Controlli automatici

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1 Controlli automatici Proetto del controllore nel dominio della frequenza Prof. Paolo Rocco Politecnico di Milano Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioineneria

2 Introduzione Quete lide decrivono la metodoloia di controllo claico del controllore monovariabile nel dominio della frequenza Verranno inizialmente effettuati i neceari richiami ul concetto e ulla rappreentazione rafica della ripota in frequenza Succeivamente i dicuteranno i requiiti di un itema di controllo (tabilità, pretazioni dinamiche e tatiche), tudiando come ei poano eere convertiti in opportuni vincoli ulla ripota in frequenza della funzione di traferimento d anello del itema Infine i preenterà la tecnica di intei del controllore per tentativi, ovvero baata u affinamenti ucceivi del diaramma di Bode del modulo della funzione di traferimento d anello (loophapin) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [2]

3 Ripota inuoidale Si conideri un enerico itema dinamico TI a cui imponiamo un inreo inuoidale: u U Y u t Ain t G() t T = 2 Se il itema è aintoticamente tabile, eaurito un tranitorio iniziale, anche l ucita è inuoidale, con la tea pulazione della inuoide in inreo, e riulta in particolare: y t Bin t B AG j G j Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [3]

4 Ripota in frequenza Si definice ripota in frequenza la euente funzione complea della variabile reale : G j, a ripota in frequenza è quindi la retrizione della funzione di traferimento al emiae immainario poitivo a variabile prende il nome di pulazione a definizione di ripota in frequenza i dà per tutti i itemi dinamici TI (anche per quelli intabili) Il teorema della ripota inuoidale vale invece per i itemi TI aintoticamente tabili: conocendo la ripota in frequenza per queti itemi i a come ripondono a inuoidi di pulazione qualunque Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [4]

5 Ripota in frequenza a ripota in frequenza è una funzione che retituice valori complei. Come rappreentarla raficamente? Diarammi Carteiani G(j) Diarammi polari Im Re ar G(j) G(j ) G(j ) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [5]

6 Diarammi di Bode I diarammi di Bode ono una particolare coppia di diarammi Carteiani della ripota in frequenza Si compiono delle celte ulle cale deli ai e ulle quantità da riportare uli ai Sia nel diaramma del modulo ia in quello della fae l ae delle acie (pulazioni) è in cala loaritmica: la ditanza tra due enerici punti che rappreentano le pulazioni e 2 è proporzionale alla differenza tra i loaritmi di e In particolare la ditanza tra due pulazioni a rapporto prende il nome di decade. decade Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [6]

7 Diaramma di Bode del modulo Acia: pulazione in cala loaritmica Ordinata: modulo in decibel in cala lineare G j 2lo Gj db Diaramma in carta emiloaritmica modulo in db pulazione (rad/) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [7]

8 Diaramma di Bode della fae Acia: pulazione in cala loaritmica Ordinata: fae in radi in cala lineare G j Diaramma in carta emiloaritmica fae in radi pulazione (rad/) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [8]

9 Diarammi di Bode aintotici I diarammi aintotici cotituicono un approimazione rafica dei diarammi di Bode della ripota in frequenza, facilmente tracciabile a mano. Il diaramma di Bode del modulo aintotico è cotituito da una pezzata, unione di tratti di pendenza multipla di 2 db/decade Il diaramma di Bode della fae aintotico è cotante a tratti, e in oni tratto aume valori multipli di 9 Il tracciamento dei diarammi di Bode aintotici può eere condotto econdo alcune reole, che fanno riferimento alla euente epreione della funzione di traferimento: G i i k k Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [9]

10 Diaramma aintotico del modulo. A baa frequenza ( ) il diaramma iace ulla retta di pendenza - (*), paante per il punto ( =, G db = db ) 2. A oni pulazione corripondente a p poli (zeri) reali, la pendenza diminuice (aumenta) di p unità 3. A oni pulazione corripondente alla pulazione naturale di p coppie di poli (zeri) complei e coniuati, la pendenza diminuice (aumenta) di 2p unità 4. a pendenza finale è pari al numero deli zeri meno il numero dei poli (reola di verifica) (*) a pendenza i indica per multipli di 2 db/decade: con pendenza 2 i intende 4 db/decade, con pendenza -3 i intende -6 db/decade e coì via. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco []

11 Diaramma aintotico della fae. A baa frequenza ( ) il diaramma iace ulla retta orizzontale di ordinata 9 2. A oni pulazione corripondente a p zeri reali nel emipiano initro o p poli reali nel emipiano detro, il diaramma ha un alto poitivo di p 9 3. A oni pulazione corripondente a p zeri reali nel emipiano detro o p poli reali nel emipiano initro, il diaramma ha un alto neativo di p 9 4. A oni pulazione corripondente alla pulazione naturale di p coppie di zeri complei e coniuati nel emipiano initro o p coppie di poli complei e coniuati nel emipiano detro, il diaramma ha un alto poitivo di p 8 5. A oni pulazione corripondente alla pulazione naturale di p coppie di zeri complei e coniuati nel emipiano detro o p coppie di poli complei e coniuati nel emipiano initro, il diaramma ha un alto neativo di p8 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco []

12 Diaramma aintotici: eempio 6 Diaramma di Bode - Modulo G reale db -2-4 aintotico - 2 Diaramma di Bode - Fae -9 radi Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [2]

13 Diarammi polari Il diaramma polare rappreenta nel piano compleo il numero G(j) al variare di da a Il modo più emplice per tracciare i diarammi è appoiari ai diarammi di Bode aintotici: i eue l evoluzione al variare di del numero compleo che ha il modulo e la fae rappreentata nei diarammi Nel cao di funzione di traferimento con poli ull ae immainario il diaramma polare tende all infinito econdo aintoti che i poono determinare analiticamente Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [3]

14 Diarammi polare: eempio G 3 Termina con fae -27 e modulo Parte con fae e modulo db radi Diaramma di Bode - Modulo Diaramma di Bode - Fae - Im Re Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [4]

15 Inrei periodici Si conideri un enerico itema dinamico TI a cui imponiamo un inreo periodico, viluppabile in erie di Fourier: U G() Y u T t T ut, t u t dt u t U U con t 2 T n n n Se il itema è aintoticamente tabile, eaurito un tranitorio iniziale, anche l ucita è periodica, con lo teo periodo del enale in inreo, e riulta in particolare: y n t Y Y n t Y n n n co G n jn G U n jn n Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [5]

16 Inrei aperiodici Si conideri un enerico itema dinamico TI a cui imponiamo un inreo aperiodico, viluppabile in interale di Fourier: U G() Y - u T ut t T : u t, t dt u t Uco t d Se il itema è aintoticamente tabile, eaurito un tranitorio iniziale, anche l ucita è eprimibile tramite interale di Fourier e riulta in particolare: y t Y co t GjU G Y d Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [6]

17 Azione filtrante Il teorema della ripota inuoidale vale quindi per tutte le inuoidi in cui è componibile il enale di inreo (mediante erie o interale di Fourier) a ripota in frequenza conente quindi di calcolare la ripota a qualiai inreo a ripota in frequenza determina in particolare come i modificano le componenti armoniche dell inreo In queto eno un itema dinamico aintoticamente tabile i può vedere empre come un filtro: alcune componenti armoniche dell inreo venono attenuate, altre amplificate, altra ancora rimanono inalterate Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [7]

18 Filtro paabao Il filtro paabao è un itema dinamico TI aintoticamente tabile la cui ripota in frequenza ha diaramma di Bode del modulo come il euente: G(j) db b Se riulta: G j 3, db definiamo banda paante del filtro l inieme di pulazioni: : Gj -3, db b etremo uperiore della banda paante Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [8]

19 Componenti di un itema di controllo Ricordiamo che un enerico itema di controllo in anello chiuo è rappreentabile dal euente chema a blocchi: d A y u m y C A S d p c T d T S: itema otto controllo (o proceo) T: traduttore A: attuatore C: controllore (o reolatore) y: variabile controllata y o : riferimento c: miura u: variabile di controllo m: variabile manipolabile d A : diturbo ull attuatore d P : diturbo ul proceo d T : diturbo ul traduttore Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [9]

20 Componenti di un itema di controllo Nell ipotei di linearità di tutti i componenti, lo chema a blocchi può eere ritracciato in termini di funzioni di traferimento: y d p H() c + e c u + m y T() R() A() P() - c T() + + dt d A e poi emplificato: n d - T d T P d H d A P d y + u m y T() + + R() A() P() n Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [2]

21 Componenti di un itema di controllo Il itema di controllo è in definitiva decritto dallo chema a blocchi: d y y R() G() n dove: G T P A è la funzione di traferimento del itema otto controllo compreniva di trumentazione (attuatore e traduttore). Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [2]

22 Formalizzazione del problema di controllo d y y R() G() n Nella notra chematizzazione, G() è data (*) mentre R() è da determinare. Si procederà al proetto fiando una erie di requiiti (o pecifiche) che il itema di controllo deve ripettare: Stabilità aintotica (nominale e robuta) Pretazioni dinamiche (velocità di ripota, aenza di ocillazioni, reiezione di diturbi) Pretazioni tatiche (ull errore a tranitorio eaurito) Moderazione del controllo (limiti all intenità dell azione di controllo) (*) In realtà è compito del proettita modellare il itema otto controllo, eventualmente linearizzare il modello e celiere attuatore e traduttore Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [22]

23 Stabilità del itema di controllo Mettiamo in evidenza la funzione di traferimento d anello () = R() G() e tracuriamo i diturbi, ininfluenti per la dicuione di tabilità: y + y () - Supporremo () funzione di traferimento di un itema dinamico trettamente proprio. Non introduciamo ipotei ulla tabilità di. Il problema i pone nei termini di tudiare la tabilità del itema in anello chiuo, conocendo (). Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [23]

24 Polinomio caratteritico y + y () - Eprimiamo la funzione di traferimento d anello come rapporto di polinomi : N D a funzione di traferimento da y a y aume l epreione : y y N D N D N D N Definiamo il denominatore di queta funzione di traferimento polinomio caratteritico in anello chiuo : N D Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [24]

