Algebra Lineare - Autunno 2008

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Luisa Angeli
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1 Algebra Lineare - Autunno 2008 Kieran O Grady 1 29 Settembre: Vettori geometrici Segmenti orientati ed equipollenza. Vettori geometrici. Somma e prodotto per uno scalare: definizione e proprietà algebriche. 2 1 Ottobre: Spazi vettoriali reali Definizione di spazio vettoriale sui reali. Proprietà algebriche elementari (unicità dell opposto, legge di cancellazione). Esempi: vettori geometrici, R n. Collegamento tra spazi di vettori geometrici e R 2, R Ottobre: Spazi vettoriali su K C. Il campo dei complessi. Spazi vettoriali su un sottocampo K C. Dipendenza lineare di vettori. Base di uno spazio vettoriale. 4 6 Ottobre: Basi di spazi vettoriali. Ancora su dipendenza lineare di vettori e basi. La cardinalità di due basi è la stessa (enunciato). 5 8 Ottobre: Dimensione. Dimostrazione del teorema sulla cardinalità di basi di uno stesso spazio vettoriale (nel caso di uno spazio finitamente generato). Somma di sottospazi. Formula di Grassmann. 6 9 Ottobre: Matrici e sistemi di equazioni. Definizione di matrice a valori in un sottocampo K C. Matrici associate ad un sistema di equazioni lineari. Esistenza di soluzioni non-banali di un sistema omogeneo se il numero di incognite supera il numero di equazioni. Metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. 1

2 7 13 Ottobre: Operazioni sulle matrici. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sua riduzione a una matrice a scala. Estrazione di una base da una sequenza di generatori di un sottospazio vettoriale di K n. L insieme M m,n (K) delle matrici m n su K è in modo naturale uno spazio vettoriale su K. Prodotto tra matrici Ottobre: Applicazioni lineari. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempio: l applicazione L A : K n K m associata ad A M m,n (K). Se B = {v 1,..., v n } è una base di V e w 1,..., w n W sono arbitrari esiste una e una sola f : V W lineare tale che f(v i ) = w i. Ogni f : K n K m lineare è uguale a L A per una (e una sola) A M m,n (K) Ottobre: Isomorfismo. La composizione di applicazioni lineari è lineare. Relazioni di equivalenza. Isomorfismo tra spazi vettoriali Ottobre: Rango, nucleo. L endomorfismo L A associato ad A M n,n (K) è un isomorfismo se e solo se le righe di A sono linearmente indipendenti o equivalentemente se e solo se le colonne di A sono linearmente indipendenti. Rango per righe e per colonne di una matrice: uguaglianza (enunciato). Dimostrazione della formula dim V = dim ker(f) + dim im(f) Ottobre: Matrici, applicazioni lineari, I. Dimostrazione del Teorema: Rango per righe uguale a rango per colonne. Applicazione lineare tra spazi vettoriali (con basi assegnate) associata a una matrice Ottobre: Matrici, applicazioni lineari, II. Matrice associata a un applicazione lineare tra spazi vettoriali (con basi assegnate). Composizione di applicazioni lineari e prodotto tra matrici. Matrice del cambiamento di coordinate Ottobre: Matrici, applicazioni lineari, III. Esempi di: matrici associate ad applicazioni lineari, matrici di cambiamenti di coordinate, matrici coniugate. Formule di addizione per sin e cos Novembre: Determinanti, I. Permutazioni, segno di una permutazione. Determinante di una matrice quadrata. 2

3 15 6 Novembre: Determinanti, II. Proprietà algebriche del determinante. Calcolo del determinante mediante riduzione a scala Novembre: Determinanti, III. Caratterizzazione algebrica della funzione determinante Novembre: Determinanti, IV. Sviluppo per righe e per colonne di un determinante. Formule di Cramer e di Binet Novembre: Determinanti, V. Determinante di un endomorfismo. Determinante e volume. Algoritmo per il calcolo dell inversa di una matrice invertibile Novembre: pausa per prove in itinere Novembre: spazi vettoriali euclidei. Definizione di prodotto scalare su uno spaio vettoriale reale. Angolo tra due vettori. Il prodotto scalare tra vettori geometrici Novembre: isometrie. Definizione di isometria, basi ortonormali, Gram-Schmidt. Due spazi vettoriali euclidei della stessa dimensione sono isometrici Novembre: gruppo ortogonale. Matrice associata a un prodotto scalare. Gruppo ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo. Rotazioni e riflessioni nello spazio dei vettori piani Dicembre: Duale di uno spazio vettoriale. Definizione del duale di uno spazio vettoriale. Un prodotto scalare definisce un isomorfismo tra uno spazio vettoriale e il suo duale Dicembre: Spazi affini. Definizione di spazio affine. Combinazione lineare di punti. 3

4 25 4 Dicembre: Sottospazi di uno spazio affine. Sottospazi affini - giacitura di un sottospazio affine Dicembre: Sottospazi di uno spazio affine. Ancora sui sottospazi affini Dicembre: Applicazioni affini, coordinate cartesiane. Definizione di applicazione affine. Applicazione lineare associata ad un applicazione affine. Riferimenti cartesiani e coordinate cartesiane Dicembre: Coordinate cartesiane. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di uno spazio affine con sistema di riferimento Dicembre: Applicazioni affini. Richiami su applicazioni affini, proiezioni. Teorema di Talete Dicembre: Spazi euclidei. Definizione di spazio euclideo. Distanza tra due punti, angolo tra rette orientate e iperpiani orientati. Proiezione ortogonale su un iperpiano Gennaio: Autovalori, autovettori. Definizione di autovalori e autovettori di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili. Polinomio caratteristico di un endomorfismo Gennaio: Autovalori, autovettori. Autospazi di un endomorfismo. Trasversalità degli autospazi di un endomorfismo. Calcolo della potenza di una matrice diagonalizzabile Gennaio: Diagonalizzabilita sui complessi. Importanza del campo degli scalari (essere diagonalizzabili o meno dipende dalla scelta del campo degli scalari). Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio per la diagonalizzabilità su C. 4

5 34 14 Gennaio: Diagonalizzabilita sui complessi. Esempi: i gruppi O(2) e SO(3) Gennaio: Ricapitolazione. Esercizi di ricapitolazione Gennaio: Coniche, Teorema spettrale. Le coniche (ellissi, iperboli, parabole). La classificazione delle curve reali di grado due a meno di isometrie. Il Teorema spettrale (per forme bilineari simmetriche reali) - enunciato e applicazione alla classificazione delle curve reali di grado due. 5

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