LA RICERCA OPERATIVA

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1 LA RICERCA OPERATIVA Il termine Ricerca Operativa, dall inglese Operations Research, letteralmente ricerca delle operazioni, fu coniato per esprimere il significato di determinazione delle attività da svolgere nel processo di soluzione dei problemi decisionali (decision problem solving) che si rendono necessarie nella gestione di risorse limitate su impieghi alternativi. La Ricerca Operativa nasce infatti come applicazione di modelli matematici a problemi di decisione durante la Seconda Guerra Mondiale per la risoluzione di problemi organizzativi e gestionali in campo bellico. Le applicazioni furono numerose e in particolare legate allo studio delle intercettazioni radar per la protezione dagli attacchi aerei, alle azioni antisommergibili, al dimensionamento dei convogli navali, alla scelta dei bersagli e ai metodi di avvistamento aereo. Dal dopoguerra in poi la ricerca operativa venne impiegata oltre al settore militare a molteplici settori civili. Numerosi sono i problemi che la R.O. è in grado di risolvere con metodi e tecniche specifiche: pianificazione della produzione, trasporto dei beni prodotti, scelta di investimenti o finanziamenti, assegnazione per la distribuzione delle vendite, manutenzione degli impianti, problemi di traffico, approvvigionamento e conservazione in magazzino dei beni, scarico da una nave, analisi e controllo di progetti, decisioni in condizioni competitive, ecc. DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL) La ricerca operativa è l applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni utilizzabili nei processi decisionali

2 2 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA La ricerca operativa è una metodologia che si propone di individuare, con procedimenti basati su concetti matematici e statistici, la condotta migliore per raggiungere, sotto certe condizioni, un obiettivo assegnato a priori. Le scelte possono essere: 1) a livello individuale, riguardanti la convenienza di operazioni (risparmi, consumi, assicurazioni, ecc.) che si propongono nell ambito di una famiglia; 2) a livello aziendale, che riguardano l attività di un impresa (investimenti, scorte, processi di lavorazione, fissazione di prezzi, ecc.); 3) a livello collettivo, che riguardano le condizioni di vita di una collettività ( investimenti pubblici, distribuzione del reddito, piani energetici, ecc. ). Ogni problema di scelta presuppone la possibilità di scegliere tra due o più alternative. L insieme di tutte le alternative possibili, connesse ad un dato problema di scelta, costituisce il campo di scelta. Il procedimento di analisi e di risoluzione di un problema può essere suddiviso in varie fasi: 1. Raccolta delle informazioni 2. Formulazione del problema 3. Costruzione del Modello matematico 4. Soluzione del modello 5. Verifica e controllo 6. Attuazione 1. La prima fase della Ricerca operativa consiste nell esame della situazione reale e nella raccolta delle informazioni nel modo più ampio e approfondito possibile, attraverso sondaggi di mercato o altro; i dati raccolti dovranno successivamente essere sottoposti ad analisi critica. 2. La seconda fase è quella della formulazione del problema, che comporta l'individuazione delle variabili controllabili e non controllabili e la scelta della funzione economica da massimizzare o da minimizzare. Facciamo rilevare che in tutti i sistemi organizzati, vari sono gli obiettivi che si possono fissare, ma la funzione economica da ottimizzare (ossia da rendere massima o minima) è una sola. 3. La terza fase è la costruzione del modello matematico, che deve essere una buona rappresentazione del problema, anche se è quasi impossibile che sia una rappresentazione perfetta; il modello non è qualcosa di statico e definitivo, ma può essere modificato in una successiva revisione, per renderlo più aderente al problema.

