I NUMERI. Competenze Conoscenze Abilità/capacità Livello minimo

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1 I NUMERI Competenze Conoscenze Abilità/capacità Livello minimo Calcoloin N,Z,Q R Utilizzare letecniche dicalcoloaritmeticoe algebricoperlarisoluzionediproblemi. Utilizzareconsapevolmentelacalcolatricee glistrumenti informatici (Derive5,Excel, Geogebra). GliinsieminumericiN,Z, Q,R. Lacorrispondenzatranumeri epuntisularetaorientata, introduzioneintuitivadei numerireali,ladefinizione dele quatrooperazioniin N,Z,Q,l operazionedi elevamentoapotenza,le proprietàdelepotenze. M etodidiapprossimazionedi unnumeroreale. Erroridi approssimazioneeloro propagazioneespressioni algebriche. Confrontarenumerie operareconessiinn,z,q. Approssimareunnumero razionaleeunnumero irrazionale. Convertirefrazioniin numeridecimalie viceversa,svolgere espressioninumeriche contenentianchele proprietàdelepotenze. Rappresentareinumeri sularetanumerica. Risolvereproblemiditipo numerico Stabilirel insiemedi appartenenzadiun numero. Rappresentarei numeri sulareta numerica,convertire frazioniinnumeri decimalieviceversa. Ilsignificatodi potenza,leproprietà delepotenze. Svolgere espressioninumeriche semplicicontenenti anchelepotenze. Risolveresemplici problemiditipo numerico 1

2 PROBLEM A TratodallibrodiMalbaTahan L uomochesapevacontare AdrianoSalaniEditore Trefratelistavanolitigandoperlaspartizionedel ereditàlasciatadalpadre: sitratavadi suddividere35 cammelisecondoleindicazionidelvecchio: alprimogenitolametàdeglianimali(17 cammeliemezzo), alsecondogenitounterzo(piùdi11 cammelimamenodi12), alterzogenitosolounnono(piùdi3 cammelimamenodi4). L abileberemizintervenneerisolseladisputainquestomodo: aggiunseilpropriocammeloai cammelideitrefrateliequindieffetuòlaripartizionedei36 animali: alprimogenitoandòlametàdeglianimali(18 cammeli), alsecondogenitounterzo(12 cammeli), alterzogenitosolounnono(4 cammeli). Ifratelifuronocosìassaisoddisfatidelapropriapartedieredità: aciascunodiessispetavapiùdi quantopensasse. Beremizsiripreseilpropriocammeloe,poichéneavanzavaancorauno,lopresecomecompenso peraverrisoltoconsoddisfazioneditutiilcomplicatoproblemadel eredità. Comeèpossibiletutociò? Discussioneinclasse. LABORATORIO 1 L unitàfrazionaria L usodelefrazionieragiànotoaltempodegliegiziederalegatoessenzialmentealproblemadela misurazionedeiterreniperridefinireiconfinideivaricampiinondatidalepienedelnilo. Ognifrazionevenivatrasformatanelasommadialtrefrazionisempreconnumeratore1: cioèin sommadiunitàfrazionarie. Esempio: = + ilcalcoloeramoltocomplicato! Quandoleggiamo 2 1 cichiediamosubitodichecosa? Infati lafrazione 2 1 acquistasignificato seèriferitaadunaprecisagrandezzaecichiediamoqualèl unitàdimisurachevogliamodividere induepartiuguali. Osserviamolaseguentetavola: 2

3 Tavola delle frazioni : le unità frazionarie unità 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/4 1/4 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Selezioniamosoloalcunerighe. unità 1/2 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 Osserviamoche: Osservandolatabela ricaviamolefrazioniequivalenti = = = Sempreconlatabelafacciamolesommedifrazioni,infati: = 4 3 perché è = 4 3 Nascelaregoladelasommadifrazionimedianteilminimocomunemultiplo. 3

4 Problemi di base P1) Determinarei 4 3 diunagrandezza. Significadivideretalegrandezza(cherappresentailnostrointero) inquatro partiuguali (denominatore: dichiarainquantepartiugualidivido)eprenderne3 parti(numeratore). Classe 2 media Procedimento : Sedevocalcolare i 4 3 di 64 eseguo: 64:4 =16 (cheè 4 1 del intero) 163 = 48 (essendo 4 3 <1 48 < 64!) 3 Classe 3 media o 1 superiore : Procedimento : x = 64 = 48 4 P2) Determinarei 4 5 diunagrandezza. Classe 2 media Procedimento: Sedevocalcolare i 4 5 di64 eseguo: 64:4 =16 (cheè 4 1 del intero) 165 = 80 (essendo4 5 >1 alora 80>64!) Classe 3 media o 1 superiore Procedimento : x = = 80 P3)Giannidice che100 rappresentano 4 1 delasommachehaintasca. Quantopossiede? Ha piùomenodi100? Classe 2 media : (Lasommachehaintascaèl unitàfrazionaria,valeadirequatrovolte100 ). Procedimento : = 400 Giannipossiede400 Classe 3 media o 1 superiore Procedimento Indicocon xquelochehaintascapercui 100= 4 1 x (2 principiodiequiv.) =x x = P4)M arcopossiede162 figurinecherappresentanoi diquelechepossiedepaolo. 5 QuantenepossiedePaolo?. Classe 2 media Procedimento: 162 :18 = 9 (cioè 5 1 diciòchehapaolo) 9 5 = 45 figurine(cioè 5 5,l unità) Classe 3 media o 1 superiore Procedimento : 4

5 18 x = n figurinedipaolo. 162 = x 5 (2 principiodiequiv. ) = 18x (2 principiodiequiv.)x = = 45. Paolopossiede45 figurine. 18 P5)Unpadreeisuoiquatrofiglisidividonolacifra guadagnataalafinediunalungagiornata dilavoro. Alpadrespeta 3 1 delasommaelaparterimanentevienedivisatraisuoifigliinparti uguali.qualefrazionedelasommaspetaaciascunfiglio? A) 2 1 B) 3 1 C) 4 1 D) Scrivol espressionecherisolveilproblema 1 : 4. 3 Comemodelodiequazione possiamoscrivere richiesta. 1 1 = 4x indicandoconx lafrazione 3 Iseguenti laboratori sono stati in parte rielaborati partendo dalle due attività proposte dal corso di formazione mat@ bel : Frazioni in movimento e Dalla frazione al numero decimale. Laboratorio 2 Le frazioni e le loro operazioni Descrizione dell attività M odello Utilizzareunmodelodasuddividereinparticongruenti: unameladaaffetareconiltagliamelachesuddividein8 particongruenti, uncartoncinodiformaretangolaredasuddividereinretangolinicongruenti, un cerchiodasuddividereinsetoricongruenti. Sipartedaunasuddivisionein 8 partidelmodeloscelto. 5