25 Polinomio caratteritico N D Il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e tutte le radici del polinomio caratteritico in anello chiuo hanno parte reale neativa Eempio: viola la CN: il itema non è aintoticamente tabile In cao di cancellazioni di poli nel prodotto R() G(), e le radici che i cancellano non hanno parte reale neativa, il itema in anello chiuo non può comunque eere aintoticamente tabile (c è una parte non raiunibile e oervabile non aintoticamente tabile) Il criterio del polinomio caratteritico non i preta alla intei del reolatore, ovvero a determinare R() in modo che il itema in anello chiuo ia aintoticamente tabile Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [25]

26 Criterio di Nyquit Il criterio di Nyquit è un criterio rafico per dicutere la tabilità del itema in anello chiuo, nota la ripota in frequenza aociata alla funzione di traferimento d anello (). Occorrono delle definizioni: Diaramma di Nyquit: diaramma polare della ripota in frequenza di, orientato nel eno delle crecenti, cui i aiune il immetrico ripetto all ae reale del piano compleo P d : numero di poli a parte reale trettamente poitiva di () N: numero di iri compiuti dal diaramma di Nyquit intorno al punto - dell ae reale, contati poitivamente in eno antiorario. Se il diaramma paa per il punto -, N i dice non definito Criterio di Nyquit: il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e N è ben definito e riulta N = P d Dimotrazione complea, baata ulle proprietà delle funzioni analitiche e ul lemma di Cauchy condizione necearia e ufficiente! Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [26]

27 Criterio di Nyquit Eempio: 2 8 Im punto - P d N itema aintoticamente tabile -2-4 diaramma polare Re Verifica: 2 2 ha entrambe le radici a parte reale neativa 2 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [27]

28 Criterio di Nyquit Eempio: 8 3 Im punto - P d N -2 itema non aintoticamente tabile diaramma polare 5 Re imponendo (j) = -8 i trova il punto di interezione con il emiae reale neativo, collocato in -.25 Verifica: ha due delle tre radici a parte reale poitiva,2.7 j.86, Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [28]

29 Criterio di Bode Il criterio di Bode è un econdo criterio rafico per la tabilità del itema in anello chiuo che i baa ul tracciamento dei diarammi di Bode della ripota in frequenza aociata alla funzione di traferimento d anello (). È valido e ono oddifatte due condizioni di applicabilità: () non ha poli a parte reale poitiva Il diaramma di Bode del modulo di (j) intereca l ae a db una e una ola volta Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [29]

30 Criterio di Bode Per applicare il criterio occorre introdurre una erie di definizioni: Pulazione critica c : : (j) = Fae critica c : c = (j c ) db 2 Diaramma di Bode - Modulo c Marine di fae m : m = 8 - c Guadano d anello : uadano di () Criterio di Bode: Dimotrazione emplice, come cao particolare del criterio di Nyquit (con P d =, eprime le condizioni per cui N = ) radi -2 - Diaramma di Bode - Fae - c -8 - il itema in anello chiuo è aintoticamente tabile e e olo e: m condizione necearia e ufficiente (nelle ipotei di applicabilità) m Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [3]

31 Criterio di Bode Eempio: 2 Ipotei di applicabilità oddifatte > 3 i ricava c approimativamente dal diaramma di Bode aintotico (mai calcolarla analiticamente!) db (rad/) c 3 rad/ -2arctan c m 8-36 c itema aintoticamente tabile Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [3]

32 Criterio di Bode Eempio: 3 Ipotei di applicabilità oddifatte > i ricava c approimativamente dal diaramma di Bode aintotico db (rad/) c 2 rad/ -3arctan c m c itema non aintoticamente tabile Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [32]

33 Sitemi a fae minima Si ricorda che un itema TI i dice a fae minima e: ha uadano poitivo non ha poli a parte reale poitiva non ha zeri a parte reale poitiva Il diaramma di Bode della fae aintotico i ottiene facilmente da quello del modulo. In oni tratto: fae = (pendenza del modulo) 9 db Diaramma di Bode - Modulo c Diaramma di Bode - Fae Coneuenza: e il modulo talia l ae a db con pendenza - con un ampio tratto, la fae critica arà proima al valore aintotico (-9 ). radi -5-2 (rad/) Il itema in anello chiuo, eendo m >>, arà aintoticamente tabile Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [33]

34 Sitemi con ritardo Il ritardo di tempo è un itema retto dall equazione: a funzione di traferimento è: y t ut - a ripota in frequenza: db Diaramma di Bode - Modulo G G e - - j j e G G - j j e - j j e - radi Diaramma di Bode - Fae (rad/) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [34]

35 Sitemi con ritardo Se la funzione di traferimento d anello è il prodotto di una razionale e di un ritardo: Riulta : - e - j - j j je j e j j j r r r - j - j e j e j - r r r r Pertanto: c cr c cr - c 8 (la pulazione critica i determina dalla parte razionale) contributo dovuto al ritardo Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [35]

