TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

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1 TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, ROMA, ITALY 1. Notzione fondmentle e prime definizioni 1.1. Definizioni. Nel seguito useremo sempre quest notzione: si I h = [ h, +h],, h R, h > 0 un intervllo chiuso di R, e si B k R N l sfer chius di R N di rggio k > 0 e centro b R N (qui N 1); si F : K := I h B k R N un funzione continu. Per il teorem sull esistenz dei vlori estremi di funzioni continue definite su un comptto, esiste un M > 0 tle che F (t, ξ) M, t I h, ξ B k ; (1.1) il simbolo denoterà si il vlore ssoluto di numeri reli che l norm euclide di vettori di R N, N > 1. Con il simbolo indichimo si l operzione di prodotto sclre tr vettori di R N, che il prodotto di numeri reli. Ponimo nche K o = ( h, + h) { ξ b < k} (cioè K o è l interno di K), e, per N 1, J R intervllo, n N, C n (J) = {y : J R N y, y,..., y (n) continue in J }. Definizione 1.1. Un funzione di clsse C 1, y : J B k, ove J I h è un intervllo, si chim soluzione locle in J dell equzione differenzile z = F (t, z) se y (t) = F (t, y(t)), t J. (1.2) Definizione 1.2. Prefissto (α, β) K o, un soluzione locle del problem di Cuchy { z = F (t, z), (1.3) z(α) = β, è definit come un soluzione locle y di (1.2) tle che α J e y(α) = β. Quest soluzione si denot volte y(t; α, β). Il dto z(α) = β si dice dto di Cuchy, o dto inizile, e il punto (α, β) punto inizile. Il vlore t = α si dice istnte inizile. In generle possono esistere più soluzioni, diverse tr loro, dello stesso problem (1.3). Nturlmente è interessnte discutere qundo l soluzione si unic; introducimo nell definizione seguente un nozione più forte dell unicità, l dipendenz continu di dti, rilevnte nelle ppliczioni. Definizione 1.3. Si dice che l soluzione di (1.3) dipende con continuità dl dto z(α) = β in K o se per ogni (α, β) K o sono soddisftte le condizioni: (1) esiste un δ > 0 tle che se α α < δ, β β < δ, (α, β ) K o, llor y( ; α, β) e y( ; α, β ) sono definite (lmeno) su (α δ, α + δ); 1

2 2 DANIELE ANDREUCCI (2) per ogni ε > 0 esiste un 0 < σ < δ tle che α α < σ, β β < σ implic y(t; α, β) y(t; α, β ) < ε per ogni x (α δ, α + δ). Si osservi che in Definizione 1.3, δ deve essere scelto bbstnz piccolo ; in sostnz in 1. si richiede che scegliendo il punto inizile bbstnz vicino un (α, β) prefissto, tutte le corrispondenti soluzioni locli sino definite su un intervllo (piccolo) comune. Questo è necessrio per dre significto ll prte (2), ove si richiede che, su tle intervllo, due soluzioni si possno rendere uniformemente vicine prendendo i loro punti inizili bbstnz vicini Alcuni risultti preliminri. I risultti di esistenz di soluzioni per il problem di Cuchy verrnno provti trovndo un soluzione come limite di soluzioni di problemi con ritrdo, ossi di problemi dell form { z (t) = F (t, z(t r)), < t < + δ, (1.4) z(t) = b, r t, ove r > 0 è il ritrdo, e δ > 0 dipende in genere nche dll F. Un soluzione di (1.4) è un funzione y C 1 ([, + δ]) C 0 ([ r, + δ]) che soddisf le equzioni (1.4). Il motivo dell denominzione problem con ritrdo è ovvio: z (t) è determinto in funzione non del vlore di z nello stesso punto t, m in funzione del vlore di z in un punto precedente, distnz r d t. Quest è in sostnz l rgione per cui il problem (1.4) h il vntggio di essere bnlmente risolubile per integrzione, come prov l dimostrzione del seguente Lemm 1.1. Lemm 1.1. Se F : K R N è continu, e vle (1.1), llor (1.4) h un unic soluzione y C 1 ([, + δ]) C 0 ([ r, + δ]), ove δ = min(h, k/m). Dimostrzione. 1) Esistenz. Possimo trovre un prtizione di [, + δ] in m subintervlli, tutti di mpiezz r prte l ultimo, che h mpiezz inferiore o ugule; quindi m δ/r + 1. Sino t 1 = < t 2 < < t m+1 = + δ, i punti di quest prtizione. Dimostrimo per induzione che si può trovre un soluzione su tutto [, + δ]. Per t (, t 2 ] definimo y(t) = b + F (τ, b) dτ ; (1.5) ovvimente y risolve (1.4) in [, t 2 ], per il teorem fondmentle del clcolo (si ricordi che F è continu). Supponimo poi, nel psso d induzione, di ver trovto un soluzione y in [, t n ], e che y(t) B k per t t n ; llor, sfruttndo quest ultim proprietà, definimo in [, t n+1 ] w(t) = b + F (τ, y(τ r)) dτ. (1.6) Osservimo che, per le ipotesi su y, y(t) = b + F (τ, y(τ r)) dτ = w(t), t t n.

