Appunti sui problemi di turnazione dei veicoli e del personale

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1 II UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Dpameno d Ingegnea Cvle Coso d Gesone ed eseczo de ssem d aspoo Docene: Ing. Pelug Coppola Appun su poblem d unazone de vecol e del pesonale (Bozza n coso d evsone)

2 PROBLEMI DI TURNAZIONE Ne poblem neen la unazone s vuole defne un nseme d un, cascuno dao da una sequenza d avà d sevzo, che sano confom alla nomava e che copano l sevzo al coso mnmo. Tpcamene queso po d poblem vengono affona n cascaa con l seguene odne: o Vehcle schedulng: che cosponde a panfcae la unsca de mezz n modo che copa l nseme delle avà del sevzo d aspoo ; o Cew schedulng: che poduce un nseme d un banch ossa sngol un d lavoo; l sevzo da cope n queso caso è dao dalle avà de mezz; o Cew oseng: che defnsce l pogamma d lavoo d cascun dpendene assegnando un banche alle pesone; l sevzo è dao dall nseme de un banch. 1.1 Tunazone de mezz Il sevzo d aspoo è desco ame un nseme d avà, cascuna defna da un luogo d nzo e uno d fne, da un empo d nzo e da una duaa pedefn. Quando s pala d uno d un mezzo s nende una sequenza ammssble d avà con nzo e fne pesso l deposo d esdenza. La complessà del poblema dpende dalle evenual eszon che defnscono l ammssblà del uno o della soluzone nel suo complesso e da una see d fao conducbl all unfomà/eeogeneà della floa de mezz, pe cu l coso dell assegnazone d un avà ad un mezzo vaa n funzone della pologa d ques ulmo. Poché n u seo del aspoo passegge convenzonale l offea è noa con ceezza all uenza, le sngole avà d cu è composo l sevzo sono compleamene caaezzae n senso empoale da un sane d nzo e da una duaa pedefna. Quesa popeà ndvdua una pacolae classe d poblem no come poblem d FIXED SCHEDULING. In ques poblem s può sable a po se due avà possono essee svole n sequenza defnendo così una elazone sulle avà desca dalle coppe compabl (ossa esegubl n sequenza). L ozzone empoale è gonaleo,mene l lvello d sevzo è desco dalle lnee avae e dalle fequenze delle cose. Queso defnsce un nseme d vagg, dove pe vaggo s nende la mnma unà d sevzo che un vecolo può effeuae (es. una cosa da capolnea a capolnea).

3 Cascun vaggo è desco da luogh e emp d paenza e d avo. Inole sono no emp d asfemeno a le localà d nzo e d fne de vagg (n funzone della fasca oaa) e asfemen n cu non s effeua sevzo passegge,che vengono chama vagg a vuoo o deadheadngs. Due vagg sono compabl se è possble effeuae l vaggo a vuoo dal luogo d fne del pmo a quello d nzo del secondo speando emp. Il uno gonaleo d un vecolo duy consse n pù sequenze d vagg compabl, nevallae da sose a depos. Cascuna sequenza è dea blocco e ha nzo con l usca del vecolo dal deposo (pull-ou) e emne con l eno (pull-n). L obevo consse nell ndvduae l nseme de dues ale che ogn vaggo appaenga ad uno ed un solo duy e l coso complessvo sa mnmo. Nella vesone del poblema con vecol omogene e deposo unco (Sd-Vsp) l poblema è polnomale. Non appena s passa alla vesone muldeposo l poblema dvene NP-had (anne nel caso n cu l obevo sa mnmzzae l numeo de vecol). La dvesà de vecol, come gà deo, s può modellzzae aaveso la funzone d coso pe cu l coso d un aco vaa n funzone del po d mezzo che lo pecoe. Nella funzone obevo s pvlega la mnmzzazone della dmensone della floa (a meno che non sa fssaa a po), solo n secondo luogo s consdea l coso opeavo della soluzone. Il coso d un aco ha una componene popozonale al layove (empo speso n aesa d enae n sevzo dopo un asfemeno) e una popozonale a chlome fuolnea (dsanza d asfemeno). 1.2 Gafo d compablà: Uno sumeno pacolamene ule alla fomalzzazone de poblem d schedulng è l così deo gafo d compablà che flee n foma d gafo la omonma elazone a le avà. Sa { 1,2,..., n} I = l nseme delle avà,la elazone d compablà defna su I vene esplcaa aaveso un gafo oenao G ( N, A) le avà I e gl ach collegano coppe d avà compabl. = n cu nod N sono n cospondenza bunvoca con gafo acclco, cu nod possono essee numea n O ( m) con m = A, n modo ale che se (, ) alloa <. un uno ndvdua un cammno ammssble sul gafo, cospondene ad una sequenza ammssble d avà, a due a due compabl. Il vcevesa vale solo nel caso n cu ogn cammno sa un cammno ammssble. In al caso, l ammssblà della sequenza è gaana dalla sola compablà a avà successve