36 Sitemi con ritardo Eempio: e -,. Ipotei di applicabilità oddifatte > i ricava c approimativamente dal diaramma di Bode aintotico 2 c rad/ db c -arctan - arctan - c m 8 - c (rad/) itema aintoticamente tabile per <.89 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [36]

37 Pretazioni dinamiche e pretazioni dinamiche fanno riferimento al comportamento del itema di controllo durante i tranitori. In particolare ono di interee: Velocità di ripota : rapidità con cui la variabile controllata eue bruche variazioni (per eempio a calino) del riferimento Smorzamento dei tranitori: aenza o irrilevanza di ocillazioni nel tranitorio Reiezione dei diturbi: capacità del itema di controllo di ineuire il riferimento pur in preenza di diturbi Moderazione del controllo: la variabile di controllo non deve eere ottopota a ecceive ollecitazioni Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [37]

38 Velocità di ripota Il concetto di velocità di ripota di un itema dinamico i può eprimere anche nel dominio della frequenza. Conideriamo un itema a cotante di tempo: ripota allo calino T, T H diaramma di Bode 5 H db T t (ec) -25 (rad/) Il itema è tanto più veloce quanto più piccola è la cotante di tempo T, ovvero quanto più ampia è la banda paante definita da H = /T Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [38]

39 Banda paante del itema di controllo Conideriamo un itema di controllo in anello chiuo, ed in particolare la funzione di traferimento dal riferimento y alla variabile controllata y: Andamento plauibile del modulo di F: Y Y o F db b Se riulta: F j 3, db definiamo banda paante del itema di controllo: : Fj -3, db b (rad/) etremo uperiore della banda paante b è quindi un indicatore della velocità di ripota: maiore è b, più pronto è il itema. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [39]

40 Banda paante e pulazione critica È poibile individuare un indice di velocità di ripota leato alla funzione di traferimento d anello (), piuttoto che alla funzione di traferimento in anello chiuo F()? F Fj j j F j j j Conideriamo l approimazione: F j : j j : j j j Se è applicabile il criterio di Bode: F j c j c Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [4]

41 Banda paante e pulazione critica F j c j c 4 2 F c? db (rad/) Sotto quali condizioni l approimazione rafica opra riportata è attendibile? Se lo foe, la banda paante del itema in anello chiuo arebbe ben approimata dalla pulazione critica Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [4]

42 Banda paante e pulazione critica Calcoliamo eattamente il modulo di F alla pulazione critica: F j c j c j c e j c co c j in c co 2 c 2co c in 2 c co 2 - co m 2 c m 2in 2 Se m = 9 riulta: F j Fj -3 c 2 c db etremo della banda paante coincide con la pulazione critica Se m > 6 riulta: F j Fj c c db etremo della banda paante è ben approimato dalla pulazione critica e non vi è rionanza Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [42]

43 Banda paante e pulazione critica Poiamo quindi procedere alla euente approimazione: m elevato (> 5 6 ) F c a 4.6 c m piccolo (< 3 4 ) Tempo di aetamento al 99% della ripota allo calino F c c c a 4.6 c tiene conto della rionanza nel itema ( F(j c ) > ) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [43]

44 Smorzamento e marine di fae Come determinare lo morzamento nel cao di marine di fae piccolo? F c c c Imponiamo che in c il modulo dell approimante auma il valore eatto precedentemente calcolato F j c 2 2in 2 m in 2 m m (per m epreo in radi) o morzamento dei tranitori in anello chiuo è quindi leato al marine di fae m indicatore di robutezza della tabilità indicatore del rado di tabilità dei tranitori Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [44]

45 Calcolo della ripota allo calino: eempio.25 2 Voliamo determinare l andamento qualitativo della ripota di y a uno calino in y db i traccia il diaramma di Bode del modulo aintotico i determina c = rad/ i determina m : m 8 - c arctan w (rad/) Poiché m è elevato i celie l approimazione: F c. y t () Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [45]

46 Reiezione dei diturbi in linea d andata Conideriamo un diturbo d in linea d andata: d y y () - Funzione di traferimento da d a y: Y D S S(): funzione di enitività Approimiamo il modulo della ripota in frequenza: S j j j : : j j Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [46]

47 Reiezione dei diturbi in linea d andata Nelle ipotei di validità del criterio di Bode: S j j j c c 4 2 c / e componenti armoniche del diturbo interne alla banda paante ono attenuate ulla variabile controllata. db S (rad/) Quindi: la banda paante deve eere ufficientemente ampia da contenere le armoniche inificative del diturbo più alto è il modulo di in banda paante, maiore è l attenuazione Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [47]

48 Reiezione dei diturbi in linea di retroazione Conideriamo un diturbo n in linea di retroazione: y + y () - Funzione di traferimento da n a y: Y N -F n F(): funzione di enitività complementare Sappiamo ià approimare il modulo della ripota in frequenza: F S F j : j j : j j j Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [48]

49 Reiezione dei diturbi in linea di retroazione Nelle ipotei di validità del criterio di Bode: F j c j c e componenti armoniche del diturbo eterne alla banda paante ono attenuate ulla variabile controllata. Quindi: la banda paante non deve eere ecceivamente ampia da contenere le armoniche inificative del diturbo più piccolo è il modulo di fuori dalla banda paante, maiore è l attenuazione Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [49]

