DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA"

Transcript

1 SPENSE MATEMATA FNANZAA 3 Piai di ammortameto. 3. osiderazioi geerali. U piao di ammortameto cosiste ella restituzioe di u importo preso a prestito mediate il versameto d'importi distribuiti el tempo. appreseteremo u piao d'ammortameto sotto forma di ua tabella ce avrà per coloe rispettivamete l'epoca, la quota capitale, la quota iteresse, la rata e il debito residuo. Ai (o periodi) = = diciamo co l'importo prestato e co,, K le quote capitale versate (dove rappreseta la quota capitale versata al geerico periodo, metre rappreseta l'ultimo periodo, ossia la durata del piao d'ammortameto stesso). Vale la relazioe: = = ossia la somma di tutte le quote capitale deve essere uguale all importo prestato. Ovviamete, il debitore o dovrà restituire solamete l'importo prestato ma ace gli iteressi maturati a ogi periodo. U'altra caratteristica dei piai d'ammortameto sarà perciò il tasso di remuerazioe del prestito i (ce ipotizzeremo costate per tutta la durata del piao). Le quote iteressi, ce idiceremo co (co =, K, ), rappresetao u costo per il debitore ma u guadago per il creditore. Sarao calcolate a ogi periodo sulla base della parte di debito o acora rimborsata: = i = i ( ) ( ) = i 3 M = i l debito residuo all'epoca rappreseta l'importo da restituire all'epoca (co =, K, ). Possiamo calcolarlo i due maiere: visioe prospettiva (come somma delle quote capitale acora da pagare): ( ) j= + = visioe retrospettiva (come somma delle quote capitale già pagate, dedotte dal debito iiziale): j

2 = eve valere ioltre l'ovvia relazioe =. Possiamo adesso defiire uovamete le quote iteresse attraverso il debito residuo el modo seguete: = i A ogi periodo il debitore dovrà versare ua quota capitale e ua quota iteresse: la somma algebrica di queste due quote prede il ome di rata. Avremo perciò: j= = + =, K, j iepilogado: Ai (o periodi) = i + = - = i + = = - i = = - - = - i= i + = Le rate dovrao soddisfare la seguete relazioe (ci poiamo sempre el F ): = ( + i) = ossia la somma dei valori attuali delle rate deve uguagliare l'importo prestato (l'importo prestato sarà quidi il valore attuale di ua redita avete per rate le rate del piao d'ammortameto). imostrazioe: cosideriamo dapprima il caso di u mutuo co rimborso uico del capitale alla fie dell ao. Avremo: Ai = i i = i i - - = i i = i + i l valore attuale delle somme pagate sarà uguale a: ( + i) VA = i + ( + i) = ( + i) + i ( + i) = ( + i) + ( + i) = Abbiamo pertato dimostrato ce i questa particolare forma di rimborso l uguagliaza è verificata. obbiamo solo geeralizzare questo risultato a qualsiasi forma di mutuo. Per fare questo cosideriamo i segueti ) mutuo a rimborso uico a u ao, co debito iiziale pari a. Sarà: Ai

3 = i + i ) mutuo a rimborso uico a due ai, co debito iiziale pari a. Sarà: Ai = i i = i + i 3) mutuo a rimborso uico a tre ai, co debito iiziale pari a 3. Sarà: Ora sommiamo ao su ao: Ai Ai 3 = 3 i 3 i 3 = 3 i 3 i = 3 i i = i + i + 3 i +( )i + 3 = i + 3 i +( + 3 )i = 3 i i Ora, cosiderato ce il valore attuale delle somme pagate per il primo mutuo è, per il secodo mutuo è e per il terzo è 3 (soo tutti mutui a rimborso uico fiale), avremo ce il valore attuale della somma delle rate pagate sarà uguale a e ciò idipedetemete dal valore di, di e di 3. Esempio. osideriamo il seguete piao d'ammortameto (rimborso graduale) co =., = 5, i = % ome possiamo osservare, tutte le relazioi elecate prima soo soddisfatte. Ad esempio: = , (,) (,) (,) (,) Osserviamo ce il debito residuo può essere determiato ace attraverso le rate. Visioe prospettiva: 3

