Le tante facce del numero e di Nepero

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1 Le tate facce del umero e di Nepero Paolo Tilli Dipartimeto di Matematica Politecico di Torio Premessa Questa breve ota raccoglie e i parte itegra il coteuto della cofereza da me teuta col medesimo titolo ell ambito degli icotri MAT+ del Politecico di Torio rivolti agli studeti del primo ao e più i geerale a u pubblico eterogeeo. Il titolo di questo iterveto il cui merito va all amica e collega Aita Tabacco che ha orgaizzato questi icotri è certamete accattivate ma ache piuttosto impegativo. Ifatti il umero e gioca u ruolo cetrale i matematica e voler qui presetare ua paoramica esauriete sia pure a livello elemetare e itroduttivo sarebbe u impresa destiata a fallire. Pertato è stato assolutamete ecessario effettuare delle scelte a livello di impostazioe geerale. I particolare aziché iiziare i maiera assiomatica co ua defiizioe del umero e e procedere dimostrado teoremi ho preferito comiciare co l aalisi di ua semplice applicazioe il problema dell iteresse composto) che coduce i modo abbastaza aturale ad ua delle possibili defiizioi del umero e come limite di poteze cresceti. Naturalmete qualsiasi altro feomeo co crescita espoeziale come la riproduzioe dei batteri o il decadimeto radioattivo avrebbe portato alla stessa defiizioe. Ho poi deciso di provare i dettaglio l esisteza del limite lim + co cui viee defiito il umero e. Per far questo vegoo usati i particolare due strumeti la disuguagliaza G A tra media aritmetica e media geometrica e lo sviluppo del biomio a + b) coi relativi coefficieti. Per completezza ho dedicato a questi due argometi due brevi appedici alla fie di questa ota. Procededo i questo modo si ottiee co poco sforzo la relazioe e = lim ) +! + 2! + +! che costituisce ua defiizioe alterativa del umero e. Grazie a questa formula è possibile approssimare e per difetto col umero ) +! + 2! + +! a patto di scegliere sufficietemete grade ed è ache possibile mostrare che l errore commesso è miore di /!). I modo abbastaza sorpredete I teorici dei umeri ivece cooscoo bee questo feomeo.

2 da ua stima per l errore cioè da u risultato di calcolo umerico e tipicamete applicativo è possibile dimostrare i poche righe u risultato dal sapore fortemete teorico ovvero il fatto che e è u umero irrazioale. Ifie viee acceata la trascedeza di e e vegoo presetate seza dimostrazioe altre possibili defiizioi equivaleti assieme ad alcue curiosità. Il problema dell iteresse composto Cosideriamo u capitale iiziale C messo a fruttare co u tasso di iteresse auo x > 0 ad esempio x = /20 corrispode ad u iteresse del 5% e così via). Dopo u ao il capitale avrà fruttato ua somma xc e il motate cioè il capitale iiziale aumetato dell iteresse) sarà dato da C + xc = C + x). Suppoiamo ora che la capitalizzazioe cioè l aggiorameto del capitale i base all iteresse maturato fio a quel mometo) avvega aziché ogi ao ogi sei mesi fermo restado l iteresse auo x. Dopo il primo semestre il capitale sarà allora aumetato di u fattore x/2 e salirà quidi a C + x 2 C = C + x ). ) 2 Nel secodo semestre ivece l aumeto di capitale del restate fattore x/2 o sarà calcolato sul capitale iiziale C besì sul capitale esistete alla fie del primo semestre cioè quello già calcolato ella ). I defiitiva ua capitalizzazioe semestrale porta dopo u ao ad u motate C + x ) + x ) = C + x ) I sostaza aziché icremetare ua sola volta il capitale di u fattore x alla fie dell ao) lo si icremeta ora due volte e ogi volta di u fattore x/2 ogi semestre). Aalogamete se si capitalizza ogi quadrimestre il capitale verrà icremetato ell ao tre volte ogi volta di u fattore x/3 fruttado dopo u ao u capitale pari a C + x ) 3. 3 Capitalizzado ogi gioro si realizzerà dopo u ao la cifra C + x ) e più i geerale se la capitalizzazioe avviee volte i u ao il motate alla fie sarà dato da C + ) x. È aturale chiedersi cosa accadrebbe al ostro capitale se l aggiorameto avveisse co frequeza sempre maggiore ovvero se almeo i liea di pricipio) la capitalizzazioe avveisse ad ogi istate. I questo seso è aturale studiare da u puto di vista matematico l esisteza del limite lim C + x 2 ).

