STATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE

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1 STATISTICA parte / U test statistico è ua regola di decisioe Effettuare u test statistico sigifica verificare IPOTESI sui parametri. STATISTICA INFERENZIALE STIMA PUNTUALE STIMA PER INTERVALLI TEST PARAMETRICI TEST NON PARAMETRICI ESEMPI La durata i ore di ua lampadia si può modellare co ua legge X~N(µ,σ ). Se la media µ è icogita si può fare u test per capire, ad esempio, se µ> ore, cioè se la media della durata di ua lampadia supera le ore. Se X e Y soo variabili aleatorie si può effettuare u test per verificare se soo o o idipedeti. Cosa è ecessario per poter effettuare u test? Si devoo: formulare delle IPOTESI H : ipotesi pricipale o ulla : ipotesi alterativa Si deve stabilire il livello del test. Si utilizzao i dati del campioe per stabilire se si accetta o o si accetta l ipotesi H

2 TEST PARAMETRICI (media, variaza e proporzioe) Suppoiamo, ad esempio, che il tempo di vita di ua lampadia segua ua legge ormale di media scoosciuta e variaza uguale a ore (X la v.a. che modella questo feomeo). Si vuole verificare l ipotesi che il tempo medio di vita (durata) di quel tipo di lampadia è di 4 ore. Per poter effettuare questa verifica si hao a disposizioe i dati relativi ad u campioe di = lampadie. I valori della durata (i ore) delle lampadie del campioe soo : Lampadia Lampadia Lampadia 3 Lampadia 4 Lampadia X X X 3 X 4 X Poichè quel tipo di lampadia ha legge N(µ,),la durata di ogi lampadia, é rappresetata dalle variabili aleatorie X i,i=,,3,4, ciascue di legge N(µ,). Co questi dati abbiamo visto che è possibile : Determiare uo stimatore e ua stima per µ. Determiare u itervallo di cofideza per µ e ua sua realizzazioe. Attraverso i test parametrici ( la media è u parametro) si vuole stabilire se sia ragioevole pesare che il tempo media di vita (durata) sia di 4 ore. La regola di decisioe che lega il campioe al parametro su cui si vuole eseguire il test si chiama STATISTICA TEST. Lo stimatore della media è : T( X,..., X) X = = la cui legge è N µ, N( µ, ). x = = 4 è ua stima di µ. Si decide di accettare l ipotesi µ=4 se x o è troppo lotao da 4, cioè se è piccola la differeza fra x e

3 Si suppoga ore l ipotesi H vera. I questo caso si suppoe che il valore di µ sia 4 e quidi la statistica T ha legge N(4,), ioltre x è il valore che assume T relativamete al campioe di lampadie. Il grafico della legge di T è riportato sotto Per essere cosiderato vicio a 4, x deve apparteere ad u itervallo [a,b] tale che P( x [ a, b]) = -α, co il valore -α scelto da chi effettua il test. Ache i questo caso il valore dell area di ciascua delle due zoe evideziate è α/

4 Si procede poi el modo seguete per effettuare u test a livello α : Se x [ a, b] si accetta l ' ipotesi H Se x [ a, b] si rifiuta l ' ipotesi H R = (-, a) ( b, + ) viee detta REGIONE DI RIFIUTO Che cosa rappreseta il valore di α? Se il valore x R, cioè se la media dei valori dei dati del campioe appartiee alla regioe di rifiuto, si decide di rifiutare l ipotesi H ache se, come supposto all iizio, l ipotesi è vera. La probabilita' che x R vale α. Il valore α = P[ rifiutare H / H vera] è detto ERRORE DI PRIMA SPECIE Nel caso preso i esame si ha che : x = 4 si può, ad esempio, fissare il livello del test al % =.. Si voglioo determiare i valori a e b tali che : Se Z~N(,) dalle tavole si ottiee : a 4 b 4 Pa [ T b] = P Z =.9 P(-.64 Z.64) =

5 Quidi : a 4 =.64 a = (.64*) + 4 = 39.8 b 4 =.64 a = (.64*) + 4 = 48. R = (,39.8) (48., + ) Se la media dei dati campioari appartiee all itervallo R = (,39.8) (48., + ), si rifiuta l ipotesi H. x = 4 R, quidi si rifiuta l ipotesi H che la media del tempo di vita di questo tipo di lampadia sia uguale a