4 (appesenaa dagl ach) e qund ogn cammno ndvdua un uno. Nella ealà del poblema ale poes cosponde a dspoe d una floa d mezz omogene, esden u pesso un unco deposo, senza eszon su un. Queso po d poblema è noo come SINGLE DEPOT VEHICLE SCHEDULING PROBLEM o Sd-Vsp. daa una unazone la cospondene pazone sull nseme delle avà, e qund su N, defnsce una copeua d G pe cammn dsgun su nod. In pesenza d eszon su un s pala d copeua pe cammn ammssbl. Supponamo che l coso d un uno sa espmble come la somma de cos delle avà che lo compongono (nclus asfemen e le pause a avà consecuve); defnendo c l coso dell aco (, ) come l coso legao all avà ed al asfemeno del mezzo da a alloa l coso del cammno p, dao da c p = c (, ) p descve l coso del uno cospondene. Qund consdeando l Sd-Vsp l poblema d unazone de mezz s può modellzzae come la ceca d una copeua pe cammn dsgun d coso mnmo del gafo G. Vale a de un nseme d cammn ale che cascun nodo N appaenga ad uno e uno solo de cammn selezona e che sa mnmo l coso complessvo dao dalla somma de cos degl ach n soluzone. Sa N ( p) l nseme de nod del cammno p ; {} p l nseme de cammn su G ; deemnae a u soonsem P d { p } che nducono una pazone su N, un soonseme * P d coso mnmo, ossa: P * = AgMn c N,! p P : N ( p) { } ( ) P p p P, p 1.3 Tpologe d vncol del Vsp I vncol pesen ne poblem d unazone sono genealmene analogh ne va seo del aspoo. S possono dsnguee due class elave al sngolo uno: quell lega alla non omogeneà della floa; quell assmlabl a sose dsponbl n quanà lmaa.

