Metodi Matematici per la Fisica

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1 Metodi Mtemtii per l Fisi Prov sritt - 8 settemre Eseriio (4 punti) Si loli l integrle I = ln (x ) x + (x 3 + ) dx I poli del prte rionle sono d ui L integrle è quindi ugule x k = e i(+k)/3, k =,,, x 3 + = (x x )(x x )(x x ) = (x + )(x e i/3 )(x e 5i/3 ) I = e, on l sostituione: y = x si h ln (x ) (x x + ) dx, I poli nell vriile y srnno: I = ln (y) (y + y + ) dx y, = x, = A questo punto si us l formul not { e i/3 = / + i 3/ = / + i 3/ = e i/3 e 5i/3 = / i 3/ = / i 3/ = e 4i/3 (y) ln (y)dy = 3 tot { es (y) ln(y) + (ln(y) i) 3, dove l prte rionle è (y) = y + y + L soluione srà I = { ln(y ) + (ln(y ) i) 3 + ln(y ) + (ln(y ) i) 3 3 y y y y { = 3 i i ( ) 3 i i 4i ( ) 3 4i i = 3 3 i i ( ) i 3 ( ) 3 i = i i i = ()

2 Eseriio (6 punti) Spendo he l prte immginri di un funione F (s), nliti nel pino omplesso s on un tglio (s, ), soddisf l relione θ(s s ) ImF (s) = Im, M s iγm dove s, M e Γ sono ostnti reli e postive on: M > s, se ne loli l prte rele in un punto qulsisi t del tglio, ioè: t rele e t > s Si usno l relione di dispersione per l prte rele, ovvero ef (t) = Pr s ΓM, () (M s) + Γ M (s t) dove il polo è s = t Mnipolimo l integrle ome ef (t) = ΓM Pr s (M s iγm)(s t) Pr s = ( ) i s M s iγm + Pr s s t M t iγm ( ) s M s + iγm + Pr s s t M t + iγm = ( ) M t M i (M t) + Γ M ln s + iγm M s iγm s { + iγm (s t) ln i (M t) + Γ M (M s) + Γ M = ( ) M t M s + iγm ln i (M t) + Γ M M s iγm { + ΓM ln (M t) + Γ M = ( ) M t ΓM tn (M t) + Γ M M s { + ΓM ln (M t) + Γ M = ( ) ( ΓM (t M ) tn ΓM ln (M t) +Γ M M s (M s + iγm)(s t) s + ln (s t) t ɛ t+ɛ s t (M s ) + Γ M + ln ( ) s t (M s ) + Γ M + ln ( ) iγm ) t s (M s ) +Γ M Eseriio 3 (4 punti)

3 Si onsiderino le funioni omplesse dove N n è un ostnte di normliione φ n () = N n n n =,,,, Provre he il sistem {φ n è ortogonle nello spio delle funioni ontinue definite in = { C : = (irhio unitrio) rispetto l prodotto (f, g) = f () g() d i Clolre il vlore di N n ffinhé si i un sistem ortonormle e determinre i oeffiienti di Fourier dell funione F () = ln() Per dimostrre l ortononlità si lol (φ m, φ n ) = NmN n ( m ) n d i = N mn n e iθ(n m) ieiθ dθ ie iθ N n se n = m = NmN e iθ(n m) n = se n m i(n m) = N mn n e iθ(n m) dθ Sono ortogonli, per normlire st porre N n = N n = Infine, i oeffiienti di Fourier dell F () srnno f n = (φ n, F ) = nel so n = si h sempliememte f = ( n ) ln() d i = e inθ iθdθ, (3) i 4 = ()3/ i Se invee n f n = e inθ θ n + n e inθ dθ = n

4 Eseriio 4 (4 punti) Clolre i primi tre oeffiienti dell serie di Lurent intorno = dell funione f() = 3 sinh In generle il oeffiiente k-esimo è dt d: k = f() d, (4) i ( ) k+ poihé il seno iperolio nell intorno di = si omport ome il polo srà di ordine 4 e il primo oeffiiente è 4 = f() d = i 3 i 3 3 sinh d = i sinh d = lim sinh = (5) Il suessivo: 3 = i = i essendo or / sinh regolre in = e vendo d n f n! () = dn i si può srivere 3 = i f() d = i 3 sinh d = i sinh d = i sinh d = d d sinh osh = lim sinh = lim osh = Infine, il tero = = f() d = i i = d d sinh = = lim sinh d d, (6) sinh f( )d ( ) n+, sinh = = lim osh osh sinh sinh osh sinh d = i 3 sinh d osh sinh osh sinh sinh 3 = lim osh + 4 sinh osh osh sinh sinh sinh osh 3 sinh osh = lim sinh osh 3 sinh 3 sinh osh = lim osh + sinh 3 osh 3 sinh + 3 osh = lim = 6 osh 3 sinh 3 sinh osh

5 Eseriio 5 (6 punti) Dt l mtrie determinre A = utovlori e utovettori orrispondenti; l mtrie D he digonli A L equione seolre è d ui det Il primo utovettore è: 5 5 Il seondo: Il tero: 5 5, λ 5 λ 5 λ + = (3 5) 5 = (3 5) + 5 = (3 5) = (3 + 5) 5 = (3 + 5) + 5 = (3 + 5) = (5 λ)(λ 6λ + 4) =, λ = 3 5 λ = 5 λ 3 = = (3 5) u = N + = 5 5 = = 5 = 5 5 = u = N = (3 + 5) u 3 = N = 4 5 =

6 L mtrie D he digonli vrà ome olonne i tre utovettori u u u D = u u u 3 = u 3 u 3 u Il suo determinte è det D = det = = 5 = Infine, l unitrietà: D D = = ( 5) (+ 5) = Eseriio 6 (6 punti) Si onsideri un iruito on un resisten e un pità C L equione di tle iruito in termini dell orrente, funione del tempo, I(t), è I(t) + Q(t) C = f(t), dove f(t) = f e t rppresent l for elettromotrie e Q(t) è l ri del ondenstore Q(t) = Q + t I(t )dt Si risolv il prolem, ovvero si trovi l espressione nliti I = I(t), usndo il metodo dell trsformt di Fourier L trsformt di Fourier dell for elettromotrie è ˆf(k) = = f + k f e t e ikt dt

7 L equione in Q(t), vendo: I(t) = dq (t), divent dt e l trsformt L soluione, per t >, srà Se t < i k + C Q(t) = f = f = f = f = f Im> dq Q(t) (t) + dt C = f(t), ˆQ(k) = ˆf(k) = f + k e ikt dk (i k + /C)( + k ) e ikt dk (i k + /C)(k + )(k i) e ikt ies (i k + /C)(k + i)(k i) Im> e ikt es = f = f (k i/c)(k + i)(k i) e t e t/c + i( /C)i /(C) {{ + {{ in k=i in k=i/c e t /C + e t/c /(C) + e t /C e t/c /C Q(t) = f e ikt es (k i/c)(k + i)(k i) Im< = f e t ( i)( + /C)( i) = f e t e t = f + /C /C + L orrente si ottiene derivndo rispetto l tempo f e t /C + e t/c /C C I(t) = e t f /C + t > t < (7)