6 Il test eseguito prima è u CASO PARTICOLARE di ua serie di test sui parametri di ua distribuzioe ormale. La tabella seguete riporta i tre possibili tipi di test per la media H H H : µ = µ : µ µ : µ = µ : µ > µ : µ = µ : µ < µ test BILATERALE test UNILATERALE DESTRO test UNILATERALE SINISTRO TEST BILATERALE SULLA MEDIA ( X di legge ormale co variaza ota) Nel caso di test bilaterale le ipotesi soo : e la regioe di rifiuto è : H R = (-, a) ( b, + ). : µ = µ : µ µ ESEMPIO Si cosideri u campioe di taglia ( umerosita ) = estratto da ua popolazioe di legge N(µ,). Si vuole effettuare u test sulla media a livello %. Il valore della media del campioe vale x =.. I questo caso le ipotesi soo : H : µ = : µ La statistica test è X + X X =. T N µ, Se l ipotesi H è vera si ha che T~N(,4)

7 Per determiare la regioe di rifiuto R si devoo determiare due valori a e b tali che P(a T b) =.9, cioè facedo i coti : Dalle tavole della legge N(,) si ottiee che : a b a b P Z = P Z = a =.96 b =.96 quidi a =.96* b = +.96* a = 6.8 b =

8 Quidi essedo R= (-,6.8) (3.9,+ ) (area evideziata ella figura sopra) si ha che x =. R e quidi si accetta l ipotesi H. Si osservi che l ipotesi H viee accettata quado il valore di x è compreso ell itervallo [6.8, 3.9]. TEST UNILATERALE DESTRO SULLA MEDIA (X di legge ormale co variaza ota). Nel caso di test uilaterale destro le ipotesi soo : H : µ = µ : µ > µ La regioe di rifiuto è del tipo R=(c,+ ). ESEMPIO Si cosideri u campioe di taglia ( umerosita ) = estratto da ua popolazioe di legge N(µ,). Si vuole effettuare u test sulla media a livello %. Il valore della media del campioe vale. x =. I questo caso le ipotesi soo : H : µ = : µ > X+ X X La statistica test è T = N µ,. Se l ipotesi H è vera si ha che T~N(,4). Per determiare la regioe di rifiuto R si deve determiare u valore c tale che P(T c) =.9, cioè facedo i coti : c c P Z = P Z =.9 4 c Utilizzado le tavole si ha che : =.6 e quidi c = 3.3 e R=(3.3,+ ). Essedo x =. si accetta l ipotesi pricipale (ulla)

9 Osservado la figura riportata sotto si osserva che viee accettata l ipotesi pricipale H : µ = quado il valore di x o supera 3.3. TEST UNILATERALE SINISTRO SULLA MEDIA (X di legge ormale co variaza ota). Nel caso di test uilaterale destro le ipotesi soo : H : µ = µ : µ < µ La regioe di rifiuto è del tipo R=(-,d). ESEMPIO Si cosideri u campioe di taglia ( umerosita ) = estratto da ua popolazioe di legge N(µ,). Si vuole effettuare u test sulla media a livello %. Il valore della media del campioe vale x = 9.. I questo caso le ipotesi soo : H : µ = : µ < X+ X X La statistica test T = ha legge N µ,. Se l ipotesi H è vera si ha che T~N(,4)

10 Per determiare la regioe di rifiuto R si deve determiare u valore c tale che P(T c) =.9, cioè facedo i coti : e quidi d d P Z = P Z =.9 4 d P Z =. 4 d Utilizzado le tavole si ha che : =.6 e quidi d = 6.7 e R=(-, 6.7). Essedo x =. si accetta l ipotesi pricipale (ulla). Osservado la figura riportata sotto si osserva che viee accettata l ipotesi pricipale H : µ = quado il valore di x è superiore a

