Monaco Alfonso. Dinamica

Transcript

1 Monaco Alfonso Dinamica 1

2 Primo Principio (Principio di inerzia) Se la sommatoria delle forze F i agenti su un corpo è nulla allora il corpo manterrà il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché un altra forza non agirà su di esso: n i=1 F i = 0 v = 0; v = cost 2

3 Secondo Principio F 7 F 6 F 1 F 2 F 3 F 4 F 9 F 10 n i=1 X F i = m * a 3

4 Terzo Principio (Principio di azione e reazione) Per ogni forza che un corpo A esercita su di un altro corpo B, ne esiste un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, causata dal corpo B che agisce sul corpo A. F AB = - F BA 4

5 Esercizio (traccia) Un oggetto di massa m = 50 kg è sostenuto da due funi, una orizzontale (verso negativo delle X) e l altra inclinata di un angolo α = 50 con la verticale. Determinare le due forze che sollecitano le funi (tensioni) in condizione di equilibrio, supponendo nulle le loro masse 5

6 1. M = 50 kg, α = 50 Τ 1, Τ 2 =? y α T 1 T 2 F g x 6

7 1. M = 50 kg, α = 50 Τ 1, Τ 2 =? y α Non c è movimento applichiamo il primo principio della dinamica Nella direzione X T 2 *sen α T 1 = 0 T 1 T 2 Nella direzione F g x T 2 *cos α F g = 0 Risolviamo il sistema con le 2 equazioni: T 2 *sen α T 1 = 0 T 2 *cos α F g = 0 T 2 = m*g/cos α = 50 * 9.8/cos(50 ) = N T 1 = T 2 *sen α = 762.3*sen(50 ) = 584 N 7

8 Esercizio (traccia) Una massa m 1 = 100 g è appesa ad un filo di massa trascurabile ed alla sua estremità inferiore è appesa, per mezzo di un secondo filo, anch esso di massa trascurabile, una seconda massa m 2 = 200 g. Determinare le forze T 1 ed T 2 che sollecitano i due fili se le due masse sono ferme. Se il tratto di fune tra il soffitto e il primo blocco può sopportare una tensione massima di 2.5 N, cosa succede alle masse? 8

9 m 1 = 100 g = 0.1 kg m 2 = 200 g = 0.2 kg T 1, T 2 =? X T 1 -T 1 m 1 -T 2 F g1 T 2 m 2 F g2 9

10 m 1 = kg, m 2 = kg T 1, T 2 =? X T 1 -T 1 m 1 Applichiamo il primo principio della dinamica Avremo un equazione per ogni massa Per m 2 : T 2 F g2 = T 2 m 2 g = 0 -T 2 F g1 Per m 1 : T 1 F g1 - T 2 = T 1 m 1 g - m 2 g = 0 T 2 m 2 T 2 m 2 g = 0 T 1 m 1 g - m 2 g = 0 F g2 T 1 = m 2 g + m 1 g = 200 * 10-3 * * 10-3 * 9.8 = 2.94 N T 2 = m 2 g = 200 * 10-3 * 9.8 = 1.96 N T 1 > 2.5 N La fune si spezza!!! 10

11 N Reazione vincolare La reazione vincolare dovuta al piano di appoggio è definita come la forza, subita da un corpo, uguale ed opposta alla forza con cui il corpo preme perpendicolarmente sul piano di appoggio (principio di azione e reazione) F g X Se non ci fosse reazione vincolare il blocco si muoverebbe verso il basso (ma il piano orizzontale non lo rende possibile, è un VINCOLO) In un piano orizzontale (se non abbiamo forze esterne con inclinazione diversa da zero): N = F g 11

12 Forza di attrito Forza di attrito statico: non c è movimento F a N F g F X F a = µ s * N µ s : coefficiente di attrito statico. Numero adimensionale compreso fra 0 e 1 F a N s Forza di attrito dinamico: c è movimento F a = µ d * N F g X µ d : coefficiente di attrito dinamico. Numero adimensionale compreso fra 0 e 1 µ d < µ s 12

13 Esercizio (traccia) Un blocco di massa M = 10 kg (considerato puntiforme) si trova su un piano orizzontale liscio (no attrito). Ad esso viene applicata una forza F di modulo 100 N che forma un angolo θ con il piano. Ricavare il modulo della reazione vincolare quando θ = 0, θ = 45 e θ =90 Supponendo che θ = 0, quanto spazio avrà percorso il blocco dopo 4 secondi sotto l azione delle forze? Se il vincolo non è liscio (coefficiente di attrito statico µ s = 0.7 coefficiente di attrito dinamico µ d = 0.3) quale sarà lo spazio percorso? 13

14 1. M = 10 kg N X F g 14

15 1. M = 10 kg N =? CASO 1: FORZA ORIZZONTALE N F g F X Per il secondo principio della dinamica: n i=1 F i = m * a possiamo studiare la dinamica lungo i due assi X e Lungo X: F = M*a Lungo le forze si equilibrano e possiamo scrivere: N F g = 0 N=M*g = 98 N 15

