1. Si individuino tutti i valori del parametro α per i quali il sistema assegnato è asintoticamente stabile.

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1 Appello di Fondamenti di Automatica (Gestionale) a.a Settembre 2018 Prof. SILVIA STRADA Tempo a disposizione: 2 h. ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema dinamico lineare invariante a tempo continuo descritto dalle seguenti equazioni: x 1 (t) = 5x 2 (t) x 2 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) x 3 (t) = αx 3 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) + x 3 (t) 1. Si individuino tutti i valori del parametro α per i quali il sistema assegnato è asintoticamente stabile. 2. Ponendo il parametro α = 1, si determini lo stato di equilibrio, x, corrispondente all ingresso costate u(t) = ū = 1.

2 3. Ancora ponendo α = 1, si dica se, con lo stato iniziale x(0) = [1 2 1], il movimento complessivo x(t) dello stato, con ingresso u(t) = ū = 1, tende al valore di equilibrio x, trovato al punto precedente. 4. Sempre per α = 1, si calcoli la funzione di trasferimento del sistema specificandone il valore del guadagno.

3 ESERCIZIO 2 Si considerino, in figura, i diagrammi di Bode effettivi ed asintotici del modulo e della fase della risposta in frequenza di un sistema lineare con ingresso u(t) e uscita y(t). 0 Diagramma di Bode - Modulo -20 db Diagramma di Bode - Fase gradi Si scrivano le due funzioni di trasferimento asintoticamente stabili compatibili entrambe con i diagrammi del modulo di figura. 2. Si dica, giustificando brevemente la risposta, se il sistema con funzione di trasferimento asintoticamente stabile e a fase minima (scritto al punto precedente) ha un comportamento in frequenza da filtro passa-alto o da filtro passa-basso. Si valuti poi la banda passante del sistema.

4 3. Considerando ancora il sistema con funzione di trasferimento asintoticamente stabile e a fase minima di cui sopra, si scriva l espressione dell uscita a transitorio esaurito quando l ingresso vale u(t) = sen(0.02t) + sen(4t) + sen(800t). 4. Considerando sempre il sistema con funzione di trasferimento asintoticamente stabile e a fase minima di cui sopra, se ne tracci in un grafico la risposta qualitativa allo scalino unitario.

5 ESERCIZIO 3 Si faccia riferimento al sistema retroazionato di figura, dove w + - e R(s) u G(s) y R(s) = 1 s G(s) = 0.1 (1 + 10s)(1 + s) 1. Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase associati alla funzione di trasferimento d anello L(s) del sistema. 2. Si scrivano i valori della pulsazione critica ω c e del margine di fase φ m del sistema di controllo in retroazione assegnato e si verifichi, mediante il Criterio di Bode, che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile.

6 3. Ipotizzando ora che il segnale di riferimento sia w(t) = 4ram(t), si determini il valore a transitorio esaurito dell errore e(t). 4. Si disegni in un grafico l andamento qualitativo dell uscita controllata y(t) con segnale di riferimento w(t) = 2sca(t), specificandone il tempo necessario perchè essa si porti al suo andamento di regime.

7 ESERCIZIO 4 Si consideri il sistema dinamico, lineare, tempo invariante e a tempo discreto con ingresso u(k) e uscita y(k) descritto dalla seguente rappresentazione di stato: x 1 (k + 1) = 0.5x 1 (k) 0.4u(k) x 2 (k + 1) = 0.5x 2 (k) + 8u(k) y(k) = 6x 1 (t) + 0.5x 2 (k) 1. Si calcoli la funzione di trasferimento G(z) tra l ingresso u(k) e l uscita y(k). Si determinino successivamente i valori dei poli e degli zeri di tale funzione di trasferiento oltre che il valore del suo guadagno. 2. Si determinino gli autovalori della matrice dinamica del sistema e se ne scrivano i modi associati.

8 3. Si enunci, in maniera precisa ma sintetica, il Teorema di stabilità asintotica basata sugli autovalori per i sistemi dinamici lineari invarianti e a tempo discreto. 4. In seguito ai comandi Matlab s=ss([0.5 0;0 0.5],[-0.4 8],[6 0.5],0,-1); s=tf(s); d=dcgain(s); si dica che valore assume la variabile: d =...