3 3 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA Tutti i problemi si traducono in un modello matematico del tipo: U f x1 x x, x 1 2,..., x n, y, y,..., y m 4) In una quarta fase si cerca la soluzione del modello, se è possibile mediante i metodi della matematica classica o con i metodi dell analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione, partendo da una prima soluzione e cercando di migliorarla. In molti problemi si costruisce un algoritmo efficiente e si codifica in un opportuno linguaggio di programmazione, oppure si utilizza un software specifico. Per certi modelli, soprattutto se sono presenti variabili aleatorie, si usano delle tecniche di simulazione, che comportano la soluzione del modello per molti casi numerici, naturalmente con l aiuto di un calcolatore. 5) correzione del modello, anche se si consiglia di controllare continuamente, durante l elaborazione, l aderenza del modello al problema in esame. 6) Dopo avere controllato ed, eventualmente, modificato il modello e ricavata la nuova soluzione, il gruppo dei ricercatori presenta i risultati ai responsabili della direzione e quindi si procede all attuazione del progetto. I problemi di scelta possono essere classificati secondo diversi punti di vista. Esaminiamo le principali classificazioni. 1) Scelte con effetti immediati e con effetti differiti. La realizzazione di un qualsiasi processo produttivo implica sempre il decorrere di un certo tempo nel senso che fra il momento in cui si sostengono i costi e quello in cui si realizzano i ricavi intercorre un certo lasso di tempo. Si dice per tal motivo che gli effetti sono differiti e si parla di scelta con effetti differiti. Si parla, invece, di scelta con effetti immediati quando la realizzazione del processo produttivo viene pensata come istantanea talché fra il momento in cui si sostengono i costi e quello in cui si realizzano i ricavi non intercorre alcun tempo (o intercorre un tempo così breve da poter essere trascurato). E subito chiaro che, di solito, le scelte si presentano con effetti differiti. 0 2) Scelte in condizioni certe e in condizioni incerte o aleatorie. g1, x2,..., xn, y1, y2,..., ym 0 g 2 1, x2,..., xn, y1, y2,..., ym g r x1, x2,..., xn, y1, y2,..., ym 0 x1 0, x2 0,..., xn 0, y1 0, y2 1 2 min 0,..., y m Funzione obiettivo vincoli tecnici Regione vincolare ( o campo di scelta ) vincoli di segno

4 4 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA Si dice che una scelta si presenta in condizioni certe quando le diverse condizioni che intervengono nel problema sono tutte note a priori in modo univoco. Se ciò non accade si parla invece di scelta in condizioni aleatorie. In sostanza in un problema di scelta che si presenti in condizioni aleatorie intervengono una o più grandezze le quali sono variabili casuali. Di regola qualsiasi operazione si presenta in condizioni aleatorie. In pratica, però, si finisce col considerare come certe operazioni che sono aleatorie o perché il grado di rischio è minimo, e quindi trascurabile, o perché il considerare certa l operazione comporta una semplificazione opportuna della realtà. 3) Scelte a una sola variabile e a più variabili Le scelte possono essere distinte a seconda che si riferiscono a problemi in cui interviene una sola variabile oppure a problemi in cui intervengono più variabili. Per esempio se una azienda produce un solo prodotto la determinazione della quantità da produrre per rendere massimo il profitto costituisce un problema di scelta ad una sola variabile. Ma se un azienda produce congiuntamente due o più prodotti allora il problema relativo alla determinazione delle quantità da produrre di ciascun prodotto perché il profitto globale sia massimo costituisce un problema di scelta a più variabili. 4) Scelte nel continuo e nel discreto Un problema di scelta si dice continuo quando la variabile d azione può assumere qualsiasi valore ( reale, compreso in un certo intervallo ). Ciò è come dire che la variabile d azione varia con continuità, cioè senza salti. Un problema di scelta si dice invece discreto quando la variabile d azione non può assumere qualsiasi valore 8 reale, compreso in un certo intervallo) talché essa presente dei salti. Riassumendo i problemi di scelta si possono cosi distinguere: a) Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti immediati; b) Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti differiti; c) Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti immediati; d) Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti differiti. Naturalmente è necessario tener presente che i problemi di scelta possono ulteriormente essere distinti a seconda se si tratta di scelte nel continuo o nel discreto.

5 5 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA Schema riepilogativo: PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA. PROBLEMI DI SCELTA NEL CASO CONTINUO 1 - IL GRAFICO DELLA FUNZIONE OBIETTIVO E' UNA RETTA. Si acquistano prodotti al costo di 0,7 euro/kg e vengono rivenduti a 1,2 euro/kg. Si sostengono per il trasporto costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo si possono trasportare giornalmente 20 kg di prodotti. Si richiede di calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo utile. R(x) = 1,2 x (ricavo giornaliero) C(x) = 0,7 x + 6 (costo giornaliero) U(x) = R(x) - C(x) = 0,5 x - 6 (utile giornaliero) Il modello matematico, pertanto, che ne risulta è: y = 0,5 x - 6 con x 0 x 20 (funzione obiettivo) (vincolo di segno) (vincolo tecnico)

