VA TIR - TA - TAEG Introduzione

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1 VA TIR - TA - TAEG Introduzone La presente trattazone s pone come obettvo d analzzare due prncpal crter d scelta degl nvestment e fnanzament per valutare la convenenza tra due o pù operazon fnanzare. S tratterà d operazon progettate poché l loro flusso d cassa non è osservato ma solo prevsto. S è supposto che relatv mport sano not con certezza e allo stesso modo sano note con certezza le scadenze temporal d pagamento. C s lmterà a consderare operazon fnanzare dscrete ossa tal che movment d denaro avvengano cascuno n un determnato stante. Il prmo crtero analzzato sarà l Valore Attuale Netto che esprme la somma algebrca delle entrate e delle uscte attualzzate attraverso l utlzzo d un tasso d attualzzazone d rfermento. Tale crtero s basa sul prncpo secondo l quale un nzatva merta d essere presa n consderazone solo se benefc che ne possono dervare sono superor alle rsorse utlzzate. Il secondo crtero è l Tasso Interno d Rendmento che, algebrcamente, è l tasso per l quale l VAN rsulta nullo. Il Tr è quel tasso che segnala ndfferenza al progetto fnanzaro e separa gl ntervall d tass che fanno rtenere l operazone convenente, da ntervall per qual l operazone è svantaggosa. Infne s è descrtta una utle applcazone del TIR nella valutazone delle offerte d vendta con pagament ratezzat: l TAN o tasso annuo nomnale e l TAEG coè l tasso annuo effettvo globale.

2 Le operazon fnanzare Le operazon fnanzare spesso vengono dstnte n nvestment e fnanzament, entramb descrtt da un flusso d captal d segno dverso: gl esbors da somme negatve e gl ncass da somme postve. La loro dstnzone potrebbe essere rferta alle fnaltà dell operazone dato che da un nvestmento c s aspetta un guadagno mentre un fnanzamento rchede un costo; n pratca, s procede alla dstnzone separando, per ogn operazone, la successone degl esbors da quella degl ncass e procedendo al confronto tra valor d un opportuno ndce temporale assocato a cascuna d esse. Dal nostro punto d vsta, le operazon fnanzare vengono consderate n va preventva, quando sono allo stado d operazon progettate. Corrspondentemente, l loro flusso d cassa non è osservato, ma solo prevsto. Supporremo tuttava che relatv mport sano not con certezza, e allo stesso modo, supporremo note con certezza le scadenze temporal d pagamento. C lmteremo, nfne, a consderare operazon fnanzare dscrete, ossa tal che movment d denaro avvengano cascuno n un ben determnato stante; non consdereremo,n altre parole, operazon n cu sano contemplat fluss contnu d captale n entrata o n uscta. La valutazone degl nvestment è quell'attvtà che vene effettuata per verfcare l'mpatto che un determnato progetto d nvestmento ha sulla struttura adottante (azenda, ramo d azenda, ente, progetto, prvato, ecc.),

3 dove per progetto d'nvestmento s ntende un nseme d attvtà produttve o fnanzare n cu l'azenda o l prvato cttadno mpegna dsponbltà lqude (costo dell'nvestmento) con l'obettvo d consegure, n contropartta, un flusso d benefc futur complessvamente superor a cost sostenut. Il problema che vene affrontato dalla valutazone degl nvestment è, nella sostanza, un problema d scelta: ogn azenda o prvato deve, nfatt, prendere delle decson d'nvestmento, drette ad allocare a sol progett che "creano valore" le lmtate rsorse dsponbl (fattor produttv). Per poter rsolvere a sstema tale problema d scelta fra possbl alternatve è necessaro poter dscrmnare le dverse possbltà n base ad un untà d msura che deve essere n grado d evdenzare sa la valdtà dell nzatva, sa correlat effett economco fnanzar: è comunemente accettato che l'untà d msura cu fare rfermento n questo caso sa l valore economco dell nzatva. Il costo d un nvestmento è dato da fluss fnanzar n uscta o mnor fluss n entrata conness alla sua attuazone; analogamente, "benefc" ad esso assocat sono costtut da fluss fnanzar n entrata ovvero a mnor fluss n uscta (dove rtorn e cost futur sono element d carattere prevsonale). In tal modo un'operazone d'nvestmento può essere rappresentata da una successone (stmata) d future entrate ed uscte monetare denomnata "flusso d cassa".

4 Altro fattore determnante nella valutazone degl nvestment è l tempo: la rlevanza del fattore tempo dpende da un effetto d carattere fnanzaro che lo lega al valore del denaro e secondo cu, a partà d altre condzon, ad un allungamento de temp d rentro delle rsorse nvestte n un progetto corrsponde una contrazone de benefc d ordne fnanzaro (l trascorrere del tempo ntroduce, peraltro, un ulterore lvello d'ncertezza nel processo d valutazone n quanto, all'amplars degl ntervall d rfermento, le prevson sulle varabl da cu dpendono rsultat dell'operazone tendono progressvamente a perdere d sgnfcatvtà ). Ulterore elemento essenzale del processo d valutazone è l tasso d nteresse scelto a rfermento: l tasso d'nteresse al quale s attualzzano fluss fnanzar (n entrata ed n uscta) è denomnato costo opportuntà del captale perché rappresenta un'alternatva alla quale s rnunca per ntraprendere l partcolare progetto d'nvestmento analzzato. Un progetto fnanzaro è caratterzzato da una sequenza d mport e dalle opportune scadenze: {( P t )( ; P ; t );...;( ; )} ; P n t n Verrà defnto: - I VESTIME TO : se tutte le uscte precedono temporalmente tutte le entrate.

5 - FI A ZIAME TO : se tutte le entrate precedono temporalmente tutte le uscte. Un operazone è po detta semplce se è costtuta da una sola entrata seguta da sole uscte, o vceversa da una sola uscta seguta da sole entrate (rspettvamente nel caso s tratt d un fnanzamento o d un nvestmento). S pens, per fare qualche esempo, all operazone consstente nel concedere un prestto ed ncassare po le annualtà prevste dal corrspondente pano d rmborso; o a quella - smmetrca d contrarre un prestto e procedere po al suo ammortamento. Dato l flusso d cassa prevedblmente assocato ad un progetto d mpresa economca, la dfferenza tra entrate ed uscte dà, elementarmente, l guadagno che se ne rcaverà. In quanto quelle entrate e quelle uscte sono però destnate a manfestars n temp dvers, è del tutto naturale per no mmagnare d rportarle fnanzaramente ad uno stesso stante. La funzone che esprme l valore attuale n t =,nella varable ed n regme d nteresse composto, della somma degl mport P = P + P Pn, prende l nome d DISCOU TED CASH FLOW (DCF), coè flusso d cassa scontato. L espressone analtca della DCF è: Coè: V ( ) = P n n t = P v = = + ( ) t

6 V ( ) = P + P t t n ( + ) (+ ) (+ ) t P n Attraverso tale funzone cercheremo d capre se è possble sceglere tra due dvers progett fnanzar. Valore Attuale etto e Tasso Interno d Rendmento. VA La somma algebrca delle entrate e delle uscte attualzzate attraverso l utlzzo d un tasso d attualzzazone d rfermento, rappresenta l Valore Attuale etto del progetto d nvestmento (n nglese Net Present Value) anche noto sotto l acronmo REA coè Rsultato Economco Atteso. V ) = VA ( ) rappresenta l DCF valutato n = ( Il rcorso al calcolo del VAN s effettua n genere quando v sa da sceglere tra pù progett n alternatva: nel caso d nvestment, l crtero presuppone, ovvamente, che la preferenza vada data a quello che presenta un VAN

7 maggore (n senso algebrco: n determnate crcostanze, nfatt, l crtero può portare a selezonare l operazone che dà luogo alla perdta mnore); ovvamente avremo la stuazone opposta (e scegleremo l VAN mnore) nel caso d fnanzament. Ma anche n relazone ad un progetto sngolarmente consderato l VAN può servre a dare una spece d gudzo assoluto sulla sua accettabltà: un VAN negatvo corrsponde ad un operazone per la quale le uscte sono destnate a superare le entrate. Esempo In regme d nteresse composto, al tasso = 9.5% annuo, è pù convenente pagare ogg 25, oppure 5 tra 6 mes e 5 tra anno? Per confrontare le due alternatve devo calcolarm l VAN della seconda opzone (5 tra 6 mes e 5 tra anno): Ponendo v = che è l fattore d attualzzazone, (+ ) VA.5 ( = 9.5%) = 5* v + 5* v= D conseguenza è pù convenente pagare ogg 25 perché sosterremo un costo pù basso.

8 Esempo 2.2 Abbamo due possbl nvestment: ( I ) Versare ogg e rcevere alla fne del prmo e secondo anno e alla fne del terzo anno. ( I 2 ) Versare ogg e rcevere 5 alla fne del prmo e secondo anno e 22 alla fne del terzo anno. Stablre quale de due progett è pù convenente utlzzando l crtero del VAN con un tasso d attualzzazone = %. Calcolamo le funzon DCF de due nvestment: V ( ) = (+ ) + 3 (+ ) 5 V2 ( ) = (+ ) (+ ) Ponendo = = % avremo: VA ( ) = V ( ) = (+.) (+.) = VA ( ) = V2 ( ) = (+.) (+.) 2 = Qund, poché VA ( ) < VA 2 ( ) 338.9

9 Segue che l secondo nvestmento rsulterebbe pù vantaggoso. 2. Crtche al crtero del VA I dfett del crtero del VAN sono tanto numeros quanto evdent. La crtca maggore che vene fatta, è la soggettvtà nella scelta del tasso. Infatt, l tasso d nteresse da mpegare nel calcolo de valor attual non è n alcun modo ntrnseco al progetto da gudcare, ma è a totale dscrezone dell operatore che cerca d determnare l VAN. Operator dvers possono dunque pervenre, nella valutazone degl stess progett, a concluson dverse. C è, però, d pù. Dre che l valore attuale n del captale t S dsponble al tempo t è S ( + ), vuol dre che s rtene d poter nvestre, da ogg fno al tempo t, questa somma al tasso, generando così appunto l montante S. Cò mplca dunque l potes che, per tutta la durata del progetto ed ndpendentemente dall ordne d grandezza delle somme n questone, la realtà offrrà la possbltà d nvestre captal al tasso : potes, evdentemente del tutto rrealstca. Inoltre l tasso è da ntenders come costo opportuntà del denaro per l decsore. Var tentatv sono stat fatt per cercare s rendere oggettvo l calcolo d. Ad esempo l utlzzo d una meda ponderata de tass che rappresenterebbero cost del captale, d dfferent

10 provenenze, nvestto nel progetto. Tale tasso medo è detto usualmente WACC (Weghted Average Cost of Captal). 3. TIR La nozone d VAN (o REA) d un operazone, soffre e lo abbamo segnalato del grave dfetto d non essere ntrnseca all operazone, e qund oggettvamente defnta. S ottene nvece una caratterstca ntrnseca ed oggettva d un operazone se elementarmente parlando s cerca d rspondere non alla domanda quanto essa consentrà d guadagnare ma a quella che tasso d nteresse s rcava da captal nvesttt? Consderando la nostra funzone DCF avremo che : P n = + t ( ) se esste un valore d maggore d - per l quale tale funzone rsulta nulla, e questo valore è unco, allora esso vene detto TASSO I TER O DI RE DIME TO (T.I.R.) (n nglese IRR coè Internal Rate of Return). Il TIR è quel tasso che segnala ndfferenza al progetto fnanzaro e separa gl ntervall d tass che fanno rtenere l operazone convenente, da ntervall per qual l operazone è svantaggosa. Come utlzzare l TIR d due operazon fnanzare? Fondamentalmente la regola decsonale è la seguente:,

11 - nel caso d INVESTIMENTI è preferble quello che ha un TIR maggore; - nel caso d FINANZIAMENTI è preferble quello che ha un TIR mnore. Esste anche una versone assoluta del crtero, n base al quale un operazone d nvestmento (o d fnanzamento) va eseguta se l suo TIR è maggore (o mnore) d un tasso d rfermento prefssato, al quale s rtene d poter altrment nvestre le propre dsponbltà (o al quale s rtene d poters altrment fnanzare). 4. Crtche al crtero del TIR Così formulato l crtero appare rspondere n peno a requst che c eravamo propost d soddsfare: è nteramente oggettvo, poché, n base ad esso, operator dvers, nella stessa stuazone, gungono d necesstà alle stesse concluson (cò che nvece non accadeva con l crtero del VAN). Né rchede, da parte d ch vogla applcarlo, alcuna capactà specale d prevsone sull andamento futuro del mercato e de tass: esso s fonda, nfatt, esclusvamente sulle caratterstche ntrnseche de progett da confrontare. Il tutto è talmente semplce, che l crtero stesso, pur se l suo ambto d applcazone rsulta rdotto al solo confronto tra operazon dotate d TIR, ha avuto un successo folgorante. Ad un esame pù approfondto, le ragon d tale successo appaono decsamente nconsstent.

12 Abbamo osservato che l VAN d un operazone calcolato al tasso rappresenta l valore attuale, a quel tasso, del maggor guadagno che l operazone permette d consegure, rspetto all mpego de medesm captal al tasso ; e notato crtcamente che l fondamento d questo dscorso è che per tutta la durata dell operazone captal sano davvero nvestbl a quel tasso: potes, questa, la cu naccettabltà rende poco credble l tutto. Peraltro, ha senso dcharare che svolgere un operazone avente TIR =,equvale ad mpegare gl stess captal a questo tasso n quanto se annulla l DCF, cò vuol dre che esso rende l montante delle entrate uguale a quello delle uscte: dunque, se fno alla fne dell operazone captal s possono nvestre al tasso, compere l operazone o nvestre al d fuor d essa dà gl stess rsultat. Come s vede, la logca sottesa alla nozone d TIR è la stessa che da senso a quella del VAN, e ne condvde dunque l dfetto d fondo: che è quello d potzzare l esstenza d un tasso unco costante per una durata anche notevole. Comunque no c lmteremo all aspetto matematco anche perché, n realtà, non esstono tant altr ndcator che permettono d valutare n manera scentfca un progetto fnanzaro. Rsolvere la funzone n = P t ( + ) = ed ndvduare n questo modo l TIR, sgnfca rsolvere un equazone

13 algebrca s grado elevato. Occorre, qund, fare prma alcune consderazon matematche: - affronteremo prma alcun teorem per dmostrare l esstenza effettva d una soluzone; - successvamente studeremo alcun metod ( pù utlzzat) teratv che permettono, n breve tempo, d determnare una buona approssmazone della soluzone; - nfne applcheremo tal metod (medante alcun esemp) alla nostra funzone DCF = per trovare l TIR. TA & TAEG Una utle applcazone del TIR s ha nella valutazone delle offerte d vendta con pagament ratezzat: l calcolo del TIR n questo caso prende l nome d TAN (Tasso Annuo Nomnale) o d TAEG (Tasso Annuo Effettvo Globale) a seconda d qual pagament vengono consderat Il TAN rappresenta l TIR dell operazone calcolato sul prezzo d lstno senza consderare eventual spese agguntve prevste dal contratto; qund è la soluzone dell equazone: S n = t ( + ) = R

14 Dove S è l prezzo d lstno (coè l captale fnanzato) mentre R sono gl mport delle rate pagate alle epoche t. Il TAEG nvece rappresenta l TIR dell operazone tenendo conto anche delle spese agguntve prevste dal contratto (ad esempo le spese d struttora); qund è la soluzone dell equazone: S C n = t ( + ) = R Dove C sono le spese agguntve. Esempo Consderamo un mutuo d della durata d 8 ann. Le rate sono tutte d mporto par a e potzzamo che al mutuato sano addebtate: - 3 spese su perza - spese per struttora bancara - Ogn rata gravata d d spese d ncasso - Ogn rata gravata d ulteror 2 per spese vare Calcolare TAN e TAEG. - TA La nostra DCF è: V ( ) = ( + ) 8

