Risoluzione quesiti I esonero 2011

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1 Rsoluzone quest I esonero 011 1) Compto 1 Q3 Un azenda a a dsposzone due progett d nvestmento tra d loro alternatv. Il prmo prevede l pagamento d un mporto par a 100 all epoca 0 e fluss par a 60 all epoca 1, 30 all epoca e 50 all epoca 3. Il secondo nvestmento è un obblgazone con cedole annue equvalente sul versante del TIR al prmo progetto ce rcede però un esborso d 90. L operazone ntegratva del secondo progetto è uno ZCB. S calcol l TIR del prmo progetto; l valore d rmborso dello ZCB ntegratvo. Lo scadenzaro della prma operazone è Il TIR s ottene rsolvendo l equazone d equlbro fnanzaro (1 + TIR) + 30 (1 + TIR) + 50 (1 + TIR) = 100 la cu soluzone è TIR 19,84% (rsolvere per nterpolazone prendendo come sogle l 19% e l 0%). L obblgazone fornsce percò cedole annue d mporto par a 19,84. Rportamo lo scadenzaro de due progett d nvestmento: Le due operazon non sono confrontabl percé non presentano lo tesso esborso nzale. L operazone ntegratva consste n uno ZCB con prezzo par a 10 l cu valore d rmborso (all epoca tre) sarà par a 3 V3 = 10 (1 + TIR) = 1,1 7 ) Compto Q1 Realzzare l ammortamento francese a nteress antcpat d un mporto d al tasso del 10% n 7 ann. Valutare nuda propretà e usufrutto all epoca 4 al tasso del 15%. Il tasso d sconto assocato al tasso è d = = 0, La prma quota nteress antcpata (all epoca zero) vale

2 QI = d = 9.090,91 = R 0 0 La rata costante (dall epoca uno n avant) s ottene dalla relazone v R = = ,3 a 1 dove v = (1 + ) = 0,9091 è l fattore d attualzzazone. Le quote captale s ottengono dalle relazon (con = 1,, 7 ): 7 QC = R v 7 S deducono qund l debto resduo dalla consueta relazone DR = DR QC 1 e le quote nteress (antcpate): QI = DR d Le quote nteress s ottengono n manera alternatva come dfferenza tra la rata e la quota captale (rguardo le stesse epoce). Il pano d ammortamento completo è: Osservamo ce all epoca zero la rata è par alla prma quota nteress antcpata mentre all epoca fnale la rata è par alla quota captale (l ultma quota nteress è par a zero). Osservamo noltre ce sono verfcate le seguent relazon general: 7 = 0 7 = 1 QC = R v + QI = Determnamo nfne nuda propretà e usufrutto all epoca 4 al tasso del 15%. S a per defnzone: 15.43, , ,3 N4 = + + = , ,15 1,15 1, , ,57 U 4 = + = 4.101,70 1,15 1,15

3 3) Compto B Q3 Un azenda cede due credt d valore nomnale par a 110 e 190 scadent rspettvamente n t = 1, 5 e t = 3 ; l factor l acqusta n una quota par all 80% e l sconta n RF sconto commercale al tasso = 0,08. Con l rcavato l azenda attva un progetto d nvestmento ce gl fornsce entrate par a 60 per 6 ann d seguto; renveste la parte non smoblzzata de due credt orgnar al tasso del 5% fno all epoca 6. S calcol l TIR del progetto complessvo. I due credt, decurtat del 0% e attualzzat all epoca zero nel regme dello sconto commercale fornscono seguent mport: ( ) ( ) V1 = 110 0,80 v(1,5) = 110 0,80 1 d 1,5 = 78, V = 190 0,80 v(3) = 190 0,80 1 d 3 = 118, con d = = 0, 0741 l tasso d sconto assocato. 1+ Il rcavato V1+ V = 196,44 consente d attvare un nvestmento l cu scadenzaro è: La parte non smoblzzata de due credt orgnar è renvestta al tasso del 5% fno all epoca 6 (n assenza d altre nformazon utlzzamo l RFIC). Avremo qund per cascuno de due credt: 6 1, ,0 1,05 = 7, ,0 1,05 = 43,99 Rportamo nfne lo scadenzaro d tutte le operazon e del progetto complessvo (saldo netto per ogn epoca): Il TIR s ottene rsolvendo l equazone d equlbro fnanzaro: , = 196,44 1 1, (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) (1 + TIR) La soluzone è TIR 17,93% (rsolvere per nterpolazone prendendo come sogle l 17% e l 18%).