6 6 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA y 4 12 y=0,5x-6 Zona di utile O Zona di perdita 20 x -6 Grafico della F.O.: y = 0,5 x - 6. Il problema può essere risolto anche in un altro modo costruendo il diagramma di reddività. y Zona di utile 20 14,4 Break-event point o punto di equilibrio + utile Zona di perdita C(x) costi variabili 6 R(x) y = 0,7 x + 6 costi fissi y = 1,2 x O x Diagramma di redditività

7 7 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA 2 - IL GRAFICO DELLA FUNZIONE OBIETTIVO E' UNA PARABOLA.. Una ditta produce detersivi per lavatrici. Sostiene una spesa fissa di settimanale di euro 100 ed un costo di euro 2 al litro. La ditta prevede di ricavare dalla vendita euro 3 al litro con una spesa di vendita di 0,001 euro per ogni litro venduto. Determinare: a)- il numero di litri che devono essere venduti settimanalmente per avere il guadagno max nell'ipotesi che tutta la produzione venga venduta (senza limiti di produzione); b)- il numero di litri che devono essere venduti settimanalmente per avere il guadagno max nell'ipotesi che per confezionare il prodotto, la ditta faccia uso di due macchine delle quali la prima può confezionare settimanalmente 400 l e la seconda 600 l di prodotto. a)- Se indichiamo con x il numero di litri venduti, si ha: costo di produzione settimanale: C(x) = 2x spese di vendita: S(x) = 0,001 x^2 ricavo settimanale: R(x) = 3x guadagno settimanale: U(x) = R(x) - C(x) - S(x) Il modello matematico, pertanto, che ne risulta è: y = - 0,011 x^2 + x (funzione obiettivo) con x 0 (vincolo di segno) (nessun vincolo tecnico) b)-se indichiamo con x il numero di litri venduti, si ha: costo di produzione settimanale: C(x) = 2x spese di vendita: S(x) = 0,001 x^2 ricavo settimanale: R(x) = 3x guadagno settimanale: U(x) = R(x) - C(x) - S(x)

8 8 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA Il modello matematico, pertanto, che ne risulta nella prima ipotesi: y = - 0,011 x^2 + x con x 0 x 400 (funzione obiettivo) (vincolo di segno) (vincolo tecnico) Il modello matematico, pertanto, che ne risulta nella seconda ipotesi: y = - 0,011 x^2 + x con x 0 x 600 (funzione obiettivo) (vincolo di segno) (vincolo tecnico) La rappresentazione della funzione obiettivo nei tre casi in considerazione è la seguente parabola riportata in seguito: V(500,150) D(400; 140) E(600; 127,5) 50 0 B(0; 112,70) C(0; 887,30) A(0; -100) -150

9 9 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA Dopo aver determinato le coordinate del vertice e dei punti d interezione con li assi: V(500; 150), A(0; -100), B(0; 112,70), C(0; 887,30) Dal grafico risulta che per una produzione inferiore a 112,7 litri la ditta è in perdita, il punto A indica i costi fissa cioè quando le vendite non sono iniziate. Per 112,7 litri il guadagno è nullo e comincia a crescere fino a raggiungere il massimo per una produzione di 500 litri, poi decresce fino alla produzione di 887,3 e per tale valore diventa di nuovo nullo. Il massimo guadagno, nel primo caso si ha per una produzione e vendita di 500 litri e corrisponde all ordinata del vertice, ossia 150 euro. Nel secondo caso prospettato dal problema e cioè con la presenza del vincolo tecnico x 400 l, la condizione di massimo guadagno si ha in corrispondenza della massima produzione consentita: x = 400 litri con un guadagno massimo di euro 140. Con la terza ipotesi x 600 l, il massimo guadagno si ha in corrispondenza del vertice della parabola che rappresenta il caso esaminato senza vincoli tecnici. 3 - IL GRAFICO DELLA FUNZIONE OBIETTIVO E' UN IPERBOLE Un rappresentante di commercio che fa uso della propria auto per il lavoro, sostiene spese fisse settimanali di euro 200, spese di euro 0,05 per chilometro e spese pari a 0,001x 2 di manutenzione dove con x indichiamo il numero di chilometri percorsi. Determinare il numero di chilometri che il commerciante deve percorrere settimanalmente per avere la minima spesa per chilometro. Indicato con x il numero di chilometri percorsi e con y la spesa totale, si ha: spese fisse settimanali: S 1 = 200 spese settimanali variabili: S 2 (x) = 0,05x spese di manutenzione: S 3 (x) = 0,001x 2 spese totali settimanali: S (x) = S 1 + S 2 (x) + S 3 (x) spese settimanali per km: S (x)/x = [S 1 + S 2 (x) + S 3 (x)]/x il modello matematico risultante è il seguente: y = ( ,5 x + 0,001 x 2 )/x min. (funzione obiettivo) con x 0 (vincolo di segno)

