1 Modelli di formazione di immagini

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1 Modelli di ormazione di immagini M. Bertero DISI Università di Genova - Blurring -Noise - Problemi di ricostruzione di immagini Un sistema di ormazione di immagini (camera digitale telecamera microscopio telescopio) può non ornire un immagine edele dell oggetto che si vuol rappresentare o studiare. Si hanno solitamente due tipi di perturbazione che vengono indicate con i termini blurring e noise. I problemi di ricostruzione di immagini si propongono di rimuovere almeno parzialmente gli eetti negativi di tali perturbazioni.

2 . - Blurring Un sistema di ormazione di immagini (camera digitale telecamera microscopio telescopio ecc.) è un sistema isico di trasmissione di segnali. In questo caso il segnale può essere una unzione di due variabili spaziali (immagini D) o di tre variabili spaziali (immagini 3D). Il caso delle immagini 3D si presenta generalmente in microscopia o in tomograia (si veda il corso di Immagini Biomediche). In svariate circostanze il sistema di ormazione di immagini può essere modellizzato come un sistema lineare e continuo. In tal caso se si indica con il vettore delle coordinate spaziali da cui dipendono le immagini (a due o tre componenti rispettivamente nei casi D e 3D) e se () è il segnale di ingresso del sistema (nel seguito chiamato oggetto) e g() il segnale d uscita (in seguito chiamato immagine) allora la relazione tra oggetto ed immagine è data da: g ( ) H ( ' ) ( ' ) d ' (.) dove ( ) è la risposta in impulso del sistema.

3 Una sorgente luminosa puntiorme localizzata nel punto 0 viene solitamente modellizzata mediante una distribuzione δ di Dirac concentrata in 0 ; se tale sorgente ha intensità (integrale) eguale a allora: ( ) δ ( ) 0 e la sua immagine è data da: ( ) H ( ). g Pertanto la risposta in impulso ornisce l immagine di sorgenti puntiormi di intensità. Tali immagini non sono puntiormi ma piuttosto simili a piccole macchie. Per tale motivo nel caso di sistemi di ormazione di immagini la risposta in impulso viene detta point spread unction (PSF) ossia unzione di allargamento del punto. L eetto della PSF sull oggetto come descritto dall equazione (.) viene detto blurring (annebbiamento) in quanto l immagine g è una versione dell oggetto in cui i dettagli sono meno nitidi. L espressione socamento che viene talvolta usata non è del tutto corretta perchè come vedremo lo socamento è un caso particolare di blurring. 0

4 Svariati sistemi di ormazione di immagini godono della proprietà (a volte approssimata ma comunque molto utile) che la orma dell immagine di un punto luminoso non dipende dalla posizione del punto. Tali sistemi che sono anche detti isoplanatici sono evidentemente sistemi invarianti per traslazioni. In tale caso si ha: H ( ) ( ) 0 0 ed il nome point spread unction viene attribuito alla unzione (); essa è l immagine di una sorgente puntiorme di intensità unitaria posta al centro del campo dell immagine. La (.) diventa: ( ) ( ' ) ( ' ) d '. (.) g La trasormata di Fourier della PSF viene detta unzione di traserimento. Dal teorema di convoluzione e dalla (.) si ottiene: g ( ω ) ( ω ) ( ω ). (.3) Tale equazione mostra che la risposta a un segnale sinusoidale è ancora un segnale sinusoidale ma con ampiezza e ase modiicate.

5 La descrizione di un sistema di ormazione di immagini mediante la sua PSF viene anche detta descrizione nel dominio spazio mentre la sua descrizione mediante la unzione di traserimento viene detta descrizione nel dominio requenze. Molte volte è utile considerare il sistema nel dominio requenze. d esempio se la PSF è a banda limitata ossia se la unzione di traserimento è nulla al di uori di un dominio D ω allora dalla (.3) risulta che tutte le immagini ornite dal sistema sono a banda limitata ed hanno la stessa banda della PSF (una proprietà che verrà modiicata dal enomeno che sarà considerato nel prossimo paragrao). In tal caso si dice che il sistema è a banda limitata. Nel caso D per molti sistemi ottici la banda è un disco con un certo raggio Ω. E importante sapere se un sistema è a banda limitata e qual è la sua banda. Inatti grazie ai teoremi di campionamento questa inormazione permette di stabilire qual è il campionamento piu opportuno per le immagini e di conseguenza permette di stabilire le caratteristiche del rivelatore. Inoltre il modello continuo precedentemente ormulato viene cosi trasormato in un modello discreto.