4 Visioe retrospettiva: + L j j= + = v+ + v = v j j = ( + ) ( + ) ( + ) L = ( + ) j ( + ) j= i i i i i Nel caso dell'esempio precedete avremo: = = = = + + = i ( + i) ( + i) Utilizzado la valutazioe retrospettiva avremo lo stesso risultato: = =. 3 = 6 = ( + i) ( + i) =. (,) 4, 7 = 6 3. Ammortameto italiao. L'ammortameto italiao è caratterizzato dal fatto ce tutte le quote capitale soo costati, ossia perciò: = = L = = = = Gli altri elemeti del piao d'ammortameto assumoo ua forma semplificata. Ad esempio, per quato riguarda il debito residuo: visioe prospettiva: = ( ) visioe retrospettiva: = Per quato riguarda le quote iteressi: = i = ( + ) i oppure equivaletemete: = ( ) i fie le rate si esprimoo el modo seguete: = + = + ( + ) i Esercizi. ) Stedere il piao di u ammortameto italiao co =., = 5 e i = %. 4

5 Avremo =. =, metre il piao completo è: ) Stedere il piao di u ammortameto italiao co = 4., = 8 e i = 6,5%. etermiare quidi il debito residuo all'epoca 5. Avremo = 4. = 5. metre, il piao completo è: l debito residuo 5 = 5. può essere otteuto come: 4. 5 = = + + = = = (8 5) ( ) oppure tolgo le quote capitale già pagate: 5 = S = S = = 5.. Aalogamete utilizzado la somma attualizzata delle rate rimaeti: = + + = + + = i ( + i) ( + i), 65, 65, Ammortameto a rimborso uico. L'ammortameto a rimborso uico prevede ce o si rimborsa ulla fio all'epoca. Le quote capitale valgoo perciò: = = L = = = 5

6 l valore del debito residuo sarà quidi sempre uguale al debito iiziale, esclusa l ultima rata: e delle quote iteressi: fie le rate valgoo: = = L = = = = = L = = i = = L = = i = + i Esercizi. ) Stedere il piao di u ammortameto a rimborso uico co =., = 5 e i = %. Utilizzado le relazioi precedeti si a: ) Stedere il piao di u ammortameto a rimborso uico co =, = 4 e i = 5,65% e co rate semestrali. Le quote capitale valgoo (idiciamo i tempi i semestri): dove Abbiamo perciò: = i = /,5 i/ = + i =, Ammortameto fracese. L'ammortameto fracese prevede delle rate uguali: /,5,5,5,5 3/,5,5,5,5 5/,5,5 3,5,5 7/,5,5 4,5,5 = = L = =

7 Teedo coto della proprietà geerale riguardate le rate di u piao d'ammortameto (ossia la somma dei valori attuali delle rate uguaglia l'importo del debito), avremo: = ( + i) = ( + i) = ( + i) = a = = = i dalla quale potremo ricavare il valore della rata costate: Per quato riguarda il debito residuo, avremo: = a i ( ) ( ) ( ) ( ) = + i + + i + L + + i = a i Possiamo perciò dedurre il valore delle quote iteressi: = i= a i + i etermiiamo ora il valore delle quote capitale: ( ) ( ) = = a i i v = = + = + i + + ossia: 3 = v = v = v M = v Le quote capitale variao quidi i progressioe geometrica co primo termie pari a Esercizio. ) Stedere il piao di u ammortameto fracese co =., = 5 e i = %. etermiiamo la rata costate: = =. = 63,8 a a Per quato riguarda le quote capitale: i 5, = = i= 63, 8 = 63, 8 = 63,8, = 8,8 3 = 8,8, = 98, 4 = 98,, = 8, 5 = 8,, = 39,8 v e ragioe + i= v. 7