6 Figura 1: Un cerchio suddiviso in settori congruenti. Rappresentazione sulla retta e individuazione delle frazioni equivalenti Sirappresentanosularetaorientata: 8 1 ;8 2 ;8 3 finoa8 8 =1. Siindividuanolefrazioniproprieequelaapparente. Siindividuanolefrazioniequivalenti: Somma di frazioni Sommadifrazionidaeseguireconilmodelo = = ; = ; = = ; + = ; + = Frazioni improprie Siprocedeaggiungendounaltromodelougualesempresuddivisoin8 parti. Siosservanoesi 16 rappresentanosularetalefrazioniimpropriecompresetra1 e2 e lafrazioneapparente. 8 Somma di frazioni = ; 1 + = ; 1 + =. 8 2 Osservarechesipuò calcolarecondenominatore8 maanche4 o2 echeconilmcm inumerial numeratoresonoipiùpiccoli =. 4 8 Sottrazione di frazioni Sotrazionedifrazionidaeseguireconilmodelo (lasotrazionepuòessereintesacometoglieredal minuendoinpossessodiunalunnoilsotraendoconsegnandoloadunaltro). 6

7 = ; 2 = Ilcasoincuisihaunnumeronegativosipuòconsiderarecomeundebito = 8 8 Prodotto di frazioni Prodotodifrazionidaeseguireconilmodelo 1 2 = (faccioildoppiodiunmezzo) (facciolametàdi2) 2 confrontoiduerisultati = (facciolametàdi 4 1 )Confrontareilrisultatocon = 3 4 (prendo 4 3 dividoin3 eprendo2 mucchieti)confrontareilrisultatocon = 2 4 (laprimafrazioneèimpropria,prendo 4 3 dividoin2 eprendo5 mucchietiugualiaqueli otenuti). Confrontareilrisultatocon 4 3 Frazioni decimali Sisuddivideunnuovomodeloin10parti. Rappresentazione sulla retta Sirappresentanosularetaorientata: ;10 ;10 finoa10 =1. 10 Particolaresignificatoassumelasuddivisionedel intervalounitarioindiecipartiperchépermete dieffetuareuncolegamentoconlascrituraposizionaledecimaleelarappresentazionedeinumeri decimalisulareta. Osservare la corrispondenza tra le frazioniaventicome denominatore 10,base dinumerazione usata,ed inumeridecimaliaventiuna sola cifra dopo la virgola,verificando,eventualmente, l equivalenzaeffetuandoladivisionetrailnumeratoreeildenominatoreditalifrazioni. 7

8 Ingrandendo il primo decimo e suddividendo questo intervalo in successive dieci parti,si oterrannoaltridiecipuntiacuisaprannoatribuireduescriturediverse: 00,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0, Ripetendoildiscorsosipotrannoeffetuareconsiderazionisulconcetodidensitàdelareta numerica. Riconoscimento di frazioni equivalenti Calcolareilquozientefrailnumeratoreeildenominatoredelefrazioni = ; = ; = Esistonofrazioniapparentementediversemaaventilostessopuntocorrispondentesulareta. 8

9 Rappresentazione sulla retta numerica di frazioni di unità metodo grafico LaretaAB elaretaa B sonoparalele,cosìcomelaretacb elaretac B quindiitriangoli ABC e A B C sonosimili;dalfatochea C =1discendeilmetodoperlarappresentazionedele frazionidel unitàsularetanumerica. Inassenzadelconcetodisimilitudinedifigurepiane,questoeserciziopuòesseresomministrato senzadimostrazione,comestimoloal osservazioneecomeeserciziodidisegnogeometrico. Figura 2: M etodo grafico perrappresentare sulla retta numerica le frazioni di unità 9

10 ESERCIZIDIBASE con DERIVE 6 10

11 Deleseguentiespressionicomparesoloilrisultato 11

12 Laboratorio 3 Dalla frazione al numero decimale Descrizione dell attività Ilpercorso procede per mezzo di domande a le quali si cercheràdi rispondere usando gli strumenti (concettuali e di calcolo)a disposizione degli studenti.si puòsuddividere la classe in piùgruppi di lavoro e far consegnare la risposta scritta ad ogni gruppo suun foglio per poi commentare insieme i risultati (si può eventualmente assegnare un punteggio ad ogni gruppo per ciascuna risposta corretta). Domanda 1: Come si trasforma la frazione 8 3 in numero decimale? Commento: Sipuòfarnotarecheilrisultato0,375 èunnumerodecimalelimitato. *** Domanda 2: Quale numero decimale si puòassociare a 12 7? Commento: (numero decimaleperiodico)seun risultato hamoltecifredecimali,quantecifresi devono scrivere? Sipossono anticipare iconcetidiapprossimazione e dirisultato esatto (eventualmente indicato con la frazione stessa),facendo notare quando sifa uso del uno o del altro. *** Domanda 3: Esprimere come frazione il numero decimale limitato 3,14 Commento: unnumerodecimalelimitatoèespressionediunafrazionechehaperdenominatoreuna potenzadi10. Tratutelefrazioniequivalenticorrispondentia3,14 quelaconiterminiminimiè 157.Siosserverà che la riduzione è otenuta dividendo numeratore edenominatore perilloro 50 MCD. *** Domanda 4: completare la tabella che segue eseguendo i calcoli a mano. n m Numerodecimale corrispondentea m n. Ildenominatoreha unfatore diversoda2 eda5? Vero Falso Ilnumerodecimaleè limitato? Vero Falso 7 20x3 = 60 7 = x11 = = = = 25 12

13 =.. 37 *** Domanda 5: Osservando la tabella,in quali condizioni una frazione ridotta ai minimi termini èespressa da un numero decimale limitato? Commento E giàstatoricordatocheun numero decimale limitato èespressione di una frazione che ha per denominatore una potenza di 10. Sirichiameràesplicitamentel unicitàde la scomposizione in fattori primi deinumerinaturali, si faràosservarechedaquestedueaffermazionisiricavalaseguente: un numero decimale limitato è espresso da una frazione ridotta ai minimi termini il cui denominatore contiene soltanto come fattori primi il2o il5(o entrambi),unici fattori primi de la base 10. Infati, il denominatore dela frazione ridota deve essere necessariamente un divisore di un'opportunapotenzadi10,denominatoredelafrazionechesiotienediretamentedalnumero decimalelimitato. Sipotrà anche esprimere questa proprietà nela forma contronominale che forse risponde più diretamentealadomandaposta: se ildenominatore di una frazione ridotta ai minimi termini contiene come fattore primo un numero diverso da 2e da 5,a lora ilnumero decimale corrispondente non èlimitato. *** L insegnantepuòproporreun'ativitàconl usodiunfoglioeletronicoodiunacalcolatriceincui fareinserirevariefrazioninelatabela. Sipossonopoimetereinsiemeirisultatideivarigruppi perfareconsiderazioniepergiungerealarispostadeladomanda7. Domanda 6: Esprimere una frazione come numero decimale,dopo averla ridotta ai minimi termini,e poi scomporne il denominatore in fattori evidenziandone la potenza di 2,la potenza di 5e l eventuale altro fattore primo con 10. Frazione Frazioneridotaai minimitermini n. decimale Scomposizioneinfatori deldenominatore 13