11 Regola di Decisioe U test statistico é ua statistica calcolata sui dati del campioe. Il valore del test é usato per decidere se rifiutare o o l ipotesi ulla La regola di decisioe é ua regola che specifica le codizioi sotto le quali l ipotesi ulla puó essere rifiutata. Ua decisioe puó essere sbagliata i due modi : Errore di tipo I: Rifiutare H quado é vera Errori ei test La probabilita dell errore di tipo I é deotatata co α. α é chiamato livello di sigificativita del test Errore di tipo II: No rifiutare H quado é falsa La probabilita dell errore di tipo II é deotatata co β. La tabella illustra i possibili errori i u test statistico. - -

12 Poteza del test (solo el caso di ipotesi semplice) La poteza di u test statistico (si idica co π) é la probabilita di predere la decisioe giusta, cioé la probabilita di rifiutare l ipotesi ulla quado e falsa. π = -β = P(rifiutare H / H falsa) Gli esempi riguarderao solo il caso di ipotesi semplici. ESEMPIO La popolazioe ha legge Normale di media µ e variaza ota : X~N(µ, σ ). Le ipotesi del test soo : H : µ = il livello del test vale % e si ha che σ =. : µ = 7 Il test è uilaterale destro e quidi la regioe di rifiuto R vale : σ R= µ + z α, + = ( +.6*,+ ) = ( 66.,+ Calcolo della poteza del Test. Sotto l ipotesi H la statistica T = X ~ N(7, ) e la poteza vale : ( / ) ( ~ (7, ) 66.) Π= P rifiutare H H falsa = P Y N > = P Z ~ N(,) > = P( Z >.3).637 L errore di II specie β vale -л=.363. ) - -

13 TEST BILATERALE SULLA MEDIA ( X di legge ormale co variaza scoosciuta ) Nel caso i cui la popolazioe X da cui viee estratto il campioe abbia sia la media che la variaza scoosciuta si procede el modo seguete : X stima la media µ S stima la variaza σ Le ipotesi del test soo del tipo: H : µ = µ : µ µ Se H è vera, la variabile aleatoria T X µ = t S/ T ha legge t di Studet co - gradi di libertá. I questo caso si ha : Quidi : P( X ( -δ, µ +δ))= α µ P( X ( -δ, +δ)) = P(-, -δ) ( +δ,+ µ µ µ µ µ ) = P( X - > δ) = = X µ δ P > S / S / Poiché T = X S/ µ ha legge t di Studet co - gradi di libertá : X µ δ = P T δ > S/ = α P > S / S / - 3 -

14 e quidi la regioe di rifiuto per il test sulla media a livello α è: R = S S, µ t µ + t, + α α ESEMPIO Sia X,X,...,X 6 u campioe estratto da ua popolazioe di legge ormale di media e variaza scoosciute.. H : µ = µ : µ µ δ Si deve determiare il valore di δ tale che P T > =. oppure S / 6 δ P T < =.. La legge di T é t, cioé t di Studet co gradi di libertá. S / 6 δ S = t. =.3 quidi δ =.3. S / 6 3 La regioe di rifiuto è quidi : R=,.3 S S µ µ +.3, + A questo puto, la coclusioe del test dipede dal valore osservato x della variabile media campioaria X. Se x appartiee ad R, si rifiuta e si sceglie, altrimeti si accetta H. H H I modo simile si procede per i test di tipo uilaterale (destro o siistro) H : µ = µ : µ µ - 4 -

15 Test sulla media per gradi campioi Il teorema del limite cetrale (TLC) afferma che se X, X,..., X soo variabili aleatorie idipedeti (u campioe) E(X i )=µ, i=,,..., VAR(X i )=σ, i=,,..., allora X σ / µ Z ~ N(,) Questo teorema sigifica che per grade (>3): La distribuzioe t di Studet può essere approssimata co la legge ormale stadard Z~N(,). P( T > t ) = P( Z> zα α Si possoo fare test sulla media e sulla variaza ache se le popolazioi di proveieza dei campioi o ha legge Normale. ESEMPIO I dati relativi ad u campioe di umerosità si ha che la media campioaria vale 3 e la variaza campioaria. Si vuole testare a livello %: H : µ = 7 : µ 7 α. Sotto H O la statistica test vale.97 La regioe di rifiuto R vale S S R =, µ.96 µ +.96, + =,7.96 µ , + = (,69 7, + ( ) ( ) ) X µ X 7 T = = ~ t (99) N (,) S/ / X 7 99 X 7. = P[ rifiutare H / Hvera] = P > tα = P > Z α / / co Z = Z =.96 x = 3 R rifiuto H - -