6 Nel seguito supporremo che la PSF soddisi le seguenti condizioni: i ) ii ) ( ) 0 ; ( ) d ( 0 ). Le due condizioni implicano che la PSF è integrabile e quindi grazie al Teorema di Riemann-Lebesgue la unzione di traserimento non solo è limitata e continua ma tende a zero per grandi requenze: ( ω ) 0 ω. Ne segue che un sistema di ormazione di immagini è un iltro di Fourier passa basso (le alte requenze vengono soppresse). Inoltre la ii) implica che: ( ) d ( ) d g come si può veriicare acilmente integrando ambo i membri della (.). Si ha quindi conservazione dell intensità o come si dice in certe applicazioni conservazione del lusso.

7 Esempio Come primo esempio di blurring consideriamo il caso delle immagini mosse. Un oggetto in movimento è stato ripreso da una telecamera issa. Pertanto nel singolo rame durante il tempo di esposizione si sovrappongono piu immagini dello stesso oggetto. E ovvio che stiamo considerando immagini D e quindi [ ]. Inoltre per semplicità supponiamo che: a) in assenza di moto il sistema ornisce un immagine edele dell oggetto cioè g()(); b) l oggetto si muove su ondo uniorme (il cui valore può essere posto eguale a zero) in direzione parallela all asse delle ascisse; c) l oggetto è tutto contenuto nel campo di vista del sistema e non esce da tale campo durante il moto. Sia ( ) l immagine dell oggetto al tempo t0; inoltre sia T il tempo di esposizione del rame e c è la velocità di spostamento dell oggetto. llora al tempo t l immagine dell oggetto è: ( - c t ). L immagine registrata dalla telecamera alla ine del tempo di esposizione T sarà la sovrapposizione di tutte le immagini registrate ai tempi compresi tra 0 e T e quindi: g T 0 dt T ( ) ( ct ).

8 Se si eettuano i seguenti cambiamenti di variabile: ' s ct S ct s si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' 0 d H d S ds s S g S S + dove: ( ). altrimenti 0 ; 0 S S H Pertanto la PSF D è data da: ( ) ( ) ( ). H δ

9 Da risultati già noti sulla trasormata di Fourier della unzionea a gradino segue che la unzione di traserimento del sistema è data da: Sω ( ) i ω ω e sinc. Sω Tale unzione di traserimento presenta delle linee di zeri (linee nodali) parallele all asse delle ordinate. Le intersezioni di tali linee con l asse delle ascisse sono date da: π ω n n ; n ± ±... S Pertanto la distanza tra i due zeri centrali è 4π/S mentre la distanza tra gli altri zeri adiacenti è π/s. Tale proprietà puo essere utilizzata per determinare S nel caso in cui tale parametro (la distanza percorsa dall oggetto durante il tempo di esposizione) non sia noto. Inatti grazie alla (.3) anche la trasormata di Fourier dell immagine presenta gli stessi zeri ( a parte la perturbazione dovuta al noise) e quindi la determinazione della loro distanza permette la determinazione di S.

10 Esempio Il secondo esempio è quello delle immagini socate. Come è ben noto l immagine di un oggetto piano ornita da una lente sottile (che in prima approssimazione è un modello accettabile per una telecamera o una camera digitale) è perettamente a uoco se la distanza del piano oggetto dal piano della lente soddisa alla legge delle lenti sottili: D O + D I D dove D O D I e D F sono le distanze dal piano della lente rispettivamente del piano oggetto del piano immagine e del piano ocale. Se questa relazione è soddisatta allora nell approssimazione dell ottica geometrica l immagine di un punto è un punto e quindi l immagine ornita dalla lente è una replica edele dell oggetto. D altra parte se il piano del oggetto non è a uoco allora sempre secondo l ottica geometrica l immagine di un punto è un disco (COC circle o conusion) con un raggio R che dipende dalla distanza dell oggetto dal piano della lente. L intensità del disco è proporzionale all intensità del punto di cui è immagine. F

