Bilancio Bilancio consolidato

Transcript

1 Bilancio Bilancio consolidato Un metodo di calcolo per muoversi nel labirinto delle partecipazioni di Amedeo De Luca (*) In questo contributo si fonisce un metodo di calcolo dei tassi di partecipazione indiretta nei raggruppamenti societari utile ai fini della stesura del bilancio consolidato Introduzione Nella formazione del bilancio consolidato di Gruppo risulta talvolta problematico determinare il valore delle quote di partecipazione complete (dirette ed indirette ()) della Holding sulle società controllate, ai fini del calcolo del reale valore patrimoniale del gruppo e/o di qualsiasi altra grandezza economica, finanziaria, etc Il problema si presenta quando la struttura del gruppo è molto articolata, per via della contemporanea presenza di partecipazioni dirette, indirette, reciproche, circolari Quando il raggruppamento raggiunge un elevato grado di complessità con collegamenti apparentemente inestricabili, a causa soprattutto della presenza di partecipazioni reciproche e circolari la società madre rischia di non conoscere con esattezza le quote di partecipazione complete su tutte le società affiliate, riportando quindi un immagine distorta dei rapporti di partecipazione, con conseguenze sul piano giuridico/fiscale e finanziario Un siffatto problema può essere risolto mediante il ricorso ad adeguati strumenti matematici (ad esempio alla teoria dei grafi (2)) che consentano di stimare in modo «esatto» (e non approssimato) i rapporti di partecipazione Nel presente contributo si sviluppa un metodo di calcolo semplice dal punto di vista operativo (che si richiama alla tecnica dei grafi) ed i cui risultati sono di facile «leggibilità»; esso si basa su una formulazione matematica del problema secondo un sistema di equazioni lineari simultanee La metodologia qui illustrata consente quindi di risolvere il problema della stima dei tassi di partecipazione (interest ratios) di un gruppo complesso con un modello «simultaneo» e non con tecniche iterative o ricorsive (3), che conducono alle stime in argomento in modo approssimato e, spesso, fuorviante della realtà economica del Gruppo Tale metodologia fornisce, oltre alla soluzione teorica del problema, un agevole soluzione pratica, siccome gli algoritmi di calcolo sono facilmente implementabili su elaboratore (ad esempio, in ambiente Excel), richiedendo essa poche operazioni calcolo di algebra delle matrici Essa consente di giungere facilmente alla determinazione dei tassi di partecipazione della capogruppo, con riferimento sia all intero raggruppamento, che a singoli suoi sottogruppi In caso di modifica della struttura del raggruppamento nel tempo, la procedura implementata consente di ottenere i tassi di interessanza dei nuovi rapporti, necessari per la redazione del bilancio consolidato, modificando semplicemente la matrice dei dati di input (4) La nuova metodologie di calcolo dei rapporti di partecipazione nei gruppi societari Come si è detto, i problemi che si incontrano ai fini (*) Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano () Per la nozione di gruppo, di partecipazione diretta ed indiretta v Pisoni, Busso (2005) (2) Teoria che consente una formalizzazione efficace ed elegante dei reali rapporti di partecipazione intercorrenti tra le società di un Gruppo complesso e che fornisce un potente strumento matematico (3) La conoscenza dei rapporti di partecipazione indiretti risulta indispensabile quando si voglia effettuare l integrazione dei bilanci di società in modo simultaneo e non con procedimento graduale,il quale, operando per raggruppamenti successivi, è praticabile solo per semplici strutture in serie e non per sistemi complessi (4) Sul sito wwwipsoait/portabilancio all interno della sezione «Applicativi» sarà scaricabile il foglio di tavola in formato Excel dello strumento presentato nell articolo 2 Amministrazione & Finanza 2/2006

