Algebra 2 laboratorio e complementi

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1 MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI Agebra aboratorio e comementi ISBN Edizione Direzione Editoriae: Roberto Invernici Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scavini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atas Fotocomosizione, imaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Coertina: Vavassori & Vavassori Stama: L.E.G.O. S..A. - Vicenza L'editore si imegna a mantenere invariato i contenuto di questo voume, secondo e norme vigenti. I materiae iustrativo roviene da'archivio iconografico Atas. L'editore eá a disosizione degi aventi diritto non otuti reerire. I resente voume eá conforme ae disosizioni ministeriai in merito ae norme tecniche di comiazione. Con a coaborazione dea Redazione e dei Consuenti de'i.i.e.a. Le fotocoie er uso ersonae de ettore ossono essere effettuate nei imiti de 5% di ciascun voume dietro agamento aa SIAE de comenso revisto da'art. 6, commi 4 e 5, dea egge arie 94 n. 6. Le riroduzioni effettuate er finaitaá di carattere rofessionae, economico o commerciae o comunque er uso diverso da queo ersonae ossono essere effettuate a seguito di secifica autorizzazione riasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 0, Miano 0, e-mai segreteria@aidro.org e sito web Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Bergamo - Via Crescenzi, - Te. (05) Fax (05) Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

2 IN DI CE Tema : I sistemi ineari. I sistemi ineari con Derive. I sistemi ineari con Exce 5 ë Gare di Matematica 9 ë Matematica e reataá 0 : Numeri reai e radicai. I radicai con Derive ë Matematica e storia La scuoa itagorica e i robema de'incommensurabiitaá ë Gare di Matematica 5 ë Matematica e reataá 6 : Le equazioni di secondo grado. Le equazioni con Derive. Le equazioni con Exce 9 ë Matematica e storia Lo sviuo de'agebra e e equazioni di secondo grado ë Gare di Matematica ë Matematica e reataá ë AttivitaÁ di recuero. I sistemi ineari 5. Numeri reai e radicai. Le equazioni di secondo grado 4 ë Verifica de recuero 49 ë Math in Engish 5 Tema : I iano cartesiano e a retta. I iano cartesiano e a retta con Derive 54. Segmenti e unti 54. La retta 55. I iano cartesiano e a retta con GeoGebra 57. I sistema di riferimento cartesiano 57. L'equazione di una retta e e sue caratteristiche 60. L'utiizzo degi sider 6.4 Probemi sua retta con GeoGebra 66 ë Gare di Matematica 70 ë Matematica e reataá 7 : Funzioni non ineari. Le funzioni non ineari con Derive 7. I uoghi geometrici e a araboa con Cabri 7. I uoghi geometrici e a araboa con GeoGebra 74 ë Matematica e storia La geometria anaitica 7 ë Gare di Matematica 0 ë Matematica e reataá 0 ë AttivitaÁ di recuero. I iano cartesiano e a retta. Funzioni non ineari 9 ë Verifica de recuero 96 ë Math in Engish 9 Tema : Le disequazioni di secondo grado. Le disequazioni di secondo grado con Derive 00. Le disequazioni di secondo grado con Exce 0 ë Gare di Matematica 04 ë Matematica e reataá 05 : Equazioni e disequazioni di grado sueriore a secondo e irrazionai. Le equazioni oinomiai e irrazionai con Derive 07. Le equazioni di grado sueriore a secondo con Exce 09 ë Matematica e storia Le equazioni di terzo grado ë Gare di Matematica ë Matematica e reataá 4 : Sistemi non ineari. I sistemi con Derive 5 ë Gare di Matematica 7 ë Matematica e reataá 7 ë AttivitaÁ di recuero. Le disequazioni di secondo grado 9. Equazioni e disequazioni di grado sueriore a secondo e irrazionai 7. Sistemi non ineari 6 ë Verifica de recuero 4 ë Math in Engish 44 Tema : La robabiitaá. La robabiitaá con Exce 45 ë Matematica e storia La nascita de cacoo dee robabiitaá 4 ë Gare di Matematica 50 ë Matematica e reataá 5 ë AttivitaÁ di recuero. La robabiitaá 5 ë Verifica de recuero 5 ë Math in Engish 59 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

3 CAPITOLO I sistemi ineari. I SISTEMI LINEARI CON DERIVE Per risovere un sistema con Derive si deve usare i comando Risovi/Sistema. A'attivazione si are una finestra nea quae bisogna indicare i numero di equazioni di cui eá comosto i sistema (Derive roone er defaut); subito doo si are a seguente finestra nea quae, una er ogni riga, si devono scrivere e equazioni de sistema (ricorda di canceare o zero resente er defaut nea riga). Ciccando successivamente nea casea Variabii dea souzione si devono scegiere, fra quee indicate, e variabii risetto ae quai i sistema deve essere risoto. x y ˆ Per esemio, se scriviamo e due equazioni de sistema x y ˆ 5 in questa casea vengono indicate e giaá seezionate e variabii x e y ercheâ sono e uniche; se eroá scriviamo e equazioni di questo sistema a x b y ˆ a x b y ˆ e variabii dea casea sono x, y, a, b; er defaut vengono giaá rooste x e y come variabii, ma deseezionando queste utime (basta un cic de mouse) se ne ossono indicare atre. Ciccando successivamente su usante Risovi otteniamo nea finestra di Agebra sia 'indicazione dee equazioni de sistema e dee variabii, sia a souzione. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI

4 Reativamente a quest'utimo sistema, risoto rima risetto a x e y e oi risetto ad a e b otteniamo Quando un sistema eá imossibie Derive scrive una coia di arentesi quadre vuote che stanno ad indicare che non ci sono souzioni; quando eá indeterminato riscrive una dee due equazioni, ercheâ tutte e souzioni di un'equazione sono anche souzioni de'atra: x y ˆ sistema imossibie risutato Š x y ˆ x y ˆ sistema indeterminato 4x y ˆ 6 risutato x y ˆ Š Risoviamo adesso un sistema usando i metodo di Cramer, er esemio i sistema 4x 6y ˆ 5 x y ˆ Per rima cosa dobbiamo imarare a costruire una matrice e a cacoare i suo determinante. Per creare una matrice si deve usare i comando Crea/Matrice (corrisondente a'icona ); doo aver indicato i numero di righe e di coonne, ne nostro caso righe e coonne, si are a seguente finestra nea quae, uno er casea, dobbiamo inserire i coefficienti di x nea rima coonna, quei di y nea seconda. Doo aver confermato con uno dei usanti, a matrice dei coefficienti de sistema viene inserita nea finestra di Agebra. Procedi adesso ao stesso modo er inserire e atre due matrici. Per cacoare i determinante di una matrice si deve usare a funzione DET(matrice) Ne nostro caso conviene assegnare a una variabie i tre determinanti e quindi, suonendo che e tre matrici si trovino risettivamente nee righe,, dea finestra di Agebra (come indicato nea figura a termine de'esercitazione), scrivere cosõá nea riga di inserimento: :ˆ DET # (er i simboo uoi usare a tabea dei simboi) x :ˆ DET # y :ˆ DET # 4 Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

