Equazioni differenziali Problema di Cauchy

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1 Equazioni differenziali Problema di Cauch

2 Primo esempio - Risolvere l equazione '( ) = g( ) con g( ) :[ a, b] R continua Teor. fondamentale del calcolo integrale ( ) = + g ( t )dt

3 Primo esempio - Osserviamo che ( ) = condizione iniziale Diciamo: '( ) = g( ) ( ) = Problema di Cauch 3

4 Secondo esempio - Problema di Cauch '( ) = λ( ) ( ) = L equazione differenziale data ha per soluzione la famiglia di funzioni ( ) = ce λ, c R 4

5 Secondo esempio - Problema di Cauch '( ) = λ( ) ( ) = Imponendo la condizione iniziale: = λ λ ( ) = ce c = e 5

6 6 Secondo esempio - 3 Problema di Cauch La soluzione al problema di Cauch è: = = ) ( ) ( ) '( λ ( ) ( ) e e e = = λ λ λ

7 Definizione di equazione differenziale Sia () una funzione incognita della variabile (n) e siano,,, le sue derivate, un equazione nella quale figurano la variabile indipendente, la funzione incognita ed alcune delle sue prime n derivate, cioè del tipo F ( n) (,, ', ",..., ) = è detta equazione differenziale di ordine n, dove F può essere interpretata come una funzione reale, di n+ variabili reali, definita in un aperto A di R n+ 7

8 Equazioni di tipo normale Un equazione differenziale si dice di tipo normale se si può esplicitare rispetto alla derivata di ordine massimo, cioè del tipo (,, ', ",..., ) ( n) ( n ) = f con f funzione reale di n variabili reali definita in un aperto di R n+ 8

9 Problema di Cauch ( ) ( n ) Sia,, ', ",..., un punto fissato in R n+ e sia data una funzione f di n+ variabili definita in un intorno di tale punto, si può considerare il problema di Cauch (,, ', ",..., ) ( n ) ( n ) = f ( ) = ' ( ) = ' ( n ) ( n ) ( ) = relativo all equazione differenziale di ordine n di tipo normale 9

10 Un equazione differenziale di ordine n si può scrivere come un sistema di equazioni differenziali del primo ordine ponendo: = ; = ; = 3 ;... ; (n-) = n in tal modo si ha : = = = = ),...,,, (... ' ' ' 3 ' ' n n n n f

11 Introducendo la funzione vettoriale () = ( ), ( ),..., ( )) ( n un equazione normale di ordine n si può quindi scrivere come un sistema di equazione di primo ordine: ( ) ' = f,

12 Problema di Cauch Sia δ >. Esiste una funzione δ, + δ [ ] ( ) = tale che derivabile in ' = f (, ) ( ) = dove R, R n. Ricordiamo che dato un sistema di equazioni differenziali in forma normale, per problema di Cauch si intende tale sistema a cui viene aggiunta quella che è detta condizione iniziale, cioè viene richiesto che la soluzione dell equazione differenziale passi per un certo punto fissato, con una determinati valori per le derivate fino all ordine di uno inferiore a quello dell equazione.

13 Formulazione Integrale del Problema di Cauch Sia δ >. Esiste una funzione δ, + δ [ ] ( ) = tale che continua in ( ) = + f t, ( t ) ( )dt [ δ, + δ ] 3

14 ' = f (, ) ( ) = Equivalenza formulazioni del Problema di Cauch Integrando l equazione tra e, dalla formula fondamentale del calcolo integrale, si ha: ( ) ( ) = f t, ( t ) ( )dt ( )dt ovvero ( ) = + f t, ( t ) 4

15 Equivalenza formulazioni del Problema di Cauch ( ) = + f t, ( t ) Derivando ambo i membri, dal teor. fond. del calcolo integrale, si ha: Inoltre: ' = f (, ) ( ) = ovvero ( )dt ' = f (, ) ( ) = 5

16 Esempio - La famiglia di soluzioni è: ( ) = c e ce e Consideriamo l equazione lineare di secondo ordine a coefficienti costanti data. La famiglia delle soluzioni risulta definita a meno di due costanti. 6