50 Moderazione del controllo Mettiamo in evidenza la variabile di controllo u in uno chema in anello chiuo: d y + u + + y R() G() - Funzione di traferimento da y a u: U R Q Y + + n funzione di enitività del controllo Approimiamo il modulo della ripota in frequenza: Q j R j j G R : j j j : j (a meno del eno, è la tea prendendo come inreo d o n) è bene che Q attenui u tutta la banda Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [5]

51 Moderazione del controllo Nelle ipotei di validità del criterio di Bode: Q j R j j G R : c j j : c Fuori dalla banda paante il modulo di R deve aumere valori contenuti. db G G (rad/) /G c Ipotizziamo un andamento per il diaramma di G. Se c è molto più rande della banda del itema in anello aperto G, il modulo di /G, e quindi di Q, può aumentare molto. Quindi: la banda paante non deve eere ecceivamente ampia ripetto alla banda che caratterizza la dinamica in anello aperto. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [5]

52 Pretazioni tatiche e pretazioni tatiche di un itema di controllo fanno riferimento al uo comportamento a tranitorio eaurito In particolare iamo intereati, in queta condizione, all errore tra il enale di riferimento e la variabile controllata, cercando le condizioni per cui queto errore è nullo, o finito ma non nullo, o infinito Naturalmente dovremo upporre l aintotica tabilità del itema in anello chiuo Nell analii dell errore frutteremo il principio di eparazione deli effetti, per cui conidereremo eparatamente il contributo dei inoli inrei (riferimento e diturbi) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [52]

53 Pretazioni tatiche Facciamo riferimento a una riformulazione dello chema a blocchi che mette in evidenza l errore e = y - y d y y () - n d y + e y () n Attribuiremo ali inrei enali canonici (calino, rampa, parabola), rappreentativi di enerici enali a reime cotanti, lineari oppure parabolici con il tempo. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [53]

54 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [54] a funzione di traferimento dal riferimento all errore è: Errore dovuto al enale di riferimento S Y E funzione di enitività Poto: k k i i T Y Y Y T Y E t e e k k i i t lim lim lim lim lim lim i ha:

55 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [55] y (t) = Aca(t) Errore dovuto al enale di riferimento,,, lim lim A A A A e y (t) = Aram(t) 2,,, lim lim 2 A A A e y (t) = Apar(t) 3, 2,, lim lim A A A e

56 Errore dovuto al enale di riferimento Il cao < non è di interee (errore infinito o tutt al più uuale al enale di riferimento, e cotante). Per valori i può compilare una tabella: Aca(t) Aram(t) Apar(t) A A A 2 errore è nullo errore è tanto più piccolo quanto più rande è Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [56]

57 Errore dovuto al diturbo d a funzione di traferimento dal diturbo in linea d andata all errore è: E D - -S A meno del eno è la tea coniderata prima, per cui vale la tea tabella ricavata prima, a meno del eno. Eempio: itema in anello chiuo aintoticamente tabile, dt Aca Aram Apar t, t, t, e e e A Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [57]

58 Errore dovuto al diturbo d Se il diturbo non entra nello chema a blocchi del itema di direttamente in ucita alla funzione di traferimento del proceo, per poter utilizzare ancora la tabella delle pretazioni tatiche, occorre riportare il diturbo in ucita. d H() y + e + + y () - dh y + e + + y () - D H H H D d dg y + e + + y y + e + + y R() G() () - - D G G G D Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [58]

59 Errore dovuto al diturbo n a funzione di traferimento dal diturbo in linea di retroazione all errore è: E N Poto: F funzione di enitività complementare T i i k k i ha: e lime t lim t lime N lim N lim N Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [59]

60 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [6] n(t) = Aca(t) Errore dovuto al diturbo n n(t) = Aram(t) n(t) = Apar(t),, lim lim A A A A e, lim lim 2 A A e, lim lim A A e

61 Errore dovuto al diturbo n Poiamo compilare una tabella: Aca(t) Aram(t) Apar(t) A A 2 A errore è uuale o quai uuale (e =) all ampiezza del diturbo errore è empre infinito In preenza di un traduttore con errore tatico, il itema di controllo non può arantire a reime una preciione miliore di quella del traduttore. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [6]

62 Proetto del controllore Terminata l analii delle pretazioni dei itemi di controllo in anello chiuo, torniamo al problema di proetto del controllore d y y R() G() n Il metodo che euiremo arà baato ul criterio di Bode a funzione di traferimento d anello () = R()G() deve oddifare le ipotei necearie per l applicabilità del criterio Il metodo non è applicabile e G() ha poli a parte reale poitiva. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [62]

63 Specifiche di proetto d y y R() G() n e pecifiche di proetto precedentemente elencate poono eere formalizzate come eue: Stabilità aintotica m Robutezza della tabilità e rado di tabilità Velocità di ripota Pretazioni tatiche Eventuali pecifiche addizionali m m c c e e. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [63]

