Unità Didattica N 32E Le trasformazioni geometriche. Le isometrie

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1 33 possono essere introdotte in diverse mniere. Prim definizione di isometri Dicesi isometri un similitudine vente come rpporto di similitudine l unità, cioè vente k det A. Questo ci induce d ffermre che l similitudine dirett b c b d o l similitudine indirett b b c d A b b det A b c b b d det A b k b b sono isometrie se det A ±, precismente bbimo un isometri dirett se det A, A ( ) un isometri indirett se risult det A. Si dimostr che se P e P, Q e Q sono due coppie di punti corrispondenti si h : d ( P, Q) d( P, Q ) cioè : PQ P Q cioè un isometri conserv l distnz tr punti. Quest proprietà ci consente di definire un isometri in mnier divers dll precedente. Second definizione di isometri Dicesi isometri o congruenz un corrispondenz biunivoc del pino π in se stesso tle che l distnz fr due qulsisi punti di π si ugule quell fr i punti corrispondenti. Il verificrsi di qunto detto equivle d ffermre che esiste un movimento rigido che consente di sovrpporre il segmento PQ sul segmento P Q in modo che P P e Q Q. Considert un qulsisi figur geometric del pino π, pplicndo d ess un isometri, ottenimo un ltr figur geometric dett isometric o congruente ll figur dt. Figure geometriche che si corrispondono in un isometri sono isometriche. Un isometri può essere un simmetri centrle, un trslzione, un rotzione o un simmetri ssile. L simmetri centrle, l trslzione e l rotzione sono isometrie dirette e conservno l orientmento delle figure geometriche trsformte, l simmetri ssile è un isometri indirett e non conserv l orientmento delle figure geometriche trsformte. ) Due figure geometriche che si corrispondono in un isometri sono uguli. b

2 34 ) L isometri mmette l trsformzione invers. L trslzione Considerimo un generic isometri dirett vente equzioni : b b A det A b. b b Se risult b 0 b b c con : d l isometri prende il nome di trslzione di vettore v ci d j ( cd, ) in qunto ssoci d ogni punto P ( ; ) il punto P ( X, Y ) tle che : P P v.. c 0 Le equzioni di un trslzione sono : A d 0 X c Le equzioni dell trsformzione invers sono :. Y d Se risult v o, llor l trslzione non h punti uniti, se risult v o, llor l trslzione è un identità che f corrispondere d ogni punto se stesso. L simmetri centrle b c L isometri dirett di equzioni con b d b det A b, dicesi simmetri centrle di centro C ( α, β ) se risult : b, b 0, c α, d β. Le sue equzioni sono : α β con A b 0 A e det A 0 X mentre le equzioni dell trsformzione invers sono : Y ( α, β ) α β C è l unico punto unito dell trsformzione. Tutte le rette pssnti per C sono rette unite. Si dimostr fcilmente che l simmetri di centro ( α, β ) b C è l corrispondenz biunivoc ( isometri ) dei punti del pino che ssoci d ogni punto P il punto P tle che il punto C si il punto medio del segmento P P.

3 35 Le rotzioni Considerimo l generic isometri dirett vente come punto unito l origine degli ssi crtesini. b b b A b det A b b b Se risult b llor esiste un ngolo ϑ in corrispondenz del qule bbimo : e sinϑ Questo ci consente di scrivere le precedenti equzioni nell seguente mnier : sinϑ sinϑ [55] A sinϑ sinϑ L trsformzione [55] prende il nome di rotzione di un ngolo ϑ ttorno ll origine degli ssi crtesini. Dunque un rotzione di centro O e di ngolo ϑ è un prticolre trsformzione linere ( isometri ) l cui mtrice A ssume l form : sinϑ sinϑ A oppure l form A sinϑ sinϑ Le equzioni dell rotzione invers sono : X Y sinϑ X sinϑ Y [55] Dimo un interpretzione trigonometric delle equzioni [55]. Si P ( X, Y ) il corrispondente del punto P (, ) qundo il segmento OP ruot di un ngolo ϑ ttorno ll origine degli ssi crtesini. Se OP ˆ α bbimo : cosα sinα P' ϑ P α O A' A O β P' P ϑ C α A' A α X OA cos( α ϑ) (cosα sinα sinϑ) sinϑ sinϑ Y A B sin( α ϑ) ( sinα cosα sinϑ) sinϑ sinϑ