5 Per trovare e souzioni ci serviamo dea funzione IF in modo da controare che sia 6ˆ 0 : IF 6ˆ 0, x= ˆ IF 6ˆ 0, y= ˆ x In queste funzioni abbiamo stabiito di cacoare i raorti e y se 6ˆ 0, di non fare nua se ˆ 0; in quest'utimo caso, cioeá se si verifica che ˆ 0, doo i simboo = vedremo comarire un unto di domanda. Se vogiamo recisare megio quando i sistema eá imossibie o indeterminato (ne caso in cui sia ˆ 0), dobbiamo modificare in questo modo a funzione IF : IF 6ˆ 0, x=, IF ˆ 0 and x ˆ 0 and y ˆ 0,}indeterminato},}imossibie} ˆ IF 6ˆ 0, y=, IF ˆ 0 and x ˆ 0 and y ˆ 0,}indeterminato},}imossibie} ˆ Nee successive due righe dea finestra di Agebra troviamo a souzione de sistema.. I SISTEMI LINEARI CON EXCEL Preariamo un fogio di avoro di Exce er risovere un sistema ineare di due equazioni in due incognite con i metodo di Cramer; er comrendere megio a costruzione de fogio uoi seguire a figura a termine de'esercitazione. x y ˆ Suonendo di dover risovere i sistema x 4y ˆ inseriamo i coefficienti dee due equazioni nea zona da D5 a F6. Procediamo oi in questo modo: n costruiamo a matrice dei coefficienti riortando i contenuti dee cee da D5 ad E6 nea zona da B a C9; er fare questo conviene fare queste oerazioni: B: =D5 C: =E5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI 5

6 B9: =D6 C9: =E6 n costruiamo a matrice che si ottiene sostituendo aa coonna dei coefficienti di x quea dei termini noti; rocedendo in modo anaogo a unto recedente riortiamo i contenuti dee cee F5 e F6 in B e B e dee cee E5 e E6 in C e C n costruiamo in modo anaogo a matrice che si ottiene sostituendo aa coonna dei coefficienti di y quea dei termini noti. Per cacoare i determinante di queste tre matrici ci serviamo dea funzione MATR.DETERM riferimento :riferimento dove riferimento eá a cea de rimo eemento dea matrice, riferimento eá a cea de'utimo eemento. Inseriamo aora queste formue (cometa con i riferimenti dee cee): F: MATR.DETERM(B:C9) F: MATR.DETERM(... :...) F4: MATR.DETERM(... :...) Per trovare e souzioni dobbiamo usare a funzione di seezione SE ercheâ eá necessario controare i vaore de determinante dea matrice dei coefficienti nea cea F; ecco e due formue: C7: =SE(F<>0;F/F;SE(E(F=0;F4=0);"indeterminato";"imossibie")) C: =SE(F<>0;F4/F;SE(E(F=0;F4=0);"indeterminato";"imossibie")) Con queste formue: x abbiamo cacoato i due raorti e y se 6ˆ 0 abbiamo fatto scrivere "indeterminato" se, essendo F=0, anche F=0 e F4=0 abbiamo fatto scrivere "imossibie" se, essendo F=0, non si verifica che contemoraneamente F=0 e F4=0. A B C D E F SISTEMI LINEARI Equazioni nea forma ax by ˆ c 4 a b c 5 Coefficienti rima equazione 6 Coefficienti seconda equazione 4 7 matrice det = matrice x det = matrice y det = SOLUZIONI x= 0,746 y= 0, Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

7 ESERCIZI. Risovi i seguenti sistemi ineari interi: x y ˆ 0 x 4y ˆ a. b. x y ˆ 0 0x 40y ˆ 0 >< d. >: y x ˆ y x y ˆ y >< e. >: x y ˆ x 4 y x 5 ˆ x y ˆ c. x 6y ˆ >< f. >: 7y 4 ˆ x y ˆ x y. Risovi i seguenti sistemi frazionari restando attenzione a'accettabiitaá dee souzioni: x ˆ x y x y >< y >< a. b. 4 y x ˆ >< x c. >: >: >: x y x y ˆ 0 4 x ˆ y 6 y ˆ x y 4 ˆ y. Risovi i seguenti sistemi etterai e trova oi a souzione degi stessi nei casi articoari indicati: ax ay ˆ a a. a ˆ 0, a ˆ, a ˆ, a ˆ a x ay ˆ a x y ˆ b. ax y ˆ x ay ˆ a c. ax ay ˆ a a ˆ 0, a ˆ, a ˆ, a ˆ a ˆ 0, a ˆ, a ˆ, a ˆ 4 4. Costruisci e matrici e i determinanti che consentono di risovere con i metodo di Cramer i seguenti sistemi e rocedi oi aa oro risouzione: x y ˆ 5 x y ˆ < x ˆ y a. b. c. x y ˆ 4 x 6y ˆ : y ˆ x 5. Costruisci con Derive e matrici e i determinanti che consentono di risovere con i metodo di Cramer i seguenti sistemi etterai e rocedi aa oro discussione; determina oi a souzione articoare che si ottiene nei casi indicati: a x a y ˆ a. ax ay ˆ a x a y ˆ 0 b. a x 6 a y ˆ a ˆ, a ˆ 0, a ˆ, a ˆ a ˆ, a ˆ, a ˆ 0, a ˆ 6. Costruisci e matrici e i determinanti che consentono di risovere con i metodo di Cramer i seguenti sistemi etterai di tre equazioni in tre incognite e rocedi aa oro discussione; determina oi a souzione articoare che si ottiene nei casi indicati: >< ax a y z ˆ a a. x ay a z ˆ a >: ax y az ˆ a a ˆ, a ˆ, a ˆ, a ˆ 0 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI 7

8 >< ax y z ˆ a b. 4x ay z ˆ a a >: x ay az ˆ a a 4ax ay z ˆ a >< c. 5x ay 4 az ˆ a >: ax z ˆ 0 a ˆ 0, a ˆ, a ˆ, a ˆ a ˆ 0, a ˆ, a ˆ, a ˆ 4 Risovi i seguenti esercizi con Exce. 7. Risovi i seguenti sistemi usando i fogio rearato ne'esercitazione recedente: x y ˆ a. x y ˆ 5 < x 4y ˆ d. : 4 x y ˆ 4 5x 6y ˆ b. x 4y ˆ x y ˆ 4 e. 6x 4y ˆ >< c. x 5 4 y ˆ 0 >: x y ˆ 7 >< f. 5 x 0 y ˆ >: x y ˆ 5. Preara un fogio di Exce er risovere un sistema ineare di tre equazioni in tre incognite e usao oi er risovere i seguenti sistemi: < x y z ˆ < 4x y 5z ˆ < x y z ˆ a. x 5y z ˆ b. x y z ˆ 6 c. x y x ˆ 0 : : : x 4y z ˆ 4x 7y z ˆ 9 4x y z ˆ Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