64 Impotazione del proetto È opportuno uddividere il proetto del controllore in due fai: Proetto tatico i affronta olo la pecifica relativa all errore a tranitorio eaurito nell eeuirlo i aume che i ia in rado di rendere aintoticamente tabile il itema di controllo in anello chiuo Proetto dinamico i affrontano le retanti pecifiche, e in particolare quelle relative alla pulazione critica e al marine di fae Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [64]

65 Proetto tatico Si fattorizza la funzione di traferimento del reolatore come: R R R R R R 2, 2 T i i k R k determina le pretazioni tatiche è ininfluente, poiché R 2 () = Si celie: il valore minimo del tipo R che conente di oddifare la pecifica tatica fiato R, il valore minimo del uadano R per cui la pecifica è effettivamente oddifatta Se R riulta indeterminato lo i aena in fae di proetto dinamico. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [65]

66 Proetto dinamico R R R R, R2 R 2 T i i k R k determinato nel proetto tatico da determinare nel proetto dinamico Si determina R 2 (), ovvero le cotanti di tempo di zeri e poli del reolatore, con un metodo rafico, facendo in modo che, con una erie raionata di tentativi, il diaramma della ripota in frequenza di () oddifi tutte le pecifiche dinamiche. Il metodo arà illutrato per mezzo di un eempio. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [66]

67 Eempio di proetto: dati e pecifiche d H() y + e + + y R() G() - G 5., H 5. Specifiche: e.25, per y (t) = ca(t), d(t) = ±ca(t) c rad/ m 6 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [67]

68 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [68] Eempio di proetto: proetto tatico Errore dovuto al enale di riferimento:,, 5 5 lim 5 lim lim lim R R R R R o o o Y E e R R R (coerente con la tabella di preciione tatica, con =5 R, A=) Errore dovuto al diturbo: (coerente con la tabella di preciione tatica, con =5 R, A= H =5),, lim 5 5 lim lim lim - - R R R R R d d D H E e R R R

69 Eempio di proetto: proetto tatico Poiché l errore deve eere finito, ma non neceariamente nullo, i può prendere un reolatore di tipo nullo: R = R è enz altro poitivo! Quindi: e e o e d e o e d 5 R 5 5 R 5 5 R a pecifica è quindi oddifatta e: 5 5 R.25 R Adottando un marine di icurezza (per robutezza vero incertezze ui uadani e ampiezza del diturbo): R R 2 R 2 R Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [69]

70 Eempio di proetto: proetto dinamico a funzione di traferimento d anello del itema può eere critta come: con: R R G R 2 2 R G. parte di () nota a valle del proetto tatico db (rad/) Primo tentativo: R2 c m occorre quindi procedere con un proetto dinamico Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [7]

71 Eempio di proetto: proetto dinamico Ricordiamo che per i itemi con funzione di traferimento d anello a fae minima: db Diaramma di Bode - Modulo c Diaramma di Bode - Fae il talio da parte del diaramma del modulo dell ae a db con pendenza - è di norma aranzia di marine di fae elevato radi -5-2 (rad/) Conviene allora procedere determinando preliminarmente un opportuno andamento per il diaramma del modulo di e, a poteriori, rialire all epreione della funzione di traferimento del reolatore metodo rafico di proetto Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [7]

72 Eempio di proetto: proetto dinamico Metodo rafico di proetto di (loophapin): i traccia un tratto di retta a pendenza - che talia l ae a db a un valore di pulazione uperiore o uuale al limite inferiore richieto per la pulazione critica in baa frequenza: il diaramma di deve avere la tea pendenza di quello di (altrimenti i modificherebbe il tipo del reolatore in ede di proetto dinamico) e il proetto tatico i è concluo con un vincolo ul valore del uadano R, il valore di deve eere maiore o uuale a quello di (altrimenti i modificherebbe il uadano del reolatore in ede di proetto dinamico) in alta frequenza: il diaramma di deve avere pendenza maiore o uuale in modulo a quella di (altrimenti i perverrebbe al proetto di un reolatore non realizzabile (con più zeri che poli)) il valore di deve eere minore o uuale a quello di (per arantire la moderazione del controllo) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [72]

73 Eempio di proetto: proetto dinamico Seuiamo il metodo rafico per il notro eempio: modulo [db] rad/ c m arctan c.2-2arctan 2 68 Secondo tentativo: taliamo l ae a db con pendenza - a 2 rad/ in baa frequenza raccordiamo il diaramma di con quello di in alta frequenza uualiamo la pendenza di con quella di e manteniamo otto a tutte le pecifiche ono oddifatte! Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [73]

74 Eempio di proetto: proetto dinamico Dal diaramma del modulo di rialiamo, tenendo conto che è a fae minima, all epreione di (): quindi: R e infine: R R R riultato finale del proetto A poteriori poiamo oervare che il reolatore cancella i poli a pulazione. e del itema otto controllo, introducendone due a pulazione.2 e. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [74]

75 Specifiche di attenuazione di diturbi Tra le pecifiche di proetto poono apparire anche requiiti ull attenuazione di diturbi, in linea d andata o in linea di retroazione. Queti requiiti i poono tradurre in ulteriori vincoli ulla ripota in frequenza della funzione di traferimento d anello, di cui biona tenere conto in ede di proetto dinamico. Vediamo eparatamente come occorre trattare i diturbi in linea d andata e quelli in linea di retroazione. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [75]