8 Si verifica ovviamete ce l piao completo è: 5 =.. = 8. 63,8 63,8 836, 8,8 83, 6 63,8 656, 3 98, 65,6 63,8 457,8 4 8, 45, 78 63,8 39,8 5 39,8 3,98 63,8 Esercizio (riepilogo). U idividuo prede a prestito u importo di. e s'impega a restituire i ai al tasso effettivo auo del % versado rate di u ammortameto italiao. opo cique ai l'idividuo, a seguito di ua crisi fiaziaria, o può più oorare i suoi impegi e paga solo la quota iteresse per il sesto e settimo ao e ulla l'ao successivo. A questo puto si accorda co il fiaziatore per estiguere il debito rimaete etro la scadeza prefissata, sempre i ammortameto italiao al uovo tasso del 5%. alcolare il tasso di costo dell'operazioe per il debitore e determiare la successioe delle rate effettivamete pagate. dati del problema soo =., = e i = %. Le quote capitale costati valgoo: = =. Le prime cique rate effettivamete pagate valgoo: = + =. +. =. = + = = 9. 3 = = = 8. 4 = = = 7. 5 = = = 6. l debito residuo all'epoca cique vale: = ( ) =. ( 5) = 5. Al sesto e settimo ao, il debitore paga soltato gli iteressi, perciò il debito residuo rimae immutato e le rate (pari alla sola quota iteresse) valgoo: 6 = 6 = 5 i= 5. 7 = 7 = 6 i= 5. essedo 5 = 6 = 7 = 5. urate l'ottavo ao il creditore o paga ulla, perciò il debito residuo si capitalizza per u ao. Avremo all'epoca 8 : 8 = 8 = 7 ( + i) = 5., = 55..

9 Avremo perciò u uovo piao d'ammortameto calcolato sul uovo valore del debito 8 : Abbiamo quidi determiato le ultime due rate del piao d'ammortameto. fie, il tasso itero di costo ("T ") è defiito come quel tasso costate rispetto al quale la somma dei valori attuali delle rate forisce il valore del debito. l T dovrà perciò soddisfare la seguete equazioe di equilibrio fiaziario. = i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) Otteiamo u equazioe algebrica di decimo grado ce risolveremo co il metodo dell'iterpolazioe lieare. osiderado i dati del problema, prediamo come soglie il % e l %. Si ottiee quidi: i =, A =.696 i =, A = Appliciamo ifie la formula dell'iterpolazioe co questi dati:,, ı% =, + (..696) =, l preammortameto. l preammortameto è ua situazioe i cui o succede ulla per t ai i cui si pagao solo gli iteressi e o le quote capitale. Si tratta quidi di ua variate per qualsiasi piao d'ammortameto. Abbiamo sotto forma di tabella: i i 3 M t t + i i i i i i i i + + t + M M M M M t+ + Esempio. osideriamo i dati segueti: = 5.., = 5, i = 8% e t = 3 (periodo di preammortameto). Le quote capitale valgoo, dal periodo t + al periodo t+ : 9

10 = = all'epoca zero all'epoca t le quote iteresse valgoo:.. = i= 5..,8 = 9.. l piao completo sarà perciò (importi i milioi): , 7, 3 6 5, 4 5, 4 7 3,6 3,6 8,8,8 Nel caso di u ammortameto di tipo fracese, il piao completo è: ,99 9 5,99 43, 5 8,5 7,74 5,99 34,76 6 9,73 6,6 5,99 5,3 7,48 4,5 5,99 3,55 8 3,55,44 5,99 Attualizziamo le rate del preammortameto italiao: 9, L + = 5 8,8,8,8 3.6 Ammortameto a tassi variabili. L'ammortameto a tassi variabili è ua variate dei piai d'ammortameti geerali ce prevede il calcolo delle quote iteresse co tassi diversi per ciascu periodo. tassi o soo fissati a priori ma ormalmete calcolati sulla base di quelli rilevati sul mercato iterbacario. Per quato riguarda l ammortameto italiao si tratta semplicemete di calcolare per ciascu periodo le quoate iteressi sulla base del debito residuo all ao precedete e del tasso vigete el periodo. Se ad esempio partiamo da u piao d'ammortameto italiao co = 3, = 3 il cui scadezario per le quote capitale è: 3