16 Test per la frequeza di ua variabile di Beroulli Se la popolazioe ha legge di Beroulli, cioè X~B(p), co p scoosciuto si vuole costruire test di ipotesi sul parametro p. Se X~B(p), si ha che PX ( = ) = p PX ( = ) = p( p) E(X)=p e VAR(X)=p(-p). Se X,X,...,X è u campioe estratto da X lo stimatore di p vale : Le ipotesi del test sarao del tipo: pˆ = X+ X X H : p= p : p p Se la umerosita campioaria è abbastaza grade si può utilizzare il Teorema del Limite Cetrale per approssimare la distribuzioe della statistica test: sotto l ipotesi ulla, si approssima quidi (- ) pcoz ˆ ~ N p, p p. La variaza sotto H vale: sp = p p ( ( )) Attezioe: el caso degli itervalli di cofideza il deomiatore era (-). La regioe di rifiuto sarà, quidi: R= p( p) p( p), p Z α p + Z α,

17 Test bilaterali per la variaza da popolazioe di legge Normale Sia X ua popolazioe di legge Normale di media e variaza scoosciute. Si vuole costruire u test di ipotesi per la variaza a livello α. Quidi le ipotesi sarao del tipo: H : σ = σ : σ σ S ( ) Se l ipotesi H è vera, la variabile aleatoria C = ha legge chi-quadro co (-) gradi di σ liberta. Di seguito è riportato il grafico della distribuzioe chi-quadro al variare di. chi quadro co = gradi di liberta chi quadro co =3 gradi di liberta chi quadro co = gradi di liberta chi quadro co = gradi di liberta - 7 -

18 Costruzioe del test. Si devoo determiare due valori C e C tali che P( C C C ) = -α S ( ) P( C C C ) = P C = α C - α α σ dove, per esempio co α=. C C = χ = χ α.9, α, = χ = χ α., α, Quidi la regioe di rifiuto sarà: R = χ α σ χα σ,,,, + ( ) ( ) - 8 -

19 Se la media µ è ota, la regioe di rifiuto è: R = χ α σ χα σ,,,, + ESEMPIO Sia X,X,..,X u campioe estratto da ua popolazioe di legge X~N(µ,σ ) co la media µ scoosciuta. Se si vuole effettuare u test sulla variaza a livello % co le ipotesi si ha che la regioe di rifiuto è: H : σ = σ : σ σ R = χ.9,4σ χ.,4σ,, Dalle tavole si ricava che : χ.9,4 = 6.7 e quidi la regioe di rifiuto è: χ.,4 = 3.68 σ 3.68 σ 6.7 R =,, Se è oto il valore di S relativo al campioe ( si idica co s ) si può determiare la decisioe, a secoda che tale valore appartega o meo alla regioe di rifiuto

20 Test uilaterali per la variaza da popolazioe di legge Normale SUPERIORE H : σ = σ : σ > σ R χα, σ =, + ( ) χ α, INFERIORE H : σ = σ : σ < σ R χ α, σ =, ( ) χ α, - -

21 Il test per la differeza di medie per popolazioi di legge Normale Si distiguoo due casi : a) Sugli stessi idividui viee rilevata ua gradezza i tempi diversi (dati appaiati). b) Si rileva la stessa gradezza su idividui apparteeeti a popolazioi diverse e idipedeti. Caso a: Caso b: idividuo X Y idividuo X Y idividuo X.. POPOLAZIONE..... idividuo X dividuo Y.. i.. POPOLAZIONE... idividuo m Ym a. Il test di differeza di medie per dati appaiati U caso particolare del test sulla differeza di media è quello relativo ai dati appaiati, cioè quado vegoo rilevati i dati riferiti allo stesso campioe,ad esempio, i tempi diversi, co differeti strumeti, ecc. Esempi tipici di applicazioe di questo test soo le rilevazioi di parametri fisiologici prima e dopo la sommiistrazioe di u farmaco. I dati da esamiare avrao quidi la forma : obs X Y X Y X Y X Y Si suppogoo X e Y di legge ormale N(µ X,σ ) e N(µ Y,σ ) U problema che si deve risolvere molte volte é quello di stabilire se le mediedi X e Y, µ X e µ Y soo uguali oppure o. Risolvere questo problema equivale ad effettuare u test per verificare l ipotesi pricipale - -