17 Esempio - Imponendo il passaggio per un punto: ( ) = otteniamo: ( ) = e c 3 ( c ) + e ( + ) Imponendo la condizione []=, cerchiamo nella famiglia delle soluzioni quelle funzioni che soddisfano l equazione data e il cui grafico passa per il punto (,). Una sola condizione permette di determinare una sola delle due costanti che compaiono nell integrale generale. Infatti sostituendo = e = abbiamo: c_+c_= da cui c_=-c_ Quindi abbiamo infinite funzioni soluzioni che passano per il punto scelto. 7

18 Esempio -3 Imponendo la pendenza della tangente in un punto: otteniamo: 3 ( ) = 3c e + e ( + c ) ' ( ) = Imponendo la condizione []=, cerchiamo nella famiglia delle soluzioni quelle funzioni che soddisfano l equazione data e il cui grafico nel punto di ascissa zero abbiano tangente di coefficiente angolare. Anche in questo caso una sola condizione permette di determinare una sola delle due costanti che compaiono nell integrale generale. Infatti calcolando la derivata prima di abbiamo: =-c_ e^(-)+3 c_ e^(3)+ e^(3)+6e^(3) e sostituendo = e = abbiamo: -c_+3 c_+= da cui c_=3 c_ Quindi abbiamo infinite funzioni soluzioni che in = hanno tangente con pendenza. 8

19 Esempio -4 Imponendo la condizione iniziale totale: =, otteniamo: 3 3 ( ) = e + e ( ) ' ( ) = Imponendo entrambe le condizioni []= e []=, cerchiamo nella famiglia delle soluzioni quelle funzioni che soddisfano l equazione data, il cui grafico passa per il punto (,) con tangente di coefficiente angolare. In questo caso sostituendo le due condizioni in e in abbiamo il sistema formato dalle due equazioni seguenti: c_+c_= -c_+3 c_+= La cui unica soluzione è: c_=3/ e c_=/ quindi abbiamo un unica soluzione che passa per (,) e tangente con pendenza. 9

20 Teorema di Cauch di esistenza e unicità locale

21 Premesse Sia ' = f, un sistema differenziale del I ordine in forma normale, dove ( ) = ( ( ), ( ),..., n( )) è la funzione vettoriale incognita. Siano fissati un intorno di ( ) n R, R, a, b > e sia n {(, ) R R : a, b} (, ) I J = Supponiamo f : I J R n

22 f Ipotesi definita e continua nell insieme I J f è continua in un punto se lim f ( ) = f ( ) f è continua in un insieme A se è continua in ogni punto di accumulazione A

23 Ipotesi f lipschitziana in uniformemente in Una funzione f : X Y si dice lipschitziana se L > : f ( f L ) ( ), X Una funzione è lipschitziana se esiste una costante positiva L tale che, presi due punti del dominio, la distanza tra le immagini di questi punti è maggiorata da L per la distanza dei punti presi. Se L è minore o uguale a, questo significa che la distanza delle immagini è al più uguale alla distanza dei punti di partenza, che in parole povere vuol dire che i segmenti si accorciano (si parla in questo caso di contrazioni). Se L è maggiore di, allora la distanza tra le immagini di due punti, aumenta rispetto alla distanza dei punti di partenza, che vuol dire che i segmenti si allungano (si parla di dilatazioni). 3

24 Ipotesi f lipschitziana in uniformemente in L > : f (, L ) f (, ) I,, J La f è una funzione di più variabili. La richiesta di lipschitzianità è solo sulla variabile, quindi i punti che andiamo a considerare hanno la stessa e due diverse, mentre la richiesta di uniformità su ci dice che questa relazione di lipschitzianità deve valere per ogni. 4

25 Esiste un numero reale =(), : δ > derivabile in δ, +δ problema di Cauch Tesi n [ + δ ] R δ, [ ] ed esiste una ed una sola funzione che risolve in tale intervallo il ' = f (, ) ( ) = Osserviamo che la funzione soluzione è una funzione definita in un intorno del punto iniziale _, cioè la soluzione esiste localmente, ovvero vicino a _, da qui il nome di locale che si dà al teorema di Cauch. 5