9 Un secchio ieno di sabbia esa comessivamente 9kg, riemito er metaá di sabbia esa 5kg. Quanto esa i secchio vuoto? a. 5kg b. kg c. kg d.,5kg e. i eso de secchio non uoá essere determinato b: Š Un geataio reara 0kg di geato e o rivende ne corso dea giornata in coni iccoi da E,0 di due aine e coni grandi da E,60 di tre aine. Da ogni chio di geato ha ricavato aine; aa fine dea giornata, ha incassato in totae E 7,60. Quanti coni grandi ha venduto? a. 7 b. 4 c. d. 4 e. 50 c: Š Michee si reara a'utimo comito in casse di matematica de'anno; o affronta con tranquiitaá, saendo che se renderaá 0 avraá a media de 9, mentre rendendo 5 a media diverraá. Quanti comiti ha giaá fatto quest'anno Michee? a. b. c. 4 d. 5 e. i dati non sono sufficienti er dare a risosta c: Š 4 In un grande ufficio ci sono 4 imiegati, ciascuno dei quai conosce ameno una ingua tra 'ingese e i tedesco; inotre i 0% di cooro che arano 'ingese ara anche i tedesco e '0% di cooro cha ara i tedesco ara anche 'ingese. Quanti sono gi imiegati di que'ufficio che conoscono entrambe e ingue? a. b. 4 c. 5 d. 6 e. d: Š 5 Ad una gara matematica arteciano 00 candidati. I 40% di essi riceve una medagia (d'oro, d'argento o di bronzo). I numero dee medagie di bronzo eá trio di queo dee medagie d'oro; i numero dee medagie d'argento eá doio di queo dee medagie d'oro. Quante sono e medagie d'argento? a. 0 b. 44 c. 60 d. 0 e. nessuna dee recedenti c: Š 6 Se y ˆ x e z ˆ y, a che cosa eá uguae x y z? a. 5x b. 4y c. z d. 7 y e. 7 z d: Š 7 In una associazione ogni socio ha diritto a votare i residente. L'attuae residente eá stato eetto con un numero di voti doio di quei ottenuti da suo unico avversario. Saendo che tre soci non hanno votato e che i residente eetto ha ottenuto i 64% dei voti degi aventi diritto, stabiire quanti sono i soci: a. 69 b. 75 c. d. 7 e. 99 b: Š In un iceo scientifico ci sono meno di 000 studenti, di cui 0 frequentano e cassi de triennio, gi aunni che frequentano a casse seconda sono i di tutti i rimanenti; inotre, se si iscrivessero ancora 46 0 aunni aa rima, aora gi studenti di rima diventerebbero i de totae. I numero degi aunni 5 dea scuoa eá: a. 500 b. 590 c. 65 d. 700 e. 5 b: Š 9 I rezzo dea mascotte dee oimiadi di matematica eá dato daa somma de rezzo dee materie rime e de rezzo dea avorazione. L'anno scorso a mascotte costava E 0. Quest'anno i costo dee materie rime eá raddoiato, mentre i costo dea avorazione eá aumentato de 0%; di conseguenza quest'anno a mascotte costa E. Quanto incide quest'anno i rezzo dee materie rime su rezzo finae de rodotto? a. meno di E b. tra E ee c. tra E ee d. tra E ee 4 e. iuá di E 4 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI 9 c: Š

10 I mercatini di Natae In una cittaá eá attiva una Associazione ONLUS (Organizzazione Non Lucrativa di UtiitaÁ Sociae) che raccogie fondi er reaizzare diversi rogetti. Uno di questi ha come obiettivo 'acquisto di ibri scoastici er bambini e ragazzi e cui famigie si trovano in difficotaá economiche. A questo rogetto arteciano numerosi ragazzi, fra cui anche acuni studenti dee scuoe sueriori, i quai hanno deciso di rearare degi oggetti da vendere nei mercatini durante i eriodo che recede e feste nataizie. Si ritrovano due sere a settimana nea sede de'associazione e roducono bamboe reaizzate con gi strofinacci da cucina, ucini reaizzati con e resine, scatoe di egno in decouage di diverse misure. Per fare una bamboa occorrono tre strofinacci er reaizzare 'abito, una aina di oistiroo er a testa e una resina er i caeo; er fare un ucino occorre una aina di oistiroo er formare i coro e tre resine, e scatoe sono di tre misure diverse e vengono ricoerte con 'aosita carta decorata e successivamente verniciate con una vernice trasarente ucida. I ragazzi avorano gratuitamente, ma i materiae va acquistato e i rezzo di vendita di ciascun oggetto non soo deve corire e sese, ma deve anche dare un margine adeguato ao scoo er cui vengono reaizzate. Tutto i materiae er e bamboe e i ucini viene acquistato in acchi da 00 ai seguenti rezzi: gi strofinacci da cucina a E 0, e resine a E 60, e aine di oistiroo a E 0. Inotre er reaizzare una bamboa servono in media E 0,0 di decorazioni, er reaizzare un ucino servono E 0,50 di decorazioni. Le scatoe grezze costano E 5 'una a misura iuá iccoa, E quea media, E 0 quea grande e vengono acquistate singoarmente; er a decorazione si sendono in media E, E ed E 4 ne'ordine er ogni scatoa. Per i rezzo di vendita, si decide di aicare una ricarica de'0% su costo di ogni oggetto e, er non avere robemi con i centesimi di Euro, di arrotondare a'euro sueriore. Aiutiamo i ragazzi a fare un o' di conti. Daa vendita dee bamboe e dei ucini si sono ricavati E 500 e e bamboe vendute sono state i doio dei ucini. La vendita dee scatoe ha dato un ricavo di E 00 e si sono vendute 5 scatoe medie in iuá di quee iccoe e 0 scatoe grandi in iuá di quee medie. Quanti oggetti di ciascun tio sono stati venduti? Tenendo resente e quantitaá che sono state necessarie er reaizzare gi oggetti, qua eá stato i guadagno a netto dee sese sostenute? In una fase successiva, una ersona fa una richiesta di atre 0 bamboe, 5 ucini, 4 scatoe iccoe, 4 medie e grandi. Vae a ena di esaudire a richiesta? Di quanto si sarebbe dovuto aumentare ercentuamente i rezzo di vendita di ciascun oggetto venduto nea rima fase risetto a costo se si voeva reaizzare un guadagno netto di E 79? 4 Da una iuá attenta revisione si eá scoerto che e bamboe vendute sono state i 5 dei ucini e che 'incasso eá stato di E 600, mentre a vendita dee scatoe ha fruttato E 06 con un ugua numero di scatoe vendute er ogni tio. Quante bamboe, ucini e scatoe sono state vendute? 40 bamboe, 0 ucini, 0 scatoe iccoe, 5 medie, 5 grandi; E 6 sõá, si ha un guadagno nonostante i nuovi acquisti necessari 00% 4 50 bamboe, 0 ucini, scatoe er ogni tio 0 Tema - Ca. : I SISTEMI LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

11 CAPITOLO Numeri reai e radicai. I RADICALI CON DERIVE Derive avora soo con i radicai in R 0 e ossiede soo a funzione er i cacoo dea radice quadrata; quaunque atra radice di indice n 6ˆ deve essere scritta in forma di otenza ad esonente razionae. Per esrimere a radice quadrata di un numero n si usa a funzione SQRT n oure i simboo daa tabea dei simboi devi digitare i seguente testo (er i rodotto usa i simbo- Per esemio: er scrivere 'esressione 6 o dea tastiera o 'asterisco): sqrt sqrt sqrt sqrt6 oure usando i simboo dea tastiera Semificando 'esressione si ottiene come risutato. er scrivere 'esressione ^ = = 54^ = ^ =4 6^ =4 Semificando si ottiene 7 4 cioeá nea forma radicae devi digitare questo testo: Esressioni come non si ossono inserire ercheâ non vengono interretate come numeri reai; in questi casi si deve scrivere i radicae con argomento ositivo corrisondente, cioeá nea forma di otenza: ^ =. Inotre e esressioni che contengono radicai i cui argomenti sono etterai non semre vengono semificate nea forma che siamo abituati a vedere. Per esemio, se inserisci 'esressione r r r 4 a b a b a b a 4b a b b digitando i testo (fai attenzione ae arentesi): a b = a^ 4b^ ^ =4 sqrt a b = a b sqrt a b =b e oi semifichi, ottieni un risutato come queo indicato nea riga dea finestra di Agebra che trovi nea agina seguente Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI

12 dove 'esressione SIGN a b ha vaore quando a b eá ositivo, ha vaore quando a b eá negativo. r 4 a b I risutato di questa esressione, cacoato aicando e tecniche di cacoo manuae, eá, ma Derive non b eá in grado di cacoaro. Non conviene quindi usare questo software er semificare esressioni che contengono radicai etterai. Le razionaizzazioni sono invece fatte in modo automatico quando si chiede di semificare a frazione; er esemio: 4 inserendo 4= e semificando si ottiene inserendo = e semificando si ottiene. ESERCIZI. Esegui a razionaizzazione dee seguenti frazioni e controa i risutato con Derive usando i comando Semifica/Base: a ab x x x x. Semifica i seguenti radicai, orta fuori da simboo di radice i ossibii vaori e controa i risutato con Derive: r s 4 a a 6 b 4 a b b 64 x 6 x x x 5 x. Semifica e seguenti esressioni con i radicai usando Derive: a b c. 6 6 d Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

13 Matematica e storia La scuoa itagorica e i robema de'incommensurabiitaá Uno dei maggiori fiosofi e matematici de'antichitaá eá Pitagora, noto certamente anche a te se non atro er i ceebre teorema; e nostre conoscenze sua sua vita sono moto confuse e non si sa nemmeno con certezza che cosa sia da attribuire a ui o ai suoi disceoi. Quando si ara de'oera di Pitagora, quindi, comreso i famoso teorema sui triangoi rettangoi, ci si riferisce a avoro svoto da gruo di ersone che facevano arte dea sua scuoa. Nato ne'isoa di Samo resumibimente ne 55 a.c., trascorse a sua giovinezza con Taete a Mieto, viaggioá oi in moti aesi, comresi 'Egitto e Babionia e a'etaá di quarant'anni abbandonoá a roria atria er trasferirsi nea Magna Grecia, dove fondoá una confraternita reigiosa, scientifica e fiosofica. I numero di membri di questa scuoa era circoscritto e gi insegnamenti venivano imartiti verbamente dai maestri agi adeti; non vi era quindi niente di scritto e tutto veniva tenuto segreto, anche se acuni studiosi sostengono che e conoscenze matematiche fossero invece note negi ambienti cuturai de'eoca. I concetto essenziae dea dottrina che vi si imartiva consisteva ne considerare i numeri come essenza e radice utima di ogni cosa. I numeri (i itagorici rendevano in considerazione soo quei naturai) venivano coegati strettamente a'ambito geometrico; i unto geometrico, detto monade, era infatti er i itagorici indivisibie e dotato di dimensione, anche se iccoissima. Un numero finito di monadi costituiva una figura geometrica e ertanto era ossibie determinare e rinciai caratteristiche dee figure geometriche attraverso i numero di monadi da cui esse erano costituite. Quando i rimi Pitagorici dicevano che tutti gi oggetti sono comosti da numeri, essi intendevano questo concetto in senso etterae, rorio come noi oggi diciamo che a materia eá comosta da atomi; i numero era 'equivaente de nostro atomo oggi. I numeri stessi venivano raresentati dai itagorici secondo regoe ben recise, in forma di unti disosti in modo da formare dee semici figure geometriche. Si avevano cosõá, ad esemio, numeri "triangoari" come i, i 6, i 0 (osserva a figura); numeri "quadrati" come i 4, i 9, i 6; numeri "cubici" come ', i 7; numeri "oigonai", come i 7, i ; numeri "iramidai" come i 5, i 4, i 0. Questi utimi si ottengono aggiungendo in sequenza quadrati erfetti: 5 ˆ 4, 4 ˆ 5 9, 0 ˆ 4 6, e cosõá via. La matematica di Pitagora era dunque una matematica de discontinuo, visto che tutto oteva essere raresentato attraverso numeri naturai e e grandezze aumentavano o diminuivano soo er "sati" discreti. In articoare, dire che un segmento eá doio o trio di un atro significava er i itagorici che esso conteneva un numero di unti doio o trio. Questo modo di ragionare comortava che una quasiasi coia di segmenti ammettesse semre un sottomutio comune: a imite, tae sottomutio era i unto geometrico singoo. In geometria si dice che due segmenti che hanno un sottomutio comune sono commensurabii; dunque, er i itagorici, tutte e coie di segmenti erano commensurabii. Un raorto fra due numeri Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI

14 interi non era quindi una frazione come a intendiamo oggi come arte di un intero (e quindi un atro tio di numero), ma esrimeva semicemente i numero di unti contenuti in un oggetto risetto a quei contenuti in un atro. La oro ricerca dee terne di numeri interi che ossono essere ati di un triangoo rettangoo (ancora oggi si dice che numeri, 4 e 5 costituiscono una terna itagorica ercheá 4 ˆ 5 ) i ortoá eroá aa scoerta che fra i ato ` di un quadrato e a sua diagonae d sussiste a reazione che noi oggi scriviamo cosõá: d ˆ ` e questo significa che i raorto fra d e ` non eá esrimibie come un raorto fra numeri interi (eggi a questo riguardo i testo di geometria sua misura dee grandezze), cioeá, in sostanza, che non esiste un sottomutio comune, vae a dire che i ato di un quadrato e a sua diagonae sono segmenti incommensurabii. La scoerta dei raorti incommensurabii eá attribuita a Iaso di Metaonto (V secoo a.c.); si racconta che i Pitagorici fossero in que momento er mare e che essi gettarono fuori bordo i overo Iaso er uniro de fatto di aver introdotto un eemento estraneo aa oro dottrina, che negava che tutti i fenomeni de'universo otessero essere ridotti a numeri interi o a oro raorti. La dimostrazione de fatto che eá incommensurabie con 'unitaá venne oi data dai Pitagorici stessi mediante una reductio ad absurdum (a nostra dimostrazione er assurdo) che sostanziamente funziona cosõá: d si suone che i raorto ` ˆ sia un raorto fra numeri interi rimi fra oro: ˆ a b a da cioá segue che ˆ b, cioeá che b ˆ a aora a, essendo i doio di b,eá un numero ari oicheá i quadrato di un numero disari eá semre disari, anche a deve essere un numero ari e ercioá b deve essere disari ercheâ eá rimo con a se a eá ari, si uoá scrivere che a ˆ k ed eá a ˆ 4k ˆ b da'uguagianza 4k ˆ b segue che k ˆ b e questo significa che b eá ari ma b non uoá essere contemoraneamente ari e disari e quindi: d non uoá essere un raorto fra numeri interi. ` Nonostante questa scoerta, i Pitagorici continuarono a avorare con segmenti, aree e raorti, ma restrinsero i camo ae soe grandezze commensurabii, ignorando quee incommensurabii. La scoerta dei segmenti incommensurabii fu comunque un evento scientifico di grande imortanza ed arõá a strada verso nuove conquiste matematiche. 4 Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