5 La pma classe compende le eszon devan dall avee pù depos (bas) e/o pù pologe d mezz. S ossev che la pesenza d pù depos è sgnfcava quando esse l obblgo d eno al deposo d esdenza alla fne del uno. Ne poblem d fxed schedulng queso vncolo pemee d avee una soluzone peodca (eplcable pe ogn peodo). Quando non vge l obblgo del eno s chede uncamene che al emne del sevzo l numeo d mezz pesso cascun deposo sa pa al numeo nzale, n queso caso s pala d poblem con mgazone. La cospondenza a un e cammn ammssbl n pesenza del vncolo d eno,nel caso d pù depos, può essee manenua esendendo l gafo G : s noducono 2 nod o e d = 1,..., K e n 2 ach ( o, ) e ( ) pe appesenae l usca e l eno del mezzo pe cascuno de K depos. un cammno ammssble ha ogne n o e emna n d ;, I e = 1,..., K le avà e d sono compabl solo se l cammno con cu s gunge a ha ogne n o = 1,..., K. l vncolo d eno al deposo non è espmble dalla pesenza/assenza dell aco (, d ) poché la compablà non è pù una popeà locale a nod. l vncolo s modella aaveso la funzone d coso, penalzzando cammn non ammssbl, assegnando coso nfno quando s pecoe l aco (, d ) essendo gun a aaveso un d cammno con ogne n o ', con '. noducendo un flusso dveso pe cascun ndce = 1,..., K alloa l coso degl ach vaa n funzone del flusso che l aavesa. S dsnguono dvese pologe d mezzo quando alcune avà sono esegubl solo da un ceo po d mezzo e analogamene a quano deo pe l muldeposo s può assocae un ndce pe ogn pologa e qund defne dves p d fluss poendo qund penalzzae l assegnazone d un avà ad un mezzo non adao aaveso funzon d coso. Dves depos e dvese pologe d mezz ndvduano l poblema noo come MULTI DEPOT VEHICLE SCHEDULING PROBLEM o Md-Vsp. La seconda classe d vncol, elav al sngolo uno, guada l essenza d lm supeo o nfeo d quanà che possono vaae duane lo svolgmeno del uno (ne cas pù semplc le vaazon dpendono dagl ach o da nod aavesa). Quesa seconda classe è caaesca d u poblem d unazone del pesonale mene pù aamene è pesene al lvello d unazone de mezz nel aspoo passegge.

6 Queso po d vncol peò non sono fomalzzabl né nella pologa del gafo né aaveso penalzzazon nella funzone obevo, ma vanno esplcamene vefca al momeno della geneazone. Una dvesa classe d vncol guada, nvece, la soluzone complessva, la quale sablsce lm al numeo d un pesen n soluzone, appaenen a deemna soonsem dell nseme de un ammssbl. Quesa classe è faclmene aable fnanoché neessa soonsem fa loo dsgun (dvese pologe o dvese esdenze). La desczone del poblema n emn d copeua pe mezzo d cammn d un ceo gafo è esendble al caso vncolao chedendo una copeua pe cammn ammssbl ale che pe ogn soonseme d cammn P sano pesen n soluzone non pù d C cammn = 1,..., K. Queso noduce una fomalzzazone del poblema aaveso un poblema molo geneale, l modello d se paonng con vncol aggunv,desco come segue: mn s. p x a { p} p P p x p p p c { p} p x p C x p = 1 N = 1,..., K { 0,1} p { p} con a {} p x p p ( p) 1 se N = 0 almen = nseme de cammn ammssbl 1 se p è n soluzone = 0 almen 2. Tunazone del pesonale Pesena fo analoge con l poblema della unazone de mezz, da cu s dsngue essenzalmene pe la complessà delle nome che egolano la fomazone de un d lavoo. Da un puno d vsa suuale è anch esso fomalzzable come poblema d schedulng fsso, ossa avene avà, emp e luogh ben defn. Le dffeenze sono dae, ad esempo, da vncol che endono a gaane adeguae condzon d lavoo, blancando avà d sevzo e d poso. Un uno è ancoa descvble come una sequenza ammssble d avà a due a due compabl, mene l ammssblà della sequenza è defna da un nseme d egole che vaano a seconda del coneso. Inole l coso del uno può non essee espmble come somma de cos delle avà che lo compongono,ma ad esempo l conbuo d ogn sngola avà può vaae a seconda della sequenza n cu quesa è nsea. Pe ques mov la fomulazone pù dffusa è, anzché quella basaa su modell d ee, quella basaa sul modello d se coveng o d se paonng, n cu è defna una vaable boleana pe