26 Esempio - In questo caso risulta e il punto iniziale è f (, ) = (, ) = (,) RR I J Scegliamo come intorno un rettangolo contenente il punto (,) di semiampiezza rispetto all asse minore di : {(, ) R R : a, b}, < I J = a + b R Consideriamo il seguente problema di Cauch: cerchiamo, se esiste, una funzione la cui derivata prima sia uguale alla funzione stessa elevata al quadrato. Inoltre vogliamo che tale funzione assuma valore nel punto. Vogliamo per il momento vedere se è applicabile il teorema locale di Cauch, quindi sapere se il problema posto ha almeno una soluzione locale, che sarà unica. A tal fine, dobbiamo controllare se sono verificate le ipotesi del teorema di Cauch. Per prima cosa osserviamo che quella che nell enunciato viene chiamata f(,) è per noi il secondo membro dell equazione, cioè f(,)=[]^. Il punto iniziale (_,_) è (,) e la f deve essere definita in un intorno IJ di tale punto. Un intorno di tale punto può essere un qualsiasi rettangolo che contenga il punto (,). Per soddisfare le ipotesi del teorema di Cauch, la f dev essere continua in IJ e anche lipschitziana. Consideriamo IJ come un rettangolo contenente il punto (,) di semiampiezza rispetto all asse minore di. 6

27 Esempio I J (, ) = (,) RR {(, ) R R : a, b}, < I J = a + b R 7

28 Esempio I J Continua in IJ Vediamo se f è continua in IJ: osserviamo che f è composta della funzione elementare potenza (^) (che è derivabile) e della funzione (che essendo una funzione di una sola variabile derivabile, è anche continua), quindi la f è continua perché composta di funzioni continue. 8

29 Esempio I J Lipschitziana in IJ ) f (, ) = = ( )( + ) f (, = + Posto L Ma + IJ >, si ha f (, = + L ) f (, ) 9

30 Esempio I J Sono verificate in IJ le ipotesi del teorema locale di Cauch, quindi il problema posto ha soluzione e tale soluzione è unica!

31 Esempio - 6 Una funzione che soddisfa il problema posto è ( ) = Osserviamo che la funzione data ha per derivata /(-)^, quindi vale =^ e inoltre ()=. Dal teorema di Cauch, abbiamo che tale funzione è anche l unica soluzione nell intorno scelto! 3

32 Esempio 7 Vediamo che ( ) = può essere definita in tutto R { }. Dal teorema di Cauch sappiamo che la funzione soluzione è definita in un intorno di. = Perciò la funzione soluzione va definita in un qualsiasi intorno di i cui punti abbiamo ascissa minore di. Osserviamo che l equazione =^ vale in tutto R, mentre la soluzione trovata vale solo in R-{}. Ma il teorema di Cauch ci dice che esiste una soluzione definita e continua in un intorno di _, quindi l intorno di dove dev essere definita la funzione soluzione non può contenere il punto di ascissa. Quindi la soluzione dev essere contenuta nella zona verde. Questo dà il carattere locale del teorema di Cauch: la soluzione esiste, ma solo in un intorno di. 3

33 Esempio - In questo caso risulta e il punto iniziale è Scegliamo come intorno centrato nell origine degli assi f (, ) = +, ) = (,) RR ( I J {(, ) R R: a b} I J =, un rettangolo + a,b R Consideriamo il seguente problema di Cauch e la soluzione cercata deve assumere valore nel punto. Vogliamo per il momento vedere se è applicabile il teorema locale di Cauch, quindi sapere se il problema posto ha almeno una soluzione locale, che sarà unica. A tal fine, dobbiamo controllare se sono verificate le ipotesi del teorema di Cauch. Per prima cosa osserviamo che quella che nell enunciato viene chiamata f(,) è per noi il secondo membro dell equazione, cioè f(,)=[]/+^. Il punto iniziale (_,_) è (,) e la f deve essere definita in un intorno IJ di tale punto. Un intorno di tale punto può essere un qualsiasi rettangolo che contenga il punto (,). Per soddisfare le ipotesi del teorema di Cauch, la f dev essere continua in IJ e anche lipschitziana. Consideriamo IJ come un rettangolo centrato nell origine degli assi. 33

34 (, ) = (,) RR Esempio I J {(, ) R R: a b} I J =, + a,b R 34

35 Esempio I J Non continua in IJ Vediamo se f è continua in IJ: osserviamo che la nostra f non è proprio definita per =, quindi a maggior ragione non è continua. Poiché un qualsiasi intorno di (,) contiene ovviamente punti di ascissa, qualsiasi sia l intorno IJ scelto, la f non è continua in IJ. 35

36 Esempio I J Non lipschitziana in IJ 36

37 37 f f ), ( ), ( = = + = ), ( ), ( L f f = L ), ( f + = Ricordando che, si ha: Supponiamo che la f sia lipschitziana, allora L L L L Assurdo se > L > Poiché la costante L è per definizione positiva, il valore -/L è negativo, quindi l ultima disequazione è falsa quando è positivo. Osserviamo che in ogni intorno dell origine ci sono punti con ascissa positiva, quindi l assurdo c e sempre! Quindi f non è lipchitziana.