15 Se a ˆ b quae dee seguenti affermazioni eá certamente vera? a. a 0 b. b 0 c. a > d. b a e. nessuna dee recedenti b:š I numero eá: a. intero b. razionae ositivo ma non intero c. razionae negativo ma non intero d. irrazionae ositivo e. irrazionae negativo b:š I numero eá uguae a: a. 6 6 b. c. 6 d. 6 e. nessuno dei recedenti c:š 4 Mettere in ordine crescente i tre numeri, 0,. a. < 0 < b. < < 0 c. 0 < < d. < < 0 e. < 0 < d:š 5 Quanti simboi di radice quadrata, come minimo, devono comarire ne'esressione r q ::: affincheâ i risutato sia minore di? a. 5 b. 6 c. 7 d. e. 9 a:š 6 Dati due numeri reai x e y tai che 0 < x < y <, in quae intervao si trova x y? a. fra 0e x b. fra x e y c. fra y e d. otre e. diende dai vaori di x e y a:š 7 Se ordiniamo e cifre seguenti secondo a somma dee unghezze dei segmenti di cui sono comoste, quae cifra occua a osizione centrae? a. i b. i c. i 4 d. ce n'eá iuá di una e. nessuna dee recedenti a:š q Quanto vae q 5 5? q a b. c. 5 9 Qua eá i vaore di a.? b. c. 6 d. 5 4 d. 4 e. b:š e. nessuno dei recedenti. c:š 0 Si considerino i due numeri x ˆ e y ˆ. Si ha che: a. x ˆ y b. x > y c. x < y d. x y > e. x e y non si ossono confrontare. b:š Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI 5

16 Incinazioni e endenze E' un unedõámattina, si ritorna a scuoa doo un onte di tre giorni; i ragazzi, rima de'inizio dee ezioni, si raccontano queo che hanno fatto nei giorni di vacanza. Paoo: Matteo: Anna: Luca: Giuia: "Io e Luca siamo andati in montagna e non vi dico! Abbiamo conosciuto una tia che diceva di saer sciare e 'abbiamo ortata su una ista nera; questa continuava a cadere e a gridare. Aora siamo andati su una rossa, ma anche qui, niente da fare. Aa fine abbiamo dovuto fara scendere in funivia!" "Io invece sono andato con i mio gruo cicistico er vai e coine; e discese sono rorio bee, vai aa grande, ma in saita! Aa fine ci siamo ritrovati su una strada con i 00% di endenza, er fortuna un tratto brevissimo, ma siamo morti o stesso". "E giaá, sei andato su un muro verticae! Ma dai, raccontaa giusta!" "Guarda che 00% di endenza non vuo dire che sei in verticae, quea õá eá una endenza infinita". "Io ho dovuto giocare con i mio cuginetto che ha sei anni e che eá stato da noi ercheâ i miei zii hanno fatto un viaggio. PeroÁ mi sono divertita: abbiamo usato e sue costruzioni e abbiamo fatto un sacco di cose carine". La chiacchierata continua fino a che suona a camanea e 'insegnante, guarda caso aa rima ora c'eá matematica, arriva in casse. Guido: I Prof.: "Prof, e ei che cosa ha fatto in questi giorni?" "Ho corretto i vostri comiti e come a soito c'eá semre quacuno che non si reara tanto bene. Radicai argomento ostico, eh! Paoo, vediamo se sai che cosa vuo dire ista nera e ista rossa; Anna una endenza de 00% vuo dire che una strada eá incinata di 45 risetto aa inea orizzontae". Anna, interromendo i Prof.: "SõÁ, eroá ha sbagiato anche Luca; in verticae, che fa un angoo di 90,eÁ una endenza de 00%". A questo unto i Prof. si mette e mani nei caei. Aiutiamo Paoo e Anna a caire di che cosa si sta arando? La endenza di una strada, di una ista da sci, di una scaa aoggiata aa arete si misura cacoando i raorto tra innazamento e avanzamento in orizzontae; in sostanza, basta riferirsi a un triangoo rettangoo come queo in figura e cacoare i raorto fra i due cateti: endenza ˆ y x Per avere a endenza in forma ercentuae basta oi motiicare i vaore ottenuto er 00: endenza ercentuae ˆ y x 00 Per esemio, una endenza de 5% significa che hai ercorso una strada che eá 'iotenusa di un triangoo rettangoo che ha i cateto orizzontae di 00m e queo verticae di 5m. a. b. 6 Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

17 Se trovi un carteo come queo in figura e ti sei sostato in orizzontae di 4km, quanto eá unga a strada che hai ercorso? Perche i Professore ha detto che una endenza de 00% corrisonde a un angoo di incinazione di 45 e qua eá a endenza ne caso di un angoo di incinazione di 90? Ha endenza maggiore una strada che sae di 40m ogni 00m in orizzontae o una strada che sae di 4m ogni 0m in orizzontae? Un atimetro eá uno strumento che misura a quota risetto a iveo de mare; 'atimetro di un aereo segna che, in una certa fase de decoo, 'aereo eá assato da 00m di quota a 500m con una endenza de 0%. Quai sono i vaori esatti dea distanza che ha ercorso in orizzontae e in diagonae? 4 Le iste di sci vengono cassificate in base aa endenza con un coore: bu endenza massima de 5% rosse endenza massima de 40% nere endenza massima otre i 40%. Qua eá i disiveo massimo in metri di una ista che eá unga km a seconda de tio? (Per trovare a souzione devi aicare i concetto di radicae ad un'equazione de tio x ˆ k) 5 Con a costruzione de cuginetto di Giuia si uoá fare di tutto; i due hanno costruito un edificio da tetto a forma di iramide che eroá a Giuia sembra sroorzionato risetto a'atezza de'edificio che eá di 0cm. I tetto oggia sua base sueriore dea costruzione di forma rettangoare, ma a sua atezza non eá direttamente misurabie. Le soe misure che si ossono rievare daa costruzione sono (vedi anche o schema in figura ne quae eáriortata una sezione in diagonae de'edificio): ± e dimensioni dea base su cui oggia i tetto, risettivamente 4cm e cm ± a unghezza di uno siovente de tetto, cm, e dei ati dea base, 5,6cm e 9,cm. Un raorto di costruzione accettabie da unto di vista estetico fra atezza dea costruzione e atezza de tetto si aggira attorno a,6, vaore che viene definito come raorto aureo e che imarerai a conoscere in geometria. Qua eá 'atezza de'edificio costruito da Giuia e da cuginetto? Risetta i canoni estetici de raorto aureo? a90 a endenza tende a'infinito ercheâ i cateto x ha unghezza uguae a zero; a rima (0% contro 7,5%) 7000 m, bu: m 45m; rossa: h ˆ 5 m 7 9 cm, raorto ˆ,5 9 m 74m; nera: otre i 74m 4,0km Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : NUMERI REALI E RADICALI 7 0 5

18 CAPITOLO Le equazioni di secondo grado. LE EQUAZIONI CON DERIVE Per risovere un'equazione di secondo grado con Derive si usa a stessa rocedura che abbiamo usato er risovere quee di rimo grado: si inserisce i testo de'equazione con i comando Crea/Esressione si aica ad essa i comando Risovi/Esressione (icona con a ente e i simboo = a suo interno). Nea scrittura dee souzioni Derive riconosce quee da scartare ercheâ non aartenenti a dominio de'equazione; er esemio,'equazione x x 5 7 x x 0 x ˆ 0 che ha dominio R 5, x f g,ridotta in forma normae eá equivaente a x x ˆ 0; quest'utima equazione ha souzioni 4 e,ma usando i comando Risovi/Esressione trovi soo x ˆ 4 ercheá a souzione non eá accettabie. Vediamo adesso come stabiire a natura dee souzioni di un'equazione di secondo grado ax bx c ˆ 0 mediante i cacoo de discriminante. Imostiamo i cacoo di mediante una funzione; DELTA a, b, c :ˆ b^ 4ac Mediante un'istruzione di seezione ossiamo adesso decidere a tioogia dee souzioni; ricordiamo senza uteriori commenti a sintassi di questa istruzione che abbiamo giaá usato iuá vote: IF roosizione ogica,istruzione,istruzione ) Usando questa istruzione in forma nidificata anaizziamo i vaore assunto da DELTA e comunichiamo i messaggio adeguato: roosizione ogica eá 'anaisi de vaore de discriminante con a condizione DELTA > 0 istruzione eá i rimo messaggio da comunicare,cioeá che e souzioni sono reai e distinte istruzione eá a seconda istruzione IF nidificata nea quae anaizziamo quando DELTA eá uguae a zero oure,er escusione,minore di zero. I risutato generato da questa istruzione deve eroá essere assegnato ad una variabie che indichiamo con SOLUZIONI; in definitiva nea finestra di agebra,doo aver costruito a variabie DELTA,devi inserire questo nuovo assegnamento: SOLUZIONI a, b, c :ˆ IF(DELTA a, b, c > 0,"radici reai distinte",if(delta(a, b, c ˆ0,"radici reai coincidenti", "radici non reai")) Se adesso scrivi er esemio: SOLUZIONI(,,4 ˆ SOLUZIONI(,, ˆ SOLUZIONI(4,4, ˆ Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

