Quadro riassuntivo delle principali formule di matematica finanziaria
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- Albino Ceccarelli
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1 uado iassuivo delle picipali foule di aeaica fiaziaia Ieesse seplice: aua i peiodi di epo ifeioi o uguali all ao ale che l ieesse auao sul capiale o divea fuifeo. epo d ipiego del capiale co ao (u ao) oppue esi / 2 oppue gioi / 36 (+ ) I C C MC M C ( + ) C M ( + ) dove M C (oae) ( + ) Fig. - Faoi di aicipazioe e posicipazioe pe l ieesse seplice. Scoo seplice: copeso pe pagaei aicipai. Coispode agli ieessi oli ad u oae pe edelo auale. Il suo calcolo è euivalee a uello dell ieesse solo che pe la sua deeiazioe si pae da u C (oae) e o da u C (capiale iiziale). Disiguiao: C Sc scoo azioale seplice deivao da Sc C - C è poco usao! + i Sc c M scoo coeciale. Nella paica coeciale e fiaziaia lo Sc è deeiao uasi sepe coe ieesse su u oae si calcola più feueeee lo Sc coeciale! Es. di applicazioe: Scoo di ua cabiale a scadeza < u ao. Valoe eale (C ) Valoe oiale (M) Sc c Ieesse coposo: aua i peiodi di più ai iei ale che gli ieessi si soao al capiale e auao ali ieessi (se ho ache fazioi di ao avò aicipazioi e posicipazioi ise: ieesse seplice / ieesse coposo). L ieesse coposo può essee di due ipi:. Ieesse coposo discoiuo auo gli ieessi si soao al capiale ua vola l ao. 2. Ieesse coposo discoiuo coveibile gli ieessi si coveoo i capiale più vole ello sesso ao.. Ieesse coposo discoiuo auo M C ( + ) M C C M I C ( ) C MC Fig. 2 - Faoi di aicipazioe e posicipazioe pe l ieesse coposo. Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
2 Scoo coposo: copeso pe pagaei aicipai ieessi oli ad u M pe edelo auale. Sc M (foula dello scoo coposo) 2. Ieesse coposo discoiuo coveibile gli ieessi si coveoo i capiale più vole ello sesso ao. di covesioi/ao dell ieesse i capiale (es. ogi 6 esi 2, ogi 4 esi 3 ) Le foule soo le sesse dell ieesse coposo discoiuo auo i cui peò a poso di e si iseiscoo: ; M C C M I C [ ] Scoo coposo coveibile: copeso pe pagaei aicipai ieessi oli ad u oae pe edelo auale. + Sc M + (foula dello scoo coposo coveibile) Sepe iguado all ieesse coveibile Tasso oiale e asso eale Il saggio d ieesse coveibile è deo oiale e isula essee ioe del saggio eale J che è u saggio auo (es. oiale del 6%, se coveibile 2 vole/ao, ealee ede più del 6%). Chiaado il asso oiale e j il asso effeivo si ha: j + ( + ) j Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
3 I valoi peiodici Valoi che si ipeoo a ievalli di epo egolai: ae fazioaie, aualià, poliaualià Le ae fazioaie (R): peiodicià cosai (ae) che si collocao ell abio di u ao ipeedosi a ievalli di epo egolai (esili, biesali, iesali, ecc.). esi cui si sposa ogi aa R R N + di seguio si pecisa che: 2 R soa coplessiva, a fie ao, di ue le ae più gli ieessi su esse auai N delle ae copese ell ao R ipoo della aa uado si applica: es. calcolo del Rpl di u iobile a paie dal caoe di locazioe (esile, biesale, iesale ). Se le ae fazioaie si ipeoo cosaeee ad ievalli di epo egolai (iee acai pagaei) può applicasi, i aleaiva alla pecedee, la seguee foula: N ± R R N + dove si uilizza il + se le ae soo aicipae, se soo posicipae. 2 Le aualià (a): Valoi posiivi o egaivi cosai che si ipeoo a ievalli egolai di u ao. Poblei: ccuulazioe fiale ( ualià cosai liiae posicipae: ); ccuulazioe iiziale ( ); ccuulazioe ieedia ( ) ualià cosai liiae aicipae: a a a cioè.b.: la oliplicazioe pe a a + o scoa all aualià! ccuulazioe ieedia o coe soo: : ualià cosai posicipae illiiae: Si calcola solaee l accuulazioe iiziale: a da cui V, euivalee esiaivo, dove c eddio eo auo del pop. di u bee da eddio. a.b.: oliplicado a si coveoo le aualià da aicipae a posicipae, si applicao poi gli sessi coefficiei di aicipazioe e posicipazioe delle aualià posicipae. Pe l accuulazioe ieedia valgoo le foule a siisa solo co la aa a oliplicaa pe i odo da edee posicipae le ae. ualià cosai aicipae illiiae: Si calcola solaee l accuulazioe iiziale: a Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