22 H : µ X -µ Y = Cotro ua delle tre ipotesi alteative: test uilaterale siistro Test bilaterale Test uilaterale destro H : µ X - µ Y < H : µ X - µ Y H : µ X - µ Y > Per effettuare il test : Si deve costruire ua uova variabile D=X-Y come riportato i tabella obs X Y D X Y D =X -Y X Y D =X -Y X Y D =X -Y Essedo X e Y variabili aleatorie di legge ormale, ache D ha legge ormale N(µ D,σ D ) - -

23 Sotto l ipotesi pricipale la statistica test T vale T = S ed ha legge t di Studet co (-) gradi di libertà. D D / La regioe di rifiuto è: el caso bilaterale el caso uilaterale destro el caso uilaterale siistro ESEMPIO R =, tα tα, + (, ) R = t α R= ( t α, + ) X e Y soo due variabili quatitative rilevate su u campioe di =6 persoe i due tempi diversi (prima e dopo). Si effettua u test per verificare che o ci soo state variazioi i media. H : D = : D > N Prima Dopo D df = (-) = (6-) = t. =.73 D t= = =.34 R, quidi si rifiuta H..7 S D - 3 -

24 b. Il test di differeza di medie per popolazioi idipedeti di legge Normale Cosideriamo due campioi estratti da due popolazioi idipedeti di legge ormale: Il primo campioe X,X,...,X di umerositá co distribuzioe Normale N(µ X,σ X ); Il secodo campioe Y,Y,...,Y m di umerositá m co distribuzioe Normale N(µ Y,σ Y ). U problema che si deve risolvere molte volte é quello di stabilire se le due medie µ X e µ Y soo uguali oppure o. Risolvere questo problema equivale ad effettuare u test per verificare l ipotesi pricipale Cotro ua delle tre ipotesi alteative: H : µ X = µ Y test uilaterale siistro Test bilaterale Test uilaterale destro H : µ X < µ Y H : µ X µ Y H : µ X > µ Y Siccome X é uo stimatore di µ X, Y m uo stimatore di µ Y, segue che X Ym può essere usato per stimare µ X - µ Y. Per effettuare questo test si cosidera quidi la variabile aleatoria D = X Y Se le variaze σ e σ soo ote, lo scarto quadratico medio di D vale : X Y m - 4 -

25 σ σ σ D = + m X Y Se l ipotesi pricipale é vera, questo equivale ad assumere che µ X = µ Y e quidi la statistica test T vale : T X Y = σ ed ha distribuzioe Normale stadard. La regioe di rifiuto è, el caso bilaterale, Se le variaze σ X e usuali stimatori della variaza Y R =, z α z α, + T m σ o soo ote ma si può supporre che siao uguali, allora si usao gli S S e lo stimatore S di X e Y D σ assume la forma : D S D ( ) SX + ( m ) SY + m = + m m Se l ipotesi pricipale é vera, questo equivale ad assumere che µ X = µ Y e quidi la statistica test T = X Y S ha distribuzioe t di Studet co (+m-) gradi di libertà e la regioe di rifiuto, el caso bilaterale, vale: D m R =, tα tα, + - -

26 ESEMPIO I possessori di America Express Gold Card hao u utilizzo mesile (i euro) maggiore degli utilizzatori di Visa? Popolazioe : Visa = x = 4 σ = Popolazioe : Gold Card =8 x = 3 σ = 8 H : µ µ = H : µ µ ( x x ) ( µ µ ) (4 3) 7 7 z = = = = = 7.96 σ σ p-value: p(z<-7.96) H si deve rifiutare Poiche il valore della statistica test e ella regioe di rifiuto,l ipotesi ulla può essere rifiutata.si coclude che c e ua differeza statisticamete sigificativa fra l utilizzo mesilefra i possessori di Gold Card e Visa

