Esame di GEOMETRIA (Appello del 30 gennaio 2018)

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1 Esame di GEOMETRIA (Appello del 3 gennaio 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Siano dati i sottospazi di R 4 : W = L, 4, Scrivere equazioni cartesiane per W. {, U : x + x 2 x 3 = x + 2x 2 + x 4 =. 2. Determinare una base di U + W.

2 Esercizio 2. Siano date la retta r di equazioni parametriche x 3 y = 2 + t, t R, z 2 e la retta s di equazioni cartesiane { x y + z = 4, 2x y = 5.. Stabilire la mutua posizione di r e s. 2. Dire per quali valori di α, β R, la retta r è contenuta nel piano π : 2x + αy + z = β.

3 Esercizio 3. Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da da T = 6, T = 2, T 4 2. Stabilire se T è iniettiva; 2. Stabilire, giustificando la risposta, se T è diagonalizzabile. = 2

4 Esercizio 4. Sia W = L(w, w 2, w 3 ) R 4 il sottospazio di R 4 generato dai vettori w =. Determinare una base di W. 2. Verificare che W W = {}., w 2 =, w 3 =.

5 Geometria - 9 CFU (Appello del 2 febbraio 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. In R 3, si consideri la retta r : { 2x x 3 = x x =.. Determinare un equazione cartesiana per il piano π ortogonale a r e passante per P = (,, 3). 2. Detto Q il punto di intersezione tra la retta r e il piano π, determinare equazioni parametriche della retta s passante per P e Q.

6 Esercizio 2. Si consideri il sottospazio U di R 3 generato dai vettori 2,,. 2. Trovare una base ortogonale di U, rispetto al prodotto scalare canonico di R Trovare una base del complemento ortogonale U, rispetto al prodotto scalare canonico di R 3.

7 Esercizio 3. Sia L : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da x x L x 2 x 3 = x 2 + x 3 x 2 + x 3. x 4 x 4. Calcolare la matrice associata ad L rispetto alla base canonica di R Trovare una base di Ker L e stabilire se L è un isomorfismo. 3. Stabilire se le immagini tramite L dei vettori e sono linearmente indipendenti.

8 Esercizio 4. Data la matrice A = trovare una matrice ortogonale P e una matrice diagonale D tali che D = P AP.,

9 Esame di GEOMETRIA - 9 CFU (Appello del 26 marzo 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette r e s di equazioni parametriche x 2 x 2 r : x 2 = + t, t R, s : x 2 = 2 x 3 x 3. Determinare un piano ortogonale a s e passante per l origine. 2. Determinare l intersezione delle due rette. 3. Scrivere un equazione cartesiana per r. + t 2 3, t R.

10 Esercizio 2. Al variare del parametro reale h R, si consideri la matrice 2 A = h 2. h. Stabilire per quali valori di h R la matrice A risulta essere invertibile. 2. Stabilire, giustificando la risposta, se la matrice A è diagonalizzabile per h =.

11 Esercizio 3. Sia L : R 4 R 3 l applicazione lineare associata alla matrice 2 A = 2 3 4, rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo.. Calcolare la dimensione e una base per il nucleo di L. 2. Calcolare la dimensione e una base per l immagine di L. 3. Stabilire se L è iniettiva, se L è suriettiva, e se L è un isomorfismo. Giustificare le risposte.

12 Esercizio 4. Si consideri la matrice 2 A =. 2 Determinare una matrice ortogonale U e una matrice diagonale D, tali che U T AU = D.

13 Esame di GEOMETRIA - 9 CFU ( giugno 28, A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si consideri la retta s di equazioni cartesiane { x + y z = s : 2x z = 3 e la retta s 2 di equazione parametrica vettoriale x k s 2 : y = + t z k, k R.. Studiare, al variare del parametro reale k, la mutua posizione di s e s Determinare un equazione cartesiana del piano π passante per il punto parallelo sia alla retta s che alla direzione individuata dal vettore 2. e

14 Esercizio 2. In R 4, si considerino il sottospazio vettoriale W generato dai vettori 2 w = 2, w 2 =, w 3 = 2, 2 e il sottospazio vettoriale U definito dalle equazioni { x + x 2 2x 3 + x 4 = x x 2 + x 3 + x 4 =.. Determinare una base di W. 2. Determinare una base di U + W. 3. Stabilire se R 4 = U W.