14 Domanda 7: Che relazione c ètra il denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini e il numero di cifre della parte frazionaria della sua rappresentazione decimale,quando questa èlimitata? Commento: Sifarà osservare che inumeridecimalisono limitatidato che corrispondono a frazioniicui denominatorihannosolo2 o5 comefatoriprimi. Ilnumero dele cifre dela parte frazionaria delnumero decimale è uguale almaggiore tra gli esponentidelepotenzedi2 edi5 nelascomposizionedeldenominatore. *** Domanda 8:Quando termina una divisione?come sono i resti calcolati nel procedimento della divisione rispetto al divisore?infine trasformare in decimale 7 1. Commento: In una divisione tra due numeri naturali si possono presentare solo due casi: 1. sitrovailresto0: inquestocasoilprocedimentotermina,ilnumerodecimaleèlimitato, 2. siripeteunrestogiàtrovato,infatiirestipossibilisonoinnumerofinito. Inquestocasoil procedimentodeladivisioneèciclico(operiodico). *** Larispostaaladomanda5 ciharicordatochese ildenominatore di una frazione ridotta ai minimi termini contiene un fattore primo diverso da 2e da 5,a lora ilnumero decimale corrispondente non èlimitato. Domanda 9: Quando la frazione ridotta ai minimi termini ha al denominatore un fattore diverso da 2e da 5,com èil numero decimale che le corrisponde? Commento: ad una frazione ridotta ai minimi termini,ilcui denominatore contenga fattori primi rispetto a 10,corrisponde un numero decimale periodico.ilnumero di cifre delperiodo èminore deldenominatore de la frazione data. *** Domanda 10: Calcolare il numero decimale corrispondente alle seguenti frazioni ,17,49, Commento: M entreperleprimedueilcompitoèancorafatibile,anchesepiutostonoioso(laprimaha6 cifre diperiodo,lasecondaneha16),leultimeduesonoimproponibiliperuncalcolomanuale. Infatila terzafrazionegeneraunnumerodecimaleconunperiododi42 cifreelaquartaunodi508 cifre. L insegnantemeteràin evidenzachel algoritmochecalcolatutelecifredelarappresentazione decimalediunafrazioneridotahatermineneiduecasi: - setrovacomeresto0: inquestocasoilnumerodecimaleèlimitato; - setrovanuovamenteilresto con cuihainizio ilperiodo. In questo caso occorrestabilire quandoiniziailperiodoperfissareilrestochesaràusatocomeconfronto. *** 14

15 Domanda 11: Data una frazione ridotta ai minimi termini,quante sono le cifre della sua rappresentazione decimale? Commento A questadomandasiègiàrispostoneladomanda5 perinumeridecimalilimitati. Neladomanda 7 siètrovatounlimiteperilnumerodelecifredelperiododiunnumerodecimaleilimitato: tale numero è minore deldenominatore dela frazione ridota aiminimiterminiche lo genera. Siricordachelapartedicifredopola virgola cheprecedeilperiodosichiamaantiperiodo. Il numero dicifre del antiperiodo è dato dala stessa regola che è stata descrita perle cifre del numerodecimalelimitato: ilnumero de le cifre de l antiperiodo èuguale almaggiore tra gli esponenti de le potenze di 2e di 5ne la scomposizione deldenominatore. *** Verifica 1) Scegliendo come unitàgrafica un segmento,rappresenta le frazioni seguenti ; ; ; ; ; ) Scrivi quattro frazioni equivalenti a ciascuna de le seguenti,calcola il numero decimale corrispondente approssimando ai centesimi) e rappresentale sula retta numerica: ; ; ; )Perciascuncerchiocoloralaparteindicata Cinquedodicesimi Trequarti Dueterzi Unmezzo Cinquesesti Undicidodicesimi 4)Scrivilefrazionichecorrispondonoaipuntiindicatidalefreccenelaseguenteretanumerica: 5)Dividendoopportunamenteilsegmentounitario,individuasularetanumericaipunticorrispondentiaiseguenti valorinumerici: ,25;0,5 ; 0,3; 1,6;0,1; 0,6; 1,4;1,2; ;4 ;2 ;10 ;10;5 ;4 ;5 ;5 4 15

16 6) Completa come ne l esempio. Frazione Retanumerica Rappresentazione Numerodecimale : 2 = 05, : = 3 : = 8 : = 0, 75 : = 5 : = 2 : = 1 3, : = : = 16

17 ....:..= 7) Risolvere la seguente espressione utilizzando: a)inumeridecimaliperiodici approssimatialaprimacifra b)inumeridecimaliperiodiciapprossimatialasecondacifra c)trasformandoinumeridecimali in frazioni. Confrontareirisultatiotenuti,cosasenepuòdedurre? 0, , 0, 75 06, 0, , , 2 3, Verifica comune (classe2 media e1 superiore) Approssimazionediunnumeroreale Dateleespressioni: 1) [ 1 3, 05, + 1, 16] 05, + [ 2, , ] 0, 25. 2) [(,,,, ). ] (,, ) Risolviciascunaespressioneintremodidiversi: a) calcola ilrisultatoutilizzandosolo lanotazione decimaleeapprossimando i numeriperiodicialasecondacifradecimalenelprimopassaggio, nei passaggisuccessivinonfareulterioriapprossimazioni. b) calcola ilrisultatoutilizzandosololanotazione decimaleapprossimando i numeriperiodicialaterzacifradecimalenelprimopassaggio, nei passaggisuccessivinonfareulterioriapprossimazioni. c) calcola ilrisultatodopoaveretrasformatociascunnumerodecimale nelafrazionegeneratricecorrispondente; d) Diciascunaespressioneconfrontailrisultatootenutoconilmetodoa) ilrisultato otenutoconilmetodob) infineilrisultatootenutoconilmetodoc) checosaosservi?giustificalatuarisposta. 17