11 3 Ed i tassi applicati soo per il periodo il %, per il periodo il 5% e per il periodo 3 il % avremo: % 3 3 5% 3 % i Per quato riguarda l ammortameto fracese esistoo almeo due variati ampiamete diffuse sul mercato. La prima è basata sulla sequeza delle quote capitali calcolata al tasso iiziale, co il ricalcalo delle quote iteresse periodo per periodo. Evidetemete le rate o sarao più costati, se o el caso di tassi stabili el tempo. Esempio. osideriamo u piao d'ammortameto fracese a iteressi aticipati co = 5.., i = 8% e = 5. Le quote capitale valgoo: ,8 = v = = 6.99.,8,8 = ( + i) = = ( + i) = etc. l piao di rimborso delle sole quote capitali è (importi i milioi): 5 6,99 43, 8,5 34,76 3 9,73 5,3 4,48 3,55 5 3,55 Le quote iteressi possoo essere calcolate solo dopo l idicazioe del tasso applicato per ciascu periodo: se i =8% i =% i 3 =7% i 4 =8% i 5 =5% le quote iteressi sarao date da: = i =.8 5 = 9 = i =. 43. = 8.6 etc. Le rate si ottegoo dalla somma della quota capitale più la quota iteressi. l piao completo sarà quidi:

12 5 8% 6,99 9 5,99 43, 8% 8,5 8,6 6,85 34,76 % 3 9,73 5,93 5,66 5,3 7% 4,48 4,5 5,99 3,55 8% 5 3,55, % ome si può otare le rate relative a periodi co uguali tassi di iteresse vigeti ( e 4) soo uguali. Soo ivece diverse le rate relative a periodi co tassi di iteresse diversi, maggiore è il tasso, maggiore la rata. La secoda variate (rate costati a tassi variabili) utilizza come base di riferimeto la rata iiziale, e dopo aver calcolato la quota iteressi al tasso vigete per quel periodo, rettifica la quota capitale i modo da mateere costate la rata. iprededo l esempio precedete: = 5.. ; ,8,8 Per il primo ao la quota iteressi sarà data da: = i =.8 5 = 9 La quota capitale da: = = 5,99 9 = 6,99 E il debito residuo sarà: = = 5 6,99 = 43, Per il secodo ao: = i =. 43, = 8, 6 La quota capitale sarà: = = 5,99 8,6= 7,37 E il debito residuo sarà: = = 43, 7,37 = 35, 73 i l piao completo: 5, 6,99 9, 5,99 43, 8% 7,37 8,6 5,99 35,73 % 3 9,9 6,7 5,99 5,8 7% 4,34 4,65 5,99 4,47 8% 5 3,8,7 5,99,65 5% 6,65,,75-6% i questo caso le variazioi ei tassi ao reso ecessaria ua ulteriore rata, di importo pari al residuo capitalizzato, per completare il rimborso. Evidetemete rialzi dei tassi geerao u allugameto ei tempi di rimborso, abbassameti dei tassi cosetoo maggiori rimborsi i liea capitale (la rata è costate) e, quidi, u rimborso più rapido. 3.7 Valutazioe di u prestito. l valore di u prestito all'epoca geerica al tasso di valutazioe j (scelto arbitrariamete, da o cofodere co il tasso di remuerazioe i del piao d'ammortameto) è defiito come la somma dei valori attuali calcolati all'epoca di tutte le rate successive all'epoca. simboli avremo:

13 V = ( + j) t= + dove rappreseta l'epoca fiale. l valore di u prestito può essere scisso ella somma di due compoeti: la uda proprietà (otteuta attualizzado le quote capitale) e l'usufrutto (otteuto attualizzado le quote iteresse): perciò vale a ogi epoca : N = ( + j) t= + U = ( + j) t t t t= + V = N + U. Esempio. osideriamo il seguete piao d'ammortameto co S =. ; = 5 e i = %. t t t Vogliamo calcolare uda proprietà e usufrutto all'epoca tre al tasso di valutazioe j = 5%. Utilizzado le defiizioi viste si ottiee: V = + = 463,,5,5 N 4 3 = + = 389, 4,5,5 U = + = 73,7.,5,5 Esercizio. U prestito è restituito i cique ai mediate il versameto di cique quote capitale i progressioe aritmetica di ragioe e primo termie e pagameto degli iteressi al % effettivo auo. opo due ai il creditore cede i flussi residui a u terzo soggetto. ostui paga u prezzo d'acquisto ce gli cosete di realizzare u redimeto dall'operazioe pari al % pur i preseza di tassazioe sulle quote iteresse i base ad u'aliquota del 4%. Stedere il piao di ammortameto completo e calcolare il prezzo pagato dal terzo soggetto per acquistare il debito residuo. Utilizzado le ote relazioi possiamo scrivere il piao d'ammortameto:

