1. LA TRAVE CONTINUA E L EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI

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1 . L TRVE ONTINU E L EQUZIONE DEI TRE OENTI Sistemi Piai i Travi Neo sazio ua trave ha 6 grai i ibertà (g...): rotazioi e trasazioi. Ne iao, ivece, i grai si riucoo a co rotazioe e 2 trasazioi. z z z w v u x x v u x y y Fig.. sistema saziae sistema iao Vautao i umero i vicoi risetto ai grai i ibertà ea struttura, e cosierao che, e iao, e equazioi equiibrio er ogi eemeto strutturae soo tre: Σ Fx 0 Σ Fy 0 Σ 0 ossiamo suiviere i sistemi i travi i tre categorie: SISTEI LILI SISTEI ISOSTTII SISTEI IPERSTTII R x F F F R x R x R y R y R y R y R y g... > vic. eq. > icog. g... vic. eq. icog. g... < vic. eq. < icog. Per i sistemi abii e icogite, cioè e reazioi vicoari soo i umero miore ee equazioi equiibrio. Trae i casi articoari, i sistema i equazioi o ha souzioe e equiibrio è imossibie. I sistemi isostatici soo caratterizzati a tate icogite quate soo e equazioi i equiibrio: equiibrio, quii, esiste e a souzioe è uica. Nei sistemi ierstatici i umero i icogite è sueriore a queo ee equazioi i equiibrio. iò sigifica che esistoo ifiite souzioi che soisfao i sistema. La souzioe esatta, erò, è soo quea cogruete co e caratteristiche i eformabiità egi eemeti che comogoo a struttura e co i suoi vicoi. I breve, quii, er risovere u robema ierstatico, e equazioi i equiibrio o soo i umero sufficiete e è ecessario itrourre ee uove reazioi che ci vegoo forite aa cogrueza egi sostameti co i vicoi ea struttura.

2 Preiamo come esemio a trave icastrataaoggiata i figura.2. Per risovere i robema vota ierstatico, uò essere utiizzato i cosietto metoo ee forze, che cosiste, i rima battuta, e sostituire i vicoi sovrabboati co e risettive reazioi vicoari. I questo caso, a esemio, i carreo i uò essere sostituito co a corrisoete reazioe vicoare R y, assuta come icogita ierstatica. I questo moo i sistema tora a essere isostatico sebbee, otre a essere sottoosto a u carico istribuito oto è soggetto ache a ua forza cocetrata i i cui vaore è scoosciuto (Figura.). Grazie a riciio i sovraosizioe egi effetti, a mesoa riortata i Figura. uò essere cosierata come i risutato ea somma i ue mesoe iversamete caricate: a rima co i carico istribuito oto, a secoa co i carico cocetrato icogito. R y Fig.. v Fig..2 trave icastrataaoggiata Oguo ei ue sistemi i carico rovoca uo sostameto verticae i. La cogrueza co i vicoi esteri, erò, (i questo caso i carreo) imoe che i o sostameto verticae sia uo. Di cosegueza, si eve avere ecessariamete v v r 0. Questa è a reazioe i iù che cosete i avere tate equazioi ( i equiibrio iù i cogrueza) quate soo e icogite (, R x, R y, R y ), er trovare a souzioe e robema ierstatico ttraverso itegrazioe e equazioe iffereziae ea iea eastica,che govera a eformazioe ea trave sotto i carichi ati v", si ottiee che: EJ 4 R y v ; v r v vr R y 8EJ EJ 8 oosceo, ora, grazie aa cogrueza, i vaore i R y, risuta ossibie aicare e restati equazioi i equiibrio er trovare e tre icogite rimaste. v r R y R x R y Fig..4 R y /8 La Trave otiua e Equazioe ei Tre ometi I maiera e tutto aaoga è ossibie risovere i robema ierstatico egato a ua trave cotiua soggetta a u carico uiformemete istribuito come quea i figura che, e caso secifico, aveo ue aoggi itermei, è ue vote ierstatica. I geerae, ifatti, si uò affermare che i grai i ierstaticità i ua trave cotiua co camate soo.

3 2 Fig..5 I questo caso coviee assumere come icogite ierstatiche i vaori ei mometi che si sviuao i corrisoeza ei ue carrei cetrai. Si iterrome, quii, a cotiuità ea trave itrouceo ue ceriere i corrisoeza egi aoggi e si riristia i sistema statico iiziae aicao i questi oi e reazioi corrisoeti ai vicoi eimiati. Dato che sugi aoggi i ua trave cotiua i mometi teoo e fibre sueriori, e reazioi vicoari corrisoeti avrao verso oosto, come iustrato ea figura.6. sistema iiziae ovezioi sistema svicoato 2 Fig..6 Le reazioi vicoari e evoo essere tai a garatire a cogrueza egi sostameti egi aoggi. I effetti, itrouzioe ee ceriere ermetterebbe, i teoria, a ue trochi i trave cotigui i ruotare iberamete ' ' (fig..7) uo risetto a atro ( e ), metre, e sistema reae, gi stessi trochi i trave soo coegati attraverso u vicoo i cotiuità che imoe uguagiaza ee rotazioi così come iustrato i figura.8. Per cui, er a cogrueza, si eve avere ' e ' ' ' Fig..7 eformata e sistema svicoato 2 ' ' Fig..8 eformata e sistema reae 2