18 RICHIAM ITEORICI Frazione : ilterminehaoriginedallatinofractio chederivadafractus (part. pas. difrangere)che significaspezzare,romperedividereinparti;èopportunorichiamaresempreil significato e l etimologia deleparoleusate. 0 sappiamocheleoperazionidiaddizioneemoltiplicazionesonooperazioni interne: cioèdatiduenumeri a,b N aloraa+b N eab N. In N ={ 1;2; 3;... } Ladivisione traduenumerinaturali a eb inveceèinterna solose il dividendo a èmultiplo del divisore b ( 0) aloraesiste q taleche a = bq (q sidicequozienteesatooquoto) Sea= 6 eb=2 alora q= a:b= 6:2 = 3 perché23 = 6 Sea= 7 eb= 2 alora 7 : 2 nonsipuòeseguireperchénon esiste q N taleche7= 2q Definizione : Sidicefrazione b a ilquoziente diduenumerinaturaliaebcon b0 (ilnumeratore a èildividendo,ildenominatoreb èildivisore( 0) a 6 Sea èmultiplo di b lafrazione èapparente èrappresentaunnumero intero ( = 2 ) b 3 Sea= botengol unità b a = 1 Sea non èmultiplo di b : a lafrazione è propria se a< b edeseguendoladivisionesiotieneunnumerodecimalecon b laparteintera = 0, quindi < 1 a lafrazione èimpropriasea>b edeseguendoladivisioneotengounnumerodecimalecon b parteintera >1 Sea nonèmultiplodib alora q sichiamaquozienteapprossimatocioèq èilpiùgrande numeronaturalechemoltiplicatoperb risulta a a:b = q con resto r ossia a = bq +r ossia r= a -bq NB.E importantefarcalcolareil resto (almenoognitanto)comedifferenza tra ildividendo eil prodotto del divisore peril quoziente approssimato enonfarlocalcolare solomentalmente. Cosìsirinforzal algoritmodeladivisionecomesotrazionisuccessive,metodo utilizzatoperla divisionetrapolinomi. NB Altraosservazioneimportante!!!!(chevieneutilizzataspessoinalgebra) (èverochelefrazioni godono della proprietà invariantiva : possomoltiplicare o dividere numeratore e denominatore perunostessonumerodiversodazeroeilquoziente non cambia, macambia il resto cherisultaanch essomoltiplicatoodivisoperlostessonumero: Esempio: = = ma 5:3 daq=1 er=2 ; 10:6 da q=1 mar= 4 15:9 daq= 1 mar= Cisonoquindiinfinitefrazioniequivalenti = = =

19 PossiamochiamareNumero Razionale Assoluto ogniclassedifrazioniequivalenti epossiamo considerarequelaridotaaiminimitermini,cioè 3 5,ilrappresentantedelaclasse Q a L insiemeditutiinumeri razionali assoluti si indica con Q a. Perché la lettera Q? Perché Q è l iniziale della parola quoziente, cioè di tutti i numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione ) (la parola razionale deriva dal latino ratio rationis che ha molti significati fra i quali: calcolo o quoto tra due numeri; il ragioniere è,non solo una persona che ragiona come tutti noi, ma è colui che tiene la contabilità di una ditta, cioè fa i calcoli. La parola razionamento di viveri significa dividere le provviste in parti. Anche in inglese il termine rapporto è espresso dalla parola ratio come si evince dall esempio seguente. Ecco un quesito tratto da (USA University of North Carolina,Western Region State Mathematics Finals 1999) 19

20 Dalla frazione al numero decimale Per trasformare una frazione in un numero decimale, basta eseguire la divisione tra numeratore e denominatore.e opportuno far eseguire la divisione tradizionale!!!(almeno di tanto in tanto) 23 5 = 23 : 5 = 4,6 = = 2 : 3 = 0, = 0,6 4 5 = 4 : 5 = 0,8 = 8 10, 9 2 = 9 : 2 = 4,5 = 45 10, = 2, , = 1,05 = , 7 5 = 1,4 = Avrete osservato che le frazioni il cui denominatore è composto solo dai fattori 2o 5o da entrambi si trasformano in numeri decimali limitati; questi ultimi a loro volta sono equivalenti a frazioni decimali cioè a frazioni con a denominatore una potenza di 10. Se il denominatore contiene anche altri fattori, le frazioni si trasformano in un numero decimale periodico semplice o misto. 20

21 Dalla frazione alla frazione decimale Iseguenti esempi mostrano come è possibile trasformare una frazione avente a denominatore solo fattori 2 e 5 in una frazione decimale. Come si vede, è sufficiente moltiplicare il numeratore e il denominatore con le potenze di 2 e di 5. necessarie a formare una potenza di 10 a denominatore = = , = = , 7 8 = = = 3 10, = = = Dalla frazione decimale al numero decimale Esegui le divisioni: 8 10 ; Dal numero decimale alla frazione decimale u d , 3 = (1+0,3) = 1+ = + = = da u d c ,53 = = + + = c mm 2,00 d 3 u = = =

22 REGOLA Dal numero decimale limitato alla frazione generatrice La frazione generatrice di un numero decimale limitato si determina moltiplicando il numero per la n 10 frazione = 1 n, dove n indica il numero delle cifre decimali. 10 Esempio: 2, ,25 = =. La frazione generatrice di un numero decimale finito si ottiene quindi scrivendo a numeratore il numero senza virgola e a denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Applichiamo la regola appena descritta per determinare la frazione generatrice di 2,25, si ha: 225 2,25 = Riducendo ai minimi termini: 2,25 =. 4 Ricorda che per moltiplicare un numero decimale per una potenza di 10 basta spostare la virgola verso destra di tanti posti quanti ne indica l esponente. Esercizi Trasforma i seguenti numeri decimali finiti in frazioni: a) 15,6 b) 0,85 c) 0,028 d) 3,375 e) 0, Soluzioni: a) b) c) d) e) a) 2,53 b) 7,4 c) 15,75 d) 340,9 e) 0, Soluzioni: a) b) c) d) e)

23 PROBLEM I Ottenere la frazione generatrice del numero decimale periodico 7, 2. Se si moltiplica 7,2 = 7, per 10 si ottiene 72, 2 = 72, La differenza 72,2 7,2 = 72, , genera il numero 65, privo di parte decimale, che rappresenta 10 1 = 9 volte il periodico assegnato. 7, 2 è pertanto ottenuto dalla frazione Trasformare il decimale periodico 1,082 in frazione. Si moltiplica 1,082 = 1, prima per 10 ottenendo 10,82 = 10, e poi per 1000 ottenendo 1082,82 = 1082, La differenza 1082,82 10,82 = 1082, , è il numero intero 1072, che rappresenta = 990 volte il periodico dato ,082 è dunque generato dalla frazione. 990 REGOLA Dal numero decimale periodico alla frazione generatrice La frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene scrivendo a numeratore la differenza fra il numero senza virgola e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. Esercizi: Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali periodici: a) 0,56 b) 23,3 c) 0,72 d) 2,06 e) 0,916. Soluzioni: a) b) c) d) e) a) 0,2 b) 5, 23 c) 0,293 d) 1,97 e) 1,416. Soluzioni: a) 2 9 b) c) d) e)

