Compito di Meccanica del 16 settembre 2010

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1 COMPITO A Meccanica (4 ore): problemi 1,3,4 Per i corsi da 5 crediti: Meccanica Classica (3 ore): problemi 1 e 2 - Meccanica dei sistemi (3 ore): problemi 3 e 4 Problema 1: Su una piattaforma circolare orizzontale e appoggiato un blocchetto di massa m=500g a una distanza r=10cm dal centro di rotazione. Tra la piattaforma e il blocchetto c e attrito con coefficienti di attrito statico e dinamico pari a µ s =0.4 e µ d =0.3 rispettivamente. Il blocchetto è vincolato a muoversi lungo uno dei raggi della piattaforma, grazie a una guida metallica. L attrito tra blocchetto e guida è trascurabile. 1. Inizialmente la piattaforma ruota alla velocità angolare di ω=5rad/s e il blocchetto rimane fermo sulla piattaforma. Calcolare la forza di attrito tra blocchetto e piattaforma. 2. Successivamente la velocità angolare viene aumentata. Calcolare il valore minimo ω m per il quale il blocchetto comincia a muoversi rispetto alla piattaforma. 3. Per tale ω m, impostare l equazione del moto del blocchetto nel sistema di riferimento della piattaforma. 4. Infine, calcolare la distanza dal centro di rotazione raggiunta dal blocchetto dopo un tempo t=0,1s dall istante in cui comincia a muoversi (suggerimento: si tenga presente la funzione cosh(x) = ½ (e -x + e +x ) con le sue derivate) ω r Problema 2: La massa F in figura può muoversi sotto l azione di due molle, scivolando senza attrito sul piano orizzontale. Le molle, con costanti elastiche diverse K 1 e K 2, hanno entrambe lunghezza di riposo nulla. Calcolare: 1 - la posizione di equilibrio di F rispetto al punto A. 2 - X MIN, la minima distanza da A raggiunta dalla massa F, se F transita nel punto di equilibrio con velocità v il tempo impiegato da F per ritornare da X MIN al punto di equilibrio. Dati: m F =0.05 kg, K 1 = 2.5 N/m, K 2 = 4.0 N/m, L AB = 60. cm, v 0 = 2.0 m/s

2 Problema 3: Un ciclista si trova fermo su un pendio scabro che forma un angolo di 15 rispetto al piano orizzontale. Si schematizzi la bicicletta con un anello di raggio R = 35 cm e massa m =1.0 kg, con al centro dell anello tutta la massa (puntiforme) del ciclista, M =70 kg. 1) Si calcoli il momento τ 0 della coppia di forze (coppia motrice) che il ciclista applica alla ruota per rimanere fermo. 2) Se il coefficiente di attrito statico permette al ciclista di applicare una coppia motrice di momento τ 1=1.25 τ 0 senza che la ruota scivoli, calcolare con quale accelerazione a riesce a muoversi verso l alto. 3) Si calcolino in quest ultimo caso i lavori L R, L P, L C rispettivamente della reazione vincolare, della forza peso e delle forze muscolari del ciclista se questi risale lungo il pendio di un tratto d=10m dalla posizione in cui era fermo. Problema 4: Due corpi puntiformi di massa m 1 e m 2 vengono posti lungo il tratto BC di un bilancino filiforme giacente in un piano verticale ed incernierato nel punto A (vedi figura). Definendo O il g A punto giacente sul segmento BC ed equidistante dai suoi estremi, il bilancino, di massa m b, è simmetrico rispetto all'asse AO, e pertanto all equilibrio, senza i due corpi m 1 ed m 2, si disporrebbe con il tratto BC orizzontale. Sia h la lunghezza del segmento AO. h Determinare: 1. a che distanza d 2 dal punto O deve essere posto m 2 G affinché all equilibrio il segmento AO sia verticale, sapendo che d 1 = 0.8 m B m 1 O m 2 C Si assuma ora che m 2 è posto alla distanza d 2 calcolata alla domanda precedente. Supponendo che il momento d 1 d 2 d'inerzia del solo bilancino rispetto a un asse â orizzontale passante per A (e normale al piano ABC) sia I b e che il centro di massa del solo bilancino sia nel punto G, calcolare: 2. la distanza dal punto A del centro di massa dell intero sistema composto dal bilancino e dalle due masse 3. il momento d'inerzia dell'intero sistema rispetto all'asse â; 4. il periodo delle piccole oscillazioni dell'intero sistema rispetto all'asse â. Dati: m 1 = 0.60 kg, m 2 = 7/3 m 1, m b = 0.50 kg, h = 4.0 m, I b = 3.0 kg m 2, AG = 3.0 m