38 Esempio I J Non sono verificate in alcun intorno IJ le ipotesi del teorema locale di Cauch. Cosa accade in questi casi? Esiste una qualche soluzione? E se esiste, non è necessariamente unica! 38

39 Esempio 6 Una famiglia di funzioni che soddisfa il problema posto è 3 ( ) = + c c R Osserviamo che qualsiasi sia la costante c_, si ha ()=, cioè tutte le funzioni della famiglia trovata passano per il punto (,) e quindi il problema di Cauch posto ha in questo caso infinite soluzioni (tutta la famiglia trovata). 39

40 Esempio - 7 (, ) = (,) RR I J = {(, ) R R : < a, b} a,b R La soluzione non esiste 3 ( ) = + c c R Consideriamo ora la stessa equazione differenziale, ma cambiamo la condizione iniziale (cioè cambiamo il problema di Cauch). Vogliamo che la funzione soluzione passi per il punto (,). Osserviamo in questo caso che, qualsiasi sia l intorno IJ del punto (,), nessuna delle funzioni della famiglia di soluzioni passa per il punto scelto, quindi in questo caso il problema di Cauch posto non ha soluzioni! 4

41 Corollario del Teorema di Cauch di esistenza e unicità locale 4

42 Ipotesi f f, continue in I J 4

43 Esiste un numero reale =(), : δ > derivabile in δ, +δ problema di Cauch Tesi n [ + δ ] R δ, [ ] ed esiste una ed una sola funzione che risolve in tale intervallo il ' = f (, ) ( ) = 43

44 Esempio 3 - In questo caso risulta e il punto iniziale è ( (, ) = ( ( ) ) f + (, ) R R, ) = I J Scegliamo come intorno un rettangolo centrato nel punto iniziale: π I J =, b {(, ) R R : a, b}, a < R Consideriamo il seguente problema di Cauch e la soluzione cercata deve assumere valore nel punto. Vogliamo per il momento vedere se è applicabile il teorema locale di Cauch, quindi sapere se il problema posto ha almeno una soluzione locale, che sarà unica. A tal fine, dobbiamo controllare se sono verificate le ipotesi del teorema di Cauch. Per prima cosa osserviamo che quella che nell enunciato viene chiamata f(,) è per noi il secondo membro dell equazione, cioè f(,)=+([])^. Il punto iniziale (_,_) è (,) e la f deve essere definita in un intorno IJ di tale punto. Un intorno di tale punto può essere un qualsiasi rettangolo che contenga il punto (,). Per soddisfare le ipotesi del teorema di Cauch, la f dev essere continua in IJ e anche lipschitziana. Consideriamo IJ come un rettangolo centrato nell origine degli assi. 44

45 Esempio 3 - La famiglia di soluzioni dell equazione è: ( ) = Tan( c)

46 Sono verificate le condizioni del corollario di Cauch: (, ) = ( ( ) ) f + Esempio 3-3 f = ( ) sono continue: esiste un unica soluzione locale ( ) = Tan( ) Vediamo che le ipotesi del Corollario di Cauch sono verificate dal momento che sia f che la sua derivata parziale rispetto a sono continue (perche composte di funzioni elementari, polinomi, e della che essendo derivabile e in un variabile, è anche continua). Pertanto il problema di Cauch posto ha soluzione locale unica, che si ottiene per c=, avendo quindi =Tan(). Osserviamo che mentre la f è definita su tutto R, la tangente non è definita nei punti Pi/ + k Pi. 46

47 Esempio 4 - Il punto iniziale è π, ) =, RR ( Scegliamo come intorno I J centrato nel punto iniziale: un rettangolo π I J = (, ) R R : a, b + a,b R 47

