ESERCIZI DI GEOMETRIA B. 2. Date le matrici

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1 ESERCIZI DI GEOMETRIA B 1. Sia T : R 3 R 3 l endomorfismo definito da T (x, y, z) = (x + 3y z, 4y z, y + 2z). Si determini una matrice di Jordan J ed una base B di R 3 tale che la matrice associata a T rispetto a B sia J. Dire, motivando la risposta, se esiste una base B di R 3 tale che la matrice associata a T rispetto a B sia Date le matrici A = B = determinare, se esistono, due matrici regolari E, F tali che E 1 AE e F 1 BF siano matrici di Jordan. 3. Si discuta, al variare del parametro α C, la riducibilità in forma canonica di Jordan della seguente famiglia di matrici di M 3 (C): A α = 1 3 α. 0 3α 3 4. Trovare rango e vertice delle seguenti forme quadratiche: q 1 (x, y) = 4x 2 6xy + y 2 q 2 (x, y) = 4x 2 4xy + y 2 q 3 (x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z 2 + 2xz 2yz. 5. Data la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = 3x 2 + y 2 + 5z 2 2xz, determinare la matrice associata a q rispetto alla base B = (( 1, 0, 1), (0, 3, 0), (5, 1, 1)). 1

2 6. Date le matrici A, B S 3 (R): A = B = (a) verificare che A e B sono congruenti. Determinare una matrice regolare E tale che B = t EAE; (b) A e B sono simili? (rispondere senza calcolare i polinomi caratteristici). 7. La matrice A S 4 (R) ha polinomio caratteristico: A (λ) = (λ 2 λ 6)(λ 2 9λ + 20). La matrice B S 4 (R) ha polinomio caratteristico: B (λ) = (λ 1 2 )(λ3 + 6λ 2 + 3λ 10). A e B sono congruenti? (rispondere senza svolgere i calcoli). 8. Data la famiglia di forme quadratiche q α : R 3 R definita da q α (x, y, z) = x 2 + 3y 2 + z xy + 2αxz 4αyz, determinare gli eventuali valori di α R per i quali: (a) q α è degenere; (b) q α è definita; (c) esiste una base B di R 3 rispetto alla quale q α ha come matrice associata à = ; Sono dati in RP 4 i seguenti sottospazi: { kx 0 + kx 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 A k : kx 0 + 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 0 B k : 2x 1 + kx 2 + 3x 3 kx 4 = 0. Determinare dim (A k B k ) al variare di k R. 10. Dato in RP 2 il riferimento proiettivo S = (A 0 = [(1, 2, 3)], A 1 = [(0, 1, 4)], A 2 = [(1, 0, 2)], U = [( 1, 3, 27)]), determinare il punto P RP 2 che ha, rispetto ad S, coordinate proiettive omogenee [( 1, 2, 4)]. 2

3 11. Classificare, determinandone i sottospazi di punti uniti, le seguenti omografie di RP 2 e RP 3 : ρy 0 = 4x 0 + x 1 + 5x 2 ρy 0 = x 0 ω 1 : ρy 1 = x 0 + 2x 1 5x 2 ω 2 : ρy 1 = 2x 1 + x 2 ρy 2 = 2x 2 ρy 2 = x 1 + 2x 2 ω 3 : ρy 0 = 2x 0 + x 3 ρy 1 = x 0 + 2x 1 ω ρy 2 = x 0 + x 1 + x 4 : 2 ρy 3 = x 3 ρy 0 = 6x 0 x 2 ρy 1 = x 0 + 5x 1 x 2 ρy 2 = x 0 + 4x 2 ρy 3 = x 0 x 1 + 5x Scrivere le equazioni dell omografia ω di RP 2 tale che: ω([(1, 1, 1)] = [(2, 9, 3)], ω([(1, 0, 0)] = [(2, 0, 0)], ω([(2, 1, 1)] = [( 1, 3, 2)], ω([(0, 1, 0)] = [(0, 6, 3)]. Classificare ω. 13. Scrivere le equazioni dell omografia ω di RP 2 tale che: ω([(1, 3, 6)] = [(1, 1, 6)], ω([(1, 0, 0)] = [(1, 1, 0)], ω([(3, 1, 1)] = [(3, 5, 1)], ω([(1, 0, 1)] = [(1, 5 3, 1)]. Classificare ω. 14. Scrivere le equazioni dell omografia ω di RP 3 tale che: ω([(1, 0, 0, 0)] = [(1, 0, 1, 0)], ω([(1, 1, 0, 0)] = [(4, 4, 0, 1)], ω([(0, 0, 1, 0)] = [( 1, 0, 4, 0)], ω([(1, 2, 0, 1)] = [(6, 3, 2, 0)], ω([(0, 1, 2, 1)] = [(0, 0, 0, 1)]. 15. Scrivere le equazioni dell omografia ω di RP 2 che ha come punti uniti, i punti A [(3, 2, 1)], B [( 5, 0, 1)], C [(8, 2, 1)] e che manda P [(4, 1, 0)] nel punto P [(5, 0, 2)]. Determinare i sottospazi di punti uniti di ω. 3