3 COMPITO B Meccanica (4 ore): problemi 1,3,4 Per i corsi da 5 crediti: Meccanica Classica (3 ore): problemi 1 e 2 - Meccanica dei sistemi (3 ore): problemi 3 e 4 Problema 1: Su una piattaforma circolare orizzontale e appoggiato un blocchetto di massa m=400g a una distanza r=10cm dal centro di rotazione. Tra la piattaforma e il blocchetto c e attrito con coefficienti di attrito statico e dinamico pari a µ s =0.50 e µ d =0.35 rispettivamente. Il blocchetto è vincolato a muoversi lungo uno dei raggi della piattaforma, grazie a una guida metallica. L attrito tra blocchetto e guida è trascurabile. 1. Inizialmente la piattaforma ruota alla velocità angolare di ω=4.0rad/s e il blocchetto rimane fermo sulla piattaforma. Calcolare la forza di attrito tra blocchetto e piattaforma. 2. Successivamente la velocità angolare viene aumentata. Calcolare il valore minimo ω m per il quale il blocchetto comincia a muoversi rispetto alla piattaforma. 3. Per tale ω m, impostare l equazione del moto del blocchetto nel sistema di riferimento della piattaforma. 4. Infine, calcolare la distanza dal centro di rotazione raggiunta dal blocchetto dopo un tempo t=0,2s dall istante in cui comincia a muoversi (suggerimento: si tenga presente la funzione cosh(x) = ½ (e -x + e +x ) con le sue derivate) Problema 2: La massa F in figura può muoversi sotto l azione di due molle, scivolando senza attrito sul piano orizzontale. Le molle, con costanti elastiche diverse K 1 e K 2, hanno entrambe lunghezza di riposo nulla. Calcolare: 1 - la posizione di equilibrio della massa F rispetto al punto B. 2 - D MIN, la minima distanza da B raggiunta dalla massa F, se F transita nel punto di equilibrio con velocità v il tempo che intercorre fra due transiti successivi di F nel punto di equilibrio. Dati: m F =0.06 kg, K 1 = 2.5 N/m, K 2 = 3.8 N/m, L AB = 60. cm, v 0 = 1.8 m/s

4 Problema 3: Un ciclista si trova fermo su un pendio scabro che forma un angolo di 15 rispetto al piano orizzontale. Si schematizzi la bicicletta con un anello di raggio R=50 cm e massa m=2.0 kg, con al centro dell anello tutta la massa (puntiforme) del ciclista, M = 70 kg. 1) Si calcoli il momento τ 0 della coppia di forze (coppia motrice) che il ciclista applica alla ruota per rimanere fermo. 2) Se il coefficiente di attrito statico permette al ciclista di applicare una coppia motrice di momento τ 1 =1.3 τ 0 senza che la ruota scivoli, calcolare con quale accelerazione a riesce a muoversi verso l alto. 3) Si calcolino in quest ultimo caso i lavori L R, L P, L C rispettivamente della reazione vincolare, della forza peso e delle forze muscolari del ciclista se questi risale lungo il pendio di un tratto d=15m dalla posizione in cui era fermo. Problema 4: Due corpi puntiformi di massa m 1 e m 2 vengono posti lungo il tratto BC di un bilancino filiforme giacente in un piano verticale ed incernierato nel punto A (vedi figura). Definendo O il punto giacente sul g A segmento BC ed equidistante dai suoi estremi, il bilancino, di massa m b, è simmetrico rispetto all'asse AO, e pertanto all equilibrio, senza i due corpi m 1 ed m 2, si disporrebbe con il tratto BC orizzontale. Sia h la lunghezza del segmento AO. Determinare: h 1. a che distanza d 1 dal punto O deve essere posto m 1 affinché all equilibrio il segmento AO sia verticale, sapendo che d 2 = 0.40 m Si assuma ora che m 1 è posto alla distanza d 1 calcolata alla B m 1 G O m 2 C domanda precedente. Supponendo che il momento d'inerzia del solo bilancino rispetto a un asse â orizzontale passante per A d 1 d 2 (e normale al piano ABC) sia I b e che il centro di massa del solo bilancino sia nel punto G, calcolare: 2. la distanza dal punto A del centro di massa dell intero sistema composto dal bilancino e dalle due masse 3. il momento d'inerzia dell'intero sistema rispetto all'asse â; 4. il periodo delle piccole oscillazioni dell'intero sistema rispetto all'asse â. Dati: m 1 = 0.70 kg, m 2 = 1.50 kg, m b = 0.50 kg, h = 4.2 m, I b = 3.2 kg m 2, AG = 3.1 m