14 Metre le quote capitale 3, 4 e 5 soo acquistate dal terzo soggetto, sulle quote iteressi ci sarà da togliere il 4%. Siccome il redimeto è del %, il prezzo pagato sarà il valore attuale di ciò ce deve essere icassato, ossia: V = (, 4).7,3 3 3, + +,,, =.,, Osservazioe. l tasso itero di costo ("T ") di u prestito è quel tasso i base al quale le rate pagate per la restituzioe di u debito attualizzate all'epoca zero soo uguali al valore iiziale del debito stesso. l T cosete quidi di valutare la coveieza tra due alterative di fiaziameto, accogliedo quella ce preseta il T più basso. ome verifica, possiamo calcolare il tasso itero di costo risolvedo l'equazioe di equilibrio fiaziario: V( j) = (, 4) =.7, j ( j) ( j) j ( + j) ( + j) Si trova proprio j = %. Esercizio. U idividuo si accorda per restituire u importo di 8. euro mediate il versameto di rate costati semestrali per dieci ai al tasso effettivo auo d'iteresse del 5%. opo le prime otto rate semestrali versate regolarmete il debitore icotra u periodo di difficoltà fiaziarie el quale paga solo gli iteressi per due semestri e sospede completamete il versameto delle rate per altri quattro semestri; a questo puto si accorda per restituire il prestito ei tempi previsti versado rate semestrali di u uovo ammortameto fracese codotto sul uovo valore del debito al tasso auo del 8%. alcolare: - l'importo del debito residuo i corrispodeza dell'ultima epoca i cui i pagameti avvegoo regolarmete; - il tasso di costo su base aua dell'operazioe complessiva. etermiiamo dapprima il tasso semestrale equivalete: i / =, 5 =, La rata del piao d'ammortameto si deduce dalla formula vista per l'ammortameto fracese (abbiamo u totale di veti rate semestrali): = = 8. = 5.67, 5494 a 5, 6349 i / l debito residuo, teedo coto delle rate acora da versare, sarà: = a i / ossia:, = a = 5.67,5494 = 55.85, 3,469, 4695 Alle epoce 9 e il debitore paga solo gli iteressi: metre il debito residuo o cambia: = 9 = = 8 i/ 8 = 9 =. 4

15 Per i successivi quattro semestri, il debitore o paga ulla perciò il debito residuo si capitalizza per quattro semestri (o equivaletemete per due ai). Si avrà quidi: = + i = = 4 8 ( ) , 46 Le ultime sei rate del uovo ammortameto si trovao co la solita formula: dopo aver determiato il tasso semestrale equivalete: ,46 = = =.35,98 a 5, / j j / =, 8 =, 393. Per la ricerca del T scriviamo l'equazioe di equilibrio fiaziario: 8. = a + a ( + i ) + + a ( + i ) i / / / i/ 6 i/ isolviamo per iterpolazioe prededo come soglie i tassi semestrali equivaleti al 5% e al 8% aui. Si a: i =, 4695 A = 8.4, 47 i =, 393 A = 7.886, 46 Appliciamo ifie la formula dell'iterpolazioe co questi dati:, 393, 4695 ı% =, (8. 8.4, 47) ;, , , 47 fie il T su base aua sarà: i = ( +,775) =,559. Esercizi di riepilogo. ) U idividuo di 4 ai di età sottoscrive u cotratto ce gli assicura ua redita perpetua differita posticipata aua dall'età di 65 ai. potizzado ce la rata della redita sia di. e ce il tasso di riferimeto sia del 4%, calcolare quale sarà l'importo complessivo ce l'idividuo dovrà versare oggi a frote della prestazioe idicata. L'operatore dispoe, ioltre, di ua secoda alterativa: versare dieci rate aue posticipate ivece dell'uico importo calcolato al puto precedete. etermiare l'importo delle rate i questioe. l valore attuale della prima redita perpetua sarà: A = =. = 5.. i,4 l valore attuale di tale somma all'epoca zero (cioè passado da 65 a 4 ai) è: A 5 = 5. ( +,4) = 8.755,84. fie, l'importo della rata della secoda redita si ottiee uguagliado i valori attuali delle due redite equivaleti: 5