7 cascun uno. La dffcolà d appesenae nel modello maemaco vncol d ammssblà e l coso de un vene qund asfea a lvello della defnzone dell nseme delle vaabl, che d conseguenza sula d cadnalà esponenzale speo alle dmenson de modell d ee. La unazone del pesonale nelle sue due fas d cew schedulng e d cew oseng segue alla unazone de mezz secondo la adzonale suddvsone delle e fas sequenzal. Cew Schedulng: l sevzo da svolgee è appesenao da un de mezz, qual vengono suddvs n comp elemena de as, ndvduando su cascun uno pun n cu è possble effeuae la sosuzone del pesonale (pun d cambo o elef pons). L avà d lavoo compesa fa due camb successv denfca un as (unà ndvsble). Una sequenza d as consecuv sullo sesso mezzo ndvdua un pezzo d lavoo; una sequenza ammssble d pezz d lavoo denfca una gonaa d lavoo (duy). Un uno è composo dal sngolo duy o da pù duy laddove un s esendano pe pù gonae (ad esempo nel aspoo feovao e aeeo). In enamb cas l uno deve avee nzo e emne pesso la sessa sede. L obevo consse nell ndvduae un nseme d un confom alla nomava che copano as a coso mnmo. L ozzone empoale su cu s svolge la panfcazone è genealmene sagonale, ma n paca s ceca una soluzone cclca sul peodo mnmo su cu s vefca la egolaà del sevzo. Come nella unazone de mezz, vncol sono dsngubl a seconda che guadno l sngolo uno (local): valo mnm o massm consen pe ce abu del uno qual ad esempo la duaa o l empo d sevzo, appesenabl come sose lmae che s consumano o s accumulano duane lo svolgmeno del uno; o che guadno la soluzone nel suo complesso (global): ad esempo l lme massmo de un assegnabl ad una cea sede oppue elavo alle pologe de un (dae dalle nomave vgen). Cew oseng: n quesa fase un vengono assegna alle pesone fsche dando ogne al pogamma d lavoo del sngolo dpendene pe un ozzone empoale pù lungo speo alla duaa de un (ose). Tpcamene s opea dsnamene su un elav a cascuna sede (deposo) denfcando va soopoblem a loo ndpenden. Ole allo svolgmeno de un podo dalla fase d cew schedulng un ose può ncludee avà qual fee, addesameno, avà d uffco o vse medche. Nel aspoo ubano l caco d lavoo vaa sosanzalmene nell aco della semana (a seconda che s a d gono feale o fesvo) ma l numeo d adde necessao a cope l sevzo vene essenzalmene deemnao n fase d cew schedulng. A lvello d oseng sula qund mpoane equpae l caco a va ose, almeno laddove non vga la egola che assegna la

8 poà d scela del uno n base all anzanà del dpendene (pefeenal bddng) pe cu la fase d unazone del pesonale s esausce con l cew schedulng. La unazone de vecol esusce un nseme d un macchna, cascuno fomao da una sequenza d blocch nevallae da sose a depos. Cascun blocco cosponde a un avà d sevzo con ogne e emne pesso depos. L nseme de blocch cosusce l npu pe la fase successva d unazone del pesonale. No blocch, su cascuno vengono ndvdua pun d cambo defnendo as; duane un as un unco ausa è assegnao alla guda d un sngolo vecolo e vcevesa. Un uno (duy,schf o un) cosponde ad una sequenza ammssble d pezz d lavoo (una sequenza d as consecuv sullo sesso vecolo) nevalla da pause d poso, con nzo e fne pesso lo sesso deposo, pecedue e segue spevamene dalle avà d pesa d sevzo e fne sevzo (sgn-n e sgn-off). A cascun deposo sono assegnabl al pù un deemnao numeo d un cospondene al numeo d aus affeen a quel deposo, dando ogne così a vncol global sulla soluzone. L obevo pmao consse nella mnmzzazone del numeo delle gonae d lavoo.va soolneao che sanze eal possono aggungee dmenson d qualche mglao d vagg e dves mlon d un ammssbl. Gl aus possono muoves n modo auonomo a pun d cambo, ad esempo al emne d un pezzo d lavoo l ausa deve aggungee l luogo d nzo del pezzo successvo mene l vecolo d cu ea alla guda vene levao da un alo collega. Tal sposamen, de dead headng vengono effeua sa a ped, sa con al mezz (ad esempo ame meopolana), sa usando n qualà d passegge le cose opeae da al collegh n sevzo avo. Possono qund essee consdea compabl due pezz d lavoo d cu l pmo emnane n un poso dveso da quello d paenza del secondo. La pogammazone del sevzo vene svola su base gonalea n quano un hanno duaa noevolmene nfeoe alle 24oe e gl aus enano sempe al popo domclo,essendo l avà d aspoo concenaa n alcune fasce della gonaa (compesa n un nevallo d empo che va medamene dalle 5 della mana alle 2 della mana del gono seguene). La dffcolà d cosuzone d uno schedulng ammssble è daa dalla pesenza d pacola eszon qual ad esempo le pause panzo. Un pco vncolo d queso genee eca: l ausa deve poe effeuae una pausa d almeno 40 mnu nel peodo compeso fa le 12:30 e le 14:00 (pco esempo d vncolo locale al uno). Te sono le pologe d uno pù dffuse ne paes occdenal: Sagh un: composo da uno o pù pezz d lavoo nevalla da pause bev;