10 10 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA (nessun vincolo tecnico) La funzione y =(a x 2 + bx +c )/x = ax + b + c/x ( con a e b positivi) è l equazione di un iperbole. y = a c/x 2 a c/x 2 = 0 x min = oppure trovare il punto di intersezione tra: c a e y min = 2 acb c y x y ax ax c x x 2 c x a c a x c a Nel problema in esame risulta: x min = 200 0, ,21 e y min = , 001 0,05 0, 94 da cui M(447,21; 0,94), cioè il commerciante deve percorrere settimanalmente km 447,21 con una spesa minima per chilometro pari a euro 0,94.

11 11 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA 4 - LA FUNZIONE OBIETTIVO E' ESPRESSA DA PIU' FUNZIONI. Un rivenditore di concimi sostiene una spesa fissa mensile di euro 800 più una spesa variabile per chilogrammo venduto espressa da 0,32 + 0, x, dove x indica il numero di kg venduti mensilmente. La sua provvigione e di: a. euro 0,5 per ogni kg di concime venduto fino a kg venduti mensilmente; b. euro 0,6 per ogni kg di concime venduto oltre i kg e sino a kg c. venduti mensilmente; d. euro 0,7 per ogni kg di concime venduto oltre i kg. Determinare: 1)- la quantità di concime da produrre mensilmente per non essere in perdita; 2)- il numero di kg che deve vendere per ottenere il guadagno massimo; 3)- l'entità del guadagno massimo. Se indichiamo con x il numero di kg di concime venduti mensilmente, si ha: costo mensile C(x) = (0,32 + 0, x) x ricavo mensile: R 1 (x) = 0,5 x per 0 x R 2 (x) = 0,6 x per15000 < x R 3 (x) = 0,7 x per x > guadagno mensile: U 1 (x) = 0,5 x - C(x) per 0 x U 2 (x) = 0,5* ,6(x ) - C(x) per15000 < x U 3 (x) = 0,5* ,6* ,7(x ) - C(x) per x > il modello matematico che ne consegue è: y1 = - 0, x^2 + 0,18 x per 0 x y2 = - 0, x^2 + 0,28 x per15000 < x y3 = - 0, x^2 + 0,38 x per x > 25000

12 12 LA RICERCA OPERATIVA PROF.SSA GIRALDA ASSUNTA i risultati che si ottengono sono rappresentati nella tabella seguente: Funzione obiettivo Massimo nell intervallo Prodotto venduto y 1 = - 0, x^2 + 0,18 x Y M1 = 1000 Kg Y 2 = - 0, x^2 + 0,28 x Y M2 = 2200 Kg y 3 = - 0, x^2 + 0,38 x Y M3 = 4225 Kg Dalla rappresentazione grafica si vede che la quantità di merce da vendere, per non stare in perdita, deve essere uguale o superiore a 5000 kg. Essendo, poi, y M3 il più alto in assoluto, si può concludere che il massimo guadagno per il rivenditore è di euro 4225 ottenuto da una vendita di kg di concime. Gli esempi visti si riferiscono ai problemi di scelta nel caso continuo dove la variabile d azione x poteva assumere qualsiasi valore reale positivo. Non sempre questo è possibile. Infatti se la variabile d azione rappresenta per esempio numero di auto prodotte, numero di scatole confezionate, si comprende subito che essa può assumere solo valori interi positivi. In questo caso i problemi di scelta vengono detti problemi di scelta nel caso discreto.