3 TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY 3 Possimo quindi sostituire y con w in (1.6), e perciò l w risolve (1.4) in [, t n+1 ]. Per completre l dimostrzione per induzione, dobbimo provre che w(t) B k per t t n+1. M in effetti w(t) b M t Mδ k, t t n+1, per l definizione di δ. 2) Unicità. L dimostrzione dell unicità di soluzioni procede in modo simile: due soluzioni devono soddisfre entrmbe (1.5) in [, t 2 ], e dunque devono coincidere in [, t 2 ]. Si dimostr quindi per induzione che coincidono su tutto [, + δ]. Per dimostrre i risultti di unicità e dipendenz continu di soluzioni useremo l disuguglinz di Gronwll (Lemm 1.2 sotto), l cui dimostrzione è un semplice ppliczione dell tecnic di integrzione per seprzione delle vribili. Osservzione 1.1. (Integrzione per seprzione delle vribili) Sino f, g, y C 1 (R) tre funzioni sclri, e supponimo che vlg, per ogni t R, y (t)f (y(t)) = g (t). (1.7) È llor chiro, per i teoremi fondmentli del clcolo, che, fissto rbitrrimente t 0 R, vle f(y(t)) = g(t) g(t 0 ) + f(y(t 0 )) ; (1.8) se poi f è invertibile, quest uguglinz permette di ricvre l funzione x in modo esplicito. È nche ovvio che le uguglinze in (1.7) (1.8) possono essere sostituite d disuguglinze; in questo cso, l (1.8) dà solo un stim unilterle per f(y). L tecnic di integrzione qui ccennt viene dett per seprzione delle vribili, perché di ftto è spesso pplict uguglinze del tipo y = ϕ(y)ψ(t), che (sotto ovvie ipotesi sulle funzioni ϕ, ψ) possono essere ricondotte fcilmente ll form (1.7), seprndo l ϕ(y) dll ψ(t) (cioè portndo ϕ(y) primo membro). Lemm 1.2. (Disuguglinz di Gronwll) Si y C 1 ([α 1, α 2 ]). Se vle y λ( y + σ), in [α 1, α 2 ], con λ 0, σ 0 costnti, llor y(t) + σ e λ t ( y() + σ), per ogni α 1, t α 2. (1.9) Dimostrzione. Per i t per cui y(t) 0, si h che y è derivbile, e d dt y(t) = d 2y (t) y(t) y(t) y(t) = dt 2 y(t) y(t) y (t). (1.10) Possimo poi supporre senz perdit di generlità che t >. Supponimo nche per il momento che y(τ) 0 per tutti i τ t. Allor possimo scrivere y(τ) y(τ) + σ y (τ) y(τ) + σ λ, < τ < t.