4 16. Data l omografia ω di RP 2 di equazioni λy 0 = 5x 0 3x 1 + 2x 2 λy 1 = x 0 + x 1 + 2x 2, λy 2 = 4x 2 (a) classificare ω determinandone i sottospazi di punti uniti; (b) scrivere le equazioni di una omologia generale Ω 1 di RP 3 tale che la restrizione di Ω 1 al piano x 3 = 0 sia ω; (c) determinare le equazioni di una omologia biassiale Ω 2 di RP 3 tale che la restrizione di Ω 2 al piano x 3 = 0 sia ω. 17. Data l omografia ω : RP 2 RP 2 di equazioni ρy 0 = 4x 0 + x 1 + 5x 2 ρy 1 = x 0 + 2x 1 5x 2, ρy 2 = 2x 2 scrivere l equazione della retta immagine, attraverso ω, della retta x 0 + x 1 5x 2 = Determinare centro, asse ed equazioni dell omologia generale di RP 2 tale che: la retta r : 3x 0 +x 1 +x 2 = 0 ha per immagine la retta r : x 0 +x 1 +x 2 = 0; la retta s : x 0 + 2x 1 = 0 ha per immagine la retta s : 2x 0 + x 1 x 2 = 0; il punto U [( 1, 1, 1)] é unito. 19. Determinare le equazioni dell omologia piana tale che: la retta r : x 0 x 2 = 0 ha per immagine la retta r : x 2 = 0; la retta s : x 0 2x 1 = 0 ha per immagine la retta s : x 0 + 4x 1 x 2 = 0; il punto P [(2, 1, 1)] ha per immagine il punto P [(7, 2, 1)]. 4

5 20. Data la famiglia di omografie di RP 2 di equazioni: ρy 0 = (1 + k)x 0 + (1 k)x 1 ω k : ρy 1 = (1 k)x 0 + (1 + k)x 1 (k R) ρy 2 = 2kx 2 (a) determinare, se esiste, un valore di k per il quale ω k é un omologia speciale; (b) determinare, se esiste, un valore di k per il quale ω k é un omologia generale con caratteristica 1 2 ; (c) determinare le equazioni dell omologia ω (non appartenente alla famiglia) che ha lo stesso centro dell omologia ω k trovata al punto (b), manda l asse di ω k nella retta r : 2x 0 x 1 = 0 ed il punto P [(1, 1, 1)] nel punto P [(1, 1, 2)]. 21. Scrivere le equazioni dell omologia ω di RP 2 che ha centro C [(1, 1, 1)], manda il punto P [(1, 2, 0)] in un punto P appartenente alla retta x 0 x 1 + 3x 2 = 0 e la retta x 0 = 0 nella retta 2x 0 + x 2 = Dato il riferimento proiettivo di RP 3, S = (A 0 = [(1, 0, 0, 0)], A 1 = [(0, 1, 0, 0)], A 2 = [(1, 0, 1, 0)], A 3 = [(0, 0, 1, 1)], U = [(2, 1, 2, 1)]), ed i punti P 0 = A 0, P 1 = [(1, 1, 0, 0)], P 2 = [(2, 1, 1, 0)], P 3 = U, P 4 = [(2, 1, 0, 1)], verificare che S = (P 0, P 1, P 2, P 3, P 4 ) é un riferimento proiettivo di RP 3. Trovare le equazioni del cambiamento di riferimento da S a S e le equazioni del piano A 0 A 2 U rispetto ad S e rispetto a S. 23. Dato in E 3 il fascio di quadriche: (2 α)x 2 + 3y 2 4yz + αx + 4y α 1 = 0, (a) classificare le quadriche non specializzate del fascio al variare di α R; (b) determinare eventuali punti ed assi di rotazione per le quadriche del fascio ; (c) determinare il luogo dei centri delle quadriche del fascio. 5