76 Attenuazione di diturbi in linea d andata Dato: diturbo d(t) con componenti armoniche inificative nella banda [, max ] Specifica: diturbo attenuato ull ucita y di un fattore A (A > ) d Soluzione: y y () - Funzione di traferimento da d a y: Y Y D j S j D j Si enera un area che il diaramma di deve evitare db A db max -2 j A max j A -3-4 max -5-2 w (rad/) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [76]

77 Attenuazione di diturbi in linea di retroazione Dato: diturbo n(t) con componenti armoniche inificative nella banda [ min, ] Specifica: diturbo attenuato ull ucita y di un fattore A (A > ) y + y () Soluzione: - Funzione di traferimento da n a y: Y N -F n Y j j - j N j Si enera un area che il diaramma di deve evitare db min -A db j A j min j min A w (rad/) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [77]

78 Compenazione dei diturbi Nei itemi di controllo è frequente il cao in cui il diturbo in linea d andata ia miurabile È allora poibile fruttare l informazione data dalla miura e aire direttamente ulla variabile di controllo, anticipando l effetto del diturbo ull ucita, enza attendere che queto i manifeti in errore Si parla in queto cao di compenazione diretta del diturbo d C() d H() H() u G() + + y u G() + + y Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [78]

79 Compenazione dei diturbi Il compenatore del diturbo può eere proettato in modo che: Y D H C G C() d H() H C - G u G() + + y Queta formula non può in enere eere direttamente utilizzata perché può dare luoo a un compenatore non realizzabile (più zeri che poli) o intabile (e G() è a fae non minima). Tuttavia i può fare riferimento a queta formula per la compenazione di pecifici diturbi Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [79]

80 Compenazione dei diturbi Diturbo cotante a reime: H C C - G - Diturbo inuoidale di pulazione : Cj C : H - G j j (i parametrizza C() e i impone il valore di ripota in frequenza alla pulazione data) - Diturbo con armoniche inificative fino alla pulazione : : Cj C H j -, G j (i approima la ripota in frequenza fino alla pulazione maima di interee) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [8]

81 Compenazione dei diturbi Di norma uno chema di compenazione viene aociato a uno chema di retroazione C() d H() y + - e R() u G() + + y a funzione di traferimento da d a y è ora: Y D C G H R G H C - G la tea ottenuta in anello aperto! I proetti del reolatore in retroazione e del compenatore in anello aperto ono quindi diaccoppiati Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [8]

82 Compenazione del riferimento Anche il enale di riferimento può eere elaborato con un itema dinamico per favorire un azione di controllo più pronta, in uno chema di compenazione del enale di riferimento: C() y o - R() u G() y Y Y o C G R G R G Se: C G non fiicamente realizzabile! Y Y o riultato ideale, che i può approimare: :, G Cj C max j Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [82]

83 Prefiltraio del riferimento Alternativamente i può uare uno chema di prefiltraio del enale di riferimento: y o u C() R() G() - y Y Y o C F, F R G R G Poibili celte del prefiltro: C C F Y Y o per forzare la preciione tatica (nominale) C c b Y Y o b per ampliare la banda paante b c Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [83]

84 Compenazione e prefiltraio del riferimento a compenazione e il prefiltraio poono eere uati in combinazione: C 2 () y o C () - R() u G() y Y Y o C R C2 G R G C o o - F C F G, 2 Y Y o F o modello di riferimento Requiiti u F o (): uadano unitario rado relativo almeno pari a quello di G() deve contenere li eventuali zeri a parte reale poitiva di G() N.B.: rado relativo = numero poli numero zeri Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [84]

85 Controllo in cacata In molte applicazioni avviene che il itema otto controllo ia trutturabile nella conneione in erie di due funzioni di traferimento: u G () d v G 2 () y all ucita del primo ottoitema i ommi un diturbo d la variabile intermedia v tra i due ottoitemi ia miurabile Speo avviene che la dinamica di G ia molto più favorevole di quella di G 2 : G potrebbe eere a fae minima e G 2 no pur eendo entrambe le funzioni di traferimento a fae minima, G potrebbe avere dinamica molto più veloce ripetto a G 2 Queto accade in particolare quando G rappreenta l attuatore e G 2 il itema otto controllo. In quete ituazioni può riultare opportuno trutturare il itema di controllo con due anelli di controllo innetati. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [85]

86 Controllo in cacata y o v o R 2 () - - R () u G () d v G 2 () y Reolatore interno R i baa ecluivamente ulla funzione di traferimento G () mira a far ì che v ineua il uo riferimento v o u un ampia banda ulla tea banda attenua il diturbo d Reolatore eterno R 2 limita la banda a valori deciamente inferiori ripetto alla banda dell anello interno i approima, u queta banda, la dinamica dell anello interno come infinitamente veloce (v v o ) i baa il proetto di R 2 ecluivamente ulla funzione di traferimento G 2 () Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [86]