4 4 DANIELE ANDREUCCI Integrndo su [, t] si ottiene ln y(t) + σ λ(t ), y() + σ d cui l (1.9). Rest d discutere il cso in cui y(τ) = 0 per qulche τ [, t]. Se y(t) = 0 ovvimente l (1.9) è ver e non c è niente d dimostrre. Se y(t) 0, definimo τ 0 come l estremo superiore dei τ [, t) tli che y(τ) = 0. Vle y(τ 0 ) = 0, e y(τ) 0 in [τ 0 + ε, t], per ogni 0 < ε < t τ 0. Si può llor ripetere l prim prte dell dimostrzione nell intervllo [τ 0 + ε, t], ottenendo y(t) + σ e λ(t τ 0 ε) ( y(τ 0 + ε) + σ). Prendendo il limite ε 0 si rriv ll stim cerct y(t) + σ e λ(t τ 0 ) σ e λ(t ) ( y() + σ). 2. Teori generle delle soluzioni locli In questo prgrfo fremo sempre l ipotesi di lipschitzinità di F (t, ξ) rispetto ll vribile ξ (ricordimo che bbimo già supposto che F si continu in senso N + 1-dimensionle). Assumeremo cioè che esist un L > 0 tle che F (t, ξ) F (t, η) L ξ η, t I h, ξ, η B k. (2.1) Quest ipotesi permette di dimostrre con notevole fcilità il seguente risultto, che implic (qusi) l dipendenz continu nel senso dell definizione 1.3. Teorem 2.1. Sino y( ;, b) e y( ; α, β) due soluzioni locli dei corrispondenti problemi di Cuchy, come in (1.3). Allor, se tli soluzioni sono definite entrmbe (lmeno) su un intervllo J,, α J, si h y(t;, b) y(t; α, β) e L t ( b β + M α ), t J. (2.2) Qui L è l costnte di Lipschitz che ppre in (2.1) e M è il mggiornte di F definito in (1.1). Dimostrzione. Sottrendo l un dll ltr le equzioni differenzili soddisftte rispettivmente d u = y( ;, b) e v = y( ; α, β), si h u v = F (t, u) F (t, v) L u v, (2.3) ove denotimo u = u(t), v = v(t), t J. Per Lemm 1.2, si h, per t J, u(t) v(t) e L t u() v() e L t ( u() v(α) + v(α) v() ) e L t ( b β + M α ) (usndo v = F (t, v) M). Osservzione 2.1. ) Il precedente Teorem non dà esttmente l dipendenz continu nel senso introdotto sopr, perché ssume (e non dimostr) che le due soluzioni sino definite in uno stesso intervllo; questo verrà provto sotto. b) È interessnte notre che l (2.2) h l ntur di un cosiddett stim priori, ossi può essere provt senz conoscere l esistenz effettiv delle soluzioni in questione, e vle per tutte le soluzioni indipendentemente d come sino stte costruite.

5 TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY 5 Un immedito e importntissimo corollrio di Teorem 2.1 si ottiene prendendo = α, b = β: Corollrio 2.1. (Unicità) Sino u e v due soluzioni locli dello stesso problem di Cuchy (1.3). Vlg l condizione di Lipschitz (2.1). Allor u v nell intervllo intersezione dei domini di definizione di u e v. Dimo or il risultto locle di esistenz. Teorem 2.2. (Esistenz locle) Ponendo ( δ = min h, k ) > 0, M il problem di Cuchy { z = F (t, z), z() = b, h un soluzione in [ δ, + δ]. (2.4) Dimostrzione. 1) Per ogni n N, t + δ, definimo y n come l soluzione del problem con ritrdo { y n (t) = F (t, y n(t 1 n )), < t < + δ, y n (t) = b, 1 n t. (2.5) L esistenz e l unicità di un soluzione di (2.5) è implict dl Lemm ) Sino y n, y m due soluzioni di (2.5) corripondenti n e m rispettivmente, con m > n. Si h, posto y i = y i (t), y i = y i (t 1/i), i = n, m, F (t, yn ) F (t, y m ) L y n y m L( yn y n + y n y m + y m ym ) ( 1 L y n y m + LM n + 1 ) L y n y m + 2LM (2.6) m n (inftti y i M). Dunque, si h per < t < + δ y n y m L y n y m + 2LM n d cui per Lemm 1.2, y n (t) y m (t) e Lδ 2M n, t + δ. (2.7) M (2.7) implic l convergenz di {y n (t)} un limite finito per ogni t [, +δ]. Definimo y(t) = lim n(t), n t [, + δ]. L mggiorzione y n M implic che y n (t) y n (τ) M t τ, t, τ [, + δ] ; (2.8) prendendo il limite n si h che y(t) y(τ) M t τ, t, τ [, + δ], (2.9) cioè che y è continu (in effetti lipschitzin) in [, + δ]. Un ltr conseguenz di (2.8) è che per n y n (t) y n (t 1 n ) 0, cioè y n(t 1 ) y(t). (2.10) n,