4 4) Compto 3 Q3 Un ndvduo d età 40 ann versa annualmente contrbut costant a un fondo pensone ce al compmento de 65 ann gl erogerà una rendta d rata annua par a Euro fno a 85 ann. Il fondo mpega gl mport versat (contrbut) a un tasso ce è par al 5% per prm 10 ann, è par al 6% ne successv 5 e rtorna al 5% fno alla pensone. Calcolare: l mporto del contrbuto annuo; l TIR dello scema pensonstco. Il problema rcede l equvalenza tra due rendte (al compmento de 65 ann dell ndvduo): l montante de contrbut sarà par al valore attuale del flusso costtuto dalla pensone. Entrambe le rendte sono costtute da rate costant, perodce e postcpate. Indcamo con X l contrbuto ncognto. Avremo per l flusso de contrbut: M = X s (1 + 0, 06) (1 + 0, 05) + X s (1 + 0, 05) + X s ,05 5 0, ,05 Per quanto rguarda l valore attuale de fluss dervant dalla pensone, avremo (potzzando ce l tasso sa rmasto par al 5%): VA = a = 4.319, ,05 L equazone lneare M = VA nell ncognta X possede la soluzone X = 4.561, 41. Infne, l TIR dello scema pensonstco completo s ottene rsolvendo l equazone 4.561, ( a a + TIR) = 0 5 TIR 0 TIR ottenuta attualzzando tutt fluss (contrbut e pensone) all epoca alla quale nza l versamento de contrbut. S ottene per nterpolazone TIR 6, 41% (prendere le sogle 6% e 7%). 5) Compto 4 Q1 Un azenda s accorda per restture un prestto d 10 mlon d euro n 5 ann a quote captal crescent n progressone artmetca d ragone Euro. I tass varano anc ess anno per anno: l prmo anno l tasso è par al 5% e po cresce d mezzo punto percentuale n ogn anno. Stendere l pano d ammortamento e valutare nuda propretà e usufrutto al 10% all epoca. Indcamo con X la prma quota captale ncognta. Le quote soddsfano percò la relazone Dalla condzone 5 = 1 QC = X + ( 1) = 1,,5 QC = , s ottene faclmente X =

5 Dalla conoscenza delle quote captale s ottene qund l pano completo: Osservamo ce la quota nteresse sarà calcolata (sul debto resduo) utlzzando l tasso d nteresse relatvo al propro perodo. Determnamo nfne nuda propretà e usufrutto all epoca al tasso del 10%. S a per defnzone: N U = + + = ,9 1,10 1,10 1, = + + = 86.31,56 1,10 1,10 1, ) Compto 4 Q3 Un mmoble è affttato a euro al mese per 5 ann. Il canone è fssato anno per anno e negl ann successv al prmo l mporto del canone stesso cresce n base all nflazone ce è par al %. Calcolare: l VAN dell nvestmento utlzzando come tasso l 5%; l canone annuo costante fnanzaramente equvalente a quello varable con l nflazone. I canon mensl per gl ann successv al prmo saranno rspettvamente: ,0 = 1.00 ; ,0 = 1.040,4 ; ,0 = 1.061,1 e ,0 = 1.08,43. Abbamo percò una rendta con rate mensl. Per l calcolo del VAN, determnamo dapprma l tasso mensle equvalente: 1/1 1/1 = 1, , Avremo percò: VAN = a a 1, , 4 a 1, , 1 a 1, /1 1 1/1 1 1/1 1 1/ , 43 a 1, 0 =.195, /1 La rendta può essere scomposta n cnque blocc ce comprendono dodc rate mensl. Gl ultm quattro blocc rappresentano delle rendte dfferte percò nel calcolo del valore attuale d cascun blocco dovremo nserre un opportuno fattore d dffermento. Ipotzzamo ora ce tutte le rate sano costant. Dovremo qund rsolvere l equazone: , 43 X a = , 43 X = = 1.038, /1 a 60 1/1