SS(e) Per l calcolo esstono formule semplfcate, che rchedono solo l calcolo della somma per cascun gruppo delle, del loro quadrato, e d un termne d correzone costtuto dal rapporto tra l quadrato della somma delle e la numerostà del gruppo.

15 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Devanza Grad d lbertà Varanze Tra grupp SS(a) p-1 MS(a) Entro grupp SS(e) n T -p MS(e) TOTALE SS(y) n T -1 La devanza così calcolata andrà dvsa per grad d lbertà, che sono par al numero d grupp meno 1 (p-1) per la varanza tra grupp, e al numero totale delle osservazon meno l numero d grupp per la varanza entro grupp. Pagna 15

16 Il test d'potes La statstca test è: MS(a) F MS(e) che è dstrbuta come F d Fsher con (p-1) ed (n T -p) grad d lbertà Il rapporto tra la varanza tra grupp e la varanza entro grupp costtusce l test F, che segue la dstrbuzone F d Fsher. Pagna 16

17 La dstrbuzone F d Fsher Per la sgnfcatvtà, s possono consultare le apposte tabelle. Pagna 17

18 In alternatva, è possble usare la funzone DISTRIB.F d Ecel. Pagna 18

19 Med Sc Sports Eerc 006;38:1367 Prendamo come esempo uno studo che confronta grupp d pazent secondo l recupero della frequenza cardaca dopo test da sforzo. Pagna 19

20 Inseramo meda, devazone standard e numerostà d cascun gruppo n un fle Ecel. Pagna 0

21 X X n n s² (n 1) X X s² (n 1) + [ X] n [ ] n Da meda e devazone standard s può rsalre alla somma delle X e de quadrat delle. Pagna 1

22 X n Pagna

23 [ ] [ 61.45] X s² (n 1) n 34 Pagna 3

24 s² (n 1) X [ X] [ 16.3] n SD (98-1) 0.43 Le somme possono essere sommate tra grupp, e dalle somme s può fare l percorso nverso, calcolando meda e devazone standard. Questo sstema può essere utle quando s dsponga solo delle statstche descrttve, come n dat pubblcat, per ottenere le statstche descrttve d pù grupp unt. Pagna 4

25 Pagna (16.3)² n n SS(a) T j j j j Calcolando po l fattore d correzone per cascun gruppo, e sommandolo tra grupp, dsponamo d tutt termn per l calcolo della devanza tra grupp.

26 j j SS(e) j j n Analogamente per la devanza entro grupp. Pagna 6

27 ss(totale) s² (n 1) X [ 16.3] [ X ] n Il calcolo della devanza totale rsulta superfluo, vsto che corrsponde alla somma delle due devanze calcolate, ma può essere utle verfcare per l esattezza del calcolo. Pagna 7

28 Fonte d varazone Devanza Tra grupp SS(a) 14.0 Entro grupp SS(e) 3.0 TOTALE SS(y) Pagna 8

29 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Devanza Grad d lbertà Varanze Tra grupp Entro grupp TOTALE Dvdendo per grad d lbertà, s ottengono le varanze. Pagna 9

30 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Devanza Grad d lbertà Varanze Tra grupp Entro grupp TOTALE F10.4 Il rapporto è l test F. Pagna 30

31 La sgnfcatvtà è molto alta, per cu possamo rfutare l potes nulla. Pagna 31

32 L'anals della varanza (ANOVA) Il rfuto dell'potes nulla : H0 : µ 1 µ µ 3... µ p mplca che tutte le mede non dfferscono tra loro Lo spermentatore può però essere nteressato al confronto a due a due de valor. Pagna 3

33 Confront multpl H0 : µ 1 µ µ 3... µ p Se s voglono effettuare confront tra due o pù mede: Confront pre-panfcat Test a pror Confront non panfcat "Data snoopng" Tests a posteror Per confront multpl esstono due tp d test: confront a pror, panfcat nel dsegno dello studo, e confront a posteror, non panfcat ma generat dall osservazone de rsultat. I due tp d confronto rchedono dvers tp d test. Pagna 33

34 Data snoopng: cerca cerca, qualcosa rsulterà sgnfcatvo Il lvello d protezone del 5% fa sì che su 0 confront effettuat, 1 rsulterà sgnfcatvo PER SOLO EFFETTO DEL CASO. Le consderazon su confront multpl non s applcano a confront pre-defnt ma solo a quell generat dall'osservazone de rsultat. Pagna 34

35 Confront multpl Tests a pror Test d Dunnett Test d Bonferron.. Tests a posteror Test d Scheffé Test d Newman-Keuls Test t d Student Pagna 35

36 Confront multpl: contrast lnear S utlzzano coeffcent c che per convenzone hanno somma 0 e somma de valor assolut : [1 0-1] [1-1/ -1/] Pagna 36

37 Test d Dunnett Il test d Dunnett s applca quando l confronto d nteresse sa tra le sngole mede ed una che costtusca l valore d rfermento. td c y + c y c c MS(e) + n n ' ' ' ' Attenzone, però: questo test vale solo per potes formulate a pror!!! Pagna 37

38 td c y + c y c MS(e) n c + n ' 0.77 ' ' ' 17.8 Pagna 38

39 Esstono tabelle apposte per l test d Dunnett, qu rportate. La statstca test eccede ampamente l valore tabulato, per cu s può rfutare l potes nulla. Pagna 39

40 Test d Scheffé Tra test a posteror, l pù robusto, ma anche l pù conservatvo, è l test d Scheffé cy F c MS(e) n F'(p-1)F Pagna 40

41 cy F c MS(e) n (0.77) Pagna 41

42 Test d Scheffé F'(p-1)F (p-1),(nt-p) Il lvello d sgnfcatvtà del test d Scheffé è un multplo della F d Fsher, dove l multplo è l numero d grupp meno 1. Pagna 4

43 Il test d Bonferron (Dunn) td c y + c y 1 1 c MS(e) n c y c + n p p c n p p α(reale) α(nomnale) p Il test d Bonferron è un test a pror. La denomnazone vene adottata anche per la correzone d Bonferron, che è un metodo molto semplce, che vene utlzzato spesso sulle maggor rvste scentfche. Il metodo è molto semplce: dato l valore nomnale della p ottenuta da un test d Student, questa va moltplcata per l numero d confront che s effettuano. Ad esempo, se la sgnfcatvtà è p0.03 ma s effettuano tre confront, la p dvene p0.09, qund non pù sgnfcatva. Pagna 43

44 Quando le msure non hanno dstrbuzone gaussana L equvalente non parametrco dell anals della varanza è l test d Kruskal-Walls Dove: 1 KW nj R j 3(N+ 1) N(N+ 1) (N+ 1) R Se tutt grupp hanno almeno 5 cas, l test segue la dstrbuzone χ² con (k-1) grad d lbertà. Il test d Kruskal Walls è l equvalente non parametrco dell anals della varanza. I dat vengono trasformat n rangh, non consderando l gruppo d appartenenza; rangh corrspondent vengono po rcollocat nel gruppo corrspondente, e sommat per cascun gruppo. Pagna 44

45 1 1 KW n R j j 3(N+ 1) N(N+ 1) Per l calcolo occorre sostture valor orgnal con relatv rangh, tenendo conto che n caso d valor ugual (tes) s usa come rango per tutt valor la meda de rangh corrspondent. Pagna 45

46 Modell dell anals della varanza Gl esemp fn qu rportat costtuscono applcazon d un modello fsso dell anals della varanza Nel modello fsso lvell del fattore ncluso nell espermento (usualmente trattament) sono appostamente scelt dallo spermentatore, ed obettvo dell anals è l confronto tra le mede. E atteso che una rpetzone dell espermento port alle stesse stme degl effett α del fattore. Pagna 46

47 Modell dell anals della varanza Nel modello ad effett casual o random gl effett α sono un campone casuale estratto da una popolazone d α con meda 0 e varanza σ² α. In altr termn lo spermentatore non è espressamente nteressato a determnat lvell del fattore n esame, ma l ha scelt come rappresentatv d un fattore d cu vuole stmare la varabltà. Il calcolo d devanze e varanze è lo stesso che nel modello fsso. Pagna 47

48 Anals della varanza a due crter d classfcazone Fattore B (colonne) 1 j c Totale 1 y 11 y 1j. y 1c R 1 Fattore A (rghe) Y 1 Y j y c R r Y r1 Y rj y rc R r Totale C 1 C j C c T Quando fattor d cu s ntende analzzare l effetto sono due, s passa all anals della varanza a due crter d classfcazone. Pagna 48

49 Medans, nterquartles and 5th and 95th percentles are gven n Fgs.. Runnng tmes were nvestgated by two-way ANOVA (factors: age and se). Sgnfcance level was chosen as p<0.01. Int J Sports Med 007;8:513 Pagna 49

50 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Devanza Grad d lbertà Varanze Celle SS(y j ) pq-1 Fattore A (sesso, rghe) SS(a) (p-1) MS(a) Fattore B (età, colonne) SS(b) (q-1) MS(b) Interazone AB SS(AB) (p1)(q-1) MS(ab) Errore SS(e) pq(n-1) MS(e) TOTALE SS(y) pqn-1 Nella tabella dell anals della varanza compaono qu l fattore A, l fattore B, ma anche la loro nterazone. Pagna 50

51 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Grad d lbertà Varanze Celle pq-1 Fattore A (sesso, rghe) (p-1) MS(a) F(p 1),pq(n1) MS(a) MS(e) Fattore B (età, colonne) (q-1) MS(b) F(q 1),pq(n1) MS(b) MS(e) Interazone AB Errore (p1)(q-1) pq(n-1) MS(ab) MS(e) F(p 1)(q-1),pq(n 1) MS(ab) MS(e) TOTALE pqn-1 Per cscuno d quest fattor c è un test F apposto, con corrspondent grad d lbertà. Pagna 51

52 Interazone quanttatva A1 A L nterazone è presente quando, n presenza d un lvello d un fattore, la dfferenza tra due lvell dell altro fattore è dversa che n presenza dell altro lvello del prmo fattore. Quando la dfferenza è nell enttà ma non nella drezone della dfferenza, s parla d nterazone quanttatva. Pagna 5

53 Interazone qualtatva A1 A L nterazone qualtatva, nella quale dffersce anche la drezone della dfferenza, è rarssma n bologa. Pagna 53

54 Dsegno splt-plot b 1 b b 3 a 1 Blocco 1.. Blocco n a Blocco 1.. Blocco n Y 11 Y 1 Y 13 Y 1 Y Y 3 Un dsegno molto utlzzato è l dsegno splt-plot, che derva dall agrcoltura. Nell applcazone pù comune l blocco è l pazente, dvso n due lvell secondo un fattore tra pazent. Il fattore b, nell applcazone pù comune, è rappresentato dal fattore tempo. Pagna 54

55 Attvo tempo Controllo L uso d questo dsegno è comune quando l nteresse è per la dfferenza nell andamento temporale secondo lvell del fattore tra pazent. Pagna 55

56 Statstcal evaluaton of the data was performed usng a (between-wthn) analyss of varance [tme (pre and post-test) group (PT and TRT)] Eur J Appl Physol 007;99:57 Pagna 56

57 La scomposzone della varanza Fonte d varazone Grad d lbertà Varanze Tra blocch np-1 Fattore A Blocch entro A (p-1) p(n-1) MS(a) MS(e 1 ) F (p 1),p(n1) MS(a) MS(e ) 1 Entro blocch Fattore B np(q-1) (q-1) MS(b) F (q 1),p(n-1)(q 1) MS(b) MS(e ) Interazone AB B per blocch entro A (p-1)(q-1) p(n-1)(q-1) MS(ab) MS(e ) F (p 1)(q-1),p(n 1)(q-1) MS(ab) MS(e ) TOTALE pqn-1 L anals che s utlzza è l anals della varanza per msure rpetute, che è una tecnca statstca che tene conto del fatto che msure rpetute sul medesmo soggetto non sono, ovvamente, ndpendent tra loro. L potes che l andamento temporale sa dverso ne due grupp è saggata dal test per l nterazone. Pagna 57

58 Chest press Muscle power Baselne 10 weeks PT (power tranng) 35.7± ±8.5 TRT (tradtonal resstance tranng) 33.89± ±59.16 Eur J Appl Physol 007;99:57 Pagna 58

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