6 6 DANIELE ANDREUCCI Dunque prendendo il limite m in (2.6) e (2.7) si ottiene F (t, y n (t 1 n )) F (t, y(t)) L y n(t) y(t) + LM 1 n elδ 2M n + LM 1 n. Perciò per ogni t + δ [F (τ, y n (τ 1 )) F (τ, y(τ))] dτ n M 1 n (2eLδ + L)δ 0, n, e quindi si può prendere il limite su n nell equzione (ottenut integrndo (2.5)) ottenendo per t + δ y n (t) = b + y(t) = b + F (τ, y n (τ 1 )) dτ, n F (τ, y(τ)) dτ. (2.11) Dto che sppimo già che y è continu, questo implic, per i teoremi fondmentli del clcolo, che in reltà y C 1 ([, + δ]), in qunto integrle di un funzione continu. Derivndo l (2.11) si ottiene l equzione differenzile di (2.4); l condizione di Cuchy y() = b viene ovvimente soddisftt per costruzione di y, oppure ncor invocndo (2.11). 3) Per dimostrre l esistenz di un soluzione in [ δ, + δ], dobbimo prolungre l y trovt nel punto 2) sinistr di t =. Questo si potrebbe fre con tecniche in tutto simili quelle sopr. Tuttvi, per completezz, dimo qui l seguente semplice dimostrzione. Definimo F(t, ξ) = F (2 t, ξ), (t, ξ) K. Si noti che l trsformzione t 2 t trsport l intervllo [ δ, ] nell intervllo [, + δ], e vicevers. Dto che F soddisf tutte le ipotesi verificte d F (con le stesse costnti), è not l esistenz di un soluzione z del problem nlogo (2.4), m con F sostituito d F, definit solo per t [, + δ]. Per t [ δ, ], definimo y(t) = z(2 t); è immedito osservre che y così prolungt risolve (2.4) per δ t. L (2.11) dunque vle per ogni δ t + δ. Prendendone l derivt come sopr si vede subito che y è un funzione C 1 ([ δ, + δ]) che risolve il problem di Cuchy su tutto l intervllo. Riunendo i risultti precedenti si può dimostrre il seguente Teorem di portt generle. Teorem 2.3. Si F : K R N un funzione continu che soddisfi (1.1) e (2.1). Allor, per ogni (α, β) K o esiste un intervllo perto J I h, α J, tle che il problem di Cuchy (1.3) h un sol soluzione definit in J. Quest soluzione dipende con continuità dl dto di Cuchy in K o. Dimostrzione. L unic ffermzione che rest d dimostrre, è l prte (1) dell Definizione 1.3, cioè che, fissto (α 1, β 1 ) K o, esiste un δ > 0 tle che se α 1 α 2 < δ, β 1 β 2 < δ, (α 2, β 2 ) K o, llor le y i := y( ; α i, β i ) i = 1, 2, sono definite (lmeno) sull intervllo comune [α 1 δ, α 1 + δ].

7 Definimo per i = 1, 2, TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY 7 s i = h α i > 0, t i = k β i b > 0 (cosicché t i è l distnz di β i dll superficie sferic ξ b = k). In prticolre per i = 1, 2, [α i s i, α i + s i ] I h, { ξ β i t i } B k. Ponimo δ = min(s 1 /3, t 1 /(2M + 1)). Se α 1 α 2 < δ, β 1 β 2 < δ, llor t 2 s 2 s 1 δ 2δ, M t 1 δ M 2δ. Perciò, pplicndo il Teorem 2.2 nel comptto [α 2 s 2, α 2 + s 2 ] { ξ b 2 t 2 }, si vede che y 2 è definit lmeno in [α 2 2δ, α 2 + 2δ], che contiene [α 1 δ, α 1 + δ]. Nturlmente nche y 1 è definit su quest ultimo intervllo, per lo stesso rgionmento. Il teorem è così completmente provto. Osservzione 2.2. I precedenti risultti di esistenz, unicità e dipendenz continu, vlgono in reltà nche se il dto di Cuchy è ssegnto per t = h o t = + h; ovvimente si otterrà un soluzione definit solo in un intorno destro o sinistro dell istnte inizile. Questo segue immeditmente dlle dimostrzioni dte. 3. Estendibilità di soluzioni. Risultti di monotoni 3.1. Soluzioni mssimli. In questo prgrfo ci ponimo il problem del comportmento globle delle soluzioni di un sistem differenzile. Cioè, in termini intuitivi, cerchimo di cpire cos può succedere un soluzione locle del problem di Cuchy (1.3) per t che si llontn dl vlore α. Definizione 3.1. Un soluzione mssimle di (1.3) è un soluzione locle di (1.3), definit su un intervllo J, tle che per ogni ltr soluzione locle dello stesso problem definit su un intervllo I, vlg I J. Qui supporremo che F si definit su un perto Ω, piuttosto che su K definito in Sezione 1. È dunque opportuno introdurre l definizione Definizione 3.2. Diremo che f : A R N, A R N+1, è loclmente lipschitzin (nelle ultime N vribili) se e solo se per ogni comptto C contenuto in A è possibile trovre un costnte L > 0 tle che f(t, ξ) f(t, η) L ξ η, (t, ξ), (t, η) C. Per esempio f(x) = 1/x è loclmente Lipschitzin in (0, 1). Il risultto di esistenz locle, Teorem 2.2 si pplic immeditmente l cso di F loclmente lipschitzin in un perto. Bst inftti osservre che in queste ipotesi, F è lipschitzin sul comptto K Ω, ove come sopr K = I h B k, con un scelt opportun di h e k. Osservimo che non è possibile invocre semplicemente il Corollrio 2.1 per ottenere un risultto non locle di unicità, perché quel risultto è stto dimostrto in ipotesi di lipschitzinità globle di F. Tuttvi, come vedremo nel prossimo lemm, l dimostrzione di un risultto di unicità nelle ipotesi ttuli è piuttosto semplice.

