Il teorema di Pitagora

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1 Didattica della matematica Il teorema di Pitagora Prof. ssa Maria Rosa Casparriello Scuola media Fontanarosa

2 RIFERIMENTO AL PECUP: adoperare il linguaggio ed i simboli della matematica per indagare con metodo la causa di fenomeni problematici per spiegarli e rappresentarli. Particolarmente attraverso attività di risoluzione di problemi in contesti vari; dare prova di competenze progettuali ed immaginative. Osservare la realtà per riconoscervi relazioni tra oggetti o grandezze, regolarità, differenze, invarianze o modificazioni nel tempo e nello spazio.

3 PREREQUISITI Conoscere le principali proprietà delle figure piane; Riconoscere figure uguali e descrivere le isometrie necessarie per portarle a coincidere; Concetto di equivalenza di figure piane; Abilità operative in R (potenza e radice); Saper calcolare l area di una figura piana; Conoscere i concetti di grandezza e unità di misura; Saper confrontare ed operare con segmenti ed angoli;

4 OBIETTIVI FORMATIVI Conoscere il significato di terna pitagorica; Conoscere e saper applicare il teorema di Pitagora Risolvere problemi geometrici con l uso del teorema di Pitagora Usare un adeguato linguaggio scientifico

5 Un po di Storia Pitagora nacque a Samo, un isola della Grecia, probabilmente nel 570 a.c., fu il primo filosofo-matematico della storia. Intorno a Pitagora e alla sua scuola sorsero parecchie leggende che esaltarono il carattere filosofico, religioso e scientifico della sua grande figura e resero ancora più misteriosa l attività della scuola stessa. Il nucleo fondamentale su cui Pitagora basava la sua concezione della matematica è il NUMERO : I numeri sono il principio di tutte le cose, recitava la sua dottrina filosofica.

6 Un po di Storia Parecchie sono le scoperte che vengono attribuite alla scuola pitagorica, anche se il merito veniva sempre dato all illustre maestro. Per quanto riguarda la geometria, ai pitagorici vengono attribuiti, fra le altre scoperte : a) Il teorema sulla somma degli angoli del triangolo. b) Il cosiddetto teorema di Pitagora. Infatti scrive Proco: Se ricorriamo agli storici dell antichità [Eudemo] troveremo che essi attribuiscono questo teorema a Pitagora e asseriscono avere egli sacrificato un bue per tale invenzione. c) La risoluzione di parecchi problemi sulle aree,allora ancora insoluti. d) la costruzione dei poliedri regolari. I pitagorici studiarono, con particolare interesse, i poligoni e i solidi regolari; il pentagono e la stella pentagonale a cinque punte pare che avessero affascinato talmente tanto il grande maestro che li pose a simbolo della scuola

7 Gli antichi Egizi per costruire con precisione un angolo retto prendevano una fune e in essa facevano 13 nodi alla stessa distanza uno dall alto (ottenendo così 12 tratti di corda ); con dei paletti, poi, tendevano la corda in modo da formare un triangolo che avesse i lati lunghi rispettivamente 3 volte, 4 volte e 5 volte la distanza fra due nodi successivi. L angolo formato dai due lati più corti era un angolo retto.

8 Noi partiremo proprio da questa terna di numeri, 3, 4 e 5, così importante presso gli egizi da essere considerata sacra, per arrivare a uno dei più importanti teoremi della geometria : il Teorema di Pitagora. Gli Egizi non si chiesero mai quale fosse il legame tra i tre numeri, ma la risposta fu trovata da Pitagora: 5 2 =

9 Teorema di PItagora Si racconta, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema nel grande salone del palazzo del tiranno di Samo, osservando le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli uguali. Inoltre l'area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell'area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all'area di una piastrella.

10 Teorema di PItagora In altre parole il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Questo risultava evidente nel caso della piastrella quadrata, cioè di un triangolo rettangolo isoscele: Ma poteva essere vero, si chiese Pitagora, anche nel caso generale, con cateti di lunghezza diversa?

11 Teorema di PItagora Studiando meglio la figura ottenuta dall'osservazione delle piastrelle, Pitagora si accorse che il quadrato formato da quattro piastrelle si poteva scomporre in quattro triangoli rettangoli equivalenti e in un quadrato il cui lato era uguale alla lunghezza dell'ipotenusa di uno dei triangoli. Non fu quindi difficile passare al caso generale di quattro triangoli rettangoli qualsiasi, non più isosceli.

12 In realtà la storia del teorema è molto più complessa e le sue Teorema di Pitagora origini, come abbiamo già detto, risalgono almeno ad un migliaio di anni prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. Per avviare la nostra indagine sul teorema partiamo dalla formulazione che ne diede Euclide: In ogni triangolo rettangolo il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che contengono l'angolo retto. Se lo riscriviamo in termini più moderni abbiamo l'enunciato riportato generalmente nei testi scolastici: In ogni triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa (oppure: l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa) è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti (oppure: alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti). 9

13 Se c indica la lunghezza dell'ipotenusa e a e b quelle dei due cateti possiamo scrivere il teorema in forma algebrica: Il teorema di Pitagora era noto un tempo come "il ponte degli asini", il ponte che riusciva a superare soltanto chi dimostrava di possedere sufficienti attitudini per il pensiero astratto e per un metodo deduttivo da applicare a procedimenti matematici quali erano quelli proposti dai pitagorici.