3 A questo proposito è chiaro che il capitale iiziale C gioca il ruolo di ua semplice costate di proporzioalità: il capitale dopo u ao sarà proporzioale a C e quel che cota è studiare il limite fx) = lim + x ) che idichiamo co fx) per sottolieare che tale limite potrà dipedere i qualche maiera dal umero x. Naturalmete i questo stadio della ostra aalisi l esisteza di questo limite è acora tutta da provare. Osserviamo però che cambiado variabile e poedo h = /x abbiamo + x ) = + ) ) h x. h Pertato se suppoiamo per u attimo di aver già dimostrato che il limite f) = lim + h 2) h h) dove h o è ecessariamete u itero) esiste ed è fiito allora abbiamo risolto il problema geerale poiché i tal caso f) è certamete positivo e per u geerico x > 0 si ha fx) = lim + x = lim + ) ) ) h x = lim + ) ) h x = f) x h h h h ella peultima uguagliaza si è usata la cotiuità dell operazioe di elevameto alla poteza x) e quidi ricapitolado fx) = lim + x = f) ) x x > 0. 3) I altre parole basta mostrare l esisteza del limite 2) corrispodete al caso x = 2 per risolvere il caso geerale riducedolo ad u elevameto alla poteza x otteedo che la fuzioe fx) è ua espoeziale di base f). I effetti il limite ella 2) esiste ed è fiito: esso è u umero reale positivo particolarmete importate i matematica proprio perché emerge i modo aturale u po come π) i diversi ambiti della matematica e delle sue applicazioi. Naturalmete si tratta del umero e la base dei logaritmi aturali detto ache u po impropriamete) umero di Nepero dal ome del matematico scozzese Joh Napier ) che alle fie del 500 ivetò i logaritmi e e compilò le prime tabulazioi per facilitare le operazioi di calcolo i trigoometria sferica e astroomia. I realtà Napier o si imbatté mai el umero e i quato i suoi logaritmi erao defiiti i modo geometrico come corrispodeze tra progressioi geometriche e progressioi aritmetiche) e soltato el 65 su suggerimeto di Hery Briggs 56-63) Napier adottò il umero 0 come base del logaritmo. Tuttavia la defiizioe modera di logaritmo come espoete di ua base è successiva poiché a quell epoca gli espoeti frazioari 2 U iteresse del 00%! 3

4 e irrazioali o erao i uso. Fu ifatti Eulero ) che defiì i logaritmi come espoeti e el 728 propose il umero e come base dei logaritmi scelta questa uiversalmete adottata acora oggi. Eulero scoprì diverse proprietà del umero e e i particolare e mostrò l irrazioalità el 737 tramite sviluppi i frazioi cotiue. Per ulteriori otizie storiche si rimada al libro di Klei [4]. Esercizi. Idichiamo co h la parte itera del umero reale h. Usado le diseguagliaze + + h h < + h + h < h h + h > 2 mostrare che se il limite 2) esiste co h itero allora esiste ache co h reale. 2 Defiizioe del umero e Defiiamo duque il umero e come e def = lim + 4) ) e mostriamo che tale limite esiste ed è fiito limitadoci per semplicità al caso i cui è itero si veda l esercizio.). Prima di procedere è utile richiamare alcue ozioi. Dati umeri reali o egativi x... x la loro media aritmetica è per defiizioe il umero A = x + x x metre la loro media geometrica è il umero G = x x 2 x ) / cioè la radice -esima del loro prodotto. La media aritmetica A e la media geometrica G di umeri positivi soo sempre legate dalla disuguagliaza G A che è dimostrata i appedice. 3 Se ora cosideriamo gli + umeri + ) + )... + ) dove + /) compare volte e calcoliamo le loro medie geometrica e aritmetica troviamo G = + ) + + ) + A = = La disuguagliaza i questioe o è affatto ovvia tuttavia per ricordarla basta pesare che se uo solo degli umeri si aulla allora G = 0 metre A > 0. 4

5 La disuguagliaza tra le medie G A elevadoe ambo i membri alla + forisce quidi + ) + ) + + ovvero la successioe a = + ) = ) è crescete. Da questo segue subito che il limite ella 4) esiste fiito o ifiito). Per mostrare che il limite è fiito occorre dimostrare che la successioe {a } è superiormete limitata e per questo itroduciamo la successioe {s } defiita da s 0 = 0 s = +! + 2! + 3! + + = )! dove il simbolo! detto il fattoriale di idica il prodotto dei umeri aturali da fio a ovvero! = 2! = 2 3! = 3 2 e i geerale! = ) 2) 3 2. Per covezioe si defiisce ache 0! = per cui possiamo scrivere i maiera più sitetica s = = ! =0 La successioe {s } risulta evidetemete crescete; d altra parte è facile mostrare che essa è ache superiormete limitata. I effetti si ha 2! = 2 3! = 3 2 < 2 2 4! = < 2 3 e i geerale! = Pertato dalla 6) si trova per 2 s = + + 2! + 3! + +! ) 2. 7) Per stimare la somma i paretesi ricorriamo alla classica disuguagliaza + α + α α < α α > 8) α per la cui verifica basta idicare co S la somma a primo membro e osservare che αs = α + α + α ) α = α + + α + + < α + S α 2 da cui la 8). Ora scegliedo α = 2 ella 8) si ottiee che la somma i paretesi ella 7) è miore di 2 per cui s < 3. 9) 5

