Serie di Taylor. Hynek Kovarik. Analisi Matematica 2. Università di Brescia

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1 Serie di Taylor Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 1 / 16

2 Serie di Taylor Il nostro obiettivo è di scrivere funzione una infinitamente derivabile come serie di potenze. Definizione Sia I R un intervallo aperto. Una funzione f : I R si dice sviluppabile in serie di potenze in I se f è di classe C (I), e se per ogni x 0 I esiste r > 0 tale che {x R : x x 0 < r} I ed esiste una successione numerica {a n } n N tale che f (x) = a n (x x 0 ) n x : x x 0 < r. (1) Ora supponiamo che valga l equazione (1). Partendo dalla funzione f vogliamo risalire ai coefficienti a n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 2 / 16

3 Per x = x 0, otteniamo f (x 0 ) = a 0. Inoltre f (x) = f (x) = f (x) = n=1 n=2 n=3 n a n (x x 0 ) n 1, f (x 0 ) = 1 a 1 n (n 1) a n (x x 0 ) n 2, f (x 0 ) = 2 1 a 2 n (n 1) (n 2) a n (x x 0 ) n 3, f (x 0 ) = a 3 In generale troviamo che f (n) (x 0 ) = n! a n, da cui segue che a n = f (n) (x 0 ). n! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 3 / 16

4 La serie di potenze prende allora la forma f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Questa serie è detta serie di Taylor di f di centro x 0. Teorema Se una funzione è sviluppabile in serie di potenze, questa serie è la sua serie di Taylor. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 4 / 16

5 Le somme parziali della serie di Taylor sono i polinomi di Taylor. Infatti, dalla formula di Taylor con resto nella forma di Lagrange segue che esiste un ξ compreso strettamente tra x e x 0 tale che f (x) = f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n = per ogni m N. m f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n + f (m+1) (ξ) (m + 1)! (x x 0) m+1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 5 / 16

6 Osservazioni: Data una funzione f di classe C, possiamo sempre scrivere la sua serie di Taylor. Il problema: la somma della serie di Taylor non sempre coincide con f! Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 6 / 16

7 Esempio Consideriamo la funzione e 1/x 2 x 0, f (x) = 0 x = 0. Si ha che f C (R). Infatti, f f (x) f (0) (0) = lim = e 1/x 2 x 0 x x f f (x) f (0) (0) = lim = 2e 1/x 2 x 0 x x 4 = 0 = lim x 0 f (x), = 0 = lim x 0 f (x), e così via. Si trova che f (n) (0) = 0 per ogni n N. Quindi la sua serie di Taylor di f di centro x 0 = 0 è identicamente nulla, convergente in R, ma f (x) 0 per ogni x 0. Perciò f non è sviluppabile in serie di potenze. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 7 / 16

8 In generale, una funzione f di classe C (I) è sviluppabile in serie di Taylor se il resto di Lagrange di polinomio di Taylor di f di grado n è infinitesimo per n. Cioè se f (n) (ξ n ) lim x x 0 n = 0 n n! Siccome a n lim n n! = 0 a R, abbiamo il seguente risultato: Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 8 / 16

9 Teorema Sia f C (I). Se esistono delle costanti C, M > 0 tali che sup f (n) (x) C M n n N, x I allora f è sviluppabile in serie di Taylor in I. Una funzione f sviluppabile in serie di Taylor in I si dice analitica in I. Nel caso della funzione e 1/x 2 x 0, f (x) = 0 x = 0. si ha sup f (n) (x) (n + 1)! n. x [ 1,1] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 9 / 16

10 Alcuni esempi delle sirie di Taylor serie esponenziale: e x = x n n! x R serie geometrica: x = x n x < 1 log(1 + x) = n=1 ( 1) n+1 x n n 1 < x 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 10 / 16

11 sin(x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! x R cos(x) = arctan(x) = x 2n ( 1) n (2n)! ( 1) n x 2n+1 (2n + 1) x R x [ 1, 1] sinh(x) = x 2n+1 (2n + 1)! x R cosh(x) = x 2n (2n)! x R Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 11 / 16

12 Esercizio: Sviluppare in serie di Taylor con centro x 0 = 0 la funzione f (x) = log(2 + x 2 ) e indicare il suo insieme di convergenza. Si ha log(2 + x 2 ) = log 2 + ( 1) n=1 n+1 x 2n n 2 n, I = [ 2, 2 ] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 12 / 16

13 Esercizio: Sviluppare in serie di Taylor con centro x 0 = 0 la funzione f (x) = x x 2 x 2 e indicare il suo insieme di convergenza. Si ha x x 2 x 2 = 1 3 ( ( 1) n 2 n) x n, I =] 1, 1 [ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 13 / 16

14 Esercizio: Sviluppare in serie di Taylor con centro x 0 = 2 la funzione f (x) = 1 x. Si ha 1 x = n (x 2)n ( 1) 2 n+1, I =]0, 4 [ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 14 / 16

15 Esercizio: Sviluppare in serie di Taylor con centro x 0 = 1 la funzione ( ) x f (x) = log. 4 x Si ha log ( ) x = log x ( ( 1) n n= n ) (x 1) n n I =]0, 2] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 15 / 16

16 Esercizio: Sia Calcolare f (49) (0) e f (50) (0). f (x) = e 1 x 2, x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Serie di Taylor Analisi Matematica 2 16 / 16