5 Soluzioni A Problema 1 1. F(attrito) = m ω 2 r = 1.25 N 2. m ω m 2 r = µ s m g, che dà ω m = 6.26 rad/sec 3. m d 2 r/dt 2 = m ω m 2 r - µ d m g 4. Soluzione dell equazione al punto 3: r(t) = 2.48 cosh(ω m t) (cm), che dà r (t = 0.1) = cm Problema 2 1. K 1 d 1 = K 2 d 2 e d 1 + d 2 = AB, d 1 = 0.37 m e d 2 = 0.23 m 2. E (X equilibrio ) = E (X MIN ), con E (X equilibrio ) = ½ mv o 2 + ½ K 1 d ½ K 2 d 2 2 e E(X MIN )= =½ K 1 X MIN 2 + ½ K 2 (L AB -X MIN ) 2. Risolvendo rispetto a X MIN si trova X MIN = m 3. L equazione per F è: m d 2 x/dt 2 = -K 1 x + K 2 (L AB -x) = -(K 1 +K 2 )x +K 2 L AB. F dunque oscilla con periodo T = 2π (m/(k 1 +K 2 )) ½. Il percorso richiede un quarto di periodo, dunque T/4 = 0.14 sec Problema 3 1. τ 0 = (M + m) g R sin15 = 63.1 Nm 2. Rispetto al punto di contatto si ha: I α = τ 1 τ 0, con I = (M + 2m) R 2 e a = αr, che dà a = 0.63 m/sec 2 3. L R = 0 ; L P = - (M + m) g d sin15 = J ; L C = τ 1 φ = τ 1 (d/r) = 2254 J Problema 4 1. Per l equilibrio m 1 d 1 = m 2 d 2, quindi d 2 = 0.34 m 2. X CM = ((m 1 + m 2 ) h + m b AG) / (m 1 + m 2 + m b ) = 3.80 m 3. I = I b + m 1 (h 2 + d 1 2 ) + m 2 (h 2 + d 2 2 ) = 35.5 kg m 2 4. ω = ((m 1 + m 2 + m b ) g X CM / I ) ½ = 1.62 sec -1, T = 2π / ω = 3.87 sec

6 Soluzioni B Problema 1 1. F(attrito) = m ω 2 r = 0.64 N 2. m ω m 2 r = µ s m g, che dà ω m = 7.00 rad/sec 3. m d 2 r/dt 2 = m ω m 2 r - µ d m g 4. Soluzione dell equazione al punto 3: r(t) = 3.00 cosh(ω m t) (cm), che dà r (t = 0.2) = cm Problema 2 1. K 1 d 1 = K 2 d 2 e d 1 + d 2 = AB, d 1 = 0.36 m e d 2 = 0.24 m 2. E (X equilibrio ) = E (D MIN ), con E (X equilibrio ) = ½ mv o 2 + ½ K 1 d ½ K 2 d 2 2 e E(X MIN )= =½ K 1 (L AB -D MIN ) 2 + ½ K 2 D MIN 2. Risolvendo rispetto a D MIN si trova D MIN = m 3. L equazione per F è: m d 2 x/dt 2 = -K 1 x + K 2 (L AB -x) = -(K 1 +K 2 )x +K 2 L AB. F dunque oscilla con periodo T = 2π (m/(k 1 +K 2 )) ½. Il percorso richiede mezzo periodo, dunque T/2 = 0.31 sec Problema 3 1. τ 0 = (M + m) g R sin15 = 91.4 Nm 2. Rispetto al punto di contatto si ha: I α = τ 1 τ 0, con I = (M + 2m) R 2 e a = αr, che dà a = 0.74 m/sec 2 3. L R = 0 ; L P = - (M + m) g d sin15 = J ; L C = τ 1 φ = τ 1 (d/r) = 3564 J Problema 4 1. Per l equilibrio m 1 d 1 = m 2 d 2, quindi d 1 = 0.86 m 2. X CM = ((m 1 + m 2 ) h + m b AG) / (m 1 + m 2 + m b ) = 4.00 m 3. I = I b + m 1 (h 2 + d 1 2 ) + m 2 (h 2 + d 2 2 ) = 42.8 kg m 2 4. ω = ( ((m 1 + m 2 + m b ) g X CM ) / I ) ½ = 1.57 sec -1, T = 2π / ω = 3.99 sec

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