16 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 45 N =? CASO 2: APPLICHIAMO UNA FORZA CON ANGOLO θ = 45 F N θ Lungo X : X F*cosθ = M*a X F g Lungo : F*senθ + N F g F X = F*senθ + N M*g =? F Finchè: F < M g Non c è movimento lungo N M*g + F*senθ = 0 16

17 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 45 N =? N θ F X F g θ = 45 : F = 100*sen(45 ) = N < 98 N Lungo : N M*g + F*senθ = 0 N = = N 17

18 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 90 N =? CASO 3: APPLICHIAMO UNA FORZA CON ANGOLO θ = 90 N F X F g θ = 90 : F = 100*sen(90 ) = 100 N > 98 N La forza è sufficiente a sollevare il peso e quindi non c è più reazione vincolare 18

19 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 0, t = 4 s spazio percorso =? N Il moto avviene solo lungo l asse X F g F X Ricaviamo l accelerazione: F*cosθ = M*a a = F*cosθ / M = 100*cos(0 )/10 = 10 m/s 2 x = a X t 2 /2 = 10 * 4 2 /2 = 80 m 19

20 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 0, t = 4 s, µ s = 0.7 N =? F a N F In presenza di attrito c è una forza in più da considerare (opposta al moto)!!! F g X Dato che il moto avverrà lungo X consideriamo solo questa componente! bisogna verificare che la forza applicata sia maggiore dell attrito statico: F X = F*cosθ = 100 Newton Per la forza di attrito statico vale la relazione: F a = µ s *N = 0.7*98 = 68.8 Newton Reazione vincolare perpendicolare al piano 20

21 1. M = 10 kg, F=100 N, θ = 0, t = 4 s, µ s = 0.7, µ d = 0.3 Abbiamo quindi F X > F a N la forza è sufficiente a vincere l attrito!!! F a F g F X Avremo quindi la seconda legge scritta come F*cosθ F a = M*a F*cosθ µ d *N = M*a a = (F*cosθ µ d *M*g)/ M = (100*cos(0 ) *10*9.8)/ 10 = 7.06 m/s 2 Quando il corpo è in moto si considera il coefficiente di attrito dinamico x = a X t 2 /2 = 7.06 * 4 2 /2 = m 21

22 Il piano inclinato P R N P x P y Per studiare il moto usiamo un nuovo sistema di riferimento solidale al piano inclinato. Gli assi di questo sistema saranno: 1. Perpendicolare al piano inclinato (asse y) α X 2. Tangente al piano inclinato (asse x) A γ β Si dimostra che i triangoli rettangoli ACB e DEF sono simili; D E Infatti β = γ perché sono angoli formati da rette parallele che intersecano la stessa retta. C θ F α B Quindi θ = α perché dati da: θ = β α = γ 22

23 Il piano inclinato R N P P x P y Nel nuovo sistema di riferimento il peso può essere scomposto come: α X P x = P*sen(α) P y = P*cos(α) 23

24 Esercizio (traccia) Un punto materiale di massa M = 5 Kg scivola su un piano inclinato senza attrito con angolo α = 30. Ricavare l accelerazione Supponendo che il blocco sia inizialmente fermo e che arrivi alla fine del piano con velocità v = 20 m/s quanto tempo ha impiegato per raggiungere l estremo? 24

25 1. M = 5 kg, α = 30 a =? R N P X P y P α X 25

26 1. M = 5 kg, α = 30 a =? Applichiamo la seconda legge della dinamica: F = m*a Studiamo le componenti!! P R N P X P y Lungo : R N P y = R N P* cosα = 0 poiché le due forze si equilibrano!!!! α X Lungo X: P x = P*senα = M*a M*g*senα = M*a a = g*senα = 9.8* sen(30 ) = 4.9 m/s2 La massa del blocco non ha alcuna importanza in questo problema conta solo l inclinazione!!!!! 26

27 1. M = 5 kg, α = 30, v = 20 m/s, v 0 = 0 t =? R N Lungo il piano il moto è rettilineo uniformemente accelerato P y P X P α X Vale la formula: v = v 0 + a*t t = v/a = 20/4.9 = 4.08 s 27

28 Esercizio (traccia) Una cassa di legno di massa 5 kg, partendo da ferma e dalla sommità, scivola lungo un piano inclinato (30 ) di lunghezza L = 2 m. Determinare il coefficiente di attrito dinamico sapendo che la velocità con cui arriva al suolo vale v f = 3.0 m/s 28