9 Spl shf: composo da almeno due pezz d lavoo sepaa da una pausa molo lunga; Tppe: fomao da un solo pezzo,nomalmene svolo come sevzo saodnao. La pesenza della seconda pologa d uno facla la copeua de pcch del sevzo ma è poco gada dal pesonale. Smlmene l azenda ende a lmae la pesenza d soluzon ppe essendo paga n popozone pù d un uno nomale. Reszon d queso genee danno ogne a vncol d po globale sulla soluzone. Relavamene a vncol local sono pevs lm supeo o nfeo al valoe d alcun abu del uno, qual ad esempo l empo complessvo d guda (dvng me) e la duaa del uno (noa come naso o spead ove). Al vncol local guadano l sequenzameno de pezz d lavoo e la duaa delle pause d poso; ques vncol sono dffclmene aabl quando convolgono non solo due pezz ma dpendono anche dalle caaesche delle avà svole n pecedenza. S ossev che valo de paame elav a al eszon hanno effe angbl sul gado d dffcolà del poblema. Nella fase d oseng un vengono assegna a sngol aus defnendone l avà lavoava mensle. La funzone obevo d quesa fase genealmene consse nell equpazone del caco d lavoo mpegando l numeo mnmo d adde. Queso peò chede una funzone obevo non lneae, n quano s chede d mnmzzae la somma de modul (o de quada) della dffeenza a l caco d lavoo medo e quello de un n soluzone. In alenava alcun appocc mnmzzano l caco massmo pesene n soluzone (PLI). 3. Modello d omzzazone de un Nella pogeazone de un del pesonale, come deo, s consdeano come da d npu le cose de mezz che non sono deamene le cose vse dagl uen ma la esensone d esse anche a movmen a vuoo. Il compo d gudae un auobus lungo una aa d cosa compesa fa due femae ul (pecosa nneoamene dallo sesso ausa) cosusce un sevzo elemenae (o as) denomnao con = 1,...,m ; avendo ndcao con m l numeo d sevz elemena d ue le cose e d ue le lnee. Pe ogn as è noa l oa d nzo l sa, e d fne end l, (valo fss e no). sa,, l oa d avo end, e le elave femae ul d nzo

