Concorso di Ammssione al XIX ciclo di Dottorato in Fisica - Busta n. 1

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1 Concorso di Ammssione a XIX cico di Dottorato in Fisica - Busta n. 1 Icandidato svoga unoasceta dei temi erisova unoasceta dei probemi. Temi 1) Approssimazione semicassica in meccanica quantistica. Principi e appicazioni ) Si iustri una tecnica di misura de energia e se ne discuta i campo di appicabiità e e principai sorgenti di incertezza. 3) Meccanismi d emissione dei raggi X. Descrivere ameno un appicazione fisica dei raggi X. 4) Descrivere e evidenze osservative de esistenza di campi magnetici in ambiente cosmico (ad.es. stee, gaassie, mezzo intersteare, ammassi di gaassie..) 5) Discutere e potenziai sorgenti di onde gravitazionai riveabii da strumenti basati sua terra. Anaizzare e sorgenti per casse, periodiche, catastrofiche, quasi-periodiche. Spiegare quai sono i vantaggi o a necessità di avere più di uno strumento in grado di riveare onde gravitazionai. Probema 1 Si consideri un osciatore armonico N dimensionae ( ) N p H = i m + k i x i 1 a) Si dimostri che equazione di Schroedinger é separabie in coordinate cartesiane. b) Si scriva Hamitoniana in termini degi operatori di saita e discesa a i, a i reativi a osciatore armonico i-esimo. c) Si mostri che gi operatori A i j = a i a j (i,j = 1... N) obbediscono e regoe di commutazione [A i j,a k ] = A i δ k j A k jδ i () Si mostri che tai regoe sono agebra di Lie de gruppo U(N). d) Si mostri che se e costanti eastiche k i sono tutte uguai H é invariante sotto i gruppo U(N). e) Per N = 3 si scrivano gi atri invarianti indipendenti e a generica Hamitoniana invariante. f) Si supponga per N = 3 che due costanti eastiche siano uguai ed una diversa. Si dica qua é i gruppo di simmetria residuo e si discuta o spettro. (1) 1

2 g) Cosa cambia se e a i obbediscono a statistica di Fermi invece che quea di Bose? Probema. Si consideri i decadimento dea particea π 0 (massa 135 MeV/c ) in due fotoni. Si assuma che i π 0 sia prodotto ungo asse z con energia di 10 GeV. Si determini, anche numericamente: a) L energia minima e massima dei due fotoni ne aboratorio. b) I minimo angoo di apertura tra i due fotoni. c) Se i due fotoni vengono riveati ad una distanza di 10m da punto di produzione con una risouzione energetica E/E = 3%, si determini a risouzione spaziae necessaria su punto di impatto dei fotoni per ottenere una risouzione sua massa de π 0 di 5 MeV. d) Schematizzando i riveatore come un cerchio di raggio 1m centrato su asse z e ortogonae ad esso, si determini efficienza geometrica per a riveazione di entrambi i fotoni. Probema 3. a) Si cacoi energia di ionizzazione de atomo di Idrogeno ne suo stato fondamentae U 0 (ad esempio usando i modeo atomico di Bohr). b) Si cacoi i rapporto fra e popoazioni atomiche deo stato fondamentae ed i primo iveo eccitato. c) Si consideri quindi un gas di Idrogeno, n 0 atomi/m 3, in equiibrio termico aa temperatura T, e o si schematizzi come un sistema a due ivei: i) stato de eettrone egato a protone, con energia U 0 ; ii) stato de eettrone ibero, cioè atomo ionizzato. Si cacoi in questo caso i grado di ionizzazione definito come i rapporto fra i numero di atomi ionizzati diviso i numero totae degi atomi di un gas: α = n i /n 0. d) Si cacoi numericamente i grado di ionizzazione de Idrogeno, nei due casi specifici: T=1eV, n 0 = atomi/m 3 T=1eV, n 0 = 10 5 atomi/m 3 Si commenti brevemente i risutato, cercando di interpretaro fisicamente. e) Considerando un modeo più reaistico de atomo di Idrogeno con gi infiniti ivei de eettrone egato, ci si deve attendere di trovare vaori di α sensibimente diversi rispetto a quei trovati a punto d)? In ogni caso i corrispondenti vaori di α aumenterebbero o diminuirebbero?