16 8.755, , ,84 = a = = =.3, 45,4 a 8,9,4 ) ato u ammortameto fracese per u importo iiziale pari a. euro, di durata dieci ai, realizzato al tasso del % auo d'iteresse mediate il versameto di rate trimestrali, calcolare la rata e il debito residuo dopo tre ai e mezzo. alcoliamo dapprima il tasso trimestrale equivalete: /4 i /4 = ( +,) =, 4. l ostro piao d'ammortameto prevede 4 rate trimestrali d importo pari a: =. = 3.94,39. a 4,4 l debito residuo dopo 4 rate si ottiee dalla formula: 3,5 = a 3.94,39 9, ,3 4 = =. 4,4 3) U idividuo prede a prestito 5. euro ce s'impega a restituire i dieci ai mediate il versameto di rate costati quadrimestrali al 9% auo d'iteresse. opo sei ai iizia u periodo di difficoltà fiaziaria ce lo coduce a pagare i soli iteressi per il settimo ao e ulla per l'ottavo. A questo puto si accorda per estiguere il prestito ei tempi iizialmete previsti mediate il versameto di rate acora costati e quadrimestrali calcolate all % auo. alcolare: - la rata del primo ammortameto; - il debito su cui viee ricalcolata la uova rata all'epoca otto; - il tasso di costo dell'operazioe complessiva (ce è ecessariamete compreso tra i tassi d'ammortameto). etermiiamo dapprima il tasso quadrimestrale equivalete: /3 i /3 =,9 =,94 La rata del piao d'ammortameto si deduce dalla formula vista per l'ammortameto fracese (abbiamo u totale di treta rate quadrimestrali): = = 5. = 7.568, 7 a a 3 i /3 3 i /3 l debito residuo, teedo coto delle rate acora da versare, sarà: ossia: = a i /3 6 = a = 7.568, 7, 53 = 75.7,8,94 All'epoca 7 il debitore paga solo gli iteressi: = 6 i/3 =.6,5 metre il debito residuo o cambia: =. 7 6 All'epoca 8, il debitore o paga ulla perciò il debito residuo si capitalizza per u ao. Si avrà quidi: 6

17 8 = 6 ( + i) = 75.7,8, 9 = 8.535, 7. Le ultime sei rate del uovo ammortameto si trovao co la solita formula: = = a dopo aver determiato il tasso quadrimestrale equivalete: ,7 6 j /3 /3 j /3 =, =,354. Per la ricerca del T scriviamo l'equazioe di equilibrio fiaziario: 5. = a + a ( + i ) + + a ( + i ) i /3 /3 /3 3 i/3 6 i/3 isolviamo per iterpolazioe prededo come soglie i tassi quadrimestrali equivaleti al 9% e all % aui. Si trova ı%;, 956. fie il T su base aua sarà i ; 9,3%. 6) U idividuo si accorda per restituire u prestito mediate il versameto di cique quote capitale di cui la prima pari a 5. euro e le altre ciascua pari alla precedete moltiplicata per due; il tasso è pari al 7,5%. alcolare: - il debito residuo all'epoca tre; - la uda proprietà e l'usufrutto all'epoca due utilizzado il tasso del 9%. La successioe delle quote capitale è: = 5. ; =. ; 3 =. ; 4 = 4. ; 5 = 8.. l debito residuo è: 3 = =... Per quato riguarda uda proprietà e usufrutto, appliciamo la defiizioe: 3 P.,9 4.,9 8., , = + + =. l debito residuo alle altre epoce è: = =.4. 4 = 3 4 = 8.. Le quote iteresse ecessarie per determiare l'usufrutto soo: perciò: 3 = 3 i=.4., 75 = 5. 4 = 4 i= 9. 5 = 5 i= 4. 3 U 5.,9 9.,9 4.,9.969 = + + =. 7) U'azieda si fiazia emettedo u prestito obbligazioario dell'importo di 5.. euro ce s impega a 7