24 Dopo aver stabilito il tipo di decimale, trova la frazione generatrice dei numeri scritti di seguito. a) 0,015 b) 3,85 c) 7,24 d) 93,81 e) 0,2305. Soluzioni: a) b) c) d) e) a) 2,84 b) 0,134 c) 0,875 d) 9,255 e) 0, Soluzioni: a) b) c) 7 40 d) e) a) 5,02 b) 0,52 c) 0,227 d) 10,4 e) 62,592. Soluzioni: a) b) c) 5 22 d) 52 5 e) SINTESI Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se in esso, subito dopo la virgola, inizia il periodo, cioè la cifra o il gruppo di cifre che si ripete periodicamente. Una frazione ridotta ai minimi termini si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i fattori 2 e 5. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se in esso, fra la virgola ed il periodo, esiste una cifra o un gruppo di cifre, detto antiperiodo, che non si ripete. Una frazione ridotta ai minimi termini si trasforma in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene insieme agli altri, i fattori 2 o 5 (o entrambi). Tabella riassuntiva: FRAZIONE Apparente Ordinaria con denominatore contenente solo i fattori 2, 5 o entrambi Ordinaria con denominatore che non contiene affatto i fattori 2 e 5 Ordinaria con denominatore che contiene oltre i fattori 2, 5 anche altri fattori TIPO DINUMERO Numero naturale Numero decimale limitato Numero decimale periodico semplice Numero decimale periodico misto 24

25 ESERCIZI Numeri periodici Conoscenza dei contenuti 1) Completa: a) un numero si dice decimale limitato se.. b) un numero si dice periodico semplice se c) un numero si dice periodico misto se.. 2) Riconosci e raggruppa in insiemi diversi le frazioni apparenti, quelle decimali e quelle ordinarie: ) Completa la seguente tabella. Numero 4,25 0, 16 9, 21 3,2355 Parte intera Parte decimale Periodo Antiperiodo Tipo di numero 25

26 4) Indica la risposta esatta Il numero 1,24 è un numero a) decimale limitato a) decimale illimitato b) naturale 3 La frazione è una frazione 20 a) decimale b) ordinaria c) riducibile Il numero 5,8888. è un numero a) decimale limitato b) periodico semplice c) periodico misto Il numero 7,23222 è un numero a) decimale limitato b) periodico semplice c) periodico misto Nel numero periodico misto 9,3547 il periodo è a) 54 b) 35 c) 47 Se il denominatore di una frazione irriducibile, scomposto in fattori primi, contiene solo fattori diversi da 2 e da 5, la frazione si trasforma in un numero a) decimale limitato b) periodico semplice c) periodico misto Se il denominatore di una frazione irriducibile, scomposto in fattori primi, è uguale a , la frazione si trasforma in un numero a) decimale limitato b) periodico semplice c) periodico misto 26

27 5) Riconosci a quale tipo di numero da origine ciascuna delle seguenti frazioni. 13 : la frazione è..e quindi dà origine a 10 9 : la frazione è..e il suo denominatore, scomposto in fattori primi, 40 contiene solo i fattori.. quindi dà origine a 8 : la frazione è..e il suo denominatore, scomposto in fattori primi, 21 contiene solo i fattori.. quindi dà origine a 13 : la frazione è..e il suo denominatore, scomposto in fattori primi, 12 contiene solo i fattori.. quindi dà origine a Applicazione 6) Trasforma le seguenti frazioni nei corrispondenti numeri decimali: ) Scrivi i seguenti numeri sottoforma di numeri decimali periodici 1, = 7, = 56, = 3, = 124, = 30, = 8) Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri: 0,8 0, 81 0, 8 0, 85 0, 816 0, 855 0,85 9) Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri: 2,5 2, 473 2, 47 2, 74 2,47 2,74 2,741 10) Inserisci al posto dei puntini a seconda dei casi, il segno di uguaglianza oppure il segno di maggiore o minore (=; >; <). 4,2..4,219 8,9..8,809 7, ,1 27

28 56, , ) Completa la seguente tabella Frazione Divisione Numero decimale 12) Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali, stabilendo prima di che numero decimale si tratta ) Metti un denominatore tale che la frazione possa essere trasformato in un numero decimale limitato ) Metti un denominatore tale che la frazione possa essere trasformato in un numero decimale illimitato periodico semplice ) Metti un denominatore tale che la frazione possa essere trasformato in un numero decimale illimitato periodico misto

29 ESERCIZI Rappresentazione di numeri sulla retta numerica E possibile rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata. Al punto origine O della semiretta si fa corrispondere il numero 0. Ad un punto A, situato (per convenzione) alla destra di O, si fa corrispondere il numero naturale 1. La distanza OA sarà l unità di misura che si userà nel seguito. Infatti gli altri numeri naturali corrisponderanno a punti che si trovano a distanze da O multiple dell unità di misura. Il procedimento puòessere esteso ai numeri interi relativi (utilizzando una retta anziché una semiretta e rappresentando i numeri < 0 a sinistra del punto preso come origine) e ai numeri razionali (utilizzando sottomultipli dell unità di misura). 1) Determina a quale numero corrispondono i punti indicati sulla semiretta, sapendo che il punto A = 0 e il punto G = 0,2 2) Determina a quale numero corrispondono i punti indicati sulla semiretta, sapendo che il punto A = 0 e il punto G = 0,1 3) Determina a quale numero corrispondono i punti indicati sulla semiretta, sapendo che il punto A = 0 e il punto B = 1 4) Determina a quale numero corrispondono i punti indicati sulla semiretta, sapendo che il punto A = 0 e il punto B = 0,1 29

30 5) Determina a quale numero corrispondono i punti indicati sulla semiretta, sapendo che il punto A = 0 e il punto B = 1 6) Rappresenta sulla seguente semiretta i numeri 0,6 1,4 2/5 11/10 2,2 36/20 sapendo che il punto A = 0 e il punto B = 1. 7) Rappresenta sulla seguente semiretta i numeri 0,5 2,25 12/4 20/8 3,75 35/20 sapendo che il punto A = 0 e il punto B = 1. 30

31 APPROFONDIM ENTO Inumeri periodici Es n 1 Numero periodico semplice Consideriamo il numero razionale n = 2, 3, la sua frazione generatrice è 3 7. Osserviamola successione di approssimazioni per difetto del numero: a 0 = 2 a 1 = 2,3 a 2 = 2,33 a 3 = 2,333 a 4 = 2,3333 a 5 = 2,33333 a 6 = 2, Costruiamo un grafico in Excel in cui rappresentiamo a n versus n : possiamo osservare che all aumentare dei termini della successione, l ordinata dei punti non cresce visibilmente ma tende a 7 raggiungere un valore costante che rappresenta. 3 Es n 2 Numero periodico misto Consideriamo il numero razionale n = 2, : la sua frazione generatrice è = = Consideriamo la successione a n a 0 = 2 a 1 = 2,8 a 2 = 2,83 a 3 = 2,833 a 4 = 2,8333 a 5 = 2,83333 a 6 = 2, Possiamo osservare come prima che all aumentare dei termini della successione, l ordinata dei 17 punti non cresce visibilmente ma tende a raggiungere un valore costante che rappresenta. 6 31