4 Sigificao di V : Si sia il valoe di u bee, ell ipoesi che foisca eddii ei aui cosai pe u c epo illiiao, accuulado all aualià ui i suoi ifiii eddii fuui. Tale valoe si chiaa valoe capiale poiché oeuo pe capializzazioe del eddio. Si icoda che c è il saggio di capializzazioe che è diveso da (saggio fiaziaio) poiché idica il saggio di edieo pe ogi euo di valoe fodiaio. Ricoda: Fodo ualsiasi iobile poduivo. eddio eo auo (icavi spese Rpl - Spp) che spea al popieaio dell iobile. c è siao aie idagie di ecao pe copaazioe co bei siili di cui si cooscoo e V. V Le poliaualià o peiodicià (P): Valoi posiivi o egaivi cosai che si ipeoo a ievalli egolai di più ai. P Valoe oeaio della poliaualià epo i ai iecoee a due peiodicià ueo di peiodicià copese ell ievallo di epo cosideao P P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 Nell es. sopa: 5 ai (ievallo i cui aua la peiodicià); 6 (peiodicià auae i 3 ai). Poliualià cos. liiae posicipae Poliualià cos. liiae aicipae: ccuulazioe fiale: ccuulazioe iiziale: cioè (il faoe P P scoa all aualià ) Poliualià cosai illiiae posicipae Si calcola solaee l accuulazioe iiziale: P V euivalee esiaivo della foula sopa. V Valo capiale. Si icoda che: + c N.B. Il che si capializza co uesa foula è u polieale (es. aboei). P P (oliplicado P pe aicipae posicipae) si edoo le poliaualià Poliualià cosai illiiae aicipae Si calcola solaee l accuulazioe iiziale: P V euivalee esiaivo della foula sopa. V Valo capiale. Si icoda che: + c N.B. Il che si capializza co uesa foula è u polieale (es. aboei) Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
5 uoa di eiegazioe Si calcola pe capiali a fecodià ipeua, cioè pe bei sueali, la cui uilià si esauisce dopo u ceo di ai. Es. aice, aboei, ipiao di iigazioe, besiae, fabbicai, ipiai vai Coispode alla soa (di valoe cosae) che aualee, alla fie di ogi ao e pe ai, si deve accaoae pe icosiuie il valoe che il capiale ha peso el coso del peiodo di uilizzo ( ai). Duaa ecica o ecooica del bee ( ai) V i Valoe iiziale (di acuiso) del bee V f Valoe fiale (di ecupeo) del bee e ( Vi V f ) Nel calcolo della uoa di eiegazioe si iee coo degli ieessi che auao aualee sulle soe accaoae. Tale foula dal puo di visa fiaziaio coispode al calcolo dell aualià a (coispodee alla e ) ecessaia pe cosiuie dopo ai u accuulazioe fiale che coispoda al depezzaeo che il bee ha subio V V ). ( i f e ( Vi V f ) a uoa di aoaeo oaeo: pocesso fiaziaio che seve pe esiguee u debio (D), i u ceo di ai, ediae il pagaeo di ua aa, aua o fazioaia (seesale, iesale ), cosae (secodo il eodo di aoaeo deo alla facese ) dea uoa di aoaeo.. a D dove D debio acceso (C ) 2. ella foula sopa ed diveao ispeivaee ed se le ae soo fazioaie (seesali,iesali, ecc.) aziché auali, co di pagaei/ao. 3. a D se le ae soo aicipae aziché posicipae. Tale foula, dal puo di visa fiaziaio, coispode al calcolo dell aualià a (che saebbe la a ) ecessaia pe cosiuie dopo ai ua soa pai ad u accuulazioe iiziale,, coispodee al debio D acceso al oeo zeo. D a a Gli isiui di cedio (bache), al oeo della cocessioe di u pesio, edigoo u pospeo deo piao di aoaeo, i cui, ad ogi pagaeo, viee iepilogaa la siuazioe dell aoaeo. Il piao segue il seguee schea: Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
6 Raa Daa Raa uoa ieessi uoa capiale Debio esio Debio esiduo D Co il pagaeo dell ulia aa () il debio esio deve coispodee a D e il debio esiduo deve aullasi.... D Ciei pe la copilazioe del piao: I. Calcolo della aa di aoaeo cosae: coe specificao ai pui, 2, 3. II. Calcolo della uoa ieessi: i D pecedee (co saggio auo). III. Calcolo della uoa capiale: c a - i IV. Calcolo del debio esio: D e D e pecedee + c coee V. Calcolo del debio esiduo: D D pecedee - c coee, oppue soaedo al valoe del debio iiziale il debio esio. Debio esiduo di u uuo I esio bisoga sepe icodae la seguee euazioe che scauisce dal picipio dell odiaieà: Valoe eale Valoe odiaio + ggiue Deazioi Se sul bee da siae gava u uuo ipoecaio i coso di esizioe, saà ecessaio calcolae l aoae del debio esiduo del uuo al oeo della sia e dealo dal valoe oale del bee (siao cioè i codizioi odiaie, uidi libeo dal peso del uuo). Se si vuole calcolae