19 ottieni un risutato come queo dea figura che segue:. LE EQUAZIONI CON EXCEL Usiamo adesso Exce er costruire 'agoritmo che determina e souzioni di un'equazione di secondo grado data nea forma ax bx c ˆ 0. Per caire come rogettare 'agoritmo osserva i fogio di avoro nea figura che segue e che raresenta i risutato finae de nostro avoro. Ti daremo soo e indicazioni er inserire e formue,asciando a te a rearazione dee casee di testo. Inseriamo nea coonna B i coefficienti de'equazione e cacoiamo i vaore de discriminante nea cea E4: E4: =B4^ 4 B B5 Per cacoare e souzioni occorre vautare i segno de discriminante; ci serviremo aora dea funzione di seezione SE che abbiamo giaá imarato ad usare o scorso anno scoastico e che eá moto simie a quea usata da Derive; a sua sintassi eá a seguente: SE (roosizione; istruzione_vero; istruzione_faso) nee cee C6 e C7 scriviamo aora e seguenti formue che,ne caso di souzioni reai,danno risettivamente e due souzioni: C6: SE(E4<0;"'equazione non ha souzioni reai";( B4 RADQ(E4))/(*B)) C7: SE(E4<0;" ";( B4 RADQ(E4))/(*B)) Prova adesso ad inserire i coefficienti dee seguenti equazioni er controare di aver imostato correttamente i fogio di avoro: n x x ˆ 0 n 9x 6x ˆ 0 n 4x x ˆ 0 A B C D E F G RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO Vaore di a 4 4 Vaore di b Deta= 5 Vaore di c 6 Souzioni x= 'equazione non ha souzioni reai 7 x= Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 9

20 ESERCIZI Risovi i seguenti esercizi usando Derive.. Utiizzando a funzione SOLUZIONI rearata ne'esercitazione,stabiisci a natura dee radici dee seguenti equazioni: a. x 5x ˆ 0 b. 4x 6x 5 ˆ 0 c. x x 7 ˆ 0 d. x 4 x ˆ 0 e. x x ˆ 0 f. 5 6 x x 9 ˆ 0. Costruisci e funzioni che,acquisiti i vaori a, b, c dei coefficienti di un'equazione di secondo grado,ne determinino a somma e i rodotto dee souzioni,doo aver verificato che esse sono reai.. Utiizzando a funzione rearata a recedente esercizio,cacoa a somma e i rodotto dee souzioni dee seguenti equazioni: a. x x ˆ 0 d. 5x 6x ˆ 0 c. x 0x ˆ 0 d. 0x 7x ˆ 0 e. 5x 0x ˆ 0 f. 4x 0x 5 ˆ 0 4. Considerata 'equazione kx x k k ˆ 0,usa e recedenti funzioni er determinare i vaore di k in modo che: a. a somma dee souzioni sia uguae a b. i rodotto dee souzioni sia uguae a. 5. Considerata 'equazione x k er i quae: a. e souzioni sono reai b. a somma dee souzioni eá minore di 5 c. i rodotto dee souzioni eá maggiore di. x k ˆ 0,usa e recedenti funzioni er determinare i vaore di k Risovi con Exce. 6. Utiizzando i fogio rearato ne'esercitazione,trova e souzioni dee seguenti equazioni: a. x 9 x 4 ˆ 0 b. 6x x ˆ 0 c. 5x 7x 6 ˆ 0 d. 9x 6x ˆ 0 e. 4x x 5 ˆ 0 f. x x 7 ˆ 0 7. Progetta un fogio di Exce che,avuti come dati in ingresso i coefficienti di un'equazione di secondo grado, stabiisca se e souzioni sono reai e,soo in questo caso,ne determini a somma e i rodotto. 0 Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

21 Matematica e storia Lo sviuo de'agebra e e equazioni di secondo grado Abbiamo giaá incontrato i matematico arabo a- Khuwarizmi nea scheda reativa ao sviuo de'agebra ne rimo voume e saiamo che eá a ui che dobbiamo 'introduzione di acuni termini quai er esemio radice er indicare a souzione di un'equazione. Nea sua oera che risae aa rima metaá de nono secoo, i termini di un'equazione vengono indicati con nomi diversi: e radici raresentano a variabie x, iquadrati raresentano x, i numeri raresentano i termine noto. Egi si occua di risovere equazioni di rimo e di secondo grado che rientrano in sei tii fondamentai che descrive a aroe in questo modo (fra arentesi a corrisondente scrittura ne simboismo agebrico moderno):. i quadrati sono uguai ae radici (ax ˆ bx). i quadrati sono uguai a un numero (ax ˆ c). e radici sono uguai a un numero (ax ˆ c) 4. i quadrati e e radici sono uguai a un numero (ax bx ˆ c) 5. i quadrati e i numeri sono uguai ae radici (ax c ˆ bx) 6. e radici e i numeri sono uguai ai quadrati (bx c ˆ ax ) La siegazione de ercheâ a-khuwarizmi ricorre a tutte queste forme sta ne fatto che i coefficienti devono essere semre ositivi e che fra i termini devono comarire soo oerazioni di addizione; er esemio, non eá ossibie scrivere un'equazione nea forma x x 5 ˆ 0, ma a si deve trasformare in x 5 ˆ x corrisondente aa forma 5 de'eenco recedente. Per ricondurre un'equazione ad una di queste tioogie si usano acune oerazioni fondamentai: 'ajabr (etteramente: cometamento) che ermette di eiminare i termini negativi aggiungendo termini uguai ai due membri (oerazione che corrisonde a nostro rimo rinciio di equivaenza); 'a-muqabaa (etteramente: bianciamento) che consente di addizionare i termini simii nei due membri; vi eá oi una terza oerazione, 'a-hatt, che ermette di ridurre a i coefficiente de termine di secondo grado e che viene usata er e equazioni nee forme 4 e 5. Un esemio di equazione di secondo grado tratta da manuae di a-khuwarizmi eá a seguente: un quadrato e dieci dee sue radici sono uguai a nove e trenta numeri, cioeá tu sommi dieci radici a un quadrato e a somma eá uguae a nove e trenta Con i simboismo agebrico: x 0x ˆ 9 La souzione viene data in questo modo: rendi metaá de numero dee radici, cioeá cinque 0 ˆ 5 oi motiicao er se stesso e i risutato eá cinque e venti 5 5 ˆ 5 somma questo a nove e trenta, i che daá sessantaquattro 5 9 ˆ 64 rendi a radice quadrata, cioeá otto 64 ˆ e sottrai da essa a metaá de numero dee radici 5 ˆ questa eá a radice de quadrato che cercavi ed i suo quadrato eá nove. In sostanza, a-khuwarizmi indica quai sono e oerazioni da fare er trovare a souzione de'equazione di secondo grado nea forma ax bx ˆ c : b rendi metaá de numero dee radici b oi motiicao er se stesso b somma questo a c c s b rendi a radice quadrata c s e sottrai da essa a metaá de numero dee radici b c b questa eá a s radice de quadrato che cercavi x ˆ b b c Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