2 Bilancio consolidato Bilancio del consolidamento nascono dall esistenza di partecipazioni reciproche («a catena») e/o circolari Infatti, in questi casi, trattandosi di strutture non in serie, non sono praticabili soluzioni di calcolo manuale Il problema delle partecipazioni reciproche (5) si traduce, formalizzando il modello matematico della struttura del gruppo, nel problema della determinazione di valori di grandezze mutuamente dipendenti tra di loro; non è infatti possibile ricavare in successione le varie incognite (tassi di interessenza) del modello I sistemi di equazioni simultanee consentono di calcolare con esattezza, e non per approssimazione, secondo i metodi iterativi tradizionali, le quote cercate Di seguito si descrive operativamente il metodo proposto Il metodo di soluzione algebrica proposto per il calcolo delle quote esatte di interessenza I legami finanziari diretti esistenti tra n società di un Gruppo possono essere rappresentati secondo lo schema riportato in Tavola Nella Tavola S i (i =, 2,, n) indica la società i ima appartenente al Gruppo; p ij (i, j =, 2,, n) indica il tasso di partecipazione «diretta» della società «i» sulla società «j» (è: 0 p ij ) Si formalizzi il problema in questione tramite un sistema lineare di n equazioni in n incognite nel modo seguente: n y = p y + b, i = 2,,, n i ij j j= i [] con 0 p ij e p ij = per i = j; dove il significato dei termini è il seguente: y i = tasso di partecipazione diretta ed indiretta della capogruppo sulla società i; p ij = rapporto di partecipazione diretta della società i sulla società j; b i = rapporto di partecipazione diretta della capogruppo sulla società i (termini noti del sistema) La [] può essere espressa nel modo seguente: n y p y = b i = 2,,, n i ij j j= i [2] che, in notazione matriciale compatta dà: Xy = b [3] dove X indica la matrice sottostante la [2] ed è, quindi: p2 p3 Λ pn p 2 p23 Λ p2n X n,n = p3 p32 Λ p3n Μ Μ Μ Λ Μ p n pn2 pn3 Λ y indica il vettore dei tassi di partecipazione diretta ed indiretta della capogruppo sulle n società (vettore delle incognite); b è il vettore dei termini noti (partecipazione dirette della capogruppo sulle varie società); gli altri elementi della matrice in parola sono di significato noto Indicando la matrice diagonale unitaria con I (6) e con P la matrice delle partecipazioni dirette pij, con i j, la matrice X si può scomporre in sottomatrici nel modo seguente: Xn,n = In,n Pn,n [4] (5) Sì tenga presente, tuttavia, che disposizioni legislative vietano la sottoscrizione reciproca di azioni, con diverso rigore a seconda dei Paesi (in alcuni sempre, in altri se esse superano una data percentuale del capitale sociale della società controllata), mentre non vieta la costituzione di partecipazioni circolari, che altro non sono se non una combinazione di partecipazioni indirette e reciproche (6) Matrice con elementi sulla diagonale principale pari a e con i restanti termini uguali a 0 Tavola Matrice dei rapporti di partecipazione diretta in un raggruppamento societario Partecipazione diretta di: su: S S 2 S 3 S n S S 2 S 3 S n p 2, p 3, p n, p,2 p 3,2 p n,2 p,3 p 2,3 p n,3 p,n p 2,n p 3,n Amministrazione & Finanza 2/2006 3

3 Bilancio Bilancio consolidato Ora, dalla [3] discende la seguente relazione: y= X b [5] e la [5], in virtù della [4], diviene: y= ( IP) b [6] La [6] dà la soluzione al problema in argomento, cioè le quote di interessenza complete (dirette ed indirette) della Capogruppo su ciascuna società Applicazione del metodo proposto per il calcolo delle partecipazioni complete Del metodo proposto si dà ora un applicazione, per consentire un apprendimento pratico delle fasi di calcolo e rendere effettivamente utilizzabile questo lavoro agli operativi ed ai contabili addetti alla stesura del bilancio consolidato Per facilitare l esposizione viene considerato un raggruppamento di poche società, ma non per questo esso è di struttura semplice, trattasi infatti di gruppo complesso (Tavola 2), contemplando esso partecipazioni reciproche e circolari Il metodo può essere comunque facile da applicare su raggruppamenti di qualsiasi dimensione La Tavola 2 rappresenta il diagramma di un raggruppamento di 6 società In esso sono rappresentate anche le quote degli azionisti Terzi (TERZI nel grafico) sulle società del raggruppamento (7) La Tavola 3 rappresenta la stessa struttura in forma di grafo (che evidenzia molto più chiaramente del diagramma i tipi di legami finanziari intercorrenti tra le diverse società, le partecipazioni reciproche (8) e circolari (9); S 0 indica la società Capogruppo) Fasi operative per il calcolo dei tassi di partecipazione completi in ambiente Excel Le fasi operative in cui si articola la procedura di calcolo sono semplici da implementare in ambiente Excel, utilizzando alcune funzioni di calcolo matriciale; queste sono di seguito descritte (7) Le frecce indicano la direzione verso cui è diretta la partecipazione I capitali delle società cui si riferiscono le partecipazioni sono fatti pari a (8) Tra le società S 9 e S 3 (9) Tra le società: S 4 S 0 S 6 e le società S 4 S 5 S 6 Tavola 2 Struttura di un raggruppamento societario complesso, con presenza di partecipazioni reciproche e circolari 4 Amministrazione & Finanza 2/2006