27 ESEMPIO Si rilevao i tempi di vita di due tipi A e B di lampadie, otteedo i segueti risultati. I tempi di vita medi possoo essere cosiderati uguali? Popolazioe : Lampadie di tipo A = x=.3 s =.3 Popolazioe : Lampadie di tipo B = 8 x= 3. s =.7 H : µ µ = H : µ µ ( x x ) ( µ µ ) (.3 3.).8 z = = = s + s + 9is+ 7s i i = 3.4 LIVELLO :% REGIONE DI RIFIUTO :(,.9) (.9, + ) H si deve rifiutare - 7 -

28 Test chi-quadrato di idipedeza X e Y soo due variabili QUALITATIVE e si vuole verificare se soo idipedeti. La defiizioe di idipedeza el caso di variabili qualitative e la seguete: PX [ = x, Y= y] = PX [ = x] PY [ = y] i j i j, per ogi valore di i e j Il modo piu ituitivo di scrivere le ipotesi del test di idipedeza e il seguete : ESEMPIO Le variabili X e Y soo : H : P[ X = xi, Y = y j] = PX [ = xi] PY [ = y j] H : P[ X = xi, Y = y j] PX [ = xi] PY [ = y j] X : colore degli occhi (modalita CHIARI e SCURI) Y : colore dei capelli (modalita BIONDI, CASTANI e NERI) I dati relativi ad u campioe di dimesioe = soo rappresetati ella seguete tabella dei coteggi: CAPELLI O BIONDI CASTANI NERI TOTALE C CHIARI C SCURI 6 8 H TOTALE 8 I La tabella seguete rappreseta le frequeze : CAPELLI O BIONDI CASTANI NERI TOTALE C CHIARI C SCURI H TOTALE I - 8 -

29 Per poter effettuare u test e ecessario costruire ua statistica test T. I geerale si ha che : ( fij fiifi j ) i, j ii i j [ )] ~ χ ( )( T = I J f f I questo caso : rappreseta il umero di elemeti del campioe I rappreseta il umero di livelli della variabile X (I=) J rappreseta il umero di livelli della variabile Y (J=3) Se si utilizzao le frequeze assolute; la stessa statistica test è: T ( ij i ii j ) i, j ii i j [ I J )] ~ χ ( )( = Utilizzado la precedete tabella delle frequeze relative si possoo ricavare i valori : CAPELLI O BIONDI CASTANI NERI TOTALE C CHIARI =f.Chiari C SCURI =f.Scuri H TOTALE.4=f Biodi..44= f Castai..6= f Neri. f.. I Il livello a cui si vuole effettuare il test e %. La statistica test T e la seguete : T = χ ( I )( J ) = χ [ ] [ ] Dalle tavole si ottiee : P ( χ [ ] >.99 ) =. e quidi la regioe di rifiuto vale R= (.99,+ ) - 9 -

30 Il valore della statistica T relativa ai dati del campioe e (..76) (..936) (.4.74) (..4) (.4.464) (..896) t = =.49. Poiche il valore di t o appartiee a R (t R) si accetta l ipotesi H, cioe che X e Y soo idipedeti

31 Test chi-quadrato di adattameto Suppoiamo di rilevare su u campioe di umerosità i risultati di ua variabile X che può assumere solamete u umero fiito di valori(o modalità) e si idica co {,,...,I} l isieme dei valori che assume X. Si idichi co : i la frequeza osservata per la modalità i [ovviamete si ha che =. p, p,..., pi la distribuzioe della variabile X. Il test chi-quadrato di adattameto serve per verificare se la variabile X segue o meo ua specificata distribuzioe (ipotesi) di probabilità co parametri q, q,..., qi. Le ipotesi del test soo : H : p = q, p = q,..., pi = qi : pi qi,per almeo u valore di i Per effettuare il test si deve per prima cosa : calcolare le frequeze attese assolute ˆi = qi (frequeze attese el caso i cui le frequeze della q variabile X fossero effettivamete, q,..., qi ); calcolare il valore della statistica Test (di Pearso) I ( ˆ ) i i C = i= ˆ i Se l ipotesi H è vera, la statistica test C ha legge (asitotica) chi-quadro co (I-) gradi di libertà R= ( c ) e la regioe di rifiuto se il livello del test vale α è : α, +. Se il valore osservato della statistica C appartiee alla regioe di rifiutosi si coclude che la distribuzioe della variabile X o ha i parametri q, q,..., qi. Essedo questo u test asitotico si proicede solo el caso i cui le frequeze attese maggiori o uguali a. I i= i ˆi siao - 3 -