22 In questa formua ritroviamo quea a noi nota er a determinazione dee radici di un'equazione di secondo grado; osserviamo che in questo modo si trovano soo e radici ositive: quee negative non erano rese in considerazione. A questa regoa a-khuwarizmi, robabimente infuenzato daa cutura greca, fa seguire a dimostrazione geometrica dea formua che, er a recedente equazione funziona cosõá (osserva a figura): si suone che i segmento AB raresenti i vaore de'incognita x si costruisce i quadrato di ato AB si rounga AB de segmento AH uguae aa metaá de numero dee radici (5) si cometa i quadrato di ato BH. Le aree dee tre arti in coore in cui i quadrato di ato BH viene diviso sono risettivamente: x,5x, 5x e a oro somma eá i rimo membro de'equazione: x 0x. Se adesso ai due membri sommiamo 'area dea arte chiara, che eá uguae a 5, scoriamo che 'area de'intero quadrato eá 64 : x 0x 5 ˆ 9 5! x 5 ˆ 64 I ato de quadrato deve quindi essere uguae a e ercioá x deve essere uguae a. Riconosciamo in questa rocedura i metodo de cometamento de quadrato che abbiamo introdotto ne caitoo sue equazioni di secondo grado er ricavare a formua risoutiva. Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

23 Due numeri hanno somma 4 e rodotto. Quanto vae i maggiore di tai interi? a. 7 b. c. d. e. 7 d: Š Chiama a e b e souzioni de'equazione x x ˆ 0. Quanto vae a b? a. b. 4 c. 6 d. e. 4 d: Š Quante sono e coie di interi ositivi x, y che verificano 'equazione x y 004x 004y xy 005 ˆ 0? Nota: se x 6ˆ y, e coie x, y e y, x sono da considerarsi diverse. (Suggerimento: riscrivi 'equazione in questo modo: x y 004 x y 005 ˆ 0 e trova x y) 004Š 4 Un quadrato di area 5 metri quadrati eá stato suddiviso in cinque regioni tutte dea stessa area, quattro dee quai sono quadrati. Qua eá, inmetri, a unghezza de ato iuá corto dea rimanente regione? a. b., c. 5 d. 5 e Siano a, b, c numeri non nui e si consideri 'equazione di secondo grado ax bx c ˆ 0. Si dica se a somma dei reciroci dee radici di tae equazione eá uguae a: a. b c b. b c c. a b d. a b e. a c 6 Due interi hanno somma 4 e rodotto. Quanto vae i maggiore di tai interi? a. 7 b. c. d. e. 7 d: Š 7 Quae numero diverso da zero eá tae che a sua decima arte eguagi dieci vote i quadrato de numero stesso? a. 00 b. 0 c. e: Š b: Š d. e. 0 a: Š La caccia a tesoro L'associazione E-state-con-noi ha organizzato una caccia a tesoro a coie er a cittaá aa quae si sono iscritti anche Paoo e Francesca. Si sa come funzionano giochi di questo tio: un'informazione iniziae fa raggiungere un uogo, dove si trova una seconda informazione che fa arrivare in un atro uogo, dove si trova una terza informazione... e cosõá via fino a ritrovamento de tesoro. ± "Megio dotarsi di carta, matita e cacoatrice ercheâ non si sa mai" dice Paoo. ± "OK, rendo anche una maa dea cittaá e una squadra, cosõá se dobbiamo tracciare una rotta non facciamo fatica" dice Francesca. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

24 E via, i nostri due eroi artono er 'avventura. Vuoi aiutari a trovare i tesoro? Tieni resente che e vie dea cittaá, intersecandosi fra oro, formano tutte angoi retti e che si avraá diritto ad avere i tesoro soo se verraá trovato in meno di un'ora. Prima busta: In via Dei Mie ci stan due case; i numero civico devi scorire se i nuovo bigietto vorrai trovare. La somma dei numeri civici dee due case eá 0, i rodotto eá 56. Troverai a nuova informazione a numero civico iuá grande. Seconda busta: Davanti a te dritta eáa via, 600 metri di corsa dovrai fare e oi aa destra er un iuáungo ercorso girare. Insieme a te artõáun ucceetto e tanti metri in diagonae vooáer afin osarsi su rezioso tuo fogietto. I suo cammin, raortato a tuo, cinque arti fece e a te ne furon sette. Scori a unghezza de secondo ato de ercorso; raggiunto i uogo cerca 'abero iuá ato e esca una busta da sacco che troverai aeso fra e sue fronde. Terza busta: Ora un robema risovere dovrai. Se x ˆ t t ey ˆ t t, in qua caso che x y ˆ troverai? I iuá grande dei due numeri affiancato a'atro eá i numero de iano de grattacieo nea iazza; eá õá che troverai a rossima busta. Quarta busta: (Nea busta, otre ae istruzioni, si trova una bigia di vetro abbastanza esante). Ne temo che a bigia i suoo toccheraá, a orta qui di fianco si ariraá; resto resto, non indugiare, se a rossima missiva vuoi trovare. La orta si ariraá soo digitando come codice sei vote a cifra dee unitaá de numero che indica quanti secondi ci mette a bigia a cadere a suoo da decimo iano. Considera che ogni iano sia ato 4 metri e oni g ˆ 0m/s. (Suggerimento: devi usare 'equazione de moto di caduta s ˆ gt Quinta busta: (Contiene un fogio di carta riiegato in due con a iegatura su ato iuá ungo; su di esso sta scritto quanto segue). Son ungo 00 ma non so quanto son argo. Se mi ieghi come mi hai trovato, simie a me stesso mi rivedrai. Trova quanto eá argo i fogio e arossima a'intero iuá vicino. Corri aa fermata de'autobus di questo numero, sai e scendi doo due fermate. Dietro aa anchina troverai 'utima busta. Sesta busta: Vicino a tesoro tu ora sei; ma ancora una rova suerare dovrai. Quae etaáha coui che di anni ne ha sette in meno de rorio figio er seástessi e a cui mogie, iuágiovane di sette anni, ha cinque vote gi anni che ha i figio? L'etaÁ de adre, 'etaá dea madre e 'etaá de figio, affiancate ne'ordine una a'atra, sono a combinazione dea cassaforte che si trova ne'ufficio de Sindaco a Paazzo comunae e che contiene i tesoro. Paoo e Francesca i tesoro o hanno trovato ed era beissimo, e tu?se hai imiegato meno di un'ora a soddisfazione che hai rovato eá giaá un grande tesoro, ma forse i tuo insegnante vorraá remiarti anche con un be voto. Prima busta: 4, Seconda busta: si devono ercorrere 00 metri doo aver girato a destra Terza busta:, 0 quindi a decimo iano Quarta busta: t ˆ,, occorre digitare sei vote i Quinta busta: 50 70,7; 'autobus eá i numero 7 Sesta busta: i adre ha 4 anni, a madre 5 e i figio 7; a combinazione eá Tema - Ca. : LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SA