8 8 DANIELE ANDREUCCI Lemm 3.1. Si F : Ω R N, Ω R N+1 perto, loclmente lipschitzin nelle ultime N vribili. Allor due soluzioni di (1.3) coincidono nell intersezione dei loro intervlli di definizione. Dimostrzione. Si J l intervllo intersezione dei domini delle due soluzioni y, z. Si A = {τ J y(t) = z(t), t τ}, e Σ = sup A. Allor, se Σ non coincidesse con l estremo destro di J, esisterebbe un intorno (Σ ε, Σ + ε) contenuto in J. Per il Corollrio 2.1, le due soluzioni dovrebbero coincidere in un intorno di Σ, dto che in Σ ssumono un comune vlore η, e che in un intorno di (Σ, η) l F è lipschitzin. Questo contrddirebbe l definizione di Σ. Perciò y z in {t > } J. Si procede in modo nlogo per t <. Abbimo bisogno per procedere nello studio delle soluzioni mssimli del seguente risultto di prolungbilità: Lemm 3.2. Si F come in Lemm 3.1, e si z un soluzione locle di (1.2), definit su (t 0, t 1 ], con t 1 <. Allor esiste un soluzione z che coincide con z su (t 0, t 1 ] ed è definit su (t 0, t 1 + σ), con σ > 0 opportuno. Dimostrzione. Si z 1 = z(t 1 ) Ω. Per il teorem di esistenz locle, il problem di Cuchy w = F (t, w), w(t 1 ) = z 1, h un soluzione locle w definit in qulche intervllo perto (t 1 σ, t 1 + σ). L funzione { z(t), t (t 0, t 1 ], z(t) = w(t), t 1 < t < t 1 + σ, è un soluzione di (1.3): l unic cos d dimostrre è che h derivt continu in t = t 1. M lim t t 1 z (t) = lim F (t, z(t)) = F (t 1, z 1 ) = lim F (t, w(t)) = lim t t 1 t t 1 + t t 1 + z (t). Teorem 3.1. Si F : Ω R N, Ω R N+1 perto, loclmente lipschitzin. Allor per ogni (α, β) Ω esiste un unic soluzione mssimle di (1.3); inoltre il suo intervllo di definizione è perto. Dimostrzione. L unicità segue subito d Lemm 3.1, se si not che due soluzioni, entrmbe mssimli, devono essere definite sullo stesso intervllo. Per l esistenz, definimo l intervllo perto J come l unione di tutti gli intervlli perti su cui è definit un soluzione locle di (1.3). Definimo poi, per ogni t J, Y (t) = y(t), ove y è un soluzione locle di (1.3) definit in un intervllo cui pprtiene t. Sicurmente un tle y esiste per ogni t J (per definizione di J); inoltre l definizione di Y non dipende dll scelt di y, ed è quindi ben dt, cus del Lemm 3.1. Per dimostrre che l Y è un soluzione, osservimo che Y (α) = β è ovvio; inoltre, fissto t J d rbitrio, esiste un soluzione locle y : I R N con t I (I perto). Perciò si può ssumere che in un intorno di t si Y y: questo implic che Y risolve il sistem differenzile. Mostrimo infine che Y è mssimle. Si z un qulunque soluzione di (1.3), con intervllo di definizione I. Se I è perto, si h I J per costruzione di J. Se