6 Torado alla 5) possiamo ora mostrare che i effetti si ha a s = ) e per far questo ricorriamo allo sviluppo del biomio. Ricordiamo che si ha per ogi itero 0 e per ogi coppia di umeri reali a b a + b) = =0 ) a b ) dove il simbolo ) detto coefficiete biomiale è dato da ) ) + ) = 0 2)! per i maggiori dettagli si veda l Appedice II alla fie di questa ota). Ricordiamo la covezioe 0! = e otiamo che i particolare vale sempre 0) =. Lo sviluppo del biomio ) co a = e b = / permette di scrivere a come a = + ) = =0 ). 3) Ora però poiché per > 0 il umeratore ella 2) è il prodotto di fattori miori o uguali a i coefficieti biomiali si possoo stimare per eccesso co )! 0 la disuguagliaza è ovvia per = 0). Iseredo questa stima ella 3) si ottiee fialmete a = + )! = s < 3 avedo usato ache la 9). Pertato essedo a crescete e superiormete limitata si ha che la 4) defiisce effettivamete il umero reale e e tale umero verifica 2 < e 3 la prima disuguagliaza segue ad esempio da a 2 > 2). Ioltre possiamo ora effettivamete avvalerci della 3) co f) = e. Otteiamo allora almeo per x > 0 e x = lim + x 4) ) ua formula otevole per il calcolo della fuzioe espoeziale. I realtà questa formula è valida per ogi x reale si veda l esercizio 2.2) ed è la defiizioe di fuzioe espoeziale data da Eulero ella sua Itroductio i aalysi ifiitorum del 748 per maggiori dettagli si veda [4]). =0 6

7 Esercizi 2. Si calcoli quato vale esattamete il primo membro ella 8) per ogi α reale il caso α = va trattato a parte). x 2.2 Osservado che per x si ha = + x x dimostrare che se per u certo x > 0 esiste il limite a = lim + x allora esiste ache il limite lim x x e vale /a. Dedurre che la 4) vale per ogi x. 3 Ua defiizioe equivalete Vogliamo ora mostrare la formula otevole e = lim s = lim +! + 2! + +! ) 5) che rappreseta quidi u altra possibile defiizioe del umero e alterativa ma del tutto equivalete alla 4). Notiamo itato che passado al limite ella 0) si trova subito la disuguagliaza e lim s. Pertato ci basterà mostrare la disuguagliaza opposta e lim s. A questo scopo scegliamo u qualsiasi umero aturale k si immagii k grade per fissare le idee) e per > k ricorriamo acora allo sviluppo biomiale 3) otteedo i particolare a = =0 ) > k =0 ) > k. 6) Ricordiamo che k è fissato metre > k può essere preso arbitrariamete grade; ioltre ell ultima sommatoria l idice o supera k. Ora per ogi fissato tra zero e k si vede facilmete dalla 2) che lim ) =! lim ) ) + ) =! se > 0 a umeratore ella paretesi vi soo esattamete fattori oguo dei quali diviso per tede a quado tede a ifiito; se ivece = 0 la relazioe è ovvia). Quidi passado al limite per ella 6) ell ultima sommatoria il -esimo addedo tede a /! e segue quidi che lim a k =0! = s k. 7

8 Ma il limite a siistra è proprio e metre a destra k era stato fissato all iizio i modo arbitrario. Ne segue che e s k per ogi k vale azi e > s k essedo s k strettamete crescete) ovvero Pertato la 5) è dimostrata. e sup{s k } = lim k s k. Esercizi + 3 = lim 3. Adattado il ragioaameto fatto per otteere la 5) mostrare che 32 lim + + 3! 2! + + 3! e quidi per la 4)) e 3 = lim ! 2! + + 3! 3.2 Più i geerale mostrare che per x 0 si ha e x x2 = lim + + x! 2! + + x! questa formula vale i realtà ache per x < 0). 3.3 Quale difficoltà si icotra se si cerca di dimostrare la formula precedete che pur è valida) quado x < 0? 3.4 Mostrare che per ogi itero k 0 si ha e x lim x x k = 0. Cosa sigifica questo dal puto di vista della crescita di e x?. 4 Approssimazioe umerica di e Le due formule 4) e 5) soo quidi del tutto equivaleti e possoo essere etrambe adottate come possibili defiizioi del umero e a secoda dell approccio che si vuole adottare aturalmete se la 5) è presa come defiizioe di e allora la 4) diveta u teorema). Osserviamo comuque che da u puto di vista del calcolo umerico la 5) è più adatta a forire ua buoa approssimazioe del umero e i quato a parità di l approssimazioe per difetto di e tramite s è assai migliore rispetto all approssimazioe sempre per difetto) tramite a. I particolare se si idica co E k l errore commesso approssimado per difetto il umero e col umero s k si ha 0 < E k = e s k = lim s s k ) = lim =k+!. 7) Per stimare l errore di approssimazioe E k dobbiamo quidi stimare dall alto i fuzioe di k il limite dell ultima sommatoria. I effetti se come accade ell ultima sommatoria) si ha k + allora! = k + )! ) k + 2)k + 3) ) 8 k + )! k + 2) k