il debio esiduo di u uuo, i u oeo ieedio della duaa del pesio, si applica la seguee foula che, dal puo di visa fiaziaio, coispode all accuulazioe iiziale delle ae che iagoo da pagae ( - ): D.R. a a Dove duaa i ai del uuo ed ai iaei. Nella foula ed diveao ispeivaee / ed se le ae soo fazioaie (seesali, iesali, ecc.) aziché auali, co di pagaei/ao. I ueso caso uidi è il delle ae oali da pagae pe l aoaeo, ee è il ueo delle ae fioa vesae alla baca. Il calcolo del D.R. cosidea la aa esia pagaa. oeo di sia oeo di esizioe del uuo D a a a a a D.R. a a a a - ae ae (pagae) ae (oali) Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
7 Reddii asioi e peaei Ricodiao di seguio coe si esegue la sia del valoe auale di u bee a fecodià ipeua, ell ipoesi che foisca dei eddii ei posicipai cosai e illiiai, ediae capializzazioe del suo eddio eo auo : I ueso caso si ha: V dove V Valoe di capializzazioe c I alcui casi peò i eddii o si aegoo sepe cosai a subiscoo vaiazioi el epo es.: iobile locao pe alcui ai ad u caoe che o è odiaio e pe il uale si pevede che, alla scadeza del coao, vega applicao u caoe oale; fodo usico pe il uale u cabiaeo di coduzioe deeia u iceeo o ua diiuzioe del eddio; iobili che, a seguio di iglioie appoae, dao u eddio supeioe a uello ae-iglioia. I ues ulio caso l iceeo del eddio è dovuo al coso soseuo pe la iglioia e, ella sia del valo capiale, adà cosideao ache ueso coso. Pe eseguie la sia di ali bei bisoga icodae il picipio dell odiaieà che affea: Valoe eale Valoe oale (odiaio) + ggiue Deazioi Nel ispeo di ale picipio si pocede i ueso odo pe la sia del valoe eale al oeo zeo: Si capializza il ieuo odiaio pe uel bee (i geee ueso coicide co il eddio peaee), ell ipoesi che sia possibile pecepilo dal oeo zeo fio all ifiio; l valoe odiaio così calcolao si appoa, coe aggiua o deazioe, l accuulazioe iiziale delle diffeeze a il eddio odiaio e uello asioio che si soo veificae egli ai coispodei alla duaa del peiodo asioio ipoo cioè a ui i acai eddii; Uleioe deazioe da appoae al valoe odiaio è uella elaiva a eveuali cosi soseui pe le iglioie appoae. uesi cosi vao ach essi poai al oeo zeo e applicai coe deazioe al valoe odiaio deazioe pe cosi da soseee pe edee odiaio il bee. Vediao di seguio u esepio: U iobile foisce pe 5 ai u.. ifeioe ispeo al cosideao odiaio, il uale si ealizzeà a paie dalla fie del peiodo asioio e iaà cosae fio all ifiio. Le codizioi oigiaie dell iobile, ifeioi all odiaio, soo sae ipoae alla oalià gazie ad ua iglioia, eseguia sullo sesso, all ao 5 e pe la uale si è soseuo u coso pai a K. Rappeseiao i u gafico la siuazioe esposa: Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
8 K iglioia V 5 6 peaee (duaa illiiaa) asioio (duaa 5 ai) Diffeeza a i due eddii: peaee e asioio (pe la duaa di 5 ai) K Coso soseuo pe eseguie la iglioia Si applica l euazioe: Valoe eale Valoe oale (odiaio) + ggiue Deazioi, così: Valoe odiaio odiaio Deazioi da appoae al valoe oale: c. ( od as. ) dove 5 ai soo i ioi eddii, ispeo alle codizioi odiaie, pecepii duae il peiodo asioio. uesi vegoo aualizzai co il coefficiee fiaziaio di accuulazioe iiziale. 2. K dove 5 ai è il coso soseuo pe poae l iobile alle codizioi odiaie. Esso viee aualizzao, cioè ifeio al oeo zeo (oeo di sia), oliplicadolo pe il coefficiee di aicipazioe pe l ieesse coposo: I siesi il valoe dell iobile dell esepio si oiee el odo seguee:. V od Valoe odiaio dell iobile c [ ( od as. ) K ]. + N.M.B.: Il saggio da uilizzae ei calcoli è c, pe le opeazioi fiaziaie elaive ai, cioè ai ediei dell iobile, ee è fiaziaio pe le opeazioi di aicipazioe dei cosi K che soo delle soe oeaie pe le uali si veifica u edieo fiaziaio. Secoda deazioe: coso soseuo pe la iglioia, ach esso ifeio al oeo di sia. Pia deazioe, da applicae al valoe odiaio, dovua al sussisee, pe ua duaa pai al peiodo asioio, di u eddio ifeioe ispeo a uello odiaio. Tui i acai eddii soo poai al oeo di sia co il coefficiee di accuulazioe iiziale. Piccolo copedio iepilogaivo di alcue foule di Maeaica Fiaziaia
(formula dello sconto composto convertibile)
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