4 36 L isometri crtesini se : b b è un rotzione di un ngolo ϑ ttorno ll origine degli ssi e sinϑ Se risult ϑ > 0, l rotzione è ntiorri, se risult ϑ < 0 l rotzione è orri. Le rototrslzioni Supponimo desso che il centro di rotzione si il punto C ( α, β ) e si diverso dll origine degli ssi crtesini. Si P ( X, Y ) il punto corrispondente del punto P (, ) nell rotzione dell ngolo ϑ ttorno l punto C. Abbimo : cos α CA α sin α PA β α β X α OA α cos( α ϑ) α (cosα sinα sinϑ) α sinϑ X α ( α) ( β ) sinϑ Y β ( α) sinϑ ( β ) α ( α)cos ϑ ( β)sinϑ sinϑ α α βsinϑ [56] β ( α)sin ϑ ( β) sinϑ β αsinϑ β Le equzioni crtesine dell trsformzione invers sono : α ( X α) cos ϑ ( Y β)sinϑ X Ysinϑ α α βsinϑ [56b] β ( X α)sin ϑ ( Y β) Xsinϑ Y β αsinϑ β L isometri b c rppresent un rotzione di un ngolo ϑ ttorno b d l punto C ( α, β ) se risult : b sinϑ c α α cos ϑ β sinϑ d β α sinϑ β Il centro di rotzione è il punto unito dell trsformzione.

5 37 Un ltro modo di introdurre le rototrslzioni Vedimo come possimo clcolre le equzioni di un rotzione qundo il centro di rotzione non è l origine degli ssi crtesini, m un punto C ( α, β ). Si P ( X, Y ) il corrispondente del punto P (, ) dell rotzione di centro C ( α, β ) ed ngolo ϑ. Per trovre le relzione che intercorrono tr le coordinte ( X, Y ) del punto P e coordinte (, ) del punto P bisogn effetture le seguenti trsformzioni : ) un trslzione di vettore v ( α, β ) che port il centro di rotzione C in O, il punto P (, ) nel punto ( ) rotzione di centro O d ngolo ϑ che port il punto P (, ) nel punto P (, ) di vettore v ( α, β ) che port l origine O nel centro di rotzione C ed il punto P (, ) punto P (, ). P (, ) P (, ) P (, ) P ( X, Y ) P, ) un 3) un trslzione nel ) L trslzione di vettore v ( α, β ) che port il centro di rotzione C in O, il punto P (, ) nel punto ( ) P, dà luogo lle seguenti equzioni : α β ) L rotzione di centro O d ngolo ϑ che port il punto P (, ) nel punto P (, ) lle seguenti equzioni : 3) L trslzione di vettore ( ) (, ) nel punto ( ) P dà luogo sinϑ ( α ) ( β ) sinϑ cioè : sinϑ ( α ) sinϑ ( β ) v α, β che port l origine O nel centro di rotzione C ed il punto P, dà luogo lle seguenti equzioni : α ( α) ( β ( α)sinϑ ( α β β )sinϑ α β ) β cioè cioè : sinϑ α α β sinϑ sinϑ β α sinϑ β v α, β P (, ) P (, ) trslzione di vettore ( ) P (, ) P (, ) rotzione di centro O ed ngolo ϑ (, ) P ( X, Y ) trslzione di vettore ( α, β ) P v

6 38 L simmetri ssile P P(, ) M P ( X, Y) P r I punti P e P sono simmetrici rispetto ll rett r se si verificno le due seguenti condizioni : ) PP r ) M è il punto medio del segmento PP Clcolimo desso le equzioni di un simmetri ssile. Supponimo che si P (, ), P ( X Y),, r : m n con r rett non prllel rispetto ciscuno dei due ssi crtesini. PP r m ( ) PP my X Y m( X) n Y M X Y, M r X m Y m X n Risolvendo questo sistem rispetto lle vribili X ed Y ottenimo : X Y m m Risolvendo rispetto d ed ottenimo : m m mn m mm m m nm [5] m m X m m Y mn m mm X m m Y nm Se ϑ è l ngolo formto dll direzione positiv dell sse con l rett bbimo : [6] m tgϑ, m m m cos ϑ, sin ϑ m, cos ϑ. m Le equzioni precedenti ssumono l form : cos ϑ sin ϑ n sin ϑ sin ϑ cos ϑ n ( cos ϑ ) b c L isometri indirett rppresent un simmetri rispetto ll rett r di b d equzione m n e coefficiente ngolre m tgϑ se risult :