11 Se l oggetto è piano ed il piano dell oggetto è parallelo al piano della lente allora le immagini dei diversi punti sono dischi tutti dello stesso raggio anche se con diversa intensità. In altri termini il sistema è isoplanatico. Non si ha isoplanatismo nel caso di un oggetto 3D con punti che si trovano a distanze molto diverse dal piano della lente. Pertanto nel caso di un oggetto piano se si pone: ( ) π R 0 allora l immagine socata di un oggetto () è data dall equazione (.). La unzione di traserimento del sistema è data da (si veda MESI ): ( R ω ) J ( ω) R ω e quindi presenta delle linee nodali che son cerchi con centro l origine. nche in questo caso le linee nodali possono essere usate per determinare il valore di R qualora non sia noto. R R

12 Esempio 3 Nel caso di microscopi o telescopi il blurring delle immagini è dovuto agli eetti di dirazione. Nel caso piu semplice di una pupilla circolare e di luce coerente la banda è un disco di raggio Ω e la unzione di traserimento è data da: ( ω) 0 ω Ω ω Ω con la corrispondente PSF: ( ) Ω π J ( Ω ). Nel caso di luce incoerente la PSF è proporzionale al quadrato di quella del caso coerente. Tenendo conto della normalizzazione ad integrale si ottiene: ( ) 3 4 π J ( Ω ).

13 Esempio 4 Nel caso di grandi telescopi a terra il blurring dovuto alla turbolenza atmoserica risulta dominante rispetto al blurring di dirazione. Tale blurring atmoserico è quello che non permette ai telescopi a terra di raggiungere la stessa risoluzione dei telescopi spaziali. In anni recenti tale diicoltà è stata parzialmente superata mediante l uso di una nuova tecnologia che va sotto il nome di ottica adattiva. La turbolenza atmoserica presenta luttuazioni con tempi caratteristici dell ordine di qualche millisecondo. Se i tempi di esposizione sono molto superiori a questi tempi caratteristici (ad es. qualche secondo) allora il blurring dovuto all atmosera ha un andamento quasi Gaussiano. Piu esattamente la unzione di traserimento è data da: ω Ω 0 ( ω ) ep 3.44 dove Ω 0 è un parametro che dipende solo dallo stato dell atmosera ed è molto piu piccolo della banda del telescopio. Ne segue che anche un grande telescopio ha la risoluzione di uno specchio di pochi decimetri di diametro. 5 3

14 . - Noise Nel modello continuo precedentemente introdotto g() è la distribuzione spaziale nel piano immagine della grandezza isica (qualunque sia il suo signiicato) che rappresenta l immagine dell oggetto incognito (). Tale grandezza isica è sostanzialmente un segnale analogico che deve essere convertito in un segnale digitale per ogni successiva elaborazione. Tale conversione viene solitamente eettuata mediante una CCD camera (CCD coupled charged device) che è sostanzialmente un array di sensori. Ogni sensore ornisce una misura locale del valore dell immagine g(). Un primo eetto del sistema di sensori è la trasormazione dell immagine continua in un immagine discreta (immagine digitale). Pertanto è opportuno sostituire il modello continuo precedentemente introdotto mediante il corrispondente modello discreto. Ciò implica la discretizzazione del prodotto di convoluzione introdotta in MESI. Il secondo eetto è che ogni sensore non ornisce un valore esatto di g che indicheremo con g 0 ma un suo valore approssimato dovuto all eetto del noise. Tuttavia prima di ornire una descrizione del noise è opportuno introdurre la discretizzazione del problema.