18 rimborsare mediate u ammortameto a rimborso uico co rata auale al 4,5% i ai. alcolare uda proprietà e usufrutto del prestito all epoca tre al tasso di valutazioe del 7%. L'uica quota capitale o ulla è l'ultima: = 5.. avremo perciò 9 V 3 = 5..,7 = Le quote iteresse soo tutte uguali e valgoo: e deduciamo quidi l'usufrutto: = 5.., 45 = 7.5 U3 = a =.35.9, 69. 9,7 8

Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica

Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica iprediamo l'esempio visto ella scorsa lezioe di redita perpetua co rate cresceti i progressioe arimetica: Questa redita può ache essere vista come

Dettagli

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto

Dettagli

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 L ammortameto dei prestiti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8 Prestiti idivisi Operazioi fiaziarie co due cotraeti mutuate o creditore: presta u capitale mutuatario o debitore: si impega a restituire

Dettagli

Appunti su rendite e ammortamenti

Appunti su rendite e ammortamenti Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K

Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K 1 Matematica Fiaziaria Uiversità degli Studi La Sapieza Facoltà di Ecoomia Ao accademico 212-13 Matematica Fiaziaria Caale D - K Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi Atoio Aibali Atoio Aibali a.a.

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema

Dettagli

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.

SERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi. Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x. ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

Successioni ricorsive di numeri

Successioni ricorsive di numeri Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..

Dettagli

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria MERCATO DEI MUTUI A.A. 2015/2016 Prof. Alberto Dreassi adreassi@uits.it DEAMS Uiversità di Trieste ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumeto Tipologie di mutui Il mercato secodario e il ruolo svolto

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015

Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015 Uiversità di Milao Bicocca Esercitazioe 4 di Matematica per la Fiaza 24 Aprile 205 Esercizio Completare il seguete piao di ammortameto: 000 2 3 234 3 6 369 Osserviamo iazitutto che, per il vicolo di chiusura

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati

Dettagli

II-9 Successioni e serie

II-9 Successioni e serie SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2

Università degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2 Uiversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea i Igegeria Edile e Tessile Idici di posizioe e variabilità Esercitazioe 2 1. Nella seguete tabella si riporta la distribuzioe di frequeza del cosumo i

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si

Dettagli

La stima per capitalizzazione dei redditi

La stima per capitalizzazione dei redditi La stima per capitalizzazioe dei redditi 24.X.2005 La stima per capitalizzazioe La capitalizzazioe dei redditi è l operazioe matematico-fiaziaria che determia l ammotare del capitale - il valore di mercato

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6

1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6 SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie

Dettagli

Serie numeriche: esercizi svolti

Serie numeriche: esercizi svolti Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

5. Le serie numeriche

5. Le serie numeriche 5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci. Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S S0 X k, co X k k co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti e ideticamete

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative

Dettagli

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la

Dettagli

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri

PARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

McGraw-Hill. Tutti i diritti riservati. Caso 18

McGraw-Hill. Tutti i diritti riservati. Caso 18 Mauale di Estimo Vittorio Gallerai, Giacomo Zai, Davide Viaggi Caso 18 Copyright 2005 The Compaies srl Stima del diritto di usufrutto e del valore della uda proprietà relativi ad u appartameto di civile

Dettagli

Random walk classico. Simulazione di un random walk

Random walk classico. Simulazione di un random walk Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64

cerchiamo di convincerci che ha senso sommare infiniti numeri! INSIEME INFINITO non INSIEME ILLIMITATO maggiorante limitato B 1/4 + 1/16 + 1/64 By Luca Torchio Prima di defiire i modo rigoroso ua somma di ifiiti umeri, che tra l altro i matematici chiamao Serie, cerchiamo di covicerci che ha seso sommare ifiiti umeri! La cosa, i effetti, fa u