15 Esercizio 3. Sia F : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da x x F x 2 x 3 = x 2 + x 3 x 2 + x 3. x 4 x 4. Trovare una base di Ker F e stabilire se F è un isomorfismo. 2. Calcolare una base ortogonale di Im F. 3. Stabilire se le immagini tramite F dei vettori linearmente indipendenti. e sono

16 Esercizio 4. Data la matrice A = , determinare una matrice P ortogonale e una matrice D diagonale, tali che D = P AP.

17 Esame di GEOMETRIA (Appello del 2 luglio 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Sia A M n n (C).. Scrivere la definizione di autovalore e autovettore della matrice A. 2. Sia A M 4 4 (C). Supponiamo che 2 sia un autovalore di A. Dimostrare che rg(a 2Id) < 4.

18 Esercizio 2. Siano date la retta r di equazioni parametriche x y = 2 + t 2, t R, z 3 e la retta s di equazioni cartesiane { x + y + z = 4, 2x y = 5.. Determinare un equazione cartesiana del piano π contenente la retta s e passante per 2. Dire per quali valori di α, β R, la retta r è contenuta nel piano π : x + αy + z = β. 2.

19 Esercizio 3. Sia T : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da T = 6 2, T = 8 3, T = Stabilire se T è suriettiva. 2. Stabilire, giustificando la risposta, se T è diagonalizzabile.

20 Esercizio 4. Sia W = L(w, w 2, w 3 ) R 4 il sottospazio di R 4 generato dai vettori w =. Calcolare equazioni cartesiane per W. 2. Trovare una base ortogonale di W., w 2 =, w 3 = 2.

21 Esame di GEOMETRIA (Appello del 3 settembre 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si consideri l applicazione lineare T : R 4 R 3 così definita; x T x 2 x 2x 3 + x 4 x 3 = x + x 2 + 3x 3 + x 4. x x x 2 + x 3 3x 4 4. Determinare equazioni cartesiane per l immagine di T. 2. Trovare una base del nucleo di T e completare la base trovata ad una base di R 4.

22 Esercizio 2. Si considerino le rette 2 s : 3 + t, s 2 : { x y z = x + z =.. Stabilire la posizione reciproca delle due rette. 2. Stabilire per quali valori dei parametri α, β R il piano αx 3y + 2z = β contiene la retta s.

23 Esercizio 3. Siano dati i sottospazi R 4 : 3 W = L, 3. Determinare una base di W. 2. Determinare una base di U + W., U : x x 2 + x 3 = x x 4 = x 2x 2 + 2x 3 + x 4 =.

24 Esercizio 4. Si consideri la matrice A = Stabilire se A è diagonalizzabile su R e in tal caso determinare una matrice invertibile P e una matrice diagonale D, tali che D = P AP..

25 Esame di GEOMETRIA (Appello del 7 settembre 28) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si consideri l applicazione lineare L A : R 5 R 3 definita dalla matrice 2 A = Determinare equazioni cartesiane per l immagine di L A. 2. Calcolare una base per il nucleo di L A e una base per l immagine di L A.

26 Esercizio 2. In R 3, si consideri il piano π di equazione cartesiana π : 2x 6y + 2z 3 =.. Determinare un equazione cartesiana per il piano α parallelo a π e passante per P = (2,, ) T. 2. Determinare equazioni per la retta r passante per P, parallela al piano π ed incidente l asse x.

27 Esercizio 3. Si consideri il sistema lineare x λx 2 + λx 3 = x λx 2 = x + (λ + 3)x 2 x 3 =, λ R. (). Stabilire per quali valori del parametro λ R il sistema risulta compatibile. 2. Al variare di λ, calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema ().

28 Esercizio 4. Si consideri la matrice A = Determinare una matrice ortogonale P e una matrice diagonale D, tali che D = P T AP = P AP.