32 DAINUM ERIPERIODICIAINUM ERIIRRAZIONALI Laboratorio n 1 Alle scuole medie si puòproporre di usare la piegatura del foglio A4 per scoprire oggetti di uso quotidiano che hanno misure espresse da numeri irrazionali!! 1)Si chiede di piegare il foglio costruendo un quadrato di lato 1u,la diagonale del quadrato sarà 2 u. 2)Si sovrappone la diagonale ottenuta con il lato maggiore del foglio che risulta essere quindi 2 u. 3)Si applica il teorema di Pitagora alla metà del foglio ottenendo che la diagonale misura 3. 32

33 Laboratorio n 2 Costruire un quadrato di area doppia di un quadrato unitario Costruire i quadrati di lato l = 1,2,3,4... (vedi file Geogebra) Come si può osservare dalla figura, se raddoppio il lato ottengo un quadrato di area quattro volte quella iniziale, se lo triplico ottengo 9 volte quella iniziale e cosìvia non ottengo mai un area doppia. Peròpossiamo osservare che il lato del quadrato deve essere compreso tra 1 e 2 ossia 1 < l <2 Tracciamo ora la diagonale del quadrato unitario e costruiamo il quadrato che ha per lato la diagonale stessa Finalmente abbiamo costruito il quadrato di area doppia!infatti il Teorema di Pitagora ci assicura AC = l + l che ( ) 2 = 2 l Quindi se l =1 allora AC = 2 33

34 Il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato èun numero irrazionale TEOREM A 2 Q ( 2 non appartiene a Q ) Dim.: Supponiamo per assurdo che 2 = p con p e q primi fra loro e quindi non entrambi pari. q Si puòallora scrivere, in virtùdel secondo principio di equivalenza per le equazioni: 2 q = p. Essendo un uguaglianza tra numeri positivi, si puòelevare al quadrato entrambi i membri: ( 2q ) p 2q = p =. Quest ultima uguaglianza è assurda perché il primo membro contiene un numero dispari di fattori 2, mentre il secondo o non ne contiene o ne contiene un numero pari. Questa dimostrazione sottintende il teorema di unicità della scomposizione in fattori primi 1 dimostrato già nel libro VIIIdegli Elementi di Euclide. 1 Si veda anche: J. P. Delahaye Stupefacenti numeri primi Ghisetti e Corvi. 34

35 Se utilizziamo Derive per approssimare tale numero con 9 cifre decimali otteniamo: Con piùdi 100 cifre decimali otteniamo: Se anche chiedessimo piùcifre ci accorgeremmo di non riuscire a trovare alcuna periodicità. Possiamo comunque costruire la successione: a 0 = 1 a 1 = 1,4 a 2 = 1,41 a 3 = 1,414 a 4 = 1,4142 a 5 = 1,41421 a 6 = 1, Essa è una successione crescente che approssima per difetto 2 senza mai raggiungerlo. Possiamo osservare che, all aumentare dei termini della successione, l ordinata dei punti non cresce visibilmente ma tende a raggiungere un valore costante che rappresenta 2. 35

36 Laboratorio n 3 Rappresentare sulla scala dei numeri alcuni numeri irrazionali con metodo grafico o meccanico 2. Rappresentazione di tre numeri irrazionali sulla scala dei numeri. π nasce dalla rotazione completa senza scivolamento di un cerchio di diametro unitario; gli altri numeri hanno origine dall applicazione del teorema di Pitagora a triangoli rettangoli aventi la misura dei cateti espressa da numeri naturali. LABORATORIO N 4 Chiocciola dei numeri Si propone di riprodurre questa figura su di un foglio da disegno ; poi di riportare, con il compasso, su di una semiretta orientata, i segmenti che rappresentano numeri irrazionali. Ogni ipotenusa dei triangoli rettangoli (AC, AE, AF, AG, AH, AI, AJ ) rappresenta un numero intero oppure irrazionale che Geogebra approssima alla seconda cifra decimale. 2 Si veda la concoide di Nicomede, curva meccanica. 36

37 UNA DEFINIZIONE Una terna ordinata di numeri naturali diversi da zero ( x y, z),, con x < y, è detta pitagorica se: z = x y. Itre numeri naturali sono la misura rispettivamente dei cateti e dell ipotenusa di un triangolo rettangolo. LABORATORIO N 5 Caccia alle terne pitagoriche Figura 3 Si chiede di disegnare su di un foglio a quadretti tanti triangoli rettangoli la cui misura dei cateti sia un numero naturale. a) Mediante un compasso oppure con calcolo diretto si identificano le ipotenuse di misura intera, scoprendo cosìle piùcomuni terne pitagoriche. b) Se si lavora con piccoli quadretti si puòscoprire l esistenza di classi di terne tra di loro proporzionali. Es.: ( 3 a,4a,5a), a N. c) Si puòapprofondire costruendo per ogni classe di cui sopra delle terne pitagoriche di numeri razionali. Es.:,, d) Si puòampliare il discorso dicendo che il problema delle terne pitagoriche è stato completamente risolto da Fermat 3. 3 L. Berzolari, G. Vizianti, D. Gigli Enciclopedia delle matematiche elementari Pagine 37

38 LABORATORIO N 6 «i matematici sono persone sensibili» Il prof. Phumble affermava di aver dimostrato il seguente teorema: «Non esistono due differenti terne pitagoriche che abbiano lo stesso terzo numero». In altri termini: non esistono due terne pitagoriche tali che: y1 z x + = e y2 z x + =, con x1 x2 e y1 y2. Pierino ha messo da parte il videogioco preferito e, con l aiuto del fedele computer e di DERIVE, ha prodotto l elenco di terne pitagoriche della pagina seguente. Il prof. Phumble si è arrabbiato moltissimo! a) Verifica con l aiuto della calcolatrice che queste terne sono effettivamente pitagoriche. b) Scopri con l aiuto del tuo insegnante alcune particolarità delle terne di questo elenco: Pierino è molto bravo al computer, ma ha commesso alcuni piccoli errori nella programmazione. c) Spiega perché il prof. Phumble si è arrabbiato moltissimo. 38

39 Figura 4:Le terne pitagoriche di Pierino 4. 4 La soluzione si puòtrovare osservando attentamente la copertina di questo opuscolo. 39

40 Problema : Le squadre A, B, C di un torneo di calcio hanno giocato 13 partite con i seguenti risultati: VITTORIA PAREGGIO SCONFITTA risultato squadra In casa Fuori casa In casa Fuori casa In casa Fuori casa A B C Tenendo conto che nel campionato di calcio italiano si assegnano ad ogni squadra e per ogni partita giocata 3 punti in caso di vittoria, 1 punto in caso di pareggio e 0 punti in caso di sconfitta, mentre nel campionato inglese il punteggio si ricava dalla seguente tabella VITTORIA PAREGGIO SCONFITTA In casa Fuori casa Calcola i punteggi e forma le graduatorie delle tre squadre in base ai due metodi considerati. 40

41 NUM ERIREALIE OPERAZIONI L insieme dei numeri reali è ordinato. Un numero reale relativo è un numero dotato di segno. I segni sono + e, il modulo o valore assoluto del numero è così definito a = a se a 0 oppurea = a sea < 0. a R Segno Modulo Rappresentazione sulla scala numerica

42 CONFRONTO TRA DUE NUM ERIREALI RELATIVI Due numeri relativi si dicono: a) Concordi, quando hanno lo stesso segno (+3, +7) b) Discordi se hanno segno diverso (-3, +7). c) Uguali, quando hanno lo stesso segno e lo stesso modulo (-5, -5). d) Opposti, quando hanno lo stesso modulo e segno diverso (-9, +9). e) Se accade che a < b, l immagine di a giace alla sinistra dell immagine di b: < 3, 7 > 3, <, >, <, 1 > DEDUZIONE DELLE REGOLE PER LA SOM M A ALGEBRICA = = = = = 6 42

43 Aggiungere +3 al numero +2 equivale a traslare verso destra di tre unità l immagine di +2. Aggiungere +3 ad un numero equivale a traslare verso destra di tre unità l immagine di tale numero. Sotrarre 4 da +6 equivale a traslare verso sinistra di quatro unità l immagine di +6. Sotrarre 4 da un numero equivale a traslare verso sinistra di quatro unità l immagine di tale numero. 1) La somma di due numeri concordi èun numero concorde con essi e che ha per modulo la somma dei moduli. Esempio a) (+4) + (+6) = = Esempio b) ( 2) + ( 7) = 2 7 = 9. 2) La somma di due numeri discordi èun numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli. Esempio: (+4) + ( 2) = 4 2 = 2 SOTTRAZIONE TRA NUM ERIRELATIVIin Z Per sottrarre due numeri relativi si somma al primo l opposto del secondo. Esempio a: (+4) ( 3) = 4 +(+3) = 4+3 = 7. Esempio b: (+5) (+2) = 5 + ( 2) = 3 43

44 ESERCIZI 1) Scrivi i numeri dell'insieme Z (numeri relativi)che hanno valore assoluto minore di 4. 2) Scrivi i numeri dell'insieme Z che hanno valore assoluto compreso tra 6 e 9. 3) Scrivi tre coppie di numeri interi relativi concordi e tre coppie di numeri razionali relativi concordi con le seguenti caratteristiche: a) i numeri minori di ogni coppia hanno valore assoluto minore di 8; b) i numeri maggiori di ogni coppia hanno valore assoluto compreso tra 10 e 30. 4) Scrivi tre coppie di numeri interi relativi concordi e tre coppie di numeri razionali relativi concordi con le seguenti caratteristiche: a) i numeri minori di ogni coppia hanno valore assoluto compreso tra 1 e 14; b) i numeri maggiori di ogni coppia hanno valore assoluto compreso tra 10 e 25. 5) Scrivi tre coppie di numeri interi relativi opposti e tre coppie di numeri razionali relativi opposti con le seguenti caratteristiche: a) i numeri minori di ogni coppia hanno valore assoluto minore di 8; b) i numeri maggiori di ogni coppia hanno valore assoluto maggiore di 6 e minore di 12 6) 7) 8) 44

45 9) 10) Completa le seguenti frasi con è oppure con non è oppure con puòessere. La somma di due numeri relativi positivi un numero positivo. La somma di due numeri relativi negativi un numero positivo. La somma di due numeri relativi concordi(numeri con lo stesso segno) un numero positivo. La somma di due numeri relativi discordi(numeri con segni diversi) un numero positivo. La somma di due numeri relativi opposti un numero positivo. 11) Alle otto di mattina Gianni misura la temperatura dentro un contenitore in cui avviene una reazione chimica; la temperatura è di +3 C. Alle nove la temperatura è scesa di 5, alle dieci la temperatura è risalita di 7, alle undici è ridiscesa di 4 C. Quale temperatura si puòleggere alle undici? 12) Completa il quadrato magico in modo che la somma algebrica in ogni riga, in ogni colonna e sulle diagonali sia la stessa. 45

46 13) Vero o falso? 1. Due numeri relativi sono concordi se hanno segni opposti 2. Due numeri relativi si dicono opposti se hanno segni diversi 3. Tra due numeri relativi il maggiore è sempre quello con il modulo maggiore. 4. Nell addizione di due numeri si sommano sempre i moduli 5. Nella sottrazione di due numeri negativi si sottraggono i moduli 6. Il segno di una somma di numeri relativi è uguale al segno del maggiore 7. Se la somma di due numeri relativi è nulla allora i due numeri sono opposti. 46

47 14) Compila la tabella sottostante aggiungendo i simboli e. 47

48 16) Risolvi le seguenti addizioni fra i numeri relativi. a) (-1/3) + (-4/5) =... b) (+2/5) + (- 7/8) =... c) (-6/7) + (+1) =... d) (-4/9) + (+5/12) =... 17) Risolvi le seguenti addizioni fra numeri decimali relativi. a) (-0,8) + (+4,1) =... b) (+2,3) + (-0,4) =... c) (-8) + (-6,7) =... 18) Risolvi le seguenti addizioni con piùaddendi. a) (+1/2) + (-2/5) + (-3/4) =... b) (-7/8) + (-3/4) + (+9/2) + (-1) =... 19) Ordina sulla retta dei numeri i seguenti valori. a. -3; 5; -1/3; -5/4; +3/8; 9/8; -1. b. +4; -7; -5/3; +9/4; -7/2; 6/7; -5 c. -2; 1/3; -5/7; -9/4; +2/11; -81/8; -1/2. d. -3; 2; -7/3; -13/4; +7/4; 13/8; -1/5. 20) Esegui le seguenti somme algebriche A) B) 1+ C) D) E)

49 LA M OLTIPLICAZIONE TRA NUM ERIRELATIVI Esempio: (+3) 5 = (+3) + (+3) + (+3) + (+3) + (+3) = +15 Esempio : (-3) 5 = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -15 Ma perché (-3) (-5) = +15? Per la legge di Hankel 5 (principio di permanenza delle regole di calcolo), se in matematica si vuole generalizzare un concetto al di là della sua originaria definizione, bisogna scegliere, tra tutti i modi possibili, quello che permette di conservare immutate le regole di calcolo nel piùesteso numero di casi. Si ha quindi, che per la proprietà di annullamento del prodotto: [(-3) + (+3)] (-5) = 0 (-5) = 0 e per la proprietà distributiva: [(-3) + (+3)] (-5) = [(-3) (-5)]+ [(+3) (-5)]= (-3) (-5) + (-15) dalle due proprietà segue che (-3) (-5) deve essere l opposto di -15 cioè +15 Si può allora costruire la regola dei segni attraverso la tabella: REGOLA DEISEGNI Esiste anche una simpatica regola applicabile a diversi contesti, + + = + L amico di un mio amico è un amico + - = - L amico di un mio nemico è un mio nemico - + = - Il nemico di un mio amico è un mio nemico - - = + Il nemico di un mio nemico è un mio amico Due numeri relativi si dicono reciproci o inversi se il loro prodotto è uguale a +1 Esempi: il reciproco di + 5 è Hermann Hankel ( ), creatore di una teoria logica sui razionali, critico feroce della teoria degli irrazionali! 49

50 LA DIVISIONE TRA NUM ERIRELATIVI ESERCIZI: 1) Vero o falso? V F Il risultato di (+5) (+2) è uguale a quello di (+5) + (+5) Il risultato di (-3) (+4) è uguale a quello di (-3) + (-3) + (-3) + (-3) Il prodotto di due numeri concordi è un numero negativo Il prodotto di due numeri discordi è un numero positivo 2) Sbarra la casella con la risposta corretta positivo negativo Il prodotto di due numeri concordi è: Il prodotto di due numeri discordi è: Il prodotto di due numeri negativi è: Il prodotto di due numeri opposti è: Il prodotto di due numeri uguali è: 3) Rispondi alle seguenti domande: a) Il prodotto di piùnumeri relativi di cui due negativi è positivo?... b) Se in una moltiplicazione di piùfattori tre sono negativi, il prodotto è negativo?. c) Da quale segno è preceduto il prodotto di quattro numeri negativi?. d) Se i fattori negativi di una moltiplicazione sono in numero dispari, il prodotto è negativo o positivo? e) E se sono in numero pari?. f) Il valore assoluto del prodotto di due numeri relativi puòessere minore di quello di entrambi i numeri? g) Il prodotto di due numeri negativi è maggiore di entrambi? h) Il prodotto di due numeri discordi, diversi da +1 e 1, è minore di entrambi?. i) Il prodotto di due numeri uguali è positivo?. j) E di due numeri opposti? 4) Dopo aver completato la tabella dei segni, rispondi alle domande: : a) Il quoziente di due numeri concordi è positivo? b) E il quoziente di due numeri discordi? 50

51 5) Vero o falso? V F Il quoziente di due numeri negativi è maggiore di entrambi Il quoziente di due numeri positivi, diversi da +1, è minore di entrambi Il quoziente di due numeri discordi, con valore assoluto diverso da 1, è sempre maggiore di entrambi Il quoziente di due numeri discordi, con valore assoluto diverso da 1, è sempre minore di almeno uno di essi 6) Sbarra la casella con la risposta corretta Il quoziente di due numeri uguali è +1-1 Il quoziente di due numeri opposti è: +1-1 Il quoziente di un numero relativo e +1 è uguale: al numero al suo opposto Il quoziente di un numero relativo e -1 è uguale: al numero al suo opposto 7)Esegui le seguenti moltiplicazioni: +5 (+9) =.. -3 (+7) =.. +4 (-6) =.. -2 (-8) = (10) =.. -7 (-5) = =... + =... + = (+7) (-3) = = ) Trova il valore di x: + 16 ( x ) = ( x ) = ( x ) = ( x ) = x + = + x = = + x = ) Completa la seguente tabella: a b a b a ( b) a ( b) a ( + b)

52 )Dati i numeri e +10, calcola: a) il loro prodotto b) il prodotto dei loro opposti c) il prodotto dei loro inversi d) il prodotto del primo per l inverso del secondo e)il prodotto dell inverso del primo per l opposto del secondo 11)Calcola il valore delle seguenti espressioni: { [ ( ) ( 5) 6] } ( 8) ( + 3) )Trasforma le seguenti indicazioni in un espressione e calcolane il valore: a. Moltiplica la differenza di 6 e + 4 per l inverso di +10 b. 7 1 Sottrai dal prodotto di + e 2 il prodotto di 3 e c. 1 Moltiplica la somma di e 3 d. 2 Moltiplica per +5 la somma di + e e )Esegui le seguenti divisioni: 2 + per la differenza di +5 e e dal risultato sottrai il prodotto di : (+13) = +24 : (-3) = -72 : (-12) =. +36 : (-6) = : (+ 3) = : (-7) = : =... : =... + : + = : (-4) : (-1) =. : : =

53 Trova il valore di x: 1: ( x ) = : ( x ) = + 6 : ( x) = : ( x ) = )Completa la seguente tabella: a b a : b a : ( b) a : ( + ) : ( b) b a )Dati i numeri e -6, calcola: a) il loro quoziente b) il quoziente dei loro opposti c) il quoziente tra il primo e l inverso del secondo d) il quoziente tra il secondo e l opposto del primo e) il quoziente tra il secondo e l inverso del primo. 16)Calcola il valore delle seguenti espressioni: {[ 10 ( ) : ( 4) 16] ( 3) 12} : ( ) : : )Trasforma le seguenti indicazioni in un espressione e calcolane il valore 1 5 a) Moltiplica per 5 il quoto di + e - e poi aggiungi b) Al quoziente di 4 e + sottrai la somma 3 e c) Dividi la somma di + e - per la differenza di +1 e d) Sottrai - dal quoziente di - e + 6 e poi moltiplica il risultato per

54 POTENZE DEINUM ERIRELATIVI Il termine potenza assume significato matematico nel 1550 e deriva dal latino potentia, da potere. La potenza si definisce come la qualità di esercitare un potere. In particolare in matematica le potenze possono aiutare ad esprimere in forma abbreviata numeri molto grandi o molto piccoli. Per esempio: - la distanza Terra-Sole: km puòessere scritto: km - la distanza Terra- Alpha Centauri: km puòessere scritto: km - il diametro dell atomo di H (idrogeno): 0, mm Il vantaggio di usare le potenze a base 10 è innegabile. Sappiamo che: - il prodotto di un numero a per un numero b si scrive: ab; - il prodotto di tre fattori a,b,c si scrive: abc. Se il fattore è sempre lo stesso, come quando dobbiamo calcolare l area di un quadrato, invece di scrivere aa si scrive a 2 e leggiamo a al quadrato, oppure quando dobbiamo calcolare il volume di un cubo invece di scrivere aaa si scrive a 3, che leggiamo a al cubo. Per abbreviare la scrittura di un prodotto di più fattori tutti uguali (a), è sufficiente contarli e scrivere il numero trovato n ad esponente a. Cosìl abbreviazione di un prodotto di n fattori uguali ad a, è una potenza di a indicata a n : dove n è l esponente di a, e si legge a alla n o a elevato all ennesima potenza. a n =aaaaa a Esponente Base Per calcolare la potenza di un numero relativo: a) prima si scrive il segno del risultato; b) poi si eleva a potenza il valore assoluto della base. Ecco alcuni esempi: 2 2 = 2 2 = + 1. ( ) ( ) ( ) 4 2. ( + 2) 2 = ( + 2) ( + 2) = = = ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8 5. ( + 2) 3 = ( + 2) ( + 2) ( + 2) =