10 1 se nza all'sane Sa po Z, =, pe appesenae la popeà d unco sane d nzo d 0 almen un as s ha: T = 1 Z, = 1 R con R = { : 1,..., m}. Due sevz elemena s dcono ncompabl se non possono essee esplea dallo sesso ausa (ad esempo sevz cu emp d esecuzone s sovappongono), maemacamene espmble con: T T Z d Z, + pecedene, ; dove d end, sa, = 1 = 1 = appesena la duaa d. Una successone d pù as compabl cosusce un pezzo d lavoo ndcao con L, dove appesena l pmo as e l ulmo. Un pezzo d lavoo s dce ammssble se la sua duaa è compesa n un ceo nevallo,maemacamene: T1 end,, T sa 2 dove end, sa, appesena la duaa d L,. Indcando con B, la pausa d poso compesa a la fne del geneco duy e l nzo del successvo e consdeando ammssbl le pause con la femaa d fne del pmo sevzo cospondene con quella d nzo del secondo e duaa compesa n un ceo nevallo s ha:, = e T3 sa, end, T4. l end l sa, Pe comodà d noazone s noduce un avà fza d nzo uno P assegnaa ad ogn uno l cu pmo sevzo è (ammssble se può effevamene cosue l pmo sevzo d un uno; ad esempo la sua oa d nzo è pecedene ad un oppouno sane d sogla) ed una d fne uno Q assegnaa ad ogn uno l cu ulmo sevzo è (anch essa ammssble se può cosue l ulmo sevzo d un uno; ad esempo la sua oa d fne è successva ad un oppouno sane d sogla). Un uno T è qund una sequenza { P L, B,..., L, Q },,,, ; se l nzo uno, l fne uno, u pezz d lavoo e le pause sono ammssbl demo che l uno è coeo. Un uno coeo s dce ammssble se: 1) l numeo de pezz d lavoo è mnoe d un massmo M : L M 2) la sua duaa complessva è mnoe d un massmo S : S end, L, T, sa, 1

11 3) l caco complessvo d lavoo è mnoe d un massmo W : W Defnamo oa l coso L, end, T sa, C d un uno T. Esso è cosuo dalle seguen componen: 1) ad ogn nzo uno ammssble P è assocao un coso c 1 che ene cono del empo che necoe fa l usca della veua dal deposo e l empo d nzo della pma cosa del uno; 2) ad ogn fne uno ammssble Q è assocao un coso c 2 che ene cono del empo che necoe a la fne dell ulma cosa del uno e l empo d eno al deposo; 3) ad ogn pezzo d lavoo ammssble ndcao con H l coso oao del lavoo (paga oaa); 4) ad ogn pausa d poso B l coso oao del poso; 3 L, è assocao un coso H ( ) c end, sa, 4 B, è assocao un coso B ( ) c sa, end, = avendo = avendo ndcao con 5) nel caso n cu s svolgesseo uno o pù sevz saodna ppe s ad ess vene assocao un coso c 5 = S dove con d s ndca la duaa d ogn sevzo saodnao e con s d s s s T S H l coso oao dello saodnao. È qund possble fomulae la funzone obevo del poblema d unazone del pesonale n un azenda d aspoo collevo che ene cono d u cos d u un appesena l nseme d u un ammssbl del ssema, come: T T', dove T' AgMn T T T ' c 1 + c 2 + L, c 3 T + B, c 4 T + c 5 s Supponamo oa d ave geneao u un ammssbl, e d ave assocao a cascuno d ess l elavo coso G. Sa A la mace d ncdenza sevz/un (as/duy) ale che l geneco elemeno a, poso n ga e colonna sa uguale a 1 se l sevzo è copeo dal uno T, 0 almen. Il poblema d unazone del pesonale è qund fomulable come poblema d se paonng: Mn A x = 1 x G T x { 0,1}

12 con T G veoe cu elemen sono cos de sngol un. Fomulando l poblema medane un se coveng nvece d un se paonng, ovveo sosuendo al vncolo A x = 1 l vncolo A x 1, è possble che un sevzo sa copeo conempoaneamene da pù un. L nepeazone d una ale suazone poebbe essee che de dves aus a cu è assegnao l sevzo uno solo lo esegue n sevzo avo mene gl al vaggano da passegge.