9 avedo cosiderato che ell ultima paretesi a deomiatore vi soo esattamete k fattori oguo dei quali vale almeo k +2 se = k + l ultima partetesi vale e la disuguagliaza fiale vale comuque). Pertato si ha per ogi > k la stima =k+! k + )! k + )! =k+ k + 2) k + k k + 2) k + 2) Per stimare la somma detro all ultima paretesi usiamo acora la 8) questa volta co α = k + 2 otteedo così =k+! k + 2 k + )! k + = kk + 2) k k! k + ) 2 < k k! l ultime disuguagliaza serve soltato a otteere ua stima più leggibile). Dato che l ultima quatità o dipede da ma solo da k torado alla 7) troviamo la stima per l errore 0 < E k = e s k < k k!. 8) Ad esempio poiché 6 6! = 4320 approssimado e co s 6 si ottiee u errore miore di /4320. I particolare si ottiee che e 2.78 co le prime tre cifre decimali corrette. L approssimazioe a veti cifre decimali è data e che puè essere otteuta approssimado e ad esempio co s 20. Il calcolo di ). s k = +! + 2! + + k! per k molto grade può essere fatto co u umero relativamete basso di moltiplicazioi oostate i vari fattoriali che compaioo ell espressioe mettedo i evideza i fattori comui. Ad esempio s 4 = 2 + 2! + 3! + 4! = )) e i geerale Esercizi s k = ) ))). 3 4 k k 4. Se > 4 mostrare che l ultima cifra di! è zero. Co quati zeri termia esattamete il umero 29!? 4.2 Si determii almeo u valore di k tale che s k approssima e co almeo 40 cifre decimali esatte. 4.3 Co ua calcolatrice che effettui soltato divisioi e somme e che o possa memorizzare calcoli itermedi si dica come si può calcolare s k. Quate operazioi soo ecessarie? 9

10 5 Irrazioalità e trascedeza di e Ricordiamo che u umero x si dice razioale se esistoo due iteri p q co q 0 tali che x = p/q; i caso cotrario x si dice irrazioale. È be oto che il umero reale 2 è irrazioale. Cosa dire di e? Teorema 5. Eulero 737) Il umero e è irrazioale. La dimostrazioe che presetiamo è per assurdo e sfrutta i maiera decisiva la stima per l errore 8) quado si approssima e co s k. Dim. Suppoiamo per assurdo che esistao due umeri aturali p q tali che e = p/q. Sappiamo già che 2 < e < 3 quidi e o è certamete itero: i particolare deve essere q >. Dalla stima per l errore 8) fatta co k = q segue allora che 0 < p q s q = p q! 2! q! < q q!. Ma moltiplicado per q! si ottiee ) p 0 < q! q s q < q < ) che è assurdo i quato q! p q s q è u umero itero. È chiaro che u umero razioale x = p/q è radice dell equazioe di primo grado qx p = 0 a coefficieti iteri. Viceversa la radice di u equazioe di primo grado a coefficieti iteri è certamete u umero razioale: perciò possiamo pesare ai umeri razioali come a tutte le soluzioi di tutte le possibili equazioi di primo grado a coefficieti iteri. Questa osservazioe suggerisce ua possibile geeralizzazioe del cocetto di umero razioale. U umero reale x si dice algebrico se è radice di ua opportua equazioe di grado a x + a x + + a x + a 0 = 0 a coefficieti iteri. È chiaro quidi che i particolare ogi umero razioale è ache algebrico. Tuttavia o è detto che u umero algebrico sia razioale: ad esempio sappiamo che x = 2 o è razioale tuttavia esso è radice dell equazioe di secodo grado x 2 2 = 0 che è a coefficieti iteri quidi 2 è algebrico ma o razioale. Aalogamete 3 5 è irrazioale ma algebrico i quato risolve l equazioe cubica a coefficieti iteri x 3 5 = 0 è fodametale poter aumetare il grado dell equazioe poiché 3 5 o risolve alcua equazioe di secodo grado a coefficieti iteri). Si può dimostrare che 0