25 Ca. I SISTEMI LINEARI Rivedi a teoria Sistemi di equazioni in iuá variabii Un'equazione che ha due incognite, x e y, savo casi articoari, ha semre infinite souzioni raresentate da tutte e coie x, y che a soddisfano. Se di equazioni ne abbiamo due, otrebbero esistere dee coie che e soddisfano entrambe; cercare queste coie significa risovere i sistema formato dae due equazioni. Le equazioni che devono essere risote in sistema si scrivono una sotto 'atra racchiudendoe sua sinistra con una arentesi graffa aerta. I grado di un sistema eá i rodotto dei gradi dee equazioni che o formano; er avere un sistema di rimo grado, detto anche sistema ineare, tutte e equazioni devono essere di rimo grado. Ci occuiamo in questa arte dea risouzione dei sistemi di rimo grado di due equazioni in due incognite. Per trovare e souzioni di un sistema, come abbiamo fatto er e equazioni, si cerca di assare da una forma ad un'atra equivaente di comessitaá minore e er fare cioá si aicano due rincii di equivaenza (che vagono er quaunque sistema, non soo er quei ineari): rinciio di sostituzione: se in un sistema si sostituisce a osto di un'incognita a sua esressione ricavata da una dee atre equazioni, si ottiene un sistema equivaente a queo dato. rinciio di riduzione: se in un sistema ad una equazione si sostituisce quea che si ottiene sommando membro a membro 'equazione stessa con e atre (tutte o soo quacuna), si ottiene un sistema equivaente a queo dato. I metodi di risouzione L'aicazione dei due rincii di sostituzione e di riduzione ermette di risovere un sistema in modi differenti; vediamo questi metodi aicati a sistema x y ˆ 4 5x y ˆ 7 Metodo di sostituzione Ricaviamo una dee incognite, er esemio x che ha coefficiente, daa rima equazione Sostituiamo 'esressione trovata a osto di x nea seconda equazione Risoviamo a seconda equazione che contiene soo a variabie y Sostituiamo a osto di y nea rima equazione x ˆ y 4 5x y ˆ 7 < x ˆ y 4 : 5 y 4 y ˆ 7 x ˆ y 4 y ˆ x ˆ y ˆ Q Re Fraschini -Grazzi, Atas SA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 5

26 Metodo di riduzione Consiste ne sommare o sottrarre i due membri dee equazioni de sistema con i fine di eiminare una dee variabii. E' conveniente aicare questo metodo quando una dee due variabii ha coefficienti uguai oure oosti nee due equazioni; se cioá non accade, bisogna motiicare oortunamente e due equazioni in modo da ricondurci in questa situazione. Ne nostro caso dobbiamo: 5x 0y ˆ 0 motiicare i due membri dea rima equazione er 5 5x y ˆ 7 sommare membro a membro e due equazioni 5x 0y 5x y ˆ0 7 y ˆ x 6y ˆ motiicare a rima equazione er e a seconda er 0x 6y ˆ 4 sommare membro a membro e due equazioni associare e due equazioni ottenute trovare a souzione de sistema x 6y x ˆ 6 x ˆ 6 y ˆ x ˆ y ˆ 0x 6y ˆ 4 Metodo de confronto Ricaviamo a variabie x dae due equazioni < x ˆ y 4 : x ˆ y 7 5 Uguagiamo e due esressioni di x che abbiamo ottenuto y 4 ˆ y 7 5 >< y ˆ x 4 Ricaviamo a variabie y dae due equazioni >: y ˆ 5x 7 Uguagiamo e due esressioni di y che abbiamo ottenuto Associamo e due equazioni ottenute da confronto x 4 >< >: ˆ 5x 7 y 4 ˆ y 7 5 x 4 ˆ 5x 7 Troviamo a souzione de sistema risovendo ciascuna dee equazioni ottenute in cui comare una soa variabie 0y 0 ˆ y 7 y ˆ y ˆ!! x ˆ 0x 4 x ˆ 6 x ˆ 6 Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini -Grazzi, Atas SA

27 Nea maggior arte dei casi, eroá, si usa un metodo misto fra quei indicati che risuta essere sesso iuá veoce. x y ˆ Vediamo er esemio come risovere i sistema x y ˆ 5x ˆ 4 Sommiamo membro a membro e due equazioni e riscriviamo a rima: x y ˆ >< x ˆ 4 5 Ricaviamo i vaore di x daa rima equazione e sostituiamo nea seconda: >: 4 5 y ˆ Risoviamo a seconda equazione: >< x ˆ 4 5 >: y ˆ 7 0 Fai gi esercizi Risovi i seguenti sistemi ineari aicando i metodo che ritieni iuáoortuno. x 4y ˆ x y ˆ x 6y ˆ x y ˆ 0 < x y ˆ x 4y ˆ 0 : 6x 4y ˆ 4 x 5y ˆ 0 5 >< >: x x y 4 y ˆ ˆ 6 >< y ˆ x 4 >: x ˆ y 5 Rivedi a teoria I metodo di Cramer Per risovere un sistema ineare si uoá usare un quarto metodo, detto metodo di Cramer, che esrime in ax by ˆ c forma sintetica e souzioni quando i sistema eá dato nea forma normae dx ey ˆ f 5x 4y ˆ Risoviamo er esemio i sistema x 4y ˆ 5 4 Cacoiamo i determinante dea matrice dei coefficienti: ˆ 4 ˆ ˆ Cacoiamo i determinante dea matrice che si ottiene da quea dei coefficienti sostituendo a coonna dei coefficienti di x con quea dei termini noti: x ˆ 4 ˆ 4 4 ˆ 4 Q Re Fraschini -Grazzi, Atas SA Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO 7

28 Cacoiamo i determinante dea matrice che si ottiene da quea dei coefficienti sostituendo a coonna dei coefficienti di y con quea dei termini noti: y ˆ 5 ˆ 5 ˆ 4 Se, come in questo caso, 6ˆ 0, i sistema ha souzione: x ˆ x >< >< x ˆ ˆ 4 cioeá >: y ˆ y >: y ˆ 4 ˆ 7 6 Se invece caita che ˆ 0, i sistema non eá determinato e si verifica che: eá imossibie se ameno uno fra x e y eá diverso da zero; eá indeterminato se entrambi x e y sono uguai a zero. Fai gi esercizi 7 9 Risovi aicando i metodo di Cramer. 5x y ˆ 7x y ˆ 0 4 >< x ˆ 6 y >: y ˆ x 9 0 4x 6y ˆ 5 x y ˆ 4 x y ˆ x y 4x ˆ y 6 Risovi e discuti i seguenti sistemi etterai. ESERCIZIO GUIDA Quando un sistema eá etterae, eá necessario discutere come cambiano e souzioni a variare dei arametri. I metodo che iuá si resta aa discussione di un sistema di questo tio eá queo di Cramer ercheâ segue uno schema fisso; risoviamo dunque i sistema x ay ˆ a x y ˆ a I sistema eá giaá scritto in forma normae; cacoiamo i tre determinanti: a ˆ ˆ 6a a a x ˆ a ˆ a a a ˆa a a y ˆ a ˆ a a ˆ a 4 ˆ a Saiamo che i sistema eá determinato soo se 6ˆ 0. Tema - ATTIVITA Á DI RECUPERO Q Re Fraschini -Grazzi, Atas SA