14 Vediamo una delle dimostrazioni più semplici, quella che generalmente si trova sui testi scolastici e che riprende il ragionamento che Pitagora potrebbe aver fatto osservando le piastrelle quadrate nel palazzo di Policrate. Dato il triangolo rettangolo ABC di cateti a, b e ipotenusa c, costruiamo due quadrati equivalenti, che abbiano come lato la somma dei due cateti, a + b.

15 Scomponiamo il primo di questi quadrati nei due quadrati costruiti sui cateti e nei quattro triangoli, equivalenti al triangolo dato. Scomponiamo poi il secondo quadrato nel quadrato costruito sull'ipotenusa e negli stessi quattro triangoli. Se ai due quadrati grandi togliamo i quattro triangoli equivalenti, otteniamo due parti equivalenti: i quadrati costruiti sui cateti e il quadrato costruito sull'ipotenusa.

16 Attenzione però: la dimostrazione non è ancora completa. E' necessario dimostrare ancora che le parti più scure sono realmente i quadrati dei cateti e dell'ipotenusa del triangolo dato. Per il primo quadrato a sinistra questo è evidente, dal modo in cui abbiamo eseguito la scomposizione, cioè, come si dice, per costruzione. Per il secondo quadrato a destra, sempre per costruzione, possiamo dire che i suoi lati sono uguali all'ipotenusa del triangolo. Resta da dimostrare che i suoi angoli sono retti. Consideriamo l'angolo a, che sommato agli altri due angoli aventi lo stesso vertice forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, e quindi l'angolo a corrisponde al terzo angolo del triangolo, che è retto. Allo stesso modo si dimostra che anche gli altri angoli sono retti e quindi che la figura è un quadrato

17 L'altra faccia del teorema di Pitagora. Finora abbiamo parlato dell'aspetto geometrico del teorema, di triangoli rettangoli. Vediamone ora l'aspetto aritmetico, cioè le particolari terne numeriche, chiamate terne pitagoriche, collegate al teorema stesso. Già sappiamo che in un triangolo rettangolo di cateti a, b e di ipotenusa c si ha: a² + b² = c². Esistono infinite terne con numeri interi che soddisfano questa relazione. Dicesi terna pitagorica qualunque terna di numeri naturali che sono le misure dei lati di un triangolo rettangolo; ovvero: tali che il quadrato del più grande è uguale alla somma dei quadrati degli altri due

18 Si può verificare la proprietà pitagorica anche. pesando! Materiale occorrente: bilancia a piatti; foglio di compensato; traforo o seghetto.

19 Si disegna su di un foglio di compensato un triangolo rettangolo con i cateti di 9 cm e 12 cm l'ipotenusa di 15 cm. Si disegnano i due quadrati i cui lati erano i cateti e un quadrato il cui lato era l'ipotenusa. I tre quadrati vengono ritagliati.

20 Si pone su uno dei bracci della bilancia il quadrato costruito sull'ipotenusa: la bilancia non è più in equilibrio! Ponendo i due quadrati costruiti sui cateti sull'altro braccio della bilancia, questa ritorna ad essere in equilibrio. I due quadrati costruiti sui due cateti hanno un peso equivalente al quadrato costruito sull ipotenusa Abbiamo così dimostrato il TEOREMA DI PITAGORA.

21 Applicazioni del Teorema di PITAGORA PROBLEMA 1 Le dimensioni di un rettangolo sono 12cm e 5cm.Determinare la lunghezza della diagonale. AB= 12cm ; BC= 15cm A B D C Sappiamo che la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno dei quali ha per cateti le dimensioni del rettangolo stesso e per ipotenusa la diagonale. Possiamo applicare il Teorema di Pitagora ad uno dei due triangoli per esempio ABC : AC BC AB 12 5 cm cm 169cm 13cm

22 In generale, indicando le misure di base, altezza e diagonale con b,h,d, si ha che d b 2 h 2

23 Il teorema di Pitagora La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo ( a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi. Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Elisha Scott Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1940, riporta ben 370 diverse dimostrazioni di questo teorema. Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle riviste matematiche, nuove dimostrazioni.

24 Il teorema di Pitagora Perché c'è stato tanto interesse su questo teorema? Ha un enunciato semplice e una facile dimostrazione e può essere pienamente compreso da un ragazzo di tredici anni. Ha numerose applicazioni e spesso è indispensabile per risolvere molti tipi di problemi. Eppure questo teorema così comprensibile ha cambiato radicalmente il corso della matematica. Grazie a questo teorema la matematica, che era nata per soddisfare esigenze concrete legate alla realtà pratica, si è trasformata in una scienza che abitua a ragionare. Nella geometria euclidea, questo teorema, è fondamentale. Ha permesso di scoprire l'esistenza di segmenti incommensurabili. Questa conoscenza ha fatto capire che gli oggetti geometrici non possono essere identificati come degli oggetti concreti e che il punto geometrico non può avere dimensioni

25 Il teorema di Pitagora E' un teorema geometrico, eppure ha permesso di scoprire i numeri irrazionali. Da questa conoscenza si è capito che i numeri naturali sono adatti a rappresentare solo grandezze discrete. Per rappresentare grandezze continue occorrono oltre ai numeri razionali anche i numeri "irrazionali". Gli egiziani hanno usato questo teorema per costruire un angolo retto, i greci l'hanno utilizzato per costruire una vasta rete di idee matematiche. Nel corso dei secoli è stato utilizzato per costruire alcune branche della matematica moderna. E' stato il suggeritore di proficue ricerche nel campo della teoria dei numeri..