11 radici somme e prodotti di umeri algebrici soo acora algebrici per cui è possibile costruire umeri algebrici ache molto complicati come ad esempio No bisoga tuttavia credere che tutti i umeri algebrici si possao esprimere i questo modo tramite radicali: ad esempio le soluzioi delle equazioi di grado maggiore di quattro o soo esprimibili i geerale tramite radicali si veda [2] [4]). I ogi caso questa idea permette di classificare i umeri algebrici i classi via via più complicate a secoda del miimo grado d tale che x risolva u equazioe di grado d a coefficieti iteri i razioali corrispodoo al caso d = metre 2 è per così dire più complesso i quato richiede d = 2). È allora aturale chiedersi se i umeri algebrici esauriscao i umeri reali. Tuttavia le possibili equazioi a coefficieti iteri di grado d soo u isieme umerabile quidi l isieme di tutti i umeri algebrici è a sua volta umerabile: essedo l isieme dei umeri reali o umerabile segue che esistoo umeri reali o algebrici azi questo ragioameto basato sulla cardialità mostra che i umeri reali o algebrici hao la poteza di R e i u certo seso soo quidi molti di più rispetto ai umeri algebrici. I umeri o algebrici si chiamao trascedeti. Qual è allora u esempio di u umero reale o algebrico? Naturalmete il umero e fa al caso ostro. Teorema 5.2 Il umero e o è algebrico. La dimostrazioe di questo teorema è abbastaza laboriosa e pertato la omettiamo. Tuttavia essa richiede soltato qualche strumeto di calcolo itegrale ed è pieamete accessibile a uo studete uiversitario del primo ao si veda ad esempio [3]). Esercizi 5. Mostrare usado l irrazioalità di e che e e 3 e soo irrazioali. Segue o o segue soltato dal fatto che e è irrazioale che e 2 è irrazioale? 5.2 Data ua equazioe di grado a coefficieti iteri a x + a x + + a x + a 0 = 0 chiamiamo taglia di questa equazioe il umero itero t = + a + a + + a + a 0. Mostrare che per ogi umero aturale t le equazioi a coefficieti iteri di taglia t soo i umero fiito. Si deduca che l isieme dei umeri algebrici è umerabile. 5.3 Mostrare che è algebrico. 6 Ulteriori proprietà e caratterizzazioi Cocludiamo questa ota co ua breve rassega di alcue proprietà e caratterizzazioi del umero e che riportiamo seza dimostrazioe.. Formula di Stirlig.

12 Il limite otevole 2π e ) lim! è oto come formula di Stirlig per ua dimostrazioe si veda []) e serve tra l altro a forire ua stima precisa per la crescita del fattoriale. Da questa formula segue subito la caratterizzazioe di e come 2. Fuzioe iversa del logaritmo. e = lim!. = Per x > 0 si defiisce la fuzioe logaritmo aturale di x come l x = x dt x > 0. t È facile vedere che l x è ua fuzioe cotiua strettamete crescete e ioltre lim l x = lim l x = +. x 0 + x + Pertato l x è surgettiva sulla retta reale ed ammette ua fuzioe iversa. Si può dimostrare oppure predere come defiizioe dell espoeziale) il fatto che e x sia la fuzioe iversa di l x. I particolare e risulta defiito come l uico umero reale tale che 3. Area sottesa dall iperbole. l e =. Si cosideri per x > 0 il grafico dell iperbole di equazioe y = /x. È possibile defiire il umero e come l uico umero α > 0 tale che l area della regioe di piao compresa tra l asse y = 0 l iperbole y = /x e le due rette verticali x = e x = α valga esattamete. I realtà l area sotto l iperbole si calcola tramite l itegrale di /x quidi questo approccio è soltato ua riformulazioe geometrica del precedete. 4. Deragemets. Ua permutazioe di elemeti è ua qualsiasi fuzioe iiettiva f : { 2... } { 2... }. Essedo f iiettiva e quidi ache surgettiva) se scriviamo cosecutivamete i umeri f) f2)... f) vedremo comparire i u qualche ordie che dipede da f) tutti i umeri { 2... } e viceversa. Quidi possiamo pesare a ua permutazioe f come a u possibile modo di scrivere i u certo ordie i umeri { 2... }. Ad esempio per = 4 la fuzioe corrispode alla disposizioe f) = 3 f2) = 2 f3) = 4 f4) =