32 - 3 -

33 Test del sego e della mediaa Questo test viee di solito utilizzato per verificare ua ipotesi sul valore della mediaa di ua popolazioe oppure per cotrollare se due campioi provegoo dalla stessa popolazioe accertado che la mediaa delle differeze sia ulla. I particolare si assume che M e la mediaa di ua variabile cotiua X e si costruisce u test per verificare se questo e vero. Si ricordi che se M e la mediaa di ua variabile cotiua X si ha che : M + f X( x) dx = f X( x) dx = M Si vuole quidi effettuare u test : H : M = M H : M M Se l ipotesi H e vera circa meta delle osservazioi del campioe dovrebbero essere superiori a M, per cui la regola di decisioe dovra essere costruita i modo che si rifiuti H se tale requisito o e soddisfatto. Se X,X,...,X e u campioe estratto da X, il umero di osservazioi S superiori a M e ua variabile biomiale di parametri e p=.. Quidi l ipotesi H puo essere riformulata el modo seguete : H H : p = : p Se H e vera S ha legge B(,.) per cui, i media, il campioe coterra / osservazioi al di sopra di M. Utilizziamo la statistica test T = S / Se il livello del test e α si devoo determiare due valori a e b tali che Pa ( T b) = α cioe

34 P a p T p b p = α p( p) p( p) p( p) Se la umerosita del campioe e abbastaza grade la variabile T p p( p) ~ N(,) e quidi per determiare i valori di a e b si devoo risolvere le equazioi : a p = z p( p) b p = z p( p) e si ottiee la regioe di rifiuto come el caso del test sulla proporzioe co p =/ : R= α α, z α z α, ESEMPIO La variabile X rappreseta il umero di scarpa degli italiai e si vuole effettuare u test per verificare se la mediaa vale 4. Si vuole cioe testare il fatto che meta della popolazioe ha u umero di scarpa maggiore di 4. Le ipoesi del test soo : H H : M = 4 : M

35 Si costruisce ua uova variabile S i cosi defiita : Si = quado X i < 4 Si = quado X i 4 i =,,..., - 3 -

36 Sia X,X,...,X 36 u campioe della popolazioe. Poiche =36 si puo usare l approssimazioe ormale, cioe T p p( p) N(,) Se si vuole effettuare il test a livello % si procede el seguete modo : Si determiao i valori di a e b risolvedo le equazioi : a. =.96.i. 36 b. =.96.i. 36 Si ottegoo i valori : a =.48 b =.66 La regioe di rifiuto e quidi : R = (,.48) (.66, + ) Se la frequeza degli elemeti del campioe co umero di scarpa e compresa fra.48 e.66 si accetta l ipotesi che la mediaa sia 4, altrimeti si rifiuta. Questo test viee ache chiamato test del sego perche per il calcolo della frequeza campioaria si e soliti cotrassegare co u sego + i valori che eccedoo M e co u sego quelli o superiori a M, e poi cotare i segi positivi preseti. NOTA : Se la umerosita del campioe e piccola si puo effettuare u test ESATTO a livello α, cioe determiare i valori a e b i modo che : b i= a i i α

37 La tabella seguete riporta i dati dell esempio : Nel campioe ci soo 9 segi + e 7 segi per cui la frequeza vale l ipotesi che la mediaa sia 4 a livello %. ESERCIZIO.3 p e si accetta U gruppo di pazieti e u gruppo di cotrollo vegoo sottoposti ad u test i cui risultati, espressi come puteggi, soo di seguito riportati. I gruppi diferiscoo sigificativamete sulla base del test? GRUPPO : GRUPPO : La mediaa dei 39 dati vale. Osservazioi Gruppo Gruppo totali Maggiori della mediaa(>) 3 8 Miori o uguali alla mediaa( ) 3 8 totali I dati differiscoo sigificativamete?

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