87 Controllo in cacata y o - R 2 () v o v G 2 () y I due reolatori R e R 2 venono proettati econdo un diaccoppiamento in frequenza emplificazione del proetto (uddivio in due ottoproetti più emplici) pretazioni di norma molto uperiori al proetto di un unico reolatore Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [87]

88 Controllori PID I controllori PID (ad azione Proporzionale, Interale e Derivativa) ono caratterizzati dalla lee di controllo: u t K et K e P Equivalentemente: I t d K D det dt K P : uadano proporzionale K I : uadano interale K D : uadano derivativo u t de t P d TD TI dt t K et e T T I D K K K K P I D P tempo interale tempo derivativo I PID ono di ran luna i controllori più utilizzati nelle applicazioni, anche in quelle in ambito meccatronico. Sono in particolare utilizzati i controllori P, PD, PI e PID. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [88]

89 PID: funzione di traferimento I PID ono itemi lineari e come tali e ne può ricavare la funzione di traferimento: e u R() R K P K I K D K P T I T D K T P I T I 2 T T I D Il fatto che il numeratore della funzione di traferimento ia di rado uperiore a quello del denominatore dipende dall azione derivativa che non è fiicamente realizzabile. Nella realizzazione pratica del controllore occorre aiunere un polo in alta frequenza nell azione derivativa (peraltro irrilevante per li effetti dinamici). Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [89]

90 PID: metodi di taratura I PID ono itemi di rande diffuione, per una erie di raioni: emplicità di realizzazione in divere tecnoloie (elettronica, idraulica, pneumatica) efficacia per la reolazione di un ampia amma di procei indutriali tandardizzazione con i relativi vantai in termini di affidabilità e economicità emplicità di taratura dei parametri poibilità di taratura automatica dei parametri, per mezzo di emplici eperimenti a taratura dei controllori PID può quindi eere eeuita in due modi: taratura analitica (baata ul modello del itema otto controllo e ulla teoria dei controlli automatici) taratura automatica (o empirica, baata olo u eperimenti) Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [9]

91 PID: taratura analitica Nella taratura analitica dei reolatori PID i può euire una via più diretta ripetto a quella vita per il reolatore a truttura libera. Eempio: y + e y R() G() - G. e Specifiche: e =, per y (t) = ca(t) m 4 c maima poibile Dalla pecifica tatica i deduce che occorre l azione interale. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [9]

92 Scriviamo R() nella forma: R R T T PID: taratura analitica 2 Cancelliamo con li zeri del reolatore i poli del proceo:. T 5, T2 2 R G R -3 e Pertanto:. c R c c R m 9 -.3R 4 R 2. 9 R In concluione: K P K K I I 2.9 R KP KD K D 29 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [92]

93 PID: taratura empirica I metodi di taratura empirica dei controllori PID ono baati ecluivamente ull eecuzione di eperimenti ul itema otto controllo, econdo opportune procedure. Non richiedono quindi né la conocenza del modello matematico del itema otto controllo, né l applicazione della teoria dei controlli automatici Oi eitono numeroiime reole per la taratura automatica (autotunin) dei PID Noi vedremo le reole oriinali, dovute a Zieler e Nichol, nella loro verione ad anello aperto e ad anello chiuo. Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [93]

94 PID: reole di Zieler e Nichol in anello chiuo. Si chiude l anello di controllo con il reolatore PID, imponendo nulli tutti i uadani 2. Partendo da valori molto piccoli di K P i effettua un emplice eperimento, conitente nell applicare un piccolo calino al enale di riferimento 3. Si aumenta proreivamente K P ripetendo di volta in volta l eperimento finché non i intaura nell anello un ocillazione permanente 4. Si ricavano: - K P : uadano proporzionale all ocillazione - T: periodo dell ocillazione y y + e y PID S - - T t Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [94]

95 PID: reole di Zieler e Nichol in anello chiuo - - Con i valori di K P e T determinati perimentalmente i tara un reolatore P, un PI o un PID econdo la euente tabella K P T I T D P.5K P - - PI T.45K P -.2 PID.6K P Il metodo non è empre applicabile: ci ono infatti itemi che non enerano ocillazioni, anche con uadani proporzionali elevati. Altre volte può eere pericoloo, o comunque coniliabile, portare il itema al limite di tabilità T 2 Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [95] T 8

96 PID: reole di Zieler e Nichol in anello aperto. Si applica una variazione a calino all inreo del itema otto controllo 2. Si traccia la tanente alla ripota nel punto di fleo 3. Si individuano raficamente le intercette e Y della tanente uli ai t e y, ripettivamente: u S y y Y t Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [96]

97 PID: reole di Zieler e Nichol in anello aperto Con i valori di e Y determinati perimentalmente i tara un reolatore P, un PI o un PID econdo la euente tabella K P T I T D P Y - - PI.9 Y 3 - PID.2 Y 2.5 Il metodo non è applicabile e la ripota allo calino non preenta fleo o e la ripota preenta ocillazioni Non empre è poibile operare ul proceo in anello aperto, o perturbare brucamente il uo inreo Controlli automatici Proetto nel dominio della frequenza - P. Rocco [97]