13 metre la disposizioe corrispode alla fuzioe g) = 4 g2) = g3) = 2 g4) = 3 f e g soo due esempi diversi di permutazioi di 4 elemeti). Si dice che il umero i è u puto fisso per la permutazioe f se vale fi) = i. Nei due esempi precedeti f ha come uico puto fisso il 2 essedo f2) = 2) metre la permutazioe g è priva di puti fissi essedo sempre gi) i). I geerale ua permutazioe può avere uo più di uo o essu puto fisso. Ua permutazioe priva di puti fissi si chiama deragemet che i iglese sigifica scovolgimeto disordie per sottolieare che essu umero viee lasciato ella sua posizioe aturale). Tra le permutazioi di elemeti quati soo i deragemets? Idicado tale umero co d vale la formula [ ]! d = 9) e dove il membro destro idica l arrotodameto di!/e all itero più vicio. Per ua dimostrazioe si veda [5]. 5. Calcolo delle probabilità. I u aeroporto gli bagagli di passeggeri vegoo iizialmete smarriti e poi successivamete ritrovati dal persoale addetto. Tuttavia el frattempo le etichette coi omi soo adate distrutte e viee deciso avedo l eleco degli passeggeri) di spedire u bagaglio a ciascu passeggero i maiera completamete casuale. Così facedo quale tra le due alterative segueti è la più probabile? a) Nessua persoa si vede recapitare il proprio bagaglio. b) Almeo ua persoa si vede recapitare il proprio bagaglio. Naturalmete si suppoe che tutti i possibili abbiameti tra bagagli e passeggeri siao equiprobabili. Osserviamo che umerado le persoe da a e aalogamete i bagagli i modo che il bagaglio i appartega al passeggero i ogi possibile abbiameto può essere idetificato co ua permutazioe f di elemeti dove fi) = sigifica che la persoa i si vede recapitare il bagaglio ). È allora chiaro che si verifica il caso a) se e soltato se l abbiameto f è privo di puti fissi cioè se e soltato se f è u deragemet. Pertato affiché si verifichi a) il umero di casi favorevoli è il umero d dei possibili deragemets dato dalla 9). D altra parte il umero di casi possibili è il umero di tutte le permutazioi di elemeti ovvero! si veda l esercizio 6.). I defiitiva la probabilità p che si verifichi a) è data da p = 3 [! e! ]

14 e quidi si ricava lim p = e. Pertato se è grade i realtà già per > 2) è più probabile che si verifichi l eveto b). I particolare essedo /e 0.37 per grade la probabilità che si verifichi a) si assesta attoro al 37% metre quella che si verifichi b) si assesta attoro al 73%. 6. Equazioe differeziale. La fuzioe espoeziale e x può essere defiita come l uica fuzioe yx) defiita su R che verifichi il problema di Cauchy f x) = fx) f0) = aturalmete occorre prima mostrare che tale problema ha ua e ua sola soluzioe). Avedo defiito tale fuzioe si puoi poi defiire e poedo e = f). Appedice I. Media aritmetica media geometrica e disuguagliaza tra le medie Nella vita di tutti i giori siamo abituati a usare il cocetto di media aritmetica detta ache semplicemete media o valor medio. Ad esempio se x... x rappresetao i chilometri percorsi ogi ao dalla ostra automobile i u periodo di ai automaticamete siamo portati ad affermare che abbiamo percorso i media ogi ao A chilometri dove A è proprio la media aritmetica A = x + x x delle lughezze e o ad esempio la loro media geometrica G = x x 2 x ). Perché? La risposta è i gra parte soggettiva tuttavia possiamo trovare ua giustificazioe plausibile osservado che se ogi ao percorressimo esattamete lo stesso umero di chilometri percorredo A chilometri all ao per ai avremmo percorso ua lughezza complessiva pari a quella che abbiamo effettivamete percorso cioè la somma dei umeri x... x ). E poiché A = x + x x la media aritmetica A è i effetti l uico umero che ha questa proprietà. Ora suppoiamo ivece che i umeri x... x rappresetio l aumeto relativo di u capitale ivestito o la sua dimiuzioe relativa) alla fie di ogi ao i u periodo complessivo di ai. Ad esempio x = 2 sigifica che alla fie del primo ao il ostro capitale è raddoppiato metre x 2 = 9/0 vuol dire che durate il secodo ao il ostro capitale è dimiuito del 0%. Qual è l aumeto relativo medio del ostro capitale ell arco degli ai? La media aritmetica sarebbe qui del tutto fuori luogo. Ifatti dopo il primo ao 4

15 l icremeto relativo del capitale è pari a x dopo due ai è pari a x x 2 e dopo ai è dato dal prodotto x x 2 x. D altra parte se il capitale avesse subito ogi ao ua variazioe relativa costate uguale a u certo umero α dopo ai la variazioe relativa sarebbe stata pari alla poteza α ; pertato eguagliado questa ipotetica variazioe costate a quella effettiva cioè poedo e ricavado α troviamo α = x x 2 x α = x x 2 x ) / ovvero la media geometrica degli icremeti relativi di ogi ao. È quidi la media geometrica e o quella aritmetica a giocare u ruolo aturale i questo cotesto. Altri tipi di medie usate frequetemete soo la media quadratica Q = x 2 + x x2 e la media armoica per umeri strettamete positivi) H = x x 2 x Limitadoci a cosiderare le medie geometrica e aritmetica si ha il seguete teorema oto come disuguagliaza tra le medie. Teorema 6. Siao x x 2... x umeri reali o egativi. Allora vale la disuguagliaza x x 2 x ) / x + x x 20) ovvero la media geometrica è sempre miore o uguale alla media aritmetica. Dim. La 20) è certamete vera se = 2. Ifatti dati due umeri x x 2 0 si ha x x 2 ) 2 0 sviluppado il quadrato si ottiee x + x 2 2 x x 2 0 e dividedo per 2 si trova che la media aritmetica di due umeri è sempre maggiore o uguale alla loro media geometrica. Ora mostriamo che se la 20) è vera per umeri positivi arbitrari allora è vera ache per 2 umeri positivi arbitrari. Cosideriamo quidi 2 umeri positivi x x 2... x 2 e idichiamo co G la loro media geometrica. Poiché G = x x 2 x 2 ) /2 = x x 2 x3 x 4 x 2 x 2 ) / 5

