Soluzione della prova scritta di di Algebra lineare del 10 giugno Esercizio 1

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1 Soluzione della prova scritta di di Algebra lineare del 0 giugno 05 Esercizio (a) La matrice A che rappresenta f rispetto alle basi assegnate è la seguente: A = (b) Applicando il metodo di Gauss alla matrice A si ottiene facilmente la forma triangolare Quindi dim S(A) = rank A = 3 e dim (N(A)) = 3 rank A = 0. L immagine di A è il sottospazio di R 4 generato dalle tre colonne di A, mentre il nucleo è il sottospazio banale di R 3. (c) I valori di α richiesti sono quelli per i quali il rango della matrice [ A z ] vale 3. Applicando il metodo di Gauss a tale matrice si ottiene la forma triangolare α α, da cui si deduce che il rango è 4 per ogni α. Non esistono dunque valori di α per i quali z S(A). (d) (facoltativo) Il problema può essere formulato come sistema lineare. Trasponendo entrambi i membri della relazione assegnata si ha infatti A T B T = I 3, ovvero tre sistemi lineari con matrice dei coefficienti A T e soluzioni le colonne di B T : questi sistemi hanno infinite soluzioni, perché rank A T = 3, il teorema di Rouché-Capelli è verificato per qualunque termine noto, e dim (N(A T )) = 4 rank A T =. Quindi tutte le matrici B che soddisfano la relazione possono essere individuate applicando il metodo di Gauss alla matrice aumentata [ A T I 3 ]. Tuttavia una soluzione B può essere determinata direttamente osservando che, se si pone B = [ B b 4 ], dove la matrice B è formata dalle.

2 prime 3 colonne di B e b 4 è la quarta colonna, e, analogamente A = A a T 4, dove la matrice A è formata dalle prime 3 righe di A e a T 4 riga, la relazione si scrive come è la quarta B A + b 4 a T 4 = I 3. Quindi, se A è invertibile e si sceglie b 4 = 0, una soluzione è B = [ A 0]. Resta da verificare che A sia non singolare, usando la riduzione a forma triangolare di A calcolata al punto (c): det A = det 0 =. 0 0 Esercizio Per dimostrare che i vettori x, Dx, D x formano una base di R 3 si dimostra che la matrice A = [ x, Dx, D x ] x d x d x = x d x d x x 3 d 3 x 3 d 3 x 3 è non singolare. Basta osservare che vale la relazione x 0 0 d d A = 0 x 0 d d, 0 0 x 3 d 3 d 3 e che l ultima matrice si può ottenere dalla matrice di Vandermonde V di ordine 3, relativa ai nodi d, d, d 3, scambiando la prima e la terza colonna. Pertanto si ha: det A = x x x 3 ( ) det V = x x x 3 (d d )(d d 3 )(d d 3 ). Poiché per ipotesi i valori x i sono non nulli e i valori d i distinti, tale determinante è non nullo. Allo stesso risultato si arriva calcolando il determinante di A con il metodo di Gauss. Esercizio 3

3 I cerchi per riga di A (che coincidono con quelli per colonna) sono: K, con centro 0 e raggio, K = K 3, con centro e raggio, K 4, con centro 5 e raggio 3. Essi sono rappresentati nella seguente figura: (a) Dal teorema di Gerschgorin, essendo K disgiunto dall unione dei restanti cerchi, esso contiene un solo autovalore necessariamente reale: λ 4, con 9 λ 4. Gli altri tre autovalori, di cui almeno uno reale, appartengono all unione K K 4 : si ha dunque λ i 8, i =, 3, 4; nel caso che λ i sia reale si ha 0 λ i 8. (b) La matrice B è /4 0 0 / 0 0 3/4 4 4/3 5 e ha gli stessi autovalori di A, perché ottenuta con una trasformazione per similitudine. L unione dei cerchi di Gerschgorin per riga di B coincide con il cerchio relativo alla quarta riga, di centro 5 e raggio /3, da cui risulta λ i 37/3, i =,..., 4, con 7/3 λ i 37/3 nel caso che λ i sia reale. Quindi non si migliora la localizzazione stabilita in (a). I cerchi di B per colonna sono i seguenti:, H, con centro 0 e raggio 4, H, con centro e raggio, H 3, con centro e raggio 4/3, H 4, con centro 5 e raggio 3/. 3

4 Essi sono rappresentati nella seguente figura: L unione H H 4 contiene esattamente due autovalori: uno di loro è reale, perché al punto (a) si è stabilito che esiste λ 4 reale, con 9 λ 4, quindi anche l altro, sia esso λ 3, deve essere reale. I restanti autovalori λ e λ (che possono essere reali o non reali) appartengono al cerchio H, e hanno modulo minore o uguale di 3. Dall intersezione delle due unioni, quella dei cerchi di A e quella dei cerchi (per colonna) di B, si ha anche che 7/ λ 3 8. (c) Si verifica che det (A I) = 0. Infatti A I = ha due righe uguali. Si osservi, per inciso, che sapendo che è autovalore, tenendo conto di quanto ottenuto nei punti precedenti, si conclude che tutti gli autovalori di A sono reali. Per calcolare un autovettore x 4

5 si triangolarizza A I con il metodo di Gauss, e si ottiene , da cui, ponendo x 3 =, si ha x T = [ 0,,, 0 ]. Esercizio 4 (a) I coefficienti del polinomio di interpolazione p(x) sono la soluzione a del sistema V a = f, dove 0 0 V =, e f = La matrice aumentata iniziale del sistema è 0 0 [V f] = 3, 4 0 da cui, con il metodo di Gauss, scambiando la prima con la terza riga, si ottiene / 3/4 3, 0 0 e, sostituendo all indietro, a = [ 3, 3, ] T, e quindi p(x) = ( 3 )x + ( 3)x +. (b) Per la formula di Lagrange servono soltanto i polinomi L 0 (x) e L (x), perché f(x ) = 0. Si ha quindi L 0 (x) = (x x )(x x ) (x 0 x )(x 0 x ) = (x )(x ), L (x) = (x x 0)(x x ) = x(x ). (x x 0 )(x x ) p(x) = (x )(x )+( 3) ( x(x )) = ( 3 )x +( 3)x+. 5