3 Probema 4. Si derivi a distanza imite mareae di due masse autogravitanti, M 1 e M separate a distanza a. a) Qua è a dipendenza funzionae nei sistemi binari? b) Per due gaassie, qua è a dipendenza daa veocità massima di rotazione? Probema 5. Si consideri uno specchio ciindrico a faccie piane, di massa m, diametro D e spessore h, sospeso verticamente mediante due fii verticai di unghezza L. Sia a proiezione verticae dea distanza tra i punto di attacco inferiore dei fii ed i centro di massa deo specchio C (vedi figura sottostante) L L θ m C ϕ C. a) Indicando con r e t a rifettività e a trasmittività deo specchio, cacoare a forza dovuta aa pressione di radiazione prodotta da un fascio di potenza media P 0 incidente perpendicoarmente e ne centro dea superficie deo specchio. Suppore che r = 0.9, t = 0.1 e P 0 = 10W. b) Cacoare angoo prodotto θ rispetto a punto di sospensione. Si supponga a forza appicata in C, m = 10kg, = 0.001m L = 0.45m, D = 0.5m e h = 0.1m. c) Ipotizzando che a futtuazione in potenza de aser sia δp(ω) = 10 3 P 0 /ω, determinare e futtuazioni dea posizione de centro deo specchio aa frequenza angoare di ω = 100rad/s. Considerare ω ω 0, dove ω 0 = g/l e g a constante de campo gravitazionae. 3

4 Concorso di Ammssione a XIX cico di Dottorato in Fisica - Busta n. I candidato svoga uno a sceta dei temi e risova uno a sceta dei probemi. Temi 1) Simmetrie e gruppi in fisica. Fondamenti e appicazioni. ) Si iustri una tecnica di misura dea massa e se ne discuta i campo di appicabiità e e principai sorgenti di incertezza. 3) Tecniche spettroscopiche basate sua diffrazione. 4) Spiegare a reazione fra gravitationa ensing e gravitationa redshift. 5) Discutere e potenziai sorgenti di onde gravitazionai riveabii da strumenti basati sua terra. Anaizzare e sorgenti per casse, periodiche, catastrofiche, quasi-periodiche. Spiegare quai sono i vantaggi o a necessità di avere più di uno strumento in grado di riveare onde gravitazionai. Probema 1. Ne urto e + e e + e (Scattering di Moeer) da eettroni non poarizzati si misura a poarizzazione degi eettroni finai. a) Si mostri che, se c é invarianza sotto paritá, tae poarizzazione può soo essere perpendicoare a piano di scattering. b) Si cacoi ampiezza di scattering prodotta dao scambio di un fotone e si verifichi espicitamente asserto di cui a punto a) i) mostrando che interazione é invariante per parità ii) cacoando a poarizzazione c) Si scriva i contributo a ampiezza prodotto dao scambio di uno Z 0 L I = g + g Zµ 0 ψ e γ µ (a + bγ 5 )ψ e (1) con a = (1 4sin θ W ), b = 1. i) Si mostri che, se si tiene conto anche di L I, a parità è vioata. ii) Si cacoi a poarizzazione ne piano di scattering iii) Se ne discuta a dipendenza da energia per E M Z0. 1