15 Supponiamo che il campo di vista del rivelatore sia un quadrato che viene suddiviso in N N piel quadrati; tali piel sono caratterizzati dalla coppia di indici n [n n ] entrambi con valori da 0 a N-. Si indichi con g(n) il valore esatto di g nel piel n (od eventualmente il suo integrale sul dominio del piel). nalogamente si supponga che il dominio dell oggetto sia suddiviso in N N piel quadrati e che (n) sia il valore esatto dell oggetto nel piel n. llora trascurando gli eetti di bordo la versione discreta dell equazione (.) è data da: g ( n) ( n n' ) ( n' ) (.4) n dove (n) è l array ottenuta mediante shit e prolungamento periodico dal campionamento della PSF continua (si veda MESI ). La (.4) va intesa come una orma abbreviata della seguente sommatoria doppia: g N N n 0n 0 ( n n ) ( n n ' n n ') ( n ' n ').

16 Il valore dell immagine nel piel n ornito dal rivelatore non coincide con g(n) a causa di svariati enomeni che vanno sotto il nome di noise. Tali enomeni hanno carattere aleatorio. Pertanto il valore misurato g(n) è la realizzazione di una variabile aleatoria η(n) il cui valore atteso è dato dall equazione (.4): { η ( n )} g ( n ). (.5) E Nel caso di un rivelatore basato su una array di CCD si hanno prevalentemente due tipi di noise: il noise di lettura (read out noise RON) dovuto al sistema elettronico che ampliica il segnale in uscita da un CCD; il noise otonico dovuto alle luttuazioni nel numero di otoni che arrivano sul rivelatore. Noise di lettura Il noise di lettura è un noise addittivo; in altri termini si può scrivere: ( n) g ( n) w( n) (.6) g + dove w(n) è la realizzazione di una variabile aleatoria ζ che non dipende nè dal segnale g(n) nè dal piel n.

17 In genere il modello più accreditato per il noise di lettura è quello del noise Gaussiano bianco; ζ è allora una variabile aleatoria Gaussiana con media zero e varianza σ : P ς σ ( w) e (.7) π σ Noise otonico Se si trascura il noise di lettura il valore misurato dell immagine è dato dal numero di otoni che durante il tempo di esposizione sono arrivati sul CCD e sono g stati rivelati. Pertanto g(n) è un 0 ( n ) numero intero ed è la realizzazione di una variabile aleatoria Poissoniana con valore atteso dato dalla (.5): P η ( n )( g ( n) ) e g w ( n ) g ( ) ( n ) g g n! ( n). (.8) nche in questo caso si può pensare di scrivere g(n) nella orma (.6). Si deve però osservare che w(n) non è più indipendente dal segnale come nel caso del noise di lettura.

18 .3 - Problemi di ricostruzione di immagini L immagine g di un oggetto ornita dal sistema strumento ottico + rivelatore può essere gravemente deteriorata sia dal blurring che dal noise. Si pone quindi il problema di tentare di migliorare l immagine registrata mediante un opportuna elaborazione di g. Combinando la (.4) con la (.6) si vede che il modello di ormazione-registrazione di immagine è dato da: g + w (.9) dove è l oggetto incognito. Pertanto si vede che se si considera questa come un equazione avente come incognita l oggetto risulta indispensabile conoscere la PSF del sistema di ormazione di immagini. D altra parte non è pensabile conoscere il termine di noise w dato che questo è la realizzazione di un processo aleatorio. Pertanto un problema di ricostruzione di immagini è il problema di determinare una stima di un oggetto incognito essendo data la sua immagine e la PSF dello strumento utilizzato.

19 Nel seguito si indicherà con la matrice circolante a blocchi deinita dal prodotto di convoluzione con la PSF ; si porrà quindi:. Dal punto di vista computazionale i metodi di ricostruzione di immagine richiedono sovente il calcolo di un prodotto matrice-vettore nel caso di una matrice circolante. Il calcolo si eettua mediante la FFT poichè solitamente le immagini hanno dimensioni che sono potenze di due. Diamo alcuni esempi ricordando che ad ogni matrice circolante è associata una unzione di traserimento nel seguito indicata. ovunque ; 0 se ; ; * * FFT FFT FFT T T

20 ( ). ; ; ; FFT I I FFT T T T T μ μ μ μ Nell ultima equazione I indica la matrice identica. ( ) ( ). ; μ μ μ μ FFT I I T T