15 Ponamo = avremo che: V, R = e = 8 f ( ) = Invece, secondo la (5), avremo che: n ; allora secondo la (4) 8 8 ( + ) ( + ) + = f ( ) = ( + ) ( + 8) + Possamo pertanto applcare l metodo d Newton per trovare l TAN. Come gà studato, utlzzeremo come prma R approssmazone (per eccesso) = b= = = : V = b= f n+ = n f ( n) ( ) n f (.54722) = = f (.54722) = = =

16 .269 = = Possamo rtenere che la soluzone è TA 5% - TAEG Il DCF, tenendo conto delle spese agguntve prevste dal contratto, dventerà: Coè V ( ) = + ( 3+ ) + ( ) V () = ( + ) 8 ( + ) 8 Ponamo = 96 avremo che: V, R = e = 8 96 f ( ) = n ; allora secondo la (4) 8 8 ( + ) ( + ) + = Ponendo = TAEG, sappamo, dagl stud precedent, che:

17 Coè, nel nostro esempo: V n R V R < < R V ( + n) < < Provamo ad applcare l metodo delle secant per trovare l TAEG. Come gà studato, utlzzeremo come prma approssmazone (per dfetto) avremo: V n = a= R : V ( + n) R = a= b n ( ) n+ = n f n ( ) ( ) f b f n dove b = = (.36285) = ( ) = (.33468) M M M M M

18 Possamo rtenere che la soluzone è TAEG 6.5% Concluson IL VAN è l crtero pù utlzzato nella valutazone d progett fnanzar. Come abbamo osservato, però, non è esente da dfett: l pù evdente è la soggettvtà nella scelta del tasso, per cu operator dvers possono pervenre, nella valutazone degl stess progett, a concluson dverse. Inoltre l VAN s basa sull potes che, per tutta la durata del progetto sarà possble nvestre captal al tasso e cò è, ovvamente, assa mprobable..

19 Un tentatvo per cercare d rendere oggettvo l calcolo d è l utlzzo d una meda ponderata de tass che rappresenterebbero cost del captale, d dfferent provenenze, nvestto nel progetto. Tale tasso medo è detto usualmente WACC (Weghted Average Cost of Captal). In prma anals, l crtero del TIR appare rspondere n peno a requst che c eravamo propost d soddsfare: è nteramente oggettvo, poché, n base ad esso, operator dvers, nella stessa stuazone, gungono d necesstà alle stesse concluson (cò che nvece non accadeva con l crtero del VAN) e s fonda esclusvamente sulle caratterstche ntrnseche de progett da confrontare. Ad un esame pù approfondto emergono anche dfett d tale crtero. Ha senso dcharare che svolgere un operazone avente TIR =, equvale ad mpegare gl stess captal a questo tasso n quanto se annulla l DCF, cò vuol dre che esso rende l montante delle entrate uguale a quello delle uscte: dunque, se fno alla fne dell operazone captal s possono nvestre al tasso, compere l operazone o nvestre al d fuor d essa dà gl stess rsultat. Come s vede, la logca sottesa alla nozone d TIR è la stessa che da senso a quella del VAN, e ne condvde dunque l dfetto d fondo: che è quello d potzzare l esstenza d un tasso unco costante per una durata anche notevole. Per quanto rguarda metod per la rsoluzone approssmata d equazon, abbamo notato che, n assoluto, l metodo che converge pù rapdamente verso la soluzone è certamente l metodo d Newton. D conseguenza per l tpo d equazon da no consderate, è l metodo pù effcace. In alcun cas però è preferble utlzzare l metodo delle secant poché non comporta l utlzzo della dervata prma della funzone e può rsultare, per questo motvo, maggormente precso.

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