5 Probema. Si consideri i decadimento dea particea π 0 (massa 135 MeV/c ) in due fotoni. Si assuma che i π 0 sia prodotto ungo asse z con energia di 10 GeV. Si determini, anche numericamente: a) L energia minima e massima dei due fotoni ne aboratorio. b) I minimo angoo di apertura tra i due fotoni. c) Se i due fotoni vengono riveati ad una distanza di 10m da punto di produzione con una risouzione spaziae di 1 cm ed una risouzione energetica E/E = 3%, si determini con quae risouzione si pu misurare a coordinata z di produzione de π 0. d) Schematizzando i riveatore come un cerchio di raggio D centrato su asse z e ortogonae ad esso, si determini D in modo che inefficienza geometrica per a riveazione di entrambi i fotoni sia de 3%. Probema 3. Un eettrone si trova immerso ne campo e.m. di un fascio di radiazione ottica (0.5 µm), inearmente poarizzata, a cui distribuzione d intensità varia radiamente con andamento gaussiano rispetto aa coordinata radiae trasversa r: [ ( ) ] r I = I 0 exp a) Cacoare energia cinetica de eettrone (mediata su periodo T di osciazione de campo e.m.) in funzione dea coordinata radiae r. b) Cacoare a forza F p (mediata su periodo T di osciazione de campo e.m.) che agisce su eettrone. c) Cacoare i vaore de ampiezza de campo eettrico E 0 dea radiazione e.m. e dea forza F p in r = 0 e r = r 0. d) Ne caso in cui I 0 = W/cm e r 0 = 5µm, cacoare numericamente E 0 e F p, in r = 0 e r = r 0. e) Ne caso in cui i moto de eettrone risutasse reativistico, come si esprime a forza F p in termini de fattore di Lorentz γ? Probema 4. Si consideri un corpo di raggio R e massa M circondato da una nube di pasma a simmetria sferica. Si assuma che a uminosità, L,sia prodotta soo da accrescimento gravitationae. Si assuma inotre che opacità sia dovuta soo ao scattering su eettroni (Thomson scattering). a) Si cacoi a pressione radiativa ne approssimazione di scattering singoo. r 0

6 b) Si mostri che c è una uminosità massima a di sopra dea quae a pressione radiativa impedisce accrescimento. c) Si trovi a dipendenza de tasso d accrescimento massimo da M e R. d) Se a massa centrae è un buco nero (di tipo Schwarzschid) si trovi a reazione fra a massa e i tasso d accrescimento permesso. Probema 5. Si consideri uno specchio ciindrico a faccie piane, di massa m, diametro D e spessore h, sospeso verticamente mediante due fii verticai di unghezza L. Sia a proiezione verticae dea distanza tra i punto di attacco inferiore dei fii ed i centro di massa deo specchio C (vedi figura sottostante) L L θ m C ϕ C. a) Indicando con r e t a rifettività e a trasmittività deo specchio, cacoare a forza dovuta aa pressione di radiazione prodotta da un fascio di potenza media P 0 incidente perpendicoarmente e ne centro dea superficie deo specchio. Suppore che r = 0.9, t = 0.1 e P 0 = 10W. b) Cacoare angoo prodotto θ rispetto a punto di sospensione. Si supponga a forza appicata in C, m = 10kg, = 0.001m L = 0.45m, D = 0.5m e h = 0.1m. c) Ipotizzando che a futtuazione in potenza de aser sia δp(ω) = 10 3 P 0 /ω, determinare e futtuazioni dea posizione de centro deo specchio aa frequenza angoare di ω = 100rad/s. Considerare ω ω 0, dove ω 0 = g/l e g a constante de campo gravitazionae. 3

7 Concorso di Ammssione a XIX cico di Dottorato in Fisica - Busta n. 3 I candidato svoga uno a sceta dei temi e risova uno a sceta dei probemi. Temi 1) L invarianza di gauge. ) Si discuta interazione dea radiazione eettromagnetica con a materia, soffermandosi su un caso particoare. 3) Propagazione di onde eettromagnetiche nea materia. I candidato approfondisca argomento considerando uno specifico mezzo materiae. 4) Descrivere evidenza per esistenza di materia oscura a scae maggiori o uguai ae dimensioni di una gaassia. 5) Si consideri un interferometro Micheson avente in ciascun braccio una cavità Fabry-Perot ed un specchio a ingresso per i ricircoo de campo eettromagnetico rifesso. Descrivere e principai sorgenti di rumore e distinguere tra sorgenti di natura tecnica e di natura fisica fondamentae quai rumore di quantizzazione ( shot noise ) e rumore termico. Probema 1. Si consideri o scattering eastico di due particee di spin 0 interagenti con un potenziae centrae V (r) a) Si mostri che i probema può essere trattato come diffusione da un centro fisso con massa uguae aa massa ridotta. b) Si scriva espressione per gi sfasamenti in approssimazione di Born. c) Si cacoi espressione dea unghezza di scattering in approssimazione di Born. d) Si mostri che, se V (r) è a raggio finito, onda S domina a basse energie. e) Si speciaizzi a caso di una buca di potenziae costante di raggio r 0. Probema. Si vuoe reaizzare una misura di fusso di particee con due contatori di area identica accostati e posti in coincidenza. I fusso e di 10 particee/s; ciascun contatore puo essere considerato con efficienza 100%, ma ha un rumore eevato, con una frequenza di scatto in singoa f s pari a 10kHz. a) Determinare a frequenza dee coincidenze accidentai f acc se i tempo di formatura de segnae è di 100ns. b) Determinare errore statistico sua misura de fusso per un periodo di conteggio di 10 s. 1