16 la media geometrica G dei 2 umeri x... x 2 può essere pesata come la media geometrica degli umeri x x 2 x3 x 4... x2 x 2. Applicado quidi la disuguagliaza tra le medie geometrica e aritmetica di questi umeri troviamo G = x x 2 x3 x 4 x ) / x x 2 + x 3 x x 2 x 2 2 x 2. D altra parte sappiamo già caso = 2) che vale x x 2 x + x 2 2 e disuguagliaze aaloghe valgoo per x 3 x 4 eccetera. Si ottiee quidi G x +x x3+x x2 +x2 2 = x + x x 2 2 = A e quidi se la 20) vale per umeri essa vale vale ache per 2 umeri. Essedo la 20) vera per = 2 essa sarà allora vera ache per = eccetera ovvero per iduzioe su ) per tutte le poteze biarie = 2. Il caso geerale i cui o è ua poteza di due può essere facilmete ricodotto al caso delle poteze biarie aggiugedo dei umeri fittizi el modo seguete. Dato esiste certamete ua poteza di due maggiore di ovvero esiste u umero aturale m tale che + m sia poteza di due ad esempio se = 9 possiamo scegliere m = 7). Dati allora umeri positivi x x 2... x idichiamo co A la loro media aritmetica e cosideriamo gli + m umeri x x 2... x A... A dove il umero A compare m volte. Per questo uovo set di + m umeri sappiamo che vale la disuguagliaza tra le medie x x 2 x A m ) +m x + x x + ma + m essedo + m ua poteza di due. Ricordado però che x + + x = A la disuguagliaza diveta x x 2 x ) +m A m +m A che come si vede subito equivale alla 20). 6

17 Esercizi 6. Mostrare direttamete che se la media aritmetica di due umeri a b 0 coicide co la loro media geometrica allora i due umeri soo uguali. 6.2 Mostrare che la media geometrica di umeri o egativi coicide co la loro media aritmetica se e solo se gli umeri soo tutti uguali. Suggerimeto: si ripreda i esame la dimostrazioe della diseguegliaza tra le medie). 6.3 I u circuito vi soo resisteze R... R collegate i parallelo. Se ci chiedessimo qual è la resisteza media delle R i quale ozioe di media sarebbe aturale usare? 6.4 U pavimetatore piastrella ogi gioro per giori ua staza quadrata diversa e la i-esima staza ha lato pari a l i. Alla fie del lavoro il pavimetatore si chiede quale sia i media il lato del quadrato che ha pavimetato i u gioro. Quale tipo di media gli cosigliereste di usare? E se ivece di piastrellare si trattasse di imbiacare le pareti? Si suppoga che i muri siao sempre della stessa altezza). 6.5 Ogi gioro ua scavatrice esegue ua buca a forma di cubo di lato l i i =... per giori. Come calcolereste il lato medio della buca? 6.6 Ua scavatrice scava ua buca a forma di parallelepipedo di lati a b c. Il pilota abituato a scavare buche a forma di cubo si chiede quale sia il lato medio della buca per quatificare il lavoro fatto. Come deve procedere? 6.7 Sappiamo che vale sempre G A. Si cerchio aaloghe diseguagliaze che coivolgao ache le medie armoica H e quadratica Q si iizi prima a esamiare qualche caso semplice ad esempio per = 2). Appedice II. Lo sviluppo del biomio Le poteze itere di u biomio a + b a + b) 0 = a + b) = a + b a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. si icotrao frequetemete ei calcoli tato è vero che lo sviluppo del quadrato a + b) 2 quadrato del primo termie doppio prodotto e quadrato del secodo termie ) risulta particolarmete familiare così come lo viluppo del cubo a + b) 3. I geerale se ci chiediamo quale sia la regola che cosete di espadere la poteza -esima a+b) possiamo azitutto osservare che a+b) è la somma di + termii oguo del tipo a b 0 ) moltiplicato per u opportuo coefficiete che dipede da e da e che idichiamo col simbolo ) detto coefficiete biomiale di idici e o ache semplicemete biomiale. Co questa otazioe possiamo sez altro scrivere lo sviluppo del biomio come ) a + b) = a b =0 ma resta acora il problema di trovare ua formula esplicita per i coefficieti biomiali. 7