29 1. L= 2 m, M = 5 kg, α = 30, v f = 3 m/s µ d =? F a R n P x P y P α X 29

30 1. L= 2 m, M = 5 kg, α = 30, v f = 3 m/s µ d =? F a Consideriamo le forze agenti sugli assi: R n P x Asse : P y R N P y = R N P*cosα = 0 P α X Asse X: P x F a = P* senα - µ d *R N = M*a? M*g*senα - µ d *M*g*cosα = M*a µ d = (g*senα a)/g*cosα Come trovo a? 30

31 1. L= 2 m, M = 5 kg, α = 30, v f = 3 m/s µ d =? F a R n P x v f 2 = 2*L*a Moto unif. Accelerato: a = v f 2 / 2*L = 2.25 m/sec 2 P y P α X µ d = (g*senα a)/g*cosα µ d = (g*senα a)/g*cosα = (9.8*sen(30 ) )/9.8*Cos(30 ) =

32 Esercizio (traccia) Un blocco di massa m = 2 kg si trova ai piedi di un piano inclinato (angolo di inclinazione α = 30 ) con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente µ s = 0.5 e µ d = 0.4. All istante t = 0 viene applicata una forza di modulo F = 100 N orizzontale in modo da far salire il blocco. La forza è sufficiente a far salire il blocco? Se sì, con quale accelerazione? 32

33 1. α = 30, v f = 4 m/s, µ d = 0.4, µ s = 0.5, m = 2 kg a =? R n α F a P x α F X P P y 33

34 1. α = 30, v f = 4 m/s, µ d = 0.4, µ s = 0.5, m = 2 kg a =? Perpendicolare al piano : R n P x α F X R N P y F*senα = R N m*g *cosα F*senα = 0 R N = mg * cosα + F*senα = N F a α P P y Tangenziale al piano: Si deve verificare che F *cosα - P x = F*cosα m*g*senα > µ s *R N = 76.8 N = N 34

35 1. α = 30, v f = 4 m/s, µ d = 0.4, µ s = 0.5, m = 2 kg a =? R n α F a P x P P y α F X F*cosα m*g*senα - µ d *R N = m*a a = (F*cosα m*g*senα - µ d *R N )/m = 25 m/s 2 35

36 Esercizio (traccia) Un uomo di 60 kg è fermo in un ascensore che scende con accelerazione di 5.2 m/s 2 orientata verso il basso. Quanto vale la forza che subisce l uomo dal pavimento? 36

37 y 1. M = 60 kg, a = 5.2 m/s 2 T a P 37

38 y 1. M = 60 kg, a = 5.2 m/s 2 L uomo nell ascensore subisce una forza T dovuta al pavimento dell ascensore stesso. T a Per il secondo principio della dinamica: Quindi: T P = - M*a P T = P - M*a = 60*( ) N = 276 N 38

39 Esercizio (traccia) Un sasso di massa 2 kg è in rotazione, su una circonferenza, attaccato ad una fune di lunghezza 150 cm con velocità costante di 4 m/s. Determinare la forza con cui il sasso è vincolato sulla circonferenza 39

40 m = 2 kg; L = 1.5 m; v = 4 m/s y v F c R x 40

41 m = 2 kg; L = 1.5 m; v = 4 m/s y v F c F c = m*a c = m*v 2 /R R x m*v 2 /R = 2*16/1.5 = 21.3 N 41

42 Momento delle forze Il momento di una forza, o momento torcente è definito come: M = r F M = r * F *senθ r = distanza tra il punto di applicazione della forza ed il punto di applicazione del momento M r F Θ 42

43 Leve Una leva è costituita da un asta rigida che può ruotare intorno ad un punto fisso chiamato fulcro. Per una leva in equilibrio: n i=1 M i = 0 43

44 Esercizio (traccia) Un corpo viene posato su una bilancia a bracci diseguali di lunghezze 10 cm e 5 cm. Avendo sospeso il corpo al braccio più piccolo ed essendo esso equilibrato da un peso di 18 N, quanto vale il peso del corpo? 44

45 L = 10 cm = 0.1 m l = 5 cm = 0.05 m P 1 = 18 N l L P P 1 45

46 L = 10 cm = 0.1 m l = 5 cm = 0.05 m P 1 = 18 N n i=1 M i = 0 M l L M 1 x Fissando un asse z con verso positivo uscente: P P 1 P*l P 1 *L = 0 P = P 1 *L/l = 18*.1/0.05 = 36 N 46

47 Esercizio (traccia) Un asta omogenea incernierata ad un estremo viene mantenuta in posizione orizzontale da una forza di 180 N agente sull altro estremo perpendicolare all asta ed orientata verso l alto. Quanto vale la massa dell asta? 47

48 F = 180 N In fisica un asta omogenea è un asta con una massa non trascurabile e tutta concentrata (approssimazione) nel centro dell asta. L/2 L/2 F P 48

49 Esercizio (traccia) F = 180 N M 1 x M n i=1 M i = 0 L/2 L/2 P F Fissando un asse z con verso positivo uscente: M M 1 = 0 F*L P*L/2 =0 m = 2*F/g = 36.7 kg 49