7 39 m m cos ϑ, b sin ϑ m m, m n n c n sin ϑ d n ( cos ϑ ). m m L mtrice ssocit ll simmetri ssile è : A m m m m m m m m cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ Det A cos ϑ sin ϑ Effettute le sostituzioni nell'equzione f ( ) m m m m mn m mm m m nm dell curv pin γ ottenimo un nuov equzione che rppresent l curv pin simmetric di γ rispetto ll rett r. CASI PARTICOLARI simmetri rispetto d un rett prllel ll'sse delle scisse r // O m 0 ϑ 0 Le relzioni [5] e [6] ssumono l seguente form se r : n : [7] n [8] X Y n Y P X Y n n o P X n n X Y n

8 40 Se nell ' equzione f ( ) REGOLA PRATICA, grfico γ dell funzione ƒ, sostituimo con ed con n ottenimo l ' equzione dell curv γ simmetric di γ rispetto ll rett r n. simmetri rispetto d un rett prllel ll'sse delle ordinte // o m Le relzioni [4] e [5] ssumono l seguente form se l rett r h equzione : X [9] Y Dimostrzione elementre : [0] Y P P Y X ed nche o X X Y Se nell'equzione f ( ) REGOLA PRATICA, grfico γ dell funzione ƒ, sostituimo con ed con ottenimo l'equzione dell curv γ simmetric di γ rispetto ll rett. Simmetri rispetto ll bisettrice fondmentle :, m, n 0 [] Y X []

9 4 P M r Y P o X Se nell'equzione f ( ) REGOLA PRATICA, grfico γ dell funzione ƒ, sostituimo con ed con ottenimo l'equzione dell curv γ simmetric di γ rispetto ll bisettrice fondmentle. Simmetri rispetto ll bisettrice secondri :, m, n 0 [3] Se nell'equzione f ( ) Y X REGOLA PRATICA [4], grfico γ dell funzione ƒ, sostituimo con ed con ottenimo l'equzione dell curv γ simmetric di γ rispetto ll bisettrice secondri Si Φ(, ) 0 l ' equzione crtesin di un curv pin γ. Se risult : ( ) ( X by c bx Y d ) Φ, Φ, 0. llor l curv γ h l rett r come sse di simmetri, cioè l curv γ è simmetric rispetto ll rett r di equzione m n. Se risult : Φ (, ) Φ( X, Y n) 0 o ( ) ( n) Φ, Φ, 0 llor l curv γ è simmetric rispetto ll rett di equzione Se risult : Φ (, ) Φ( X, Y ) 0 o ( ) ( ) l curv γ è simmetric rispetto ll rett di equzione Φ, Φ, 0 llor Se risult : Φ (, ) Φ( X ; Y ) 0 o ( ) ( ) curv γ è simmetric rispetto ll ' sse delle scisse. Φ, Φ ; 0 llor l n

10 4 Se risult : Φ (, ) Φ( X ; Y ) 0 o ( ) ( ) curv γ è simmetric rispetto ll ' sse delle ordinte. Φ, Φ ; 0 llor l Se risult Φ (, ) Φ ( Y ; X ) 0 o ( ) ( ) curv γ è simmetric rispetto ll bisettrice Φ, Φ ; 0 llor l Se risult : Φ (, ) Φ( Y ; X ) 0 o ( ) ( ) l curv γ è simmetric rispetto ll bisettrice Se l curv γ h equzione f ( ) llor : Φ, Φ ; 0 llor. f ( ) f ( ) γ simmetric rispetto ll'sse, f ( ) funzione pri f ( ) f ( ) γ simmetric rispetto ll'origine degli sso crtesini, f ( ) funzione dispri REGOLA PRATICA Per vere l ' equzione dell curv γ simmetric dell curv γ rispetto ll rett r bst pplicre l [6] o l [8] o l [0] o l [] o l [4]. SINTESI Si γ un curv pin di equzione E (, ) 0. Se risult E( ) rispetto ll bisettrice fondmentle, se risult E( ), 0 l curv γ è simmetric, 0 l curv γ è simmetric rispetto ll bisettrice secondri. << Scrivere l equzione dell circonferenz σ simmetric dell circonferenz σ di equzione 6 0 rispetto ll rett >> Bst sostituire nell ' equzione dell circonferenz σ con ed con. σ : 6 0, σ : 6 0 << Scrivere l ' equzione dell simmetri ssile rispetto ll rett r di equzione >> Si P ( α, β ) ( X, Y) il punto simmetrico di P( α, β) (, ) rispetto ll rett r di equzione. Il segmento PP deve essere perpendicolre ll rett r ed il suo punto medio M deve pprtenere ll rett r. M α α β β ; M r α α β β