8 c) Assumendo di conoscere f acc con una precisione de 1%, determinare i tempo di conteggio necessario perchè errore statistico sua misura di fusso sia paragonabie a errore sistematico derivante daa imperfetta conoscenza di f acc. d) Variando a sogia dei discriminatori è possibie diminuire i ritmo di scatto in singoa a spese de efficienza di riveazione. Supponiamo di azare a sogia fino a rendere f acc trascurabie rispetto a fusso di particee. Determinare i vaore minimo de efficienza per cui a misura effettuata in queste condizioni abbia o stesso errore statistico (a parita di tempo di conteggio) dea misura effettuata a punto b. Probema 3. Con una ente ( focae f=4cm e diametro D=cm), corretta sue principai aberrazioni, si osservano dee poveri e cui dimensioni sono φ. L immagine viene formata su di una CCD i cui pixes hanno dimensioni δ. L osservazione è fatta con uce da 0.5µm. a) Qua è a minima distanza (d min ) fra due granei di povere, perchè essi possano essere risoti (cioè distinti) su immagine digitae? b) A quae distanza debbono trovarsi due granei da fuoco dea ente per poteri risovere su immagine? c) Dare i risutato numerico ae domande in a) e b), nei due casi: i) φ = 0.1µm, δ = 0µm ii) φ = 10µm, δ = 0µm d) Rispondere aa domanda de punto c) ne caso in cui osservazione venga fatta utiizzando una astra fotografica (a posto dea CCD), in cui a grana de emusione fotografica (moto minore dee dimensioni di un pixe) è δ = 0.1µm. Probema 4. Si consideri un pianeta di massa M e raggio R a distanza d daa stea centrae, che ha una uminosità L. I pianeta ha una atmosfera composta di un unica specie con peso moecuare µ e con rifettività A (abedo). a) Qua è a temperatura di equiibrio de atmosfera, assumendo emissività di corpo nero e iuminazione superficiae uniforme? b) Si derivi a scaa di tempo per perdere atmosfera per evaporazione.

9 Probema 5. Si consideri a cavità ottica risonante schematizzata nea figura sottostante, avente specchi piani, paraei e di superficie infinita posti ad una distanza. r,t r,t U (,t) r U (,t) t U (z,t) i Specchio piano infinito Specchio piano infinito Si supponga inotre, che a rifettività e a trasmittività di entrambi gi specchi sia rispettivamente r e t e che U i (z,t) = U 0 exp ( ikz + ωt), k = π/λ sia onda piana incidente perpendicoarmente ad uno specchio. a) Determinare ne caso di regime stazionario, intensità trasmessa U t () e rifessa U r () in funzione dea unghezza dea cavità. Supponendo fissato, determinare e stesse intensità in funzione dea frequenza angoare ω = πν dea uce incidente. b) Determinare a condizione di risonanza, ovvero e unghezze o e frequenze per cui a potenza trasmessa massima. c) Supponendo che a potenza incidente sia P 0 = 100W e che r = 0.99, r + t = 1, cacoare a forza F esercitata aa risonanza daa pressione di radiazione su uno degi specchi. 3

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