48 Esempio 4 - La famiglia di soluzioni dell equazione è: ( ) = Sin( c) + 48

49 Esempio 4-3 Condizioni del corollario di Cauch: f (, ) = ( ) f = continue sono verificate in π I J = (, ) R R : a, b, b < Esiste un unica soluzione locale. Vediamo che le ipotesi del Corollario di Cauch sono verificate per -<<. Pertanto scegliamo un rettangolo centrato nel punto iniziale in modo tale che risulti -<<. In questo caso il problema di Cauch posto ha soluzione locale unica. 49

50 Esempio π π π Sin = Sin = 3 6 π π 5 Sin + = Sin π = π Sin 3 π Sin + 3 sono soluzioni Qual è il problema?? Osserviamo che se facciamo il grafico della famiglia di soluzioni =Sin(+c) sembrerebbe che in vari punti ci sono due funzioni che passano per uno stesso punto. Infatti per il punto dato passano due funzioni del tipo sinusoidale. D altra parte il Teorema di Cauch ci assicura che la soluzione e unica, quindi siamo di fronte ad un assurdo. Da cosa nasce?? 5

51 Esempio 4-5 Osserviamo che.5 solo la parte crescente di [] va considerata! Osserviamo che l equazione differenziale posta dice che la soluzione che cerchiamo deve avere la derivata prima pari ad una radice quadrata, quindi la derivata prima dev essere non negativa. Questo significa che la funzione cercata dev essere crescente. Allora l integrale generale trovato va letto con maggiore attenzione. Precisamente la famiglia di soluzioni è data dai rami crescenti delle funzioni sin(+c). 5

52 Teorema di Cauch di esistenza e unicità globale 5

53 ( ) Premesse Sia ' = f, un sistema differenziale del I ordine in forma normale, dove ( ) = ( ( ), ( ),..., n( )) è la funzione vettoriale incognita. Consideriamo { R n } [ a, b] R n = (, ) R R n : [ a, b], Supponiamo: f : n n [ a, b] R R 53

54 f Ipotesi definita e continua nell insieme n [ a, b] R f : n n [ a, b] R R f lipschitziana in uniformemente in L > : f (, L ) f (, ) n [ a, b], R, 54

55 ( ) [ ] n Tesi Per ogni, a, b R esiste una ed una sola funzione =(), : n [ a, b] R derivabile in Cauch [ a,b] che risolve in tale intervallo il problema di ' = f (, ) ( ) = Notiamo che l esistenza di una soluzione locale o globale è legata alla lipschitzianità locale o globale la soluzione esiste nell intervallo corrispondente alla lipschitzianità. 55

56 Corollario del Teorema di Cauch di esistenza e unicità globale 56

57 Ipotesi f continua in n [ a, b] R f limitata in n [ a, b] R f n (, ) L, (, ) [ a, b] R 57

58 ( ) [ ] n Tesi Per ogni, a, b R esiste una ed una sola funzione =(), : n [ a, b] R derivabile in Cauch [ a,b] che risolve in tale intervallo il problema di ' = f (, ) ( ) = 58

59 Esempio 3 - La famiglia di soluzioni dell equazione è: ( ) = Tan( c)

60 Sono verificate le condizioni del corollario di Cauch: (, ) = ( ( ) ) f + Esempio 3-3 f = ( ) sono continue: esiste un unica soluzione locale ( ) = Tan( ) Vediamo che le ipotesi del Corollario di Cauch locale sono verificate dal momento che sia f che la sua derivata parziale rispetto a sono continue (perche composte di funzioni elementari, polinomi, e della che essendo derivabile e in un variabile, è anche continua). Pertanto il problema di Cauch posto ha soluzione locale unica, che si ottiene per c=, avendo quindi =Tan(). Osserviamo che mentre la f è definita su tutto R, la tangente non è definita nei punti Pi/ + k Pi. 6

61 Non sono verificate le condizioni del corollario di Cauch globale: (, ) = ( ( ) ) f + Esempio 3-4 f = ( ) La derivata rispetto a rispetto a non è limitata per reale! La soluzione non è globale. Vediamo che le ipotesi del Corollario di Cauch glovale non sono verificate dal momento che la derivata parziale di f rispetto a non è limitata dal momento che () varia in R. Questo giustifica che la soluzione trovata è solo locale. 6