18 Coviee riscrivere la precedete tabella teedo coto soltato dei coefficieti biomiali otteedo il seguete diagramma oto come triagolo di Tartaglia: = 0 = = 2 2 = = = = Come fatto i figura umeriamo le righe partedo da zero i modo che il umero di ciascua riga corrispoda all espoete di a + b) metre i ogi riga umeriamo da siistra sempre iiziado da zero) i coefficieti che vi compaioo. I tal modo il coefficiete biomiale ) si trova effettivamete al posto ella riga. Le regole che goverao il triagolo di Tartaglia soo sostazialmete due. Azitutto si ota subito che il primo e l ultimo coefficiete di ogi riga soo sempre uguali a ovvero ) = 0 ) = = ) Ciò è aturale i quato il primo coefficiete di ogi riga 0) rappreseta il coefficiete di a ell espasioe di a + b) = a + b)a + b) a + b) ed espadedo il prodotto si vede che la poteza a può essere otteuta i u solo modo cioè moltiplicado tra loro volte i simboli a coteuti i ciascua paretesi per l ultimo coefficiete di ogi riga si ragioa i modo aalogo co b ). Ioltre si osserva che el triagolo di Tartaglia ciascu umero che o sia é il primo é l ultimo della sua riga) è pari alla somma dei due umeri che el triagolo stao sopra di lui uo immediatamete a destra l altro immediatamete a siistra ella riga precedete). I formule ciò vuol dire che vale la regola ) ) + = + ) 0 < 22) che assieme alla 2) cosete di geerare ricorsivamete tutti i coefficieti biomiali. La 22) si può dimostrare osservado che a + b) + = a + b)a + b) ; pertato il moomio a + b ello sviluppo di a + b) + si può otteere soltato i due modi: come prodotto di a per il moomio a b che compare ello sviluppo di a+b) ) oppure come prodotto di b per il moomio a + b che compare ach esso ello sviluppo di a+b) ). Sommado questi due cotributi si ottiee che il coefficiete di a + b i a + b) + ovvero ) + obbedisce alla regola 22). 8

19 I effetti i geerale vale la formula esplicita )! = 0 23)!) )! co la solita covezioe che 0! =. Questa formula coicide co la 2) per = 0 oppure = ed è quidi vera i questo caso particolare. I geerale la si può dimostrare per iduzioe su : suppoedo la formula valida per u determiato se 0 < < + abbiamo i base alla 22) ) + = ) + ) =! )! + )! +!!) )!. Raccogliedo! e portado a deomiator comue si trova ) ) =!!) + )! =! +!) + )! = + )!!) + )! e quidi la 23) è vera ache per +. La 23) può ache essere scritta i altro modo semplificado! a umeratore co )! a deomiatore ovvero ) ) 2) + ) = 0! dove il umeratore va iteso come el caso estremo i cui = 0 poiché i tal caso si ha ovviamete!/ )! =. Da ultimo osserviamo che il triagolo di Tartaglia è simmetrico rispetto al suo asse verticale ovvero si ha ) = ) 0. Questa proprietà di simmetria dei coefficieti biomiali si ottiee subito dalla 23) ma era del tutto prevedibile i quato a + b) = b + a) e quidi i termii a e b giocao ello sviluppo del biomio u ruolo del tutto simmetrico. Esercizi 6.8 Dimostrare che valgoo le relazioi = = per ) 6.9 Dimostrare che per ogi 0 vale X =0 2 = ) = 2 2 = Dimostrare che per x 0 e per itero positivo si ha + x) + x. per 2). 6. Dimostrare che k persoe possoo essere ordiate i fila i k! modi diversi. Suggerimeto: i quati modi possiamo scegliere il primo della fila? Dopo aver scelto il primo della fila i quati modi può essere scelto il secodo?). 6.2 Dimostrare che se da persoe bisoga scegliere k k ) e ordiarle i ua fila questo può essere fatto i!/ k)! modi diversi Si ragioi come ell esercizio precedete). 9

20 6.3 Dimostrare che se u alleatore ha giocatori e deve scegliere k da madare i campo per la partita egli può effettuare la scelta i k modi diversi. Suggerimeto: si sfruttio i due precedeti esercizi i ordie iverso). 6.4 Nell esercizio precedete k giocatori scedoo i campo e gli altri k restao i pachia. Da questo si deduca che k = 0 k. k Riferimeti bibliografici [] F.Coti P. Acquistapace A. Savoi Aalisi matematica MilaoMcGraw- Hill 200. [2] R. Courat H. Robbis Che cos è la matematica? Torio Borighieri 978. [3] E. Giusti Aalisi Matematica Torio Bollati Borighieri 988. [4] M. Klei Storia del pesiero matematico Torio Eiaudi 996. [5] D. Kuth The Art of Computer Programmig Volume I Addiso-Wesley 997 pag

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