4 Queste utime soo e ue equazioi i cogrueza che, sommate ae tre equazioi i equiibrio, ci cosetirao i risovere i robema ue vote ierstatico. isoga trovare, quii, e reazioi che esrimoo e rotazioi i u sigoo troco i trave sotto i carico ato e sotto e icogite ierstatiche, o megio, bisoga vautare come si eforma ua trave aoggiata soggetta a u carico uiformemete riartito e a ue mometi aicati ae sue estremità. Le rotazioi e ossoo essere otteute er sovraosizioe egi effetti cosierao a trave soggetta a tre iverse coizioi i carico (soo i carico riartito, soo i mometo a estra, soo i mometo a siistra) come iustrato i figura.0: () () Fig..9 Sistema i carichi a cui è soggetto uo ei trochi i trave che comogoo a trave cotiua () () Fig..0 sovraosizioe egi effetti () () quii () () ( ) () () ( ) () che i questo caso, itegrazioe e equazioe iffereziae ea iea eastica forisce i vaori ee rotazioi estremità reative ae tre coizioi i carico. ssumeo er covezioe, e rotazioi ositive quao atiorarie, si ha: () () E J 6E J ; ; ( ) 6E J ( ) E J ; () ; 24E J () 24E J () e () soo e rotazioi ovute a u carico uiformemete istribuito. questo uto o resta che imorre a cogrueza egi sostameti i corrisoeza egi aoggi. Si reao, come esemio, a rima e a secoa camata ea trave cotiua. I corrisoeza e aoggio, er a cogrueza si eve avere e er equiibrio, ovviamete (i vaore assouto). Grazie ae (2) e a equiibrio, quii, si uò scrivere equazioe i cogrueza: (2) 0 24E J 6E J E J 24E J E J 6E J

5 ' ' Fig.. ogrueza su aoggio Se E e J soo costati ugo tutta a trave, equazioe () si semifica eimiao quasi cometamete i eomiatore e assumeo a forma: 24 ( ) ( ) ( ) (4) 6 I maiera aaoga uò essere scritta equazioe i cogrueza er aoggio successivo e tutti gi atri evetuai aoggi i eccesso. I questo moo si ottegoo tate equazioi quati soo i mometi icogiti. I cocusioe, voeo geeraizzare, si uò affermare che: Se a trave cotiua è comosta a 2 soe camate ( vota ierstatica), icogita è soo oiché e soo oti esseo, ifatti, uguai a zero. Ua soa equazioe i cogrueza, quii è sufficiete er risovere i robema. Se a trave cotiua è comosta a camate (2 vote ierstatica), e icogite soo 2: bisoga, quii scrivere 2 equazioi (ua er ogi vicoo itermeio) e risovere i sistema. I geerae se a trave cotiua è comosta a camate ( vote ierstatica), è ecessario scrivere equazioi i icogite.

6 icazioe Trovare e reazioi vicoari e e caratteristiche ea soecitazioe ea trave cotiua su camate iù mesoa iustrata i figura:.50 m 4.00 m 5.00 m 6.00 m D 5 kn/m EJ cost. D D.50 m I robema è 2 vote ierstatico: e icogite, ifatti, soo e. e D ivece, hao vaore oto: D 0 ato che si trova i corrisoeza i ua ceriera i estremità è oto oiché, quasiasi cosa succea ugo i resto ea trave, i mometo su aoggio eve equiibrare i mometo trasmesso aa mesoa e quest utimo si trova i maiera uivoca: kn m veo 2 icogite, e, bisoga scrivere 2 equazioi i cogrueza, ua reativa a aoggio e atra a aoggio. o riferimeto aa (4), quii, si avrà: ( ) ( ) ( 4 5) ( ) ( 5 6 0) ( 5 6) Per risovere i sistema si uò roceere, moto semicemete, er sostituzioe: kn m kn m

7 questo uto è ossibie etermiare e caratteristiche ea soecitazioe er ogi tratto i trave: a) esoa.50 m T R y 7.5 kn T (x) x T 7.5 kn (x) x 2 / kn m R' y b) Tratto T m R" y R' y.9 m.9 m R y /2 ( )/ 9.67 kn R y R y 0. kn T (x) 9.67 x T (x) 0 x 9.67/5.9 m (x) x x 2 /2 (.9).7 kn m c) Tratto 5.00 m T m m R" y R' y 4.67 R y /2 ( )/ 0. kn R y R y 4.67 kn T (x) 0. x T (x) 0 x 0./ m (x) x x 2 /2 (2.06).72 kn m

8 ) Tratto D 7.96 T m D.59m m 4.45 R" y R yd R y /2 / 7.96 kn R yd R y 2.0 kn T (x) 7.96 x T (x) 0 x 7.96/5.59 m (x) x x 2 /2 (.59) 4.45 kn m e) Diagrammi cometi ea trave cotiua T D D