4 Bilancio consolidato Bilancio ) Si costruisce la matrice di input delle partecipazioni «dirette» (P 6,6 ) intercorrenti tra le varie società ed il vettore dei termini noti (b) (cioè, i tassi di partecipazione «diretta» della capogruppo sulle società del raggruppamento; si veda Tavola 2); 2) si ricava la matrice X 6,6 per sottrazione delle matrici (I 6,6 P 6,6 ), come indicato nella [4]; le due matrici interessate vanno previamente memorizzate sul foglio elettronico, tenendo presente che I 6,6 indica la matrice unitaria (avente gli elementi sulla diagonale principale pari a ed i restanti termini uguali a 0), di dimensioni 6 6 nella presente applicazione, mentre la matrice P 6,6 è quella riportata in Tavola 4; 3) ottenuta la X 6,6 si calcola la sua inversa (0), cioè la matrice X6,6 ; 4) a questo punto si moltiplica l inversa trovata per il vettore dei termini noti b (): X b Il vettore risultante dall ultima operazione dà la soluzione cercata (Tavola 5), cioè, i tassi di partecipazione «completi» (diretti ed indiretti) della capogruppo S 0 sulle sue società Il vettore dei «Terzi» (ai quali in Tavola 5 si attribuisce virtualmente la società S 7 ) è ottenuto per differenza del vettore precedente dal vettore unitario Risultati e conclusioni Come si è potuto vedere, il programma di calcolo dei tassi di interessenza del raggruppamento complesso è semplice da realizzare, trattandosi di effettuare poche operazioni sulle matrici, contemplate (0) Per ottenere l inversa di una matrice in ambiente Excel si danno i seguenti comandi: FUNZIONE (f x ); MATEMATI CHE E TRIG; MATR INVERSA (della matrice X 6,6 ) () Sempre in ambiente Excel si danno i seguenti comandi: FUNZIONE (f x ); MATEMATICHE E TRIG; MA TR PRODOTTO (della matrice X 6,6 per il vettore b 6 ) Tavola 3 Grafo di un raggruppamento societario complesso, con presenza di partecipazioni reciproche e circolari Amministrazione & Finanza 2/2006 5

5 Bilancio Bilancio consolidato peraltro dal normale software di base di qualsiasi elaboratore o personal computer Mutando successivamente, come spesso accade, la struttura del gruppo, sia in relazione al numero delle società, che all entità delle partecipazioni, è possibile pervenire immediatamente alle nuove quote di partecipazione cambiando solo i dati di input Infatti il programma, una volta messo a punto, ha validità generale e non necessita di modifica alcuna, per quanto complessa si possa presentare la nuova struttura Il calcolo delle quote di partecipazione reciproche e circolari è oggi di indubbia utilità, con riferimento sia alla determinazione delle interessenze finanziarie che alla costruzione del bilancio consolidato, strumento di analisi gestionale Questa materia e di viva attualità anche in Italia; infatti la CONSOB già dall 83 ha disposto che i Gruppi quotati in Borsa, la cui struttura è tale che solo il bilancio consolidato consente di comprenderne lo stato finanziario, hanno l obbligo di redigere e pubblicare i loro bilanci consolidati, dopo l approvazione delle società di revisione Tavola 5 Tassi di partecipazione completi (diretti ed indiretti) della Società Capogruppo e degli azionisti Terzi sulle società del raggruppamento Società S 0 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S9 S 0 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 Tassi della Capogruppo 0, , , , ,9793 0, , , , , , , ,9379 Tassi dei Terzi 0, ,0724 0,0345 0, , , ,0724 0,2000 0, , , ,3207 0,0862 Totale Tavola 4 Matrice dei rapporti di partecipazione diretta P 6,6 e vettore dei termini noti b Partecipazione diretta di: su: S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 termini noti Vettore b S 0,8,0 0,8,0 S 2 0,8 0,9 0,7 0,8,0 S 3 0,2 0,5 S 4 0,2 0,3,0 0,8 S 5 0,2 0,8 0,7 S 6 0, 0, 0 S 7 0 S 8 0 S 9 0,3 0 S 0 0,7 0,2 0 S 0 S 2 0,2 0 S 3 0 S 4 0,2 0, 0 S 5 0 S 6 0,2 0 6 Amministrazione & Finanza 2/2006

6 Bilancio consolidato Bilancio Attraverso questa direttiva è messo quindi a disposizione degli azionisti e del management uno strumento atto a comprendere il reale stato delle società di un raggruppamento Bibliografia Bibaut J, Les liaisons financières dans les groupes de societé, Serie speciale, n 3, Metra, Paris, 969 CENCA, Les groupes industriels francais face à la pratique de la consolidation Editions Libraire, SEF, Paris, 974 De Luca A, Le applicazioni dei metodi statistici alle analisi di mercato, F Angeli, 5a ediz, Milano, 2006 Pisoni P, Busso D, Il bilancio consolidato, Giuffrè, Milano, 2005 Sarcone S, I bilanci consolidati di gruppo, Istituto per l Enciclopedia della Banca e della Borsa, IPSOA, Milano, 98 Amministrazione & Finanza 2/2006 7