9 TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY 9 per ssurdo, I non è perto e I J, si h che l interno di I è comunque incluso in J, e dunque, l più, un estremo di J, si γ (γ J, come è chiro) è nche un estremo di I, γ I. Si per esempio γ il secondo estremo di J e I (il cso in cui γ è il primo estremo si trtt in modo nlogo). Si z 0 = z(γ) Ω. Per il Lemm 3.2, esiste un soluzione z definit su un intervllo perto non contenuto in J, ssurdo. Il seguente risultto dà le informzioni più rilevnti sulle soluzioni mssimli. Teorem 3.2. Si F : Ω R N come in Teorem 3.1. Si y : (σ, Σ) R N un soluzione mssimle di un problem di Cuchy reltivo (1.2). Allor per ogni comptto C contenuto in Ω esiste un [ε, η] (σ, Σ), ε, η R, tle che (t, y(t)) Ω \ C per σ < t < ε, η < t < Σ. Dimostrzione. Supponimo per ssurdo che esistno un comptto C Ω e un successione {t n }, t n Σ tle che (t n, y n ) C, ove y n = y(t n ) (questo implic in prticolre che Σ < ). Dto che C è comptto possimo ssumere che (t n, y n ) P 0 := (Σ, y 0 ) C per n. Dimostrimo che in effetti (t, y(t)) P 0, t Σ. (3.1) Dto che P 0 Ω, si può ssumere che esist un pll B 2θ di rggio 2θ > 0 e centro P 0 contenut in Ω e su cui F M. Eventulmente prendendo θ più piccolo, si può ssumere, se (3.1) non vle, che esist un successione {t n }, t n Σ, tle che (t n, y(t n)) non pprteng ll pll B 2θ per n 1. Dto che invece (t n, y n ) B θ per n sufficientemente grnde, si h, per tli n, 0 < θ y n y(t n ) M t n t n. Quest è ovvimente un contrddizione con t n, t n Σ R. Dunque vle (3.1), e si può definire y(σ) = y 0. M llor, per il Lemm 3.2, si può prolungre l soluzione y oltre t = Σ, contro l su sserit mssimlità. Specilizzndo le ipotesi di Teorem 3.2 un pio di csi interessnti, si h subito il Corollrio 3.1. Con le ipotesi e con l notzione di Teorem 3.2, si h: (1) Se Ω è limitto, llor per t Σ, l distnz tr (t, y(t)) e l frontier di Ω tende 0. (2) (Cso dell strisci) Se Ω = (r, s) R N, llor se Σ < s, deve essere y(t n ) per un opportun successione t n Σ. Osservzione 3.1. In prticolre, d Corollrio 3.1, 2. segue che se si s priori che y si mntiene limitt su tutto il suo intervllo di definizione (σ, Σ), llor (r, s) = (σ, Σ). Teorem 3.3. Si F : Ω := (r, s) R N R N un funzione continu e loclmente lipschitzin nelle ultime N vribili. Si nche F (t, ξ) γ( ξ ), (t, ξ) Ω, dove γ : R + R + è un funzione continu soddisfcente + 1 dt = +. (3.2) γ(t)

10 10 DANIELE ANDREUCCI Allor l soluzioni mssimli del problem di Cuchy per F sono definite su tutto (r, s). Dimostrzione. Se per esempio un soluzione mssimle y è definit in (σ, Σ), con Σ < s, llor per il Corollrio 3.1 (2), deve essere y(t) per t Σ. M, d y = F γ( y ), segue, rgionndo come in Lemm 1.2, Σ > t y(t) y() dτ γ(τ). (3.3) Qui σ < < t < Σ sono rbitrri. Per (3.2), l (3.3) implic che esiste un costnte C dipendente d e d Σ, m non d t tle che y(t) C per ogni t (, Σ). Per qunto sopr, si deve dunque vere Σ = s. In modo simile si prov σ = r. Osservzione 3.2. Come cso di prticolre importnz, si può prendere in Teorem 3.3 γ(t) = costnte t. È questo il cso dei sistemi lineri, cioè dell form z = Az, ove A è un mtrice rele N N coefficienti limitti. Osservzione 3.3. Se N = 1, e se F C(R 2 ), F (t, ξ) γ(ξ) > 0, per ξ > 1, con + 1 dt γ(t) < +, si potrebbe fr vedere, con tecniche nloghe quelle uste sopr, che, se y() > 1, llor y(t) diverge per t Σ <.

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