11 43 m PP β α β α ; β β α α β β α α α α β β 3 5 α β β P r sommo membro membro 5 3 β α β 5β 4α 3β 4 3 β α β 4 3 Y o M 4α 4α β β α α β β 5α 4α 4β P Sottrendo membro membro ottenimo : 5 3 α β β, 5 3 β α β 4 3 5β 4α 3β, β α β 4 3 X Y 3 4 α α β 3 4 X Y 3 4 3α 5α 4β, α α β 3 4 X Le equzioni dell simmetri ssile sono : 3 4 X Y 4 3 X Y 3 4 X 4 3 Y

12 44 << Dire se l prbol γ di equzione 4 è simmetric dell prbol γ di equzione 4 rispetto ll rett >> Applico ll curv γ di equzione 4 le equzioni dell simmetri richiest, cioè pplico le seguenti equzioni precedentemente trovte : 3 4 X Y 4 3 X Y X Y X Y 4, X Y X Y XY Quest equzione non coincide con l'equzione dell prbol γ che, pertnto, non è simmetric di γ rispetto d r. << Per stbilire se l curv γ di equzione f ( ) d un rett verticle di cui si cerc l'equzione not è simmetric rispetto bst determinre il vlore di in corrispondenz del qule l'uguglinz f ( ) f ( ) è un identità >> << Un curv γ di equzione f ( ) non può essere mi simmetric rispetto d un rett orizzontle in qunto un generic prllel ll'sse l'incontr sempre in un solo punto >>. << Individure l rett di equzione rispetto ll qule le curve γ di equzione ( ) f e γ di equzione g( ) sono un simmetric dell ' ltr >> X equzioni dell simmetri rispetto ll rett di equzione Y ( ) Y f X equzione dell curv simmetric di γ rispetto d r Tle equzione può nche essere scritt nell seguente mnier : f ( ) Imponimo che quest equzione coincid con l'equzione g( ) ( ) ( ) f g [**], cioè :

13 45 Si trov il vlore di in corrispondenz del qule l'uguglinz [**] è un identità. Ftto ciò posimo ffermre che l rett richiest h equzione. Nturlmente vrei potuto clcolre il vlore di imponendo che si un identità l'uguglinz g( ) f ( ) << Individure l rett di equzione n rispetto ll qule le curve γ di equzione ( ) f e X n Y γ di equzione g( ) sono un simmetric dell ' ltr >> equzioni dell simmetri rispetto ll rett di equzione n Y f ( X) equzione dell curv simmetric di γ rispetto d r, Y n f ( X) Tle equzione può nche essere scritt nell seguente mnier : n f ( ) Quest curv coincide con l curv Esempio numerico γ : ( ) γ : ( ) γ se : n f ( ) g( ) f ( ) g( ) n 0 f g cioè se : n 0, n, è l rett richiest. in sintesi Dicesi isometri un corrispondenz biunivoc del pino in sé che conserv le distnze tr punti : d ( P, Q) d( P, Q ) sono dirette se conservno l orientmento, inverse se non conservno l orientmento. Sono isometrie dirette le simmetrie centrli, le rotzioni e le trslzioni, sono isometrie inverse le simmetrie ssili.l isometri è un prticolre similitudine, precismente, l similitudine det A ±. b c b d b A è un isometri se b L isometri è dirett se det A ( trslzione, rototrslzione o simmetri centrle ), invers se det A ( simmetri ssile ). ) Due figure geometriche che si corrispondono in un isometri sono uguli

14 46 ) L isometri mmette l trsformzione invers. ed i punti uniti ) nell trslzione non ci sono punti uniti b) nell simmetri ssile i punti uniti sono quelli dell sse c) nell simmetri centrle e nell rotzione c è un solo punto unito : il centro e le rette unite ) nell trslzione le rette unite coincidono con le rette prllele l vettore ssocito b) nell simmetri ssile coincidono con le perpendicolre ll sse di simmetri c) nell simmetri centrle le rette unite sono quelle pssnti per il centro d) nelle rotzioni non ci sono rette unite. Proprietà invrinti rispetto lle trsformzioni Rispetto ll insieme delle ffinità sono proprietà invrinti : ) L llinemento ) Il prllelismo 3) l incidenz 4) Il rpporto tr superfici Rispetto ll insieme delle similitudini sono proprietà invrinti, oltre lle precedenti, nche le seguenti : ) I rpporti tr lunghezze ) Le mpiezze degli ngoli 3) L perpendicolrità Rispetto ll insieme delle isometrie sono proprietà invrinti, oltre lle precedenti, nche le seguenti : ) Le lunghezze ( AB A B ) ) L estensione delle superfici ( S ( ABC) S( A B C ) )