Dettagli

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:

Teorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge: Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e

Dettagli

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame

Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame Statistica (Prof. Capitaio) Alcui esercizi tratti da prove scritte d esame Esercizio 1 Il tempo (i miuti) che Paolo impiega, i auto, per arrivare i ufficio, può essere modellato co ua variabile casuale

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE

ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a

Dettagli

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli:

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli: PROPOSTA DI UN PROTOCOLLO DI PROVE PER IL CONTROLLO DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE FINALITÀ Nel campo edile l utilizzo di rivestimeti esteri da riportare sulle

Dettagli

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 Usufrutto L'usufrutto è il diritto di godimeto da parte di ua persoa detta USUFRUTTUARIO di u bee altrui; il proprietario del bee

Dettagli

Modifica del regolamento della Cassa pensione Novartis

Modifica del regolamento della Cassa pensione Novartis Modifica del regolameto della Cassa pesioe Novartis Agli assicurati della Cassa pesioe Novartis Il Cosiglio di fodazioe della Cassa pesioe Novartis ha emaato importati modifiche del cocetto e delle prestazioi

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c.

che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c. I LEZIONE Il ostro iteto è aalizzare i dettaglio i metodi di cifratura che si soo susseguiti el corso della storia prestado particolare attezioe all impiato matematico che e cosete la realizzazioe Iiziamo

Dettagli

PIANI DI AMMORTAMENTO, TIC, NUDA PROPRIETA E USUFRUTTO, TIR E ARBITRAGGIO

PIANI DI AMMORTAMENTO, TIC, NUDA PROPRIETA E USUFRUTTO, TIR E ARBITRAGGIO ESERCITAZIONE MATEMATICA FINANZIARIA 16/11/2013 1 PIANI DI AMMORTAMENTO, TIC, NUDA PROPRIETA E USUFRUTTO, TIR E ARBITRAGGIO Nuda proprietà e usufrutto Esercizio 1 2 ESERCIZIO 1 Una società prende in prestito

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe

Dettagli

Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi

Disposizioni semplici. Disposizioni semplici esercizi Disposizioi semplici Ua disposizioe (semplice) di oggetti i k posti (duque 1 < k < ) è ogi raggruppameto di k oggetti, seza ripetizioi, scelti fra gli oggetti dati, cioè ciascuo dei raggruppameti ordiati

Dettagli

STIME E LORO AFFIDABILITA

STIME E LORO AFFIDABILITA TIME E LORO AFFIDABILITA L idea chiave su cui si basa l aalisi statistica è che si ossoo eseguire osservaioi su u camioe di soggetti e che da questo si ossoo comiere iferee sulla oolaioe raresetata da

Dettagli

Metodi statistici per l analisi dei dati

Metodi statistici per l analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente

ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A. 2007-2008 ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi:

Dettagli

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014)

Calcolo Combinatorio (vers. 1/10/2014) Calcolo Combiatorio (vers. 1/10/2014 Daiela De Caditiis modulo CdP di teoria dei segali Igegeria dell Iformazioe - sede di Latia, CALCOLO COMBINATORIO Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio: Si realizzio

Dettagli

FONDO EUROPEO DI SVILUPPO REGIONALE. nuove iniziative d impresa

FONDO EUROPEO DI SVILUPPO REGIONALE. nuove iniziative d impresa regioe puglia il lavoro e l iovazioe PO FESR 2007-2013 Asse VI Azioe 6.1.5. idi uove iiziative d impresa Regioe Puglia cosa trovo i questa scheda? Questa scheda cotiee alcue iformazioi sulla Misura Nidi

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

8. Successioni di numeri reali

8. Successioni di numeri reali 8. Successioi di umeri reali 8. Progressioi umeriche Prerequisiti I umeri aturali e le operazioi su di essi Cocetto di applicazioe Cocetto di isieme ifiito Isiemi umerabili Obiettivi Compredere il cocetto

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006

Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006 Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli