Le grandezze proporzionali

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1 1 Le grandezze proporzionali DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono proporzionali se il rapporto che le lega può essere espresso mediante una proporzione numerica. Consideriamo il numero di riviste vendute da un edicola. Se ogni rivista costa 3 si ha che il ricavo è: 1 copia 3 2 copie 6 5 copie 15 7 copie 21 Poiché quando la prima grandezza raddoppia, raddoppia anche la seconda, quando la prima triplica, triplica anche la seconda e così via, possiamo dire che le grandezze hanno un rapporto costante. 3 1 = 6 2 = 15 5 = 21 7 =... = 3 DEFINIZIONE. Due grandezze variabili x e y si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra x e y è costante. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

2 1 Le grandezze direttamente proporzionali In generale se indichiamo con k il coefficiente del rapporto, possiamo scrivere y x = k Il coefficiente k si chiama coefficiente di proporzionalità diretta e può assumere qualsiasi valore diverso da zero. Per rappresentare due grandezze direttamente proporzionali possiamo utilizzare un diagramma cartesiano o una rappresentazione tabulare. Riferendoci all esempio considerato otteniamo: x y REGOLA. Il grafico della proporzionalità diretta è una semiretta passante per l origine. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

3 1 Le grandezze inversamente proporzionali DEFINIZIONE. Due grandezze variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se il prodotto fra x e y è costante. Consideriamo 50 ragazzi in un campeggio estivo con una scorta d acqua di 400 litri. Se ogni ragazzo beve 0,5 litri a testa durata scorta 16 giorni 1 litro a testa durata scorta 8 giorni 2 litri a testa durata scorta 4 giorni Se la prima grandezza (x) raddoppia, la seconda (y) dimezza e viceversa. Se la prima triplica, la seconda diventa 1/3 e così via. In questo caso le due grandezze hanno il prodotto costante cioè: 0,5 l 16 gg = 1 l 8 gg = 2 l 4 gg = 8 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

4 1 Le grandezze inversamente proporzionali In generale se indichiamo con k il coefficiente del prodotto, possiamo scrivere x! y = k Il coefficiente k si chiama coefficiente di proporzionalità inversa e può assumere qualsiasi valore diverso da zero. Per rappresentare due grandezze inversamente proporzionali possiamo utilizzare un diagramma cartesiano o una rappresentazione tabulare. Riferendoci all esempio considerato otteniamo: x y 0,5 litri 1 litro 2 litri 8 litri 16 gg 8 gg 4 gg 1 gg REGOLA. Il grafico della proporzionalità inversa è un ramo di iperbole equilatera. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

5 2 I problemi del tre semplice diretto Stefano ha speso 8 per l acquisto di 10 quaderni. Se avesse acquistato 14 quaderni quanto avrebbe speso? Le grandezze in esame sono direttamente proporzionali in quanto raddoppiando, triplicando ecc il numero dei quaderni, raddoppia, triplica ecc il loro costo. Poiché quando due grandezze sono direttamente proporzionali il rapporto tra valori corrispondenti è costante, avremo: che si risolve con il calcolo 10 : 8 = 14 : x x = = 11,2 Continua Area 2 - Capitolo 2 - PAG

6 2 I problemi del tre semplice diretto Osserviamo che per costruire la proporzione risolvente si può seguire il seguente schema: Numero di quaderni 10 Costo in Euro 8 14 Seguendo il verso delle frecce è possibile scrivere la proporzione: 14 : 10 = x : 8 che è equivalente a quella del problema (10 : 8 = 14 : x) perché si ottengono una dall altra applicando la proprietà del permutare i medi e poi dell invertire. REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice diretto: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi lo stesso verso; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. x Area 2 - Capitolo 2 - PAG

7 2 I problemi del tre semplice inverso Per coprire il tetto di una casa servono 2000 tegole di 800 cm 2 ciascuna. Se usassimo tegole da 500 cm 2 ciascuna, quante ne occorrerebbero? Le grandezze in esame sono inversamente proporzionali in quanto raddoppiando la superficie di ciascuna tegola, si dimezza il numero delle tegole. Poiché quando due grandezze sono inversamente proporzionali il prodotto tra valori corrispondenti è costante, avremo: = 500 x cioè la proporzione 2000 : x = 500 : 800 che si risolve con il calcolo x = = 3200 Continua Area 2 - Capitolo 2 - PAG

8 2 I problemi del tre semplice inverso Osserviamo che per costruire la proporzione risolvente si può seguire il seguente schema: Superficie di una tegola 800 cm cm 2 Numero di tegole 2000 x Seguendo il verso delle frecce è possibile scrivere la proporzione: che è equivalente a quella del problema. 800 : 500 = x : 2000 REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice inverso: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi verso opposto; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

9 3 I problemi di ripartizione semplice diretta Tre fratelli devono dividersi un eredità di in parti proporzionali alle loro età. Quanto spetterà a ciascuno sapendo che hanno rispettivamente 36, 32 e 28 anni? a) Indichiamo con x, y, z le quote che spettano a ciascun fratello. Poiché devono essere direttamente proporzionali ai numeri 36, 32 e 28, possiamo scrivere la seguente serie di rapporti x : 36 = y : 32 = z : 28 b) Applichiamo la proprietà del comporre relativa ad una serie di rapporti ( x + y + z) : ( ) = x : 36 ( x + y + z) : ( ) = y : 32 ( x + y + z) : ( ) = z : 28 Continua Area 2 - Capitolo 2 - PAG

10 3 I problemi di ripartizione semplice diretta c) Poiché x + y + z = e = 96: : 96 = x : 36 da cui x = : 96 = () : 96 = y : 32 da cui : 96 = z : 28 da cui y = : 96 = () z = : 96 = () Area 2 - Capitolo 2 - PAG

11 3 I problemi di ripartizione semplice inversa Tre comuni investono per costruire un ponte. La somma va divisa in parti inversamente proporzionali alle distanze dei comuni dal ponte. Quale sarà la spesa sostenuta da ogni comune sapendo che distano rispettivamente 5 km, 6 km e 12 km? a) Indichiamo con x, y, z le quote di denaro che devono pagare i tre comuni. Tali quote sono inversamente proporzionali a 5, 6 e 12, di conseguenza direttamente proporzionali agli inversi di questi numeri x : 1 5 = y : 1 6 = z : 1 12 b) Applichiamo la proprietà del comporre ( x + y + z) : = x : ( x + y + z) : = z : ( x + y + z) : = y : Continua Area 2 - Capitolo 2 - PAG

12 3 I problemi di ripartizione semplice inversa c) Poiché x + y + z = e = 9 20 : : 9 20 = x : 1 5 da cui x = : 9 20 = () : 9 20 = y : 1 6 da cui y = : 9 20 = () : 9 20 = z : 1 12 da cui z = : 9 20 = () Area 2 - Capitolo 2 - PAG

13 4 Le percentuali DEFINIZIONE. La percentuale è un rapporto che ha come conseguente 100. Nel corso di un intervista presso una scuola è risultato che su 300 studenti 120 praticano sport. Possiamo esprimere lo stesso rapporto in relazione a 100 mediante il calcolo = x 100 che equivale alla proporzione Risolvendola otteniamo 120 : 300 = x :100 x = : 300 = 40 Possiamo dire che il 40% degli studenti pratica uno sport. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

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