6 24. Come l esercizio 23 per i seguenti fasci di quadriche: F 1 : x 2 z 2 + 2αyz + 2x + 2y 2z + 2 = 0 F 2 : x 2 + 2αy 2 + 2z 2 + 2z 2xz + α = Classificare la quadrica di E 3 di equazione x 2 4y 2 + 2z 2 3xz + 6x + 8y 2z = 0 e determinarne i piani principali ed una equazione canonica. 26. Data la quadrica di E 3 : x 2 xy + yz + 2y 2 xz + 3y + 2z = 0, (a) classificarla e scrivere l equazione del piano tangente alla quadrica nel punto P (1, 0, 1); (b) classificare la conica ottenuta intersecando la quadrica con il piano π di equazione 3y + 2z = 0 e stabilire di conseguenza la posizione di π rispetto alla quadrica. 27. Date le due quadriche di RP 2 di equazioni: Q 1 : 3x x x x 0 x 2 = 0 Q 2 : x (k 4)x (k + 1)x x 0 x 1 = 0, (a) determinare i valori di k R per i quali Q 1 e Q 2 sono equivalenti; (b) scrivere le equazioni canoniche di Q 1 e Q Dato il fascio F di quadriche di E 3 : 5x 2 + 5y 2 kz 2 6xy + 2kyz 8x + 8y + 4 4k = 0, (a) classificare le quadriche di F al variare di k R; (b) determinare gli eventuali valori di k per i quali l intersezione tra la quadrica ed il piano z = 0 sia un ellisse con semiasse maggiore uguale a

7 29. Classificare le quadriche non specializzate del fascio: αx 2 + (α + 1)y 2 2αyz + 2x + 2(α 3)y + 4αz = Data la quadrica di equazione x 2 + y 2 z 2 = 0, classificarla e determinare, nel fascio di piani kx + z + 2k 1 = 0 (k R), quelli che la intersecano rispettivamente in una ellisse, una iperbole, una parabola. 31. Dato il fascio di quadriche di E 3 di equazione: (1 k)x 2 + (1 + k)y 2 + (1 + k)z 2 + 2y 2z + 2 k = 0, (a) classificare le quadriche del fascio al variare di k R; (b) determinare la quadrica Q del fascio avente come centro C (0, 1 2, 1 2 ) e trovarne i piani principali ed una equazione canonica; (c) scrivere l equazione del piano diametrale di Q, che passa per i punti P 1 (1, 0, 1) e P 2 (0, 1 2, 1). 32. Studiare le seguenti coniche di E 2 e, per ognuna di esse, determinare l equazione della polare del punto P (1, 0): (a) 3x 2 + y 2 12x + 2 3y + 12 = 0; (b) x 2 y 2 + 2x 2y = 0; (c) 3x 2 y 2 6x 2 3y + 3 = 0; (d) x 2 + 4y 2 4xy 6x 12y + 9 = 0; (e) x 2 3y 2 + 2xy + 6x + 14y = Data la conica C dell esercizio 32(a), (a) determinare l equazione dell iperbole avente per asintoti gli assi di C e passante per P (0, 3); (b) determinare l equazione della parabola avente come asse l asse focale di C, come vertice il centro di C e passante per l origine. 7

8 34. Scrivere l equazione e studiare l iperbole equilatera C avente centro C ( 3, 1 ), la retta r : 2x y + 1 = 0 come asintoto e passante per 5 5 P ( 4, 2 ). Si determini inoltre l equazione di C rispetto ai suoi asintoti Scrivere l equazione della conica C di E 2 passante per A (1, 1), B ( 3, 3), tangente in A alla retta x = 1 ed avente centro C ( 3, 1). Determinare poi assi, vertici, fuochi di C ed una sua equazione canonica. 36. Dati il punto V (1, 1) e la retta r : x + 2y = 0, scrivere l equazione del fascio di parabole aventi V come vertice e la retta r come diametro. 37. Determinare l equazione del fascio F di coniche passanti per i punti P ( 1, 1) e Q ( 1, 2) e tali che le rette tangenti in tali punti passino per l origine. (a) classificare le coniche di F dal punto